专题8.1 期末复习——解答压轴题专项训练（压轴题专项训练）-2023-2024学年七年级数学下册压轴题专项讲练系列（浙教版）

专题8.1 期末复习——解答压轴题专项训练 1．（22-23七年级下·浙江杭州·期末）如图，直线分别交直线于点G，H，射线分别在和的内部，且．    （1）若和互补． ①求的度数； ②当，且时，求的度数； （2）设，．若，求m，n满足的等量关系． 2．（22-23七年级下·浙江杭州·期末）如图，已知，．    （1）如图①，求证：； （2）如图②，连接，若点E，F在线段上，且满足，并且平分，求的度数；（用含m的代数式表示） （3）如图③，在（2）的条件下，将线段沿着射线的方向向右平移，当时，求的度数．（用含的代数式表示） 3．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）如图，已知直线，直线和直线，交于点和，点是直线上的一个动点． （1）如图，点在线段上，，，则______； （2）如果点运动到，之间时，试探究，，之间的关系，并说明理由； （3）若点在，两点的外侧运动时（点与点，不重合），，，之间的关系是否发生改变？请说明理由． 4．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）如图①，，被直线所截，点D是线段上的点，过点D作，连接，. （1）请说明； （2）将线段沿着直线平移得到线段，连接． ①如图②，当时，则的度数_____________； ②在整个运动中，当时，_____________． 5．（22-23七年级下·浙江绍兴·期末）如图1，，，，是线段上一点，过点分别作，，分别交于点，点．      （1）求的度数． （2）点为直线上的一个动点，连接． ①如图2，当点在点的左侧，且时，判断与的位置关系，并说明理由． ②在整个运动过程中，是否存在点，使得？若存在，请求出的度数；若不存在，请说明理由．  6．（22-23七年级下·浙江杭州·期末）同一平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系如图，已知，点在、内部，我们过点作或的平行线，则有，故，，故，即． （1）现将点移至如图的位置，以上结论是否仍然成立？若成立，说明理由；若不成立，则、、之间有何数量关系？请证明你的结论． （2）如图，与的角平分线相交于点； ①若，，则 ______ ． ②试探究与的数量关系，并说明你的理由． （3）如图，与的角平分线相交于点，过点作交于点，若，则 ______ ． 7．（22-23七年级下·浙教杭州·期末）如图，直线，直线与、分别交于点、，．小安将一个含 角的直角三角板按如图①放置，使点、分别在直线、上，且在点、的右侧，，． （1）填空： （填“”“”或“”）； （2）若的平分线交直线于点，如图②． ①当，时，求的度数； ②当时，求的度数（用含的式子表示）． 8．（22-23七年级下·浙江绍兴·期末）将一副直角三角板和如图（1）放置，此时四点在同一条直线上，点A在边上，其中，，．    （1）求的度数； （2）将图（1）中的三角板绕点A以每秒的速度，按顺时针方向旋转一定的角度后，记为三角板，设旋转的时间为t秒． ①当旋转至图（2）时，此时，求a的值； ②若在旋转过程中，三角板的某一边恰好与所在的直线平行，直接写出t的值． 9．（22-23七年级下·浙江台州·期末）已知直线，，垂足为点O，点A，B分别在直线，上．点P是平面上任一点，连接，．    （1）当点P在如图1所示位置时，，，则___________； （2）当点P移动到如图2所示位置时，求，，之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下分别作，的角平分线交于点Q， ①若，求的度数； ②请直接写出和的数量关系． 10．（22-23七年级下·浙江衢州·期末）已知△ABC与△ADE共顶点A，，顶点B和C在直线上（点B在点C的左侧），顶点D和E在直线上（点D在点E的左侧），且直线． （1）如图1，顶点A在与之间，判断∠BAD与是否相等，并说明理由． （2）如图2，顶点A在与之间，∠ABC的外角平分线与∠AED的角平分线交于点F，若，求∠BFE的度数． （3）若顶点A在直线的下方，且顶点B、A、D不在一条直线上，∠ABC的外角平分线与∠AED的角平分线交于点F，记，，请探究与的数量关系，并直接写出结论． 11．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）如图，已知，直线交于点M，交于点N．点E是线段上一点，P，Q分别在射线，上，连接，，平分，平分．    （1）如图1，若，，则　 　°，　 　°． （2）如图2，求与之间的数量关系，并说明理由． （3）如图3，当时，若，，过点P作交的延长线于点H．将直线绕点N顺时针旋转，速度为每秒，直线旋转后的对应直线为，同时绕点P逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当直线首次落到上时，整个运动停止．在此运动过程中，经过t秒后，直线恰好平行于的一条边，请直接写出所有满足条件的t的值． 12．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）【基础巩固】（1）如图1，已知，求证：； 【尝试应用】（2）如图2，在四边形中，，点E是线段上一点．，，求的度数； 【拓展提高】（3）如图3，在四边形中，，点E是线段上一点，若平分，． ①试求出的度数； ②已知，，点G是直线上的一个动点，连接并延长． 2.1若恰好平分，当与四边形中一边所在直线垂直时，________； 2.2如图4，若是的平分线，与的延长线交于点F，与交于点P，且，则________（用含的代数式表示）．             13．（22-23七年级下·浙江金华·期末）佛堂古镇的万善浮桥，其夜晚的灯光秀美轮美轮，两岸景观照明还荣获了中国照明学会第十六届照明奖的一等奖．如图1所示，记浮桥两岸所在直线分别为，且，浮桥上装有两种不同的激光灯A和激光灯B（假设以及由A、B两点发出的光射线始终在同一平面内），灯A的光射线以2度每秒的速度从射线顺时针旋转至射线后继续回转，灯B的光射线以5度每秒的速度从射线顺时针旋转到射线后也继续回转，当打开激光灯的总开关时，激光灯A和激光灯B同时开始转动．    （1）若购买2盏灯A和4盏灯B共需10万元，购买3盏灯A和2盏灯B共需8.6万元，请问：购买灯A和灯B的单价分别是多少万元？ （2）打开总开关，当灯A的光射线第一次从射线旋转至射线的过程中，求灯A和灯B的光射线恰好互相垂直时所需要的时间． （3）如图2，打开总开关，当灯B的光射线第一次从射线旋转至射线BS的过程中，若灯A和灯B的光射线有交点（记为点O），延长至点E，作与的角平分线并交于点F，求与的数量关系． 14．（22-23七年级下·浙江绍兴·期末）为推进“书香社区”建设，某社区计划购进一批图书．已知购买2本科技类图书和3本文学类图书需154元，购买4本科技类图书和5本文学类图书需282元． （1）科技类图书与文学类图书的单价分别是多少元？ （2）为支持“书香社区”建设，助推科技发展，商家对科技类图书推出销售优惠活动（文学类图书售价不变）：购买科技类图书超过40本但少于50本时，每本单价降低2元；不少于50本时，每本单价降低3元．社区购进两种图书共100本，总费用为3050元．则科技类图书与文学类图书各可以购买多少本？ 15．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）某儿童用品商场经销A，B两种商品，A种商品的售价为60元/件，B种商品的售价为80元/件，六一期间，该商场对A，B两种商品进行如下优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过450元 不优惠 超过450元，但不超过600元 按总售价打九折 超过600元 其中600元部分打八折优惠，超过600元部分打七折优惠 （1）若购买A商品5件，B商品3件，请问实际付款多少？ （2）若小宁一次购买A，B两种商品（每种商品至少购买一件），优惠后实际支付522元，问小宁最多能购买A，B商品共多少件？本次购物最多优惠多少元？ 16．（22-23七年级下·浙江温州·期末）根据以下素材，探索解决任务． 确定什锦糖的销售量 素材1 某商店有甲，乙两种糖果，单价分别为15元/千克，20元/千克．    素材2 商店将两种糖果混合形成A型什锦糖如图所示． 小温根据个人需要，另外混合配制成B型什锦糖，每份重5千克，价格80元． 素材3 小温恰好用870元各买了若干份A，B型什锦糖． 问题解决 任务1 确定A型单价 每份什锦糖A需要多少元？ 任务2 确定B型配比 每份什锦糖B中甲，乙两种糖果的质量分别是多少千克？ 任务3 确定销售量 本次买卖中，商家卖出甲，乙糖果各多少千克？ 17．（22-23七年级下·浙江温州·期末）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计板材裁切方案？ 素材 图中是一张学生椅，主要由靠背、座垫及铁架组成经测量，该款学生椅的靠背尺寸为，座垫尺寸为．图是靠背与座垫的尺寸示意图．      素材 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅．经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材加工制做该款式学生椅的靠背与座垫．已知该板材长为，宽为（裁切时不计损耗） 我是板材裁切师 任务一 拟定裁切方案 若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法． 方法一：裁切靠背张和座垫张． 方法二：裁切靠背______ 张和坐垫______ 张． 方法三：裁切靠背______ 张和坐垫______ 张． 任务二 确定搭配数量 若该工厂购进张该型号板材，能制作成多少张学生椅？ 任务三 解决实际问题 现需要制作张学生椅，该工厂仓库现有张座垫和张靠背，还需要购买该型号板材多少张恰好全部用完？并给出一种裁切方案． 18．（22-23七年级下·浙江绍兴·期末）某工厂需制作如图所示的竖式与横式两种无盖纸盒（单位cm）．    情境 内容 图形 情境1 工厂仓库内现存有的正方形纸板200张，的长方形纸板400张，用库存纸板制作两种无盖纸盒．    情境2 库存纸板已用完，采购部重新采购了如图规格的纸板，甲纸板尺寸为，乙纸板尺寸为，丙纸板尺寸为．采购甲纸板有800张，乙纸板有400张，丙纸板有300张．纸板裁剪后可制作两种无盖纸盒．    情境3 某次采购订单中，甲种纸板的采购数量为500张，乙种300张，因采购单被墨水污染，导致丙种纸板的具体数字已经模糊不清，只知道百位和十位数字分别为2和4 根据以上信息，解决以下问题： （1）情境1，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存纸板用完？ （2）情境2，问能否通过做适当数量的竖式和横式无盖纸盒，使得纸板的使用率为？请通过计算说明理由． （3）情境3，若本次采购的纸板裁剪做成竖式和横式无盖纸盒，并使得纸板的使用率为，请你能帮助工厂确定丙纸板的张数． 19．（22-23七年级下·浙江金华·期末）阅读以下微信群聊，完成任务．       任务一：该“旅行团”有几种打车方案？哪种方案比较划算？ 任务二：小胡家的两间“亲子家庭房”共花费多少钱？ 任务三：该“旅行团”分别购买了“380”和“580”这两种票价的门票各多少张？       20．（22-23七年级下·浙江金华·期末）东阳江是东阳的母亲河．为打造东阳江风光带，现有一段长米的河道整治任务，原计划由两个工程队先后接力完成，共用时天．已知工程队每天整治米，工程队每天整治米，根据题意，甲、乙两名同学分别列出了如下尚不完整的方程组： 甲：     乙： （1）根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数表示的意义． 甲：未知数分别表示______．     乙：未知数分别表示______． （2）补全甲、乙两名同学所列的方程组． （3）若工程队完成原计划河道整治任务后，工程队接到通知需提前天完成剩余的整治任务，问工程队现在每天需整治多少米河道？ 21．（22-23七年级下·浙江舟山·期末）我国著名数学家曾说：数无形时少直觉，形少数时难入微，数形结合思想是解决问题的有效途径．请阅读材料完成： （1）算法赏析：若x满足，求的值． 解：设则 ∴ 请继续完成计算． （2）算法体验：若满足，求的值； （3）算法应用：如图，已知数轴上A、B、C表示的数分别是m、10、13．以AB为边作正方形ABDE，以AC为边作正方形ACFG，延长ED交FC于P．若正方形ACFG与正方形ABDE面积的和为117，求长方形AEPC的面积 22．（22-23七年级下·浙江丽水·期末）如图，，点D是线段上的一个动点，在右侧以为边作正方形；若，，连接．    （1）请用含k，m的代数式表示； （2）若，梯形的面积是三角形面积的4倍，求k的值； （3）下列三个条件：①；②；③，依次为易、中、难，对应的满分值为1分、2分、3分，选择其中一个条件，求三角形的面积（用含k的代数式表示）． 23．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）【阅读理解】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小．即要比较代数式的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则． 【知识运用】 （1）请用上述方法比较下列代数式的大小（直接在空格中填写答案）：①当时，______；②若，则______； （2）试比较与的大小，并说明理由； 【拓展运用】 （3）甲、乙两班同学同时从学校沿同一路线到离学校的研学基地参加研学．甲班有一半路程以的速度行进，另一半路程以的速度行进；乙班有一半时间以的速度行进，另一半时间以的速度行进．设甲、乙两班同学从学校到研学基地所用的时间分别为，． ①试用含，，的代数式分别表示和，则______，______． ②请你判断甲、乙两班中哪一个班的同学先到达研学基地，并说明理由． 24．（22-23七年级下·浙江杭州·期末）已知多项式①，②，③． （1）把这三个多项式因式分解； （2）老师问：“三个等式；；能否同时成立？”圆圆同学说：“只有当时，三个等式能同时成立，其他x，y的值都不能使之成立．”你认为圆圆同学的说法正确吗？为什么？ 25．（22-23七年级下·浙江嘉兴·期末）已知关于的方程，其中，均为整数且． （1）若方程有增根，则，满足怎样的数量关系？ （2）若是方程的解，求的值． 26．（22-23七年级下·浙江杭州·期末）已知（是正整数）． （1）计算：； （2）若，试判断与的数量关系，并说明理由； （3）设，且为正整数，试用等式表示之间的关系． 27．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）定义：任意两个数a，b，按规则运算得到一个新数c，称所得的新数c为a，b的“和积数”． （1）若，，求a，b的“和积数”c； （2）若，，求a，b的“和积数”c； （3）已知，且a，b的“和积数”，求b（用含x的式子表示）并计算的最小值． 28．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）杨梅是我市特产水果之一，素有“初疑一颗值千金”之美誉！某杨梅园的杨梅除了直接销售到市区外，还可以让市民去园区采摘．已知杨梅在市区和园区的销售价格分别是15元/千克和10元/千克，该杨梅园今年六月第一周一共销售了1000千克，销售收入12000元． （1）该杨梅园今年六月第一周市区和园区分别销售了多少千克杨梅？ （2）为了促销，该杨梅园决定六月第二周将市区和园区销售价格均以相同折扣进行销售，小方发现用3240元购买市区的重量比用2430元购买园区的重量少30千克，求本次活动对市区和园区进行几折销售？ （3）在（2）的促销条件下，杨梅园想第二周市区和园区杨梅的平均售价和第一周的市区和园区平均售价相等．若第二周杨梅在市区的销量为a千克，园区的销量为b千克，请直接写出a与b的数量关系． 29．（22-23七年级下·浙江衢州·期末）为丰富同学们的课余生活，培养同学们的创新意识和实践能力，某校七年级举办了“玩转科技、畅想未来”活动，为了表彰活动中表现优秀的同学，学校准备采购A、B两种奖品．这两种奖品在甲、乙两个商场的标价相同，A奖品的单价与B奖品单价之和为35元，买10份A奖品和20份B奖品一共需450元． （1）求A奖品和B奖品的单价分别是多少？ （2）甲、乙两商场举办让利活动：甲商场所有商品以相同折扣打折销售，乙商场买一份A奖品送一份B奖品．采购时发现在甲商场用200元买的B奖品数量比用200元买的A奖品数量的2倍还多5件． ①甲商场的商品打几折？ ②若学校准备采购m件A奖品和n件B奖品，当m，n满足什么数量关系时，在甲、乙两个商场所花费用一样． 30．（22-23七年级下·浙江绍兴·期末）如图，数轴上有A、B、C、D四点，点D对应的数为x，已知OA＝7，OB＝5，CD＝3，P、Q两点同时从原点O沿着数轴正方向以和的速度运动，且．点Q到点D后立即朝数轴的负方向运动，在C处与点P相遇，相遇后点P也立即朝着数轴的负方向运动，且P、Q两点的速度都变为原来的．当点Q返回到原点O时，点P恰好在B处． （1）当P、Q相遇时，求点P前进的路程（用含x的式子表示）； （2）求P、Q两点相遇前．（用含有x的式子表示）． （3）当Q到A处时，问点P是否已经过原点O，请说明理由． 31．（22-23七年级下·浙江绍兴·期末）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计奖品购买及兑换方案？ 素材1 某文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔的单价是笔记本的2倍，用120元购买笔记本的数量比用160元购买钢笔的数量多8件． 素材2 某学校花费400元购买该文具店的钢笔和笔记本作为奖品颁发给“优秀学生”，购买钢笔和笔记本的数量之比为． 素材3 学校花费400元后，文具店赠送张兑换券（如右）用于商品兑换．兑换后，笔记本与钢笔数量相同．    问题解决 任务1 探求商品单价 请运用适当方法，求出钢笔与笔记本的单价． 任务2 探究购买方案 探究购买钢笔和笔记本的数量． 任务3 确定兑换方式 运用数学知识，确定兑换方式． 32．（22-23七年级下·浙江·期末）根据以下素材，探索完成任务 设计购买欲兑换方案 素材1 小明在同学家尝到米鸭蛋（松花粉馅的青团）非常好吃，特意打听它的价格，同学妈妈说：“具体价格我忘记了，只记得米鸭蛋的单价是咸青团单价的2倍，当时我买了米鸭蛋和咸青团两种，我用40元买米鸭蛋的数量比30元买咸青团的数量少了4个．” 素材2 小明妈妈准备花200元购买两种青团给小明和亲友吃，这两种青团的数量都不少于20个，且咸青团的数量是10的倍数． 素材3 小明妈妈按素材2中方案支付200元买青团时，获赠五一促销活动的兑换券（）张，兑换后，米鸭蛋数量与咸青团数量相同    问题解决 任务1 探求两种青团的单价 请求出米鸭蛋和咸青团的单价 任务2 探究购买方案 探究小明妈妈购买两种青团的所有方案 任务3 确定兑换方式 运用数学知识，确定的值，并说明小明妈妈的兑换方式 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题8.1 期末复习——解答压轴题专项训练 1．（22-23七年级下·浙江杭州·期末）如图，直线分别交直线于点G，H，射线分别在和的内部，且．    （1）若和互补． ①求的度数； ②当，且时，求的度数； （2）设，．若，求m，n满足的等量关系． 【思路点拨】 （1）①根据和互补，，即可求解；②先求出，由平行线的性质可得，再结合①中结论可得的度数； （2）设，可得，，再结合即可求解． 【解题过程】 （1）解：① 和互补， ． ， ， ； ②由①得， ， ， 又 ， ， ． ， ， ； （2）解： ， ． 设， ，， ， ， 又 ， ， ， ， 即m，n满足的等量关系为． 2．（22-23七年级下·浙江杭州·期末）如图，已知，．    （1）如图①，求证：； （2）如图②，连接，若点E，F在线段上，且满足，并且平分，求的度数；（用含m的代数式表示） （3）如图③，在（2）的条件下，将线段沿着射线的方向向右平移，当时，求的度数．（用含的代数式表示） 【思路点拨】 （1）根据平行线的性质得到，进而推出，即可证明； （2）先由平行线的性质得到，再根据已知条件可证明； （3）证明，再由，可得． 【解题过程】 （1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）如图，已知直线，直线和直线，交于点和，点是直线上的一个动点． （1）如图，点在线段上，，，则______； （2）如果点运动到，之间时，试探究，，之间的关系，并说明理由； （3）若点在，两点的外侧运动时（点与点，不重合），，，之间的关系是否发生改变？请说明理由． 【思路点拨】 （1）过点P作，根据平行公理得到，再根据平行线的性质得出，，从而求出； （2）当点在、之间运动时，首先过点作，由，可得，根据两直线平行，内错角相等，即可求得：； （3）当点在、两点的外侧运动时，过点作，根据平行线的性质，即可求得，，之间的关系． 【解题过程】 （1）解：如图，过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）如图，点运动到、之间时，． 理由如下： 过点作， ， ， ，， ； （3）如图②，当点在、两点的外侧运动，且在上方时，． 理由如下：过点作， ， ， ，， ， ， ， ； 如图③，当点在、两点的外侧运动，且在下方时，． 理由如下：过点作， ， ， ，， ， ， ， ． 4．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）如图①，，被直线所截，点D是线段上的点，过点D作，连接，. （1）请说明； （2）将线段沿着直线平移得到线段，连接． ①如图②，当时，则的度数_____________； ②在整个运动中，当时，_____________． 【思路点拨】 （1）根据平行线的性质得到，利用等量代换得到，即可证出； （2）①过点D作，则，根据平行线的性质即可得到答案； ②两种情况，运用类比的方法，当点P在线段AD上时，过点D作交AB于点F，根据平行线的性质即可得到答案；当点P在线段DA的延长线上时，过点D作交AB于点，根据平行线的性质即可得到答案． 【解题过程】 （1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）解：①解：过点D作，如图所示： ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴∠EDQ=90°， ∴， 而， ∴． 故答案为：． ②当点P在线段AD上时，过点D作交AB于点F，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点P在线段DA的延长线上时，过点D作交AB于点，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述：的度数为或． 故答案为：或 5．（22-23七年级下·浙江绍兴·期末）如图1，，，，是线段上一点，过点分别作，，分别交于点，点．      （1）求的度数． （2）点为直线上的一个动点，连接． ①如图2，当点在点的左侧，且时，判断与的位置关系，并说明理由． ②在整个运动过程中，是否存在点，使得？若存在，请求出的度数；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 （1）根据平行线的性质得出，，．则，根据即可求解； （2）①根据题意可得，根据平行线的性质可得，求得，即可得出结论； ②当点在点的左侧时．当点在点的右侧时．分别画出图形，根据平行线的性质结合图形，即可求解． 【解题过程】 （1）解： ， ， ， ． ．                        ， ． ．     ．                         （2）①．                                                               理由如下： ， ． ， ． ． ．                                                     ②存在点，使得． 下分两种情况： Ⅰ．如图，当点在点的左侧时． ， ． ， ． ， ， ．                       Ⅱ．如图，当点在点的右侧时． ， ． ， ． ， ， ．                          6．（22-23七年级下·浙江杭州·期末）同一平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系如图，已知，点在、内部，我们过点作或的平行线，则有，故，，故，即． （1）现将点移至如图的位置，以上结论是否仍然成立？若成立，说明理由；若不成立，则、、之间有何数量关系？请证明你的结论． （2）如图，与的角平分线相交于点； ①若，，则 ______ ． ②试探究与的数量关系，并说明你的理由． （3）如图，与的角平分线相交于点，过点作交于点，若，则 ______ ． 【思路点拨】 （1）由平行线的性质可得，，即可求解； （2）由角平分线的性质可得，，由平行线的性质可得，，即可求解，由角平分线的性质可得，，由平行线的性质可得，，即可求解； （3）由角平分线的性质可得，，，，由角的数量关系可求解． 【解题过程】 （1）解：结论不成立，应该是，理由如下： 如图，过点A作， ，， ， ，， ； （2）如图3，过点作， ，，， ， 与的角平分线相交于点， ，， ，， ， ，， ∴， ； ， ， 与的角平分线相交于点， ，， ，， ， ，， ； （3）如图，过点作，过点A作， 与的角平分线相交于点， ，， ，，， ， ，，，， ，， ， ， ， ， ，   ， ． 7．（22-23七年级下·浙教杭州·期末）如图，直线，直线与、分别交于点、，．小安将一个含 角的直角三角板按如图①放置，使点、分别在直线、上，且在点、的右侧，，． （1）填空： （填“”“”或“”）； （2）若的平分线交直线于点，如图②． ①当，时，求的度数； ②当时，求的度数（用含的式子表示）． 【思路点拨】 （1）过点作，根据平行线的性质可得，，进而可求解； （2）①由平行线的性质可得，结合角平分线的定义可得，再利用平行线的性质可求解； ②可分两种情况：点在的右侧时，点在的左侧时，利用平行线的性质及角平分线的定义计算可求解． 【解题过程】 （1）解：过点作， ， ， ， ， ， 故答案为： （2）① ，， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ； ②点在的右侧时，如图②， ，， ， ， ， ， 平分， ， ， ； 点在的左侧时，如图， ，， ， ， ， ，， 平分， ， ， 综上所述，的度数为 或 ． 8．（22-23七年级下·浙江绍兴·期末）将一副直角三角板和如图（1）放置，此时四点在同一条直线上，点A在边上，其中，，．    （1）求的度数； （2）将图（1）中的三角板绕点A以每秒的速度，按顺时针方向旋转一定的角度后，记为三角板，设旋转的时间为t秒． ①当旋转至图（2）时，此时，求a的值； ②若在旋转过程中，三角板的某一边恰好与所在的直线平行，直接写出t的值． 【思路点拨】 （1）根据题意，由三角形外角定理即可求解； （2）①当时，分两种情况，第一种当旋转角度在之间时，根据三角形外角定理得，再根据即可求解；第二种情况当旋转角度在时，此时再旋转； ②分三种情况讨论：第一种当时，a为或a为，第二种当时，a为或a为，，a为，根据角度转动速度分别求解t即可． 【解题过程】 （1）解： ，， ； （2）解：①如图，    ， ， 由（1）知，，， ，， ， 如图，与延长线交于点，    由第一种情况知，这种情况是在第一种情况的基础上再旋转， 三角板绕点A以每秒的速度按顺时针方向旋转， ， ； 解：②如图，当时，    ， ， ， ， a为或a为， （秒），（秒）． 如图，当时，    ， ， a为或a为， （秒），（秒）， ． 如图，当时， 此时a为 ∴， 综上所述， 9．（22-23七年级下·浙江台州·期末）已知直线，，垂足为点O，点A，B分别在直线，上．点P是平面上任一点，连接，．    （1）当点P在如图1所示位置时，，，则___________； （2）当点P移动到如图2所示位置时，求，，之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下分别作，的角平分线交于点Q， ①若，求的度数； ②请直接写出和的数量关系． 【思路点拨】 （1）过点P作，根据平行线的性质，得到，再利用垂直的定义，得到，进而得到，即可求出的度数； （2）过点P作，根据平行线的性质，得到，再利用垂直的定义，得到，进而得到，然后根据，即可得出结论； （3）①过点Q作，由（2）可得，再根据角平分线的定义和平行线的性质，分别得到，，然后利用，即可求出的度数； ②由（2）可得，，再根据角平分线的定义和平行线的性质，分别得到，，然后利用，即可得到和的数量关系． 【解题过程】 （1）解：如图，过点P作，则，    ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：如图，过点P作，则，    ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：①如图，过点Q作，则， 由（2）可知，， ， 平分， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ；    ②由（2）可知，， ， 平分，平分， ， ，， ． 10．（22-23七年级下·浙江衢州·期末）已知△ABC与△ADE共顶点A，，顶点B和C在直线上（点B在点C的左侧），顶点D和E在直线上（点D在点E的左侧），且直线． （1）如图1，顶点A在与之间，判断∠BAD与是否相等，并说明理由． （2）如图2，顶点A在与之间，∠ABC的外角平分线与∠AED的角平分线交于点F，若，求∠BFE的度数． （3）若顶点A在直线的下方，且顶点B、A、D不在一条直线上，∠ABC的外角平分线与∠AED的角平分线交于点F，记，，请探究与的数量关系，并直接写出结论． 【思路点拨】 （1）过点A作，根据平行线的性质直接求解即可得到结论； （2）根据（1）中的方法可知，，根据角平分线的性质及邻补角的定义等量代换即可得到结论； （3）令，根据角平分线定义得，，过作，过作，得到，从而根据点与的关系分五种情况求解，由角度和差关系得到，或，联立方程组得到或者． 【解题过程】 （1）解：． 过点A作，如图所示： ， ∴， ∴， ， ∴， ∴； （2）解：如图所示： 由（1）可知， 同（1）理可得， ∵BF平分∠ABH，EF平分∠AED， ∴， ∵， ∴，， ； （3）解：根据点与的关系分五种情况求解： 1..点在的边左侧，如图所示： 令，则根据角平分线定义得，， 过作，过作，则， ，， ①， 在中，， ， ， ②， 由①得， 由②得， 将①代入②得； 2.点在的边上，如图所示： 令，则根据角平分线定义得，， 过作，过作，则， ，， ①， 在中，， ， ， ②， 由①得， 由②得， 将①代入②得； 3.点在内，如图所示： 令，则根据角平分线定义得，， 过作，过作，则， ，， ①， 在中，， ， ， ②， 由①得， 由②得， 将①代入②得； 4.点在的边上，，如图所示： 令，则根据角平分线定义得，， 过作，过作，则， ，， ①， 在中，， ， ， ②， 由①得， 由②得， 将①代入②得， ，，满足； 5.点在的边右侧，如图所示： 令，则根据角平分线定义得，， 过作，过作，则， ，， ①， 在中，， ， ， ②， 由①得， 由②得， 将①代入②得； 综合上述1、2、3、4、5可得或． 11．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）如图，已知，直线交于点M，交于点N．点E是线段上一点，P，Q分别在射线，上，连接，，平分，平分．    （1）如图1，若，，则　 　°，　 　°． （2）如图2，求与之间的数量关系，并说明理由． （3）如图3，当时，若，，过点P作交的延长线于点H．将直线绕点N顺时针旋转，速度为每秒，直线旋转后的对应直线为，同时绕点P逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当直线首次落到上时，整个运动停止．在此运动过程中，经过t秒后，直线恰好平行于的一条边，请直接写出所有满足条件的t的值． 【思路点拨】 （1）延长交于点G，设、交于点H，设，则，根据可表示出，进而根据三角形内角和推论表示出，进而表示出，然后结合和内角和得出关系式，进一步得出结果； （2）类比（1）的方法过程求解即可； （3）分为的三边分别与平行，分别画出图形求解即可． 【解题过程】 （1）解：如图，延长交于点G，设、交于点H， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ，，， ∴，即， ∴， 故答案为：27，135； （2）解：如图，延长交于点G，设、交于点H， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴，即， ∴； （3）根据题意，需要分三种情况： 如图1，当时， ， ∴，    如图2，当时， ， ∴， 如图3，当时， ， ∴， 如图4，当时， ， ∴， 如图5，当时， ， ∴（舍）， 如图6，当时， ， ∴， 综上所述，或或或或． 12．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）【基础巩固】（1）如图1，已知，求证：； 【尝试应用】（2）如图2，在四边形中，，点E是线段上一点．，，求的度数； 【拓展提高】（3）如图3，在四边形中，，点E是线段上一点，若平分，． ①试求出的度数； ②已知，，点G是直线上的一个动点，连接并延长． 2.1若恰好平分，当与四边形中一边所在直线垂直时，________； 2.2如图4，若是的平分线，与的延长线交于点F，与交于点P，且，则________（用含的代数式表示）．             【思路点拨】 （1）由，再结合两直线平行内错角相等即可证明； （2）过点作，交于点，再结合（1）证明计算求值即可； （3）①设，，根据两直线平行同旁内角互补可得，求得即可；②第一问根据三角形内角和，求得，由得到，进而可得，再分和所在直线垂直、和所在直线垂直于、和所在直线垂直三种情况计算求值即可；第二问利用三角形外角的性质求得，进而可得，再由计算角度差即可解答； 【解题过程】 解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）如下图过点作，交于点，    ∵，， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴； （3）①设，， ∵平分， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴； ②2.1 ：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 如图和所在直线垂直于点M时：    ， 如图和所在直线垂直于点G时：      ∵， ∴， ， 如图和所在直线垂直于点C时：        ， ∴或或； 2.2：由2.1可知，， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴． 13．（22-23七年级下·浙江金华·期末）佛堂古镇的万善浮桥，其夜晚的灯光秀美轮美轮，两岸景观照明还荣获了中国照明学会第十六届照明奖的一等奖．如图1所示，记浮桥两岸所在直线分别为，且，浮桥上装有两种不同的激光灯A和激光灯B（假设以及由A、B两点发出的光射线始终在同一平面内），灯A的光射线以2度每秒的速度从射线顺时针旋转至射线后继续回转，灯B的光射线以5度每秒的速度从射线顺时针旋转到射线后也继续回转，当打开激光灯的总开关时，激光灯A和激光灯B同时开始转动．    （1）若购买2盏灯A和4盏灯B共需10万元，购买3盏灯A和2盏灯B共需8.6万元，请问：购买灯A和灯B的单价分别是多少万元？ （2）打开总开关，当灯A的光射线第一次从射线旋转至射线的过程中，求灯A和灯B的光射线恰好互相垂直时所需要的时间． （3）如图2，打开总开关，当灯B的光射线第一次从射线旋转至射线BS的过程中，若灯A和灯B的光射线有交点（记为点O），延长至点E，作与的角平分线并交于点F，求与的数量关系． 【思路点拨】 （1）列二元一次方程组求解即可； （2）分三种情况画出图形，根据角的关系列出方程求解即可； （3）过点作，根据平行线的性质和角平分线的定义推导即可. 【解题过程】 （1）解：设买灯A和灯B的单价分别是万元和万元，根据题意，得： 解得： 答：买灯A单价是万元，买灯B的单价是万元． （2）解：设旋转时间为秒， 灯A的光射线第一次从射线顺时针旋转至射线所需的时间为：(秒)， 灯B的光射线从射线顺时针旋转到射线所需的时间为：(秒)， ①当时，灯A和灯B的光射线恰好互相垂直，如图所示：    作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 于是有：， 解得：； ②当时，灯A和灯B的光射线恰好互相垂直，如图所示：    此时，，， 于是有：， 解得：； ③当时，灯A和灯B的光射线恰好互相垂直，如图所示：    此时，， ， 于是有：， 解得：； 综上可得，当灯A的光射线第一次从射线AQ旋转至射线AP的过程中，灯A和灯B的光射线恰好互相垂直时所需要的时间为：秒，秒，秒 （3）解：与的数量关系是： 过点作，如图所示：    ∵， ∴， ∴， ∵作与的角平分线并交于点F， ∴， ∴ 即. 14．（22-23七年级下·浙江绍兴·期末）为推进“书香社区”建设，某社区计划购进一批图书．已知购买2本科技类图书和3本文学类图书需154元，购买4本科技类图书和5本文学类图书需282元． （1）科技类图书与文学类图书的单价分别是多少元？ （2）为支持“书香社区”建设，助推科技发展，商家对科技类图书推出销售优惠活动（文学类图书售价不变）：购买科技类图书超过40本但少于50本时，每本单价降低2元；不少于50本时，每本单价降低3元．社区购进两种图书共100本，总费用为3050元．则科技类图书与文学类图书各可以购买多少本？ 【思路点拨】 （1）设科技类图书的单价为元，文学类图书的单价为元，根据题中等量关系列二元一次方程组求解即可； （2）设科技类图书买了本，文学类图书买了本，根据题意分三种情况分别列二元一次方程组求解即可． 【解题过程】 （1）解：设科技类图书的单价为元，文学类图书的单价为元， 根据题意得， 解得， 答：科技类图书的单价为38元，文学类图书的单价为26元； （2）解：设科技类图书买了本，文学类图书买了本， ①购买科技类图书不超过40本，则有 ，解得， 由于不是整数，故不符合要求； ②购买科技类图书超过40本但少于50本，则有 ，解得，符合要求； ③购买科技类图书不少于50本．则有 ，解得，符合要求． 答：科技类图书买45本，文学类图书买55本或科技类图书买50本，文学类图书50本． 15．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）某儿童用品商场经销A，B两种商品，A种商品的售价为60元/件，B种商品的售价为80元/件，六一期间，该商场对A，B两种商品进行如下优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过450元 不优惠 超过450元，但不超过600元 按总售价打九折 超过600元 其中600元部分打八折优惠，超过600元部分打七折优惠 （1）若购买A商品5件，B商品3件，请问实际付款多少？ （2）若小宁一次购买A，B两种商品（每种商品至少购买一件），优惠后实际支付522元，问小宁最多能购买A，B商品共多少件？本次购物最多优惠多少元？ 【思路点拨】 （1）根据题意列式求解即可； （2）设购买A商品a件，B商品b件，根据题意分优惠前总金额不超过600元和优惠前总金额超过600元两种情况讨论，分别列出二元一次方程求解即可． 【解题过程】 （1）由题意可得， ， ∴实际付款486元； （2）设购买A商品a件，B商品b件， 当优惠前总金额不超过600元时， ∴总金额为（元）， ∴， ∴解得或 ∴或； 当优惠前总金额超过600元时， ∴设优惠前总金额为x元， ∴ ∴解得（元） ∴ ∴解得或 ∴，（元） ∴小宁最多能购买A，B商品共10件，本次购物最多优惠108元． 16．（22-23七年级下·浙江温州·期末）根据以下素材，探索解决任务． 确定什锦糖的销售量 素材1 某商店有甲，乙两种糖果，单价分别为15元/千克，20元/千克．    素材2 商店将两种糖果混合形成A型什锦糖如图所示． 小温根据个人需要，另外混合配制成B型什锦糖，每份重5千克，价格80元． 素材3 小温恰好用870元各买了若干份A，B型什锦糖． 问题解决 任务1 确定A型单价 每份什锦糖A需要多少元？ 任务2 确定B型配比 每份什锦糖B中甲，乙两种糖果的质量分别是多少千克？ 任务3 确定销售量 本次买卖中，商家卖出甲，乙糖果各多少千克？ 【思路点拨】 （1）由甲乙两种糖果的总价之和可得答案； （2）设什锦糖B中糖果甲，乙糖果质量分别为x千克，y千克，根据B型什锦糖，每份重5千克，价格80元，再列方程组即可； （3）设小温购买m份什锦糖A，n份什锦糖B，可得方程，再利用方程的正整数解可得答案． 【解题过程】 解：（1）什锦糖A价格为元． （2）设什锦糖B中糖果甲，乙糖果质量分别为x千克，y千克，由题意可列方程：，解得， ∴B中甲糖果有4千克，乙糖果有1千克． （3）设小温购买m份什锦糖A，n份什锦糖B， 可得方程， ∵m，n为整数，解得，， ∴①若A型1份，B型10份，则卖出千克甲糖果，千克乙糖果． ②若A型9份，B型3份，则卖出千克甲糖果，千克乙糖果． 17．（22-23七年级下·浙江温州·期末）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计板材裁切方案？ 素材 图中是一张学生椅，主要由靠背、座垫及铁架组成经测量，该款学生椅的靠背尺寸为，座垫尺寸为．图是靠背与座垫的尺寸示意图．      素材 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅．经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材加工制做该款式学生椅的靠背与座垫．已知该板材长为，宽为（裁切时不计损耗） 我是板材裁切师 任务一 拟定裁切方案 若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法． 方法一：裁切靠背张和座垫张． 方法二：裁切靠背______ 张和坐垫______ 张． 方法三：裁切靠背______ 张和坐垫______ 张． 任务二 确定搭配数量 若该工厂购进张该型号板材，能制作成多少张学生椅？ 任务三 解决实际问题 现需要制作张学生椅，该工厂仓库现有张座垫和张靠背，还需要购买该型号板材多少张恰好全部用完？并给出一种裁切方案． 【思路点拨】 任务一：设一张该板材裁切靠背张，坐垫张，可得：，求出非负整数解即可； 任务二：列式计算得能制作成张学生椅； 任务三：设用张板材裁切靠背张和坐垫张，用张板材裁切靠背张和坐垫张，可得：，解方程组可得答案． 【解题过程】 解：任务一： 设一张该板材裁切靠背张，坐垫张， 根据题意得：， ， ，为非负整数， 或或， 方法二：裁切靠背张和坐垫张； 方法三：裁切靠背张和坐垫张； 故答案为：，；，； 任务二： （张）， 该工厂购进张该型号板材，能制作成张学生椅； 任务三： 设用张板材裁切靠背张和坐垫张，用张板材裁切靠背张和坐垫张， 根据题意得：， 解得：， 张， 需要购买该型号板材张，用其中张板材裁切靠背张和坐垫张，用张板材裁切靠背张和坐垫张． 18．（22-23七年级下·浙江绍兴·期末）某工厂需制作如图所示的竖式与横式两种无盖纸盒（单位cm）．    情境 内容 图形 情境1 工厂仓库内现存有的正方形纸板200张，的长方形纸板400张，用库存纸板制作两种无盖纸盒．    情境2 库存纸板已用完，采购部重新采购了如图规格的纸板，甲纸板尺寸为，乙纸板尺寸为，丙纸板尺寸为．采购甲纸板有800张，乙纸板有400张，丙纸板有300张．纸板裁剪后可制作两种无盖纸盒．    情境3 某次采购订单中，甲种纸板的采购数量为500张，乙种300张，因采购单被墨水污染，导致丙种纸板的具体数字已经模糊不清，只知道百位和十位数字分别为2和4    根据以上信息，解决以下问题： （1）情境1，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存纸板用完？ （2）情境2，问能否通过做适当数量的竖式和横式无盖纸盒，使得纸板的使用率为？请通过计算说明理由． （3）情境3，若本次采购的纸板裁剪做成竖式和横式无盖纸盒，并使得纸板的使用率为，请你能帮助工厂确定丙纸板的张数． 【思路点拨】 （1）设竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个，根据题意列出方程组进行求解即可； （2）由题意可知：一张的纸板可以裁剪成两张的纸板，一张的纸板可以裁剪成一张的纸板和一张的纸板，一张的纸板可以裁剪成两张的纸板，设竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个，列出方程组进行求解即可； （3）设丙种纸板的具体数字为，竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个，根据题意，列出方程组，根据纸板的使用率为，进行求解即可． 【解题过程】 （1）解：设竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个，由图可知，制作一个竖式无盖纸盒需要的纸板4张，的纸板1张，制作一个横式无盖纸盒需要的纸板3张，的纸板2张，由题意，得： ，解得：； 答：可做40个竖式无盖纸盒，80个横式无盖纸盒； （2）能；理由如下： ∵一张的纸板可以裁剪成两张的纸板，一张的纸板可以裁剪成一张的纸板和一张的纸板，一张的纸板可以裁剪成两张的纸板， ∴三种纸板共可裁剪成的纸板的数量为张，的纸板的数量为：张； 设竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个，由题意，得： ，解得：； ∴当制作竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个时，纸板的使用率为． （3）设丙种纸板的具体数字为，竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个，由题意，得： ，解得：， ∵纸板的使用率为， ∴均为整数， ∵为中的数字， ∴或， ∴丙种纸板的数量为张或张． 19．（22-23七年级下·浙江金华·期末）阅读以下微信群聊，完成任务．       任务一：该“旅行团”有几种打车方案？哪种方案比较划算？ 任务二：小胡家的两间“亲子家庭房”共花费多少钱？ 任务三：该“旅行团”分别购买了“380”和“580”这两种票价的门票各多少张？       【思路点拨】 任务一：设5座出租车x辆，7座出租车y辆，根据题意可得，根据x、y都是非负整数可求出对应的方案，计算出每个方案的花费即可得到答案； 任务二：设精选双人房a间，亲子家庭房b间，精选双人房的价格为c元，根据房间刚好住满且精选双人房花费1600元，亲子家庭房花费3000并且亲子家庭房的房价是精选双人房的倍列出方程组求解即可； 任务三：设该“旅行团”分别购买了“380”和“580”这两种票价的门票各m张，n张，先推出朋友家6人购买的票价只能是1880元，再根据题意列出方程组求解即可． 【解题过程】 解：任务一：设5座出租车x辆，7座出租车y辆， 由题意得，， ∴， ∴， ∵x、y都是非负整数， ∴是非负整数， ∴当时，； 当时，； ∴一共有2种打车方案， 当5座出租车5辆，7座出租车1辆时，需要元， 当5座出租车2辆，7座出租车3辆时，需要元， ∵， ∴当5座出租车5辆，7座出租车1辆时比较划算； 任务二：设精选双人房a间，亲子家庭房b间，精选双人房的价格为c元， 由题意得，， 由①得： 得：，则， 把⑤代入④得，解得， 把代入⑤得， 把代入②得：，解得， ∴， ∴小胡家的两间“亲子家庭房”共花费元； 任务三：设该“旅行团”分别购买了“380”和“580”这两种票价的门票各m张，n张， ∵，， ∴该旅行团的票价一定在元到元之间， ∵， ∴朋友家6人购买的票价只能是1880元， ∴， 解得， ∴该“旅行团”分别购买了“380”和“580”这两种票价的门票各19张，7张． 20．（22-23七年级下·浙江金华·期末）东阳江是东阳的母亲河．为打造东阳江风光带，现有一段长米的河道整治任务，原计划由两个工程队先后接力完成，共用时天．已知工程队每天整治米，工程队每天整治米，根据题意，甲、乙两名同学分别列出了如下尚不完整的方程组： 甲：     乙： （1）根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数表示的意义． 甲：未知数分别表示______．     乙：未知数分别表示______． （2）补全甲、乙两名同学所列的方程组． （3）若工程队完成原计划河道整治任务后，工程队接到通知需提前天完成剩余的整治任务，问工程队现在每天需整治多少米河道？ 【思路点拨】 （1）根据题意及二元一次方程组可知表示工程队的工作时间，表示工程队工作时间，表示工程队的工作量，表示工程队的工作量； （2）根据工程队完成原计划河道整治任务可知工程队的完成的任务为米进而即可解答． 【解题过程】 （1）解：∵， ∴表示工程队的工作时间，表示工程队的工作时间， 故答案为：表示工程队的工作时间，表示工程队工作时间； ∵， ∴表示工程队的工作量，表示工程队的工作量， 故答案为：表示工程队的工作量，表示工程队的工作量； （2）解：设工程队的工作时间为天，工程队的工作时间为天， ∵原计划由两个工程队先后接力完成，共用时天，河道总长为米， ∴， 设工程队的工作量为米，工程队的工作量为米， ∵两个工程队的工作总量为米，两队的工作时间为天， ∴， （3）解：设工程队的工作时间为天，工程队的工作时间为天， ∵原计划由两个工程队先后接力完成，共用时天，河道总长为米， ∴， 解得：， ∵工程队完成原计划河道整治任务， ∴工程队的完成的任务为（米）， ∵河道整治总任务为（米） ∴剩下的任务为（米）, ∵工程队接到通知需提前天完成剩余的整治任务， ∴完成任务的时间为天， ∴工程队现在每天需整治的天数为（米）， 答：工程队现在每天需整治米河道． 21．（22-23七年级下·浙江舟山·期末）我国著名数学家曾说：数无形时少直觉，形少数时难入微，数形结合思想是解决问题的有效途径．请阅读材料完成： （1）算法赏析：若x满足，求的值． 解：设则 ∴ 请继续完成计算． （2）算法体验：若满足，求的值； （3）算法应用：如图，已知数轴上A、B、C表示的数分别是m、10、13．以AB为边作正方形ABDE，以AC为边作正方形ACFG，延长ED交FC于P．若正方形ACFG与正方形ABDE面积的和为117，求长方形AEPC的面积 【思路点拨】 （1）根据完全平方公式可得a2+b2=（a+b）2-2ab求解即可； （2）按（1）方法进行即可求解； （3）正方形ACFG的边长为13-m，面积为（13-m）2，正方形ABDE的边长为10-m，面积为（10-m）2，可得（13-m）2+（10-m）2=117，设13-m=p，10-m=q，则p2+q2=（13-m）2+（10-m）2=117，p-g=13-m-10+m=3，利用求解即可． 【解题过程】 （1）解：设则 ∴ =（a+b）2-2ab =（-4）2-2×2 =16-4 =12． （2）解：设， 则，a+b=10， ； （3）解：正方形ACFG的边长为13-m，面积为（13-m）2，正方形ABDE的边长为10-m，面积为（10-m）2，则有（13-m）2+（10-m）2=117， 设13-m=p，10-m=q，则p2+q2=（13-m）2+（10-m）2=117，p-q=13-m-10+m=3， 所以长方形AEPC的面积为： ． 22．（22-23七年级下·浙江丽水·期末）如图，，点D是线段上的一个动点，在右侧以为边作正方形；若，，连接．    （1）请用含k，m的代数式表示； （2）若，梯形的面积是三角形面积的4倍，求k的值； （3）下列三个条件：①；②；③，依次为易、中、难，对应的满分值为1分、2分、3分，选择其中一个条件，求三角形的面积（用含k的代数式表示）． 【思路点拨】 （1）观察图形，找出，和之间的数量关系，求出答案； （2）根据已知条件求出梯形的面积和的面积，然后根据梯形的面积是三角形面积的4倍，列出等式，再代入求值即可； （3）选择条件①，根据的面积梯形的面积的面积的面积，列出式子，进行计算；选择条件②，先求出，再根据条件①的思路求解；选择条件③，分两种情况、根据图形面积间的关系求解即可． 【解题过程】 （1），，， ； （2），，，四边形是正方形， ， ， ， 梯形的面积为：，的面积为，梯形的面积是三角形面积的4倍， ， 整理可得， 把代入得： ， 解得：； （3）若选择：①，由（1），， ， 解得：， ，， ，， 梯形的面积为：，的面积为：，的面积为：， 的面积梯形的面积的面积的面积， 的面积为：； 若选择：②，由（1），， ， 解得：， ，， ，， 梯形的面积为：，的面积为：，的面积为：， 的面积梯形的面积的面积的面积， 的面积为：； 若选择：③，分两种情况讨论： （i）点在的外部，由（1），， ， ∵， ∴。 解得：， ∴，，， ，， 梯形的面积为：，的面积为：，的面积为：， 的面积梯形的面积的面积的面积， 的面积为：； （ii）点在的内部， 如图所示：由（1），，    ， ，即， ∴， ， ，，， 的面积，的面积，的面积，正方形的面积， 的面积的面积的面积的面积正方形的面积， 的面积， 综上可知：当选择：①；②时，的面积为；当选择；③时，的面积为或． 23．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）【阅读理解】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小．即要比较代数式的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则． 【知识运用】 （1）请用上述方法比较下列代数式的大小（直接在空格中填写答案）：①当时，______；②若，则______； （2）试比较与的大小，并说明理由； 【拓展运用】 （3）甲、乙两班同学同时从学校沿同一路线到离学校的研学基地参加研学．甲班有一半路程以的速度行进，另一半路程以的速度行进；乙班有一半时间以的速度行进，另一半时间以的速度行进．设甲、乙两班同学从学校到研学基地所用的时间分别为，． ①试用含，，的代数式分别表示和，则______，______． ②请你判断甲、乙两班中哪一个班的同学先到达研学基地，并说明理由． 【思路点拨】 （1）根据材料提示，运用“作差法”即可求解； （2）运用“作差法”，乘法公式，不等式的性质，即可求解； （3）①根据行程问题的数量关系即可求解；②根据“作差法”，整式的混合运算法则进行计算即可． 【解题过程】 解：（1）①， ∵， ∴， ∴； ②， ∵， ∴，， ∴ ∴； （2）， 设， ∵，且， ∴恒小于零， ∴，即； 故答案为：（1）①；②；（2）． （3）路程为， ①甲班有一半路程以的速度行进，另一半路程以的速度行进， ∴， 乙班有一半时间以的速度行进，另一半时间以的速度行进， ∴，则， 故答案为：，； ②，， ∴， ∵，， ∴， ∴当时，甲、乙同时到达；当时，乙先到；当时，乙先到． 24．（22-23七年级下·浙江杭州·期末）已知多项式①，②，③． （1）把这三个多项式因式分解； （2）老师问：“三个等式；；能否同时成立？”圆圆同学说：“只有当时，三个等式能同时成立，其他x，y的值都不能使之成立．”你认为圆圆同学的说法正确吗？为什么？ 【思路点拨】 （1）分别根据提公因式法和公式法进行因式分解即可； （2）由题意列得对应的等式，然后变形后进行因式分解，再结合三个等式同时成立分情况讨论后进行判断即可． 【解题过程】 （1）解：①， ②， ③； （2）不正确，理由如下： ∵， ∴， 即， 因式分解得：， ∵， ∴， 即， 因式分解得：， ∵， ∴， 即， 因式分解得：， ∵上述三个式子同时成立， ∴或, 则或， 故圆圆同学说法不正确． 25．（22-23七年级下·浙江嘉兴·期末）已知关于的方程，其中，均为整数且． （1）若方程有增根，则，满足怎样的数量关系？ （2）若是方程的解，求的值． 【思路点拨】 （1）由分式方程有增根，得到，求出的值即为增根； （2）将代入求得，根据题意可得或或，分别带入求得的值即可． 【解题过程】 （1）解：由分式方程有增根，得到， 解得：， 将分式方程化为整式方程：， 整理得：， 将代入得：， 即若方程有增根，则． （2）解：∵是方程的解， 将代入得：， 整理得：， ∴， ∴，且 ∵，均为整数且， ∴或2或（舍去）或， 当时，即，； 当时，即，； 当时，即 当时，即，； 当时，即，； 综上，的值为或或8． 26．（22-23七年级下·浙江杭州·期末）已知（是正整数）． （1）计算：； （2）若，试判断与的数量关系，并说明理由； （3）设，且为正整数，试用等式表示之间的关系． 【思路点拨】 （1）根据异分母分式的减法，先通分，再进行计算即可； （2）根据得出，再进行化简即可； （3）将x和y的表达式代入，再进行化简，得出，根据∵为正整数，是正整数，得出或，即可得出结论． 【解题过程】 （1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵，， ∴， ， ， ， ∴； （3）解： ， ∵为正整数，是正整数， ∴或， ∴或， ∴或． 27．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）定义：任意两个数a，b，按规则运算得到一个新数c，称所得的新数c为a，b的“和积数”． （1）若，，求a，b的“和积数”c； （2）若，，求a，b的“和积数”c； （3）已知，且a，b的“和积数”，求b（用含x的式子表示）并计算的最小值． 【思路点拨】 （1）把，代入c中求值即可； （2）利用完全平方公式求出，得到的值，进而得到c的值； （3）把a，c的值代入，化简得，分和两种情况讨论，即可得出答案． 【解题过程】 （1）解：∵，， ∴， ∴a，b的“和积数”； （2）解：∵，且，， ∴, ∴． ∴或； 即或； （3）解：由题意，， ∵， ， ∴． ①若，式子变为． ∴b为任何数，不存在最小值； ②若，又， ∴， ∴， ∴ ． ∴当时，有最小值为． 28．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）杨梅是我市特产水果之一，素有“初疑一颗值千金”之美誉！某杨梅园的杨梅除了直接销售到市区外，还可以让市民去园区采摘．已知杨梅在市区和园区的销售价格分别是15元/千克和10元/千克，该杨梅园今年六月第一周一共销售了1000千克，销售收入12000元． （1）该杨梅园今年六月第一周市区和园区分别销售了多少千克杨梅？ （2）为了促销，该杨梅园决定六月第二周将市区和园区销售价格均以相同折扣进行销售，小方发现用3240元购买市区的重量比用2430元购买园区的重量少30千克，求本次活动对市区和园区进行几折销售？ （3）在（2）的促销条件下，杨梅园想第二周市区和园区杨梅的平均售价和第一周的市区和园区平均售价相等．若第二周杨梅在市区的销量为a千克，园区的销量为b千克，请直接写出a与b的数量关系． 【思路点拨】 （1）设该杨梅园今年六月第一周市区销售了x千克杨梅，园区销售了y千克杨梅，利用总价=单价数量，结合“该杨梅园今年六月第一周一共销售了1000千克，销售收入12000元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设本次活动对市区和园区进行m折销售，利用数量=总价单价，结合用3240元购买市区的重量比用2430元购买园区的重量少30千克，可列出关于m的分式方程，解之经检验后，即可得出结论； （3）根据该杨梅园想第二周市区和园区杨梅的平均售价和第一周的市区和园区平均售价相等，可列出关于a，b的二元一次方程，变形后，即可得出结论． 【解题过程】 （1）解：设该杨梅园今年六月第一周市区销售了x千克杨梅，园区销售了y千克杨梅， 根据题意得：， 解得： 答：该杨梅园今年六月第一周市区销售了400千克杨梅，园区销售了600千克杨梅； （2）设本次活动对市区和园区进行m折销售， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：本次活动对市区和园区进行9折销售； （3）根据题意得：， 答：a与b的数量关系为 29．（22-23七年级下·浙江衢州·期末）为丰富同学们的课余生活，培养同学们的创新意识和实践能力，某校七年级举办了“玩转科技、畅想未来”活动，为了表彰活动中表现优秀的同学，学校准备采购A、B两种奖品．这两种奖品在甲、乙两个商场的标价相同，A奖品的单价与B奖品单价之和为35元，买10份A奖品和20份B奖品一共需450元． （1）求A奖品和B奖品的单价分别是多少？ （2）甲、乙两商场举办让利活动：甲商场所有商品以相同折扣打折销售，乙商场买一份A奖品送一份B奖品．采购时发现在甲商场用200元买的B奖品数量比用200元买的A奖品数量的2倍还多5件． ①甲商场的商品打几折？ ②若学校准备采购m件A奖品和n件B奖品，当m，n满足什么数量关系时，在甲、乙两个商场所花费用一样． 【思路点拨】 （1）设A产品单价为x元，B产品单价为y元，根据“A奖品的单价与B奖品单价之和为35元，买10份A奖品和20份B奖品一共需450元”列出方程组求解即可； （2）①设甲商场的商品打a折，根据“在甲商场用200元买的B奖品数量比用200元买的A奖品数量的2倍还多5件”列出方程求解即可；②根据题意进行分类讨论：当时，当时，根据两个商场的活动方式，列出等式即可． 【解题过程】 （1）解：设A产品单价为x元，B产品单价为y元， ，解得：， 答：A产品单价为25元，B产品单价为10元． （2）解：①设甲商场的商品打a折， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 答：甲商场的商品打8折； ②当时， ， 整理得：； 当时， ， 整理得：； 综上：当时，；当时，． 30．（22-23七年级下·浙江绍兴·期末）如图，数轴上有A、B、C、D四点，点D对应的数为x，已知OA＝7，OB＝5，CD＝3，P、Q两点同时从原点O沿着数轴正方向以和的速度运动，且．点Q到点D后立即朝数轴的负方向运动，在C处与点P相遇，相遇后点P也立即朝着数轴的负方向运动，且P、Q两点的速度都变为原来的．当点Q返回到原点O时，点P恰好在B处． （1）当P、Q相遇时，求点P前进的路程（用含x的式子表示）； （2）求P、Q两点相遇前．（用含有x的式子表示）． （3）当Q到A处时，问点P是否已经过原点O，请说明理由． 【思路点拨】 （1）P、Q在点C相遇，则数轴上OC的长度即点P的路程．根据点的坐标确定线段的长度，OC的长度＝点C的坐标﹣点O的坐标． （2）根据速度公式，速度比＝路程比，相遇前的速度比＝相遇时的速度比＝相遇时的路程比． （3）根据点Q返回到原点O时，点P恰好在B处，根据P和Q的时间相同列出等式，找到，结合第（2）问中的结论列出方程求出x值，进而求出速度比，然后根据在C点相遇后，点Q运动到点A的路程，结合路程比求出点Q运动的路程，这个路程与CO比较，从而得出是否过点O． 【解题过程】 （1）解：∵P，Q相遇于点C， ∴P点前进的路程即的长． ∵，点D对应的数为x， ∴， ∴当P，Q相遇时，点P前进的路程为， （2）∵，P、Q两点同时从原点O沿着数轴正方向以vP和vQ的速度运动， ∴P、Q两点相遇前． （3）点P已经过原点O．理由如下： ∵点Q返回到原点O时，点P恰好在B处， ∴， ∴， 由（2）知，， ∴， 解得x＝33， 经检验x＝33是方程的解，且符合题意． 此时，OC＝33﹣3＝30． ∴VP：VQ＝30：36＝5：6， ∴CP：CQ＝5：6， ∵点Q到A处时，CQ＝37， ∴CP＝3730， 即CP＞CO， ∴点P已经过原点O． 31．（22-23七年级下·浙江绍兴·期末）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计奖品购买及兑换方案？ 素材1 某文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔的单价是笔记本的2倍，用120元购买笔记本的数量比用160元购买钢笔的数量多8件． 素材2 某学校花费400元购买该文具店的钢笔和笔记本作为奖品颁发给“优秀学生”，购买钢笔和笔记本的数量之比为． 素材3 学校花费400元后，文具店赠送张兑换券（如右）用于商品兑换．兑换后，笔记本与钢笔数量相同．    问题解决 任务1 探求商品单价 请运用适当方法，求出钢笔与笔记本的单价． 任务2 探究购买方案 探究购买钢笔和笔记本的数量． 任务3 确定兑换方式 运用数学知识，确定兑换方式． 【思路点拨】 任务1：设笔记本的单价为元，根据用120元购买笔记本的数量比用160元购买钢笔的数量多8件列出分式方程，解方程即可； 任务2：设购买钢笔为支，笔记本为本，根据总的花费为400元，购买钢笔和笔记本的数量之比为，列出方程，求出、的值即可； 任务3：由任务2可知钢笔和笔记本数量的情况进行解答即可． 【解题过程】 解：任务1：设笔记本的单价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根， 这时． 笔记本的单价为5元，钢笔的单价为10元； 任务2：设购买钢笔为支，笔记本为本， 根据题意，得：， 解得， 购买钢笔30支，笔记本20本． 任务3：当原有钢笔30支，笔记本20本时，设有张兑换券兑换钢笔， 根据题意，得， 整理得， ，且，均为正整数， 解得：或或， 文具店赠送2张兑换券时，其中1张兑换钢笔，1张兑换笔记本；文具店赠送5张兑换券时，其中3张兑换钢笔，2张兑换笔记本；文具店赠送8张兑换券时，其中5张兑换钢笔，3张兑换笔记本． 32．（22-23七年级下·浙江·期末）根据以下素材，探索完成任务 设计购买欲兑换方案 素材1 小明在同学家尝到米鸭蛋（松花粉馅的青团）非常好吃，特意打听它的价格，同学妈妈说：“具体价格我忘记了，只记得米鸭蛋的单价是咸青团单价的2倍，当时我买了米鸭蛋和咸青团两种，我用40元买米鸭蛋的数量比30元买咸青团的数量少了4个．” 素材2 小明妈妈准备花200元购买两种青团给小明和亲友吃，这两种青团的数量都不少于20个，且咸青团的数量是10的倍数． 素材3 小明妈妈按素材2中方案支付200元买青团时，获赠五一促销活动的兑换券（）张，兑换后，米鸭蛋数量与咸青团数量相同    问题解决 任务1： 探求两种青团的单价 请求出米鸭蛋和咸青团的单价 任务2： 探究购买方案 探究小明妈妈购买两种青团的所有方案 任务3 确定兑换方式 运用数学知识，确定的值，并说明小明妈妈的兑换方式 【思路点拨】 任务1：设咸青团的单价为元/个，则米鸭蛋的单价为元个，列分式方程，解方程即可求解； 任务2：设小明妈妈准备买咸青团个，米鸭蛋个，根提素材2可列方程：，再结合，都不少于20，且是10的倍数，即可作答； 任务3：根据1张兑换券可兑换1个米鸭蛋或2个咸青团，有兑换券（）张，设用其中的t张兑换个咸青团，余下的张兑换个米鸭蛋，即：，根据任务二中的购买方案，结合兑换后，米鸭蛋与咸青团个数相等，可以列出二元一次方程，再结合，，，，m、t均为正整数，即可作答． 【解题过程】 解：任务1：设咸青团的单价为元/个，则米鸭蛋的单价为元个， 根据素材1可列方程；，解得 经检验，是原方程的解， ∴（元/个） 答：米鸭蛋的单价为5元/个，咸青团的单价为2.5元/个． 任务2：设小明妈妈准备买咸青团个，米鸭蛋个， 根提素材2可列方程：， ∴， ∵，都不少于20，且是10的倍数， ∴，，． 答：小明妈妈购买两种青团的方案有三种：A方案咸青团20个，米鸭㿿30个；B方案咸青团30个，米鸭蛋25个；C方案咸青团40个，米鸭蛋20个； 任务3：根据1张兑换券可兑换1个米鸭蛋或2个咸青团，有兑换券（）张， 设用其中的t张兑换个咸青团，余下的张兑换个米鸭蛋， 即：， 结合任务2可知， 对于方案，当米鸭蛋与咸青团个数相等时， 可列方程：， 即：， ∵，，，m、t均为正整数， ∴当时，，即用5张兑换券换10个咸青团，可得咸青团与米鸭蛋个数相等； 当时，，，即用6张兑换券换12个咸青团，用2张兑换券换2个米鸭蛋，可得咸青团与米鸭蛋个数相等； 对于方案，当米鸭蛋与咸青团个数相等时， 可列方程：， 即， ∵，，，，m、t均为正整数， ∴当时，，即用5张兑换券换5个米鸭蛋，可得咸青团与米鸭蛋个数相等； 当时，，，即用1张兑换券换2个咸青团，用7张兑换券换7个米鸭蛋，可得咸青团与米鸭蛋个数相等； 对于方案，当米鸭蛋与咸青团个数相等时， 可列方程：， 即，不符合题意舍去； 综上：小明妈妈的兑换方式有四种：当总计有5张兑换券时即，用5张兑换券㛟10个咸青团或5个米鸭蛋；当总计有8张兑换券时即，用6张兑换券换12个咸青团，用2张兑换券换2个米鸭蛋，或者用1张兑换券换2个咸青团，用7张兑换券换7个米鸭蛋． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$