精品解析：广东省江门市开平市忠源纪念中学2024届高三下学期高考冲刺考试（一）数学试卷

2024年忠源纪念中学高考冲刺考试（一） 数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题知，，再求集合交集运算即可. 【详解】解：因为，所以，即， 因为，解得，所以， 所以，. 故选：D 2. 若椭圆的焦距为2，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 分析】分与两种情况，结合焦距得到方程，求出，得到离心率. 【详解】当时，，解得， 则离心率为， 当时，，解得， 则离心率为. 故选：C 3. 已知各项均为正数的等比数列中，若，则＝（    ） A. 3 B. 4 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】利用等比数列的性质可得，可求结论. 【详解】由各项为正数的等比数列，且， 可得，所以. 故选：B. 4. 已知函数为上的偶函数，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据偶函数的定义可得，结合函数解析式和对数的运算性质即可求解. 【详解】因为为偶函数，所以， 则. 故选：A 5. 已知圆与圆交于A，B两点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，两圆方程相减即可得到直线的方程，再由弦长公式，即可得到结果. 【详解】因为圆与圆交于A，B两点， 则直线的方程即为两圆相减，可得， 且圆，半径为， 到直线的距离， 所以. 故选：C 6. 班主任从甲、乙、丙三位同学中安排四门不同学科的课代表，要求每门学科有且只有一位课代表，每位同学至多担任两门学科的课代表，则不同的安排方案共有（ ） A. 60种 B. 54种 C. 48种 D. 36种 【答案】B 【解析】 【分析】分甲、乙、丙三位同学都有安排和甲、乙、丙三位同学中只有两人被安排两种情况进行说明即可. 【详解】第一种情况，甲、乙、丙三位同学都有安排时， 先从3个人中选1个人，让他担任两门学科的课代表，有种结果， 然后从4门学科中选2门学科给同一个人，有种结果， 余下的两个学科给剩下的两个人，有种结果， 所以不同的安排方案共有种， 第二种情况，甲、乙、丙三位同学中只有两人被安排时， 先选两人出来，有种结果， 再将四门不同学科分成两堆，有种结果， 将学科分给学生，有种结果， 所以不同的安排方案共有种， 综合得不同的安排方案共有种. 故选：B. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式及二倍角余弦公式计算可得. 【详解】因为， 所以 . 故选：C 8. 已知函数，若（其中．），则的最小值为（ ）． A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的性质及对数的运算可得，利用均值不等式求最值即可. 【详解】, 由， ， 即， ，当且仅当，即时等号成立， 故选：B 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知i为虚数单位，下列说法正确的是（ ） A. 若复数，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 复数在复平面内对应的点为，若，则点的轨迹是一个椭圆 【答案】AC 【解析】 【分析】利用复数的四则运算与的乘方性质判断A，举反例排除B，利用复数的四则运算与模的运算判断C，利用复数的几何意义，结合两点距离公式判断D. 【详解】对于A，因为， 所以，故A正确； 对于B，令，满足，但，故B错误； 对于C，设且不同时为， 则 ，故C正确； 对于D，设复数，则点， 由，得， 则点到点与点的距离和为， 故点的轨迹是线段，故D错误. 故选：AC. 10. 已知函数（其中）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A. B. 函数在区间上单调递增 C. 要想得到的图象，只需将的图象向左平移个单位 D. 函数在区间上的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】由图得，点在图象上求得及的解析式可判断A；利用正弦函数的单调性可判断B；根据图象平移规律可判断C；根据的范围求得可判断D. 【详解】由图得,，所以，， 所以，因为点在图象上，所以， 所以，因为，所以，可得，故A正确； 对于B，由， 得，所以函数在区间上单调递增，故B正确； 对于C，将的图象向左平移个单位，得到的图象，故C错误； 对于D，时，， 所以，函数在区间上的取值范围是，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数的定义域为R，满足，且，则（ ） A. B. 为奇函数 C D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】采用赋值法为突破口，分析函数的有关性质. 【详解】对A：令，，则， 因为，所以，故A正确； 对B：令得：，结合可得， 所以为偶函数，故B错误； 对C：令可得：，因为， 所以， 进一步可得：， 又，，故， 故，依次有, 所以，故C正确； 对D：令可得：; 用代替，得：， 结合C的结果，可得：，故D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点睛：如何赋值是解决问题的关键.AB相对简单，对C，令得到后进一步可得到数列相邻项之间的关系，可求结果，对D，用和用代替，是解决问题的关键. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 数据6.0，7.4，8.0，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的50百分位数为_________ 【答案】 【解析】 【分析】第50百分位数为数据的中位数,求解即可. 【详解】数据6.0，7.4，8.0，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的50百分位数， 即为数据的中位数为. 故答案为：. 13. 的展开式中的系数为______（用数字作答）. 【答案】 【解析】 【分析】求出展开式的、的系数后可求展开式中的系数. 【详解】展开式的通项公式为， 故展开式中系数为，系数为， 故的展开式中的系数为， 故答案为： 14. 已知正四棱台中，，若该四棱台的体积为，则这个四棱台的表面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用正四棱台体积公式得到正四棱台的高，进而由勾股定理可得斜高，从而求得各面积，由此得解. 【详解】如图所示：设分别为底面的中心，分别为的中点，且有， 设正四棱台的上底面面积、下底面面积、侧面积分别为、、， 由，即得，，所以，， 又及， 所以有，解得. 由勾股定理可得斜高， 所以，从而. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）若曲线在点处的切线与直线平行，求出这条切线的方程； （2）讨论函数的单调性. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 分析】（1）求导，根据导函数几何意义和平行关系得到方程，求出，从而得到，求出切线方程； （2）求定义域，求导，对导函数因式分解，分，和三种情况，讨论得到函数的单调性. 【小问1详解】 ， 由已知， ∴得 又 ∴曲线在点处的切线方程为 化简得： 【小问2详解】 定义域为R， ，令得或 ①当即时， 令得或，令得， 故在单调递减，在，上单调递增； ②当即时，恒成立， 故在R上单调递增； ③当即时， 令得或，令得， 在上单调递减，在，上单调递增； 综上，当时，在单调递减，在，上单调递增； 当时，在R上单调递增； 当时，在上单调递减，在，上单调递增； 16. 某班为了庆祝我国传统节日中秋节，设计了一个小游戏：在一个不透明箱中装有4个黑球，3个红球，1个黄球，这些球除颜色外完全相同.每位学生从中一次随机摸出3个球，观察颜色后放回.若摸出的球中有个红球，则分得个月饼；若摸出的球中有黄球，则需要表演一个节目. （1）求一学生既分得月饼又要表演节目的概率； （2）求每位学生分得月饼数的概率分布和数学期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析，数学期望为 【解析】 【分析】（1）由题意分析可知有两种可能：“2个红球1个黄球”和“1个黑球，1个红球，1个黄球”，进而结合组合数运算求解； （2）由题意可知的可能取值为：0，1，2，3，结合超几何分布求分布列和期望. 【小问1详解】 记“一学生既分得月饼又要表演节目”为事件A， 可知有两种可能：“2个红球1个黄球”和“1个黑球，1个红球，1个黄球”， 所以. 【小问2详解】 由题意可知的可能取值为：0，1，2，3，则有： ， ， 可得的分布列为 0 1 2 3 所以. 17. 如图，在直三棱柱中，点是中点，. （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据，以及，即可根据线线垂直求证线面垂直， （2）建立空间直角坐标系，求解两个平面的法向量，，即可利用向量的夹角求解. 【小问1详解】 如图，记与的交点为点，连接，， 因为三棱柱是直三棱柱， 所以． 因为，所以四边形是正方形，故. 因为，， 所以又因为是的中点， 所以， 所以D. 因为四边形是正方形，所以点是的中点， 所以． 又因为，平面，， 所以平面． 【小问2详解】 因为，，所以． 如图，以点为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，． 所以，，． 因为平面，所以平面的法向量为． 设平面的法向量为， 则即解得取， 得 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为． 18. 已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，其渐近线方程为. （1）求双曲线的方程； （2）若为双曲线上的两点且不关于原点对称，直线过的中点，求直线的斜率. 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）先求出焦点坐标，再根据渐近线方程可求基本量，从而可得双曲线的方程. （2）利用点差法可求直线的斜率，注意检验. 【小问1详解】 椭圆的焦点为，故， 由双曲线的渐近线为，故，故， 故双曲线方程为：. 【小问2详解】 设，的中点为， 因为在直线，故， 而，，故， 故， 由题设可知的中点不为原点，故，所以， 故直线的斜率为. 此时， 由可得，整理得到：， 当即或， 即当或时，直线存在且斜率为1. 19. 已知是各项均为正整数的无穷递增数列，对于，定义集合，设为集合中的元素个数，若时，规定． （1）若，写出及的值； （2）若数列是等差数列，求数列的通项公式； （3）设集合，求证：且． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意先分别求出，，，，则易得及的值； （2）由题可知，分析判断时，与题设矛盾，推得；再假设存在使得，经推理得出与是等差数列矛盾，可得，利用等差数列基本量运算即得； （3）根据定义得到数列是递增数列；用反证法证明，假设存在正整数，若，则推出，与假设矛盾，所以；，所以要证，只需证，且，能推出，所以，所以，所以结论成立. 【小问1详解】 依题意，，，，， 故得； 【小问2详解】 由题可知，所以，所以． 若，则， 所以，与是等差数列矛盾． 所以． 设，因为是各项均为正整数的递增数列，所以． 假设存在使得． 设，由得． 由得，与是等差数列矛盾． 所以对任意都有． 所以数列是等差数列，． 【小问3详解】 因为对于，所以． 所以，即数列是递增数列． 先证明． 假设，设正整数． 由于，故存正整数使得，所以． 因为是各项均为正整数的递增数列，所以． 所以． 所以． 又因为数列是递增数列，所以，矛盾． 所以． 再证明． 由题可知． 设且，因为数列是各项均为正整数的递增数列， 所以存在正整数，使得． 令． 若，则，即，所以． 所以，所以． 若，则， 所以． 所以，所以． 因为，所以． 所以． 综上，且． 【点睛】方法点睛：本题主要考查集合新定义问题，属于难题.对于集合新定义问题的解题策略，首先，要明确新定义的特点；其次，根据定义中的步骤对具体题目进行推理和运算，最后得到结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年忠源纪念中学高考冲刺考试（一） 数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若椭圆的焦距为2，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. 或 D. 或 3. 已知各项均为正数的等比数列中，若，则＝（    ） A 3 B. 4 C. 8 D. 9 4. 已知函数为上的偶函数，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆与圆交于A，B两点，则（ ） A. B. C. D. 6. 班主任从甲、乙、丙三位同学中安排四门不同学科的课代表，要求每门学科有且只有一位课代表，每位同学至多担任两门学科的课代表，则不同的安排方案共有（ ） A. 60种 B. 54种 C. 48种 D. 36种 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若（其中．），则的最小值为（ ）． A. B. C. 2 D. 4 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知i为虚数单位，下列说法正确的是（ ） A 若复数，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 复数在复平面内对应的点为，若，则点的轨迹是一个椭圆 10. 已知函数（其中）部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A. B. 函数区间上单调递增 C. 要想得到的图象，只需将的图象向左平移个单位 D. 函数在区间上的取值范围是 11. 已知函数的定义域为R，满足，且，则（ ） A. B. 为奇函数 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 数据6.0，7.4，8.0，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的50百分位数为_________ 13. 的展开式中的系数为______（用数字作答）. 14. 已知正四棱台中，，若该四棱台的体积为，则这个四棱台的表面积为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）若曲线在点处的切线与直线平行，求出这条切线的方程； （2）讨论函数的单调性. 16. 某班为了庆祝我国传统节日中秋节，设计了一个小游戏：在一个不透明箱中装有4个黑球，3个红球，1个黄球，这些球除颜色外完全相同.每位学生从中一次随机摸出3个球，观察颜色后放回.若摸出的球中有个红球，则分得个月饼；若摸出的球中有黄球，则需要表演一个节目. （1）求一学生既分得月饼又要表演节目的概率； （2）求每位学生分得月饼数的概率分布和数学期望. 17. 如图，在直三棱柱中，点是的中点，. （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，其渐近线方程为. （1）求双曲线的方程； （2）若为双曲线上的两点且不关于原点对称，直线过的中点，求直线的斜率. 19. 已知是各项均为正整数的无穷递增数列，对于，定义集合，设为集合中的元素个数，若时，规定． （1）若，写出及的值； （2）若数列是等差数列，求数列的通项公式； （3）设集合，求证：且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$