11.1平面内点的坐标（第1课时）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（沪科版）

八年级沪科版数学上册 第十一章平面直角坐标系 11.1 平面内点的坐标 第一课时 平面内点的坐标 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 1.理解平面直角坐标系以及横轴、纵轴、原点、坐标等概念，认识并能画出平面直角坐标系; 2. 理解各象限内及坐标轴上点的坐标特征;（重点） 3.会用象限或坐标轴说明直角坐标系内点的位置，能根据点 的位置确定横、纵坐标的符号．（难点） 学习目标 什么叫数轴？实数与数轴建立了怎样的关系？ 例如: A点记作-1,B点记作4 答：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴． 数轴上的点同实数建立了一一对应的关系． 0 1 2 3 4 -3 -2 -1 • • A B 复习引入 1.小明父子俩周末去电影院看电影，买了两张票去观看，座位号分别是5排7号和7排5号.怎样才能既快又准地找到座位？ 情景导入 (1，4)、(2，6)、(5，4)、(3，2)、(5，7) 2．以教室座位竖行为列、横行为排、，记3排4列座位为 (3，4)，则以下座位的同学分别是谁？ 请你试着找一找 3．想一想，如何表示平面内一个点的位置？ 答：可模仿教室座位的描述方法表示平面内一个点的位置． 1.平面直角坐标系中点的坐标 问题 如图是某教室学生座位的平面图，你能描述吴小明和王建同学座位的位置吗？ 讲台 6 5 4 3 2 1 （ ） 行 （列） 1 2 3 4 5 6 7 8 吴小明 王建 新知探究 思考：吴莉能根据李雷的提示从左图中找出图书馆的位置吗？ 周末李雷和吴莉约好一起去图书馆学习.李雷告诉吴莉，图书馆在中山北路西边70米，人民西路北边30米的位置. 中山南路 人民东路 中山北路 人民西路 北 西 想一想 中山南路 人民东路 中山北路 人民西路 北 西 4.如果李雷只说在“中山北路西边70米”，或只说在“人民西路北边30米”，你能找到吗？ 1.李雷是怎样描述图书馆的位置的？ 2.李雷可以省去“西边”和“北边”这几个字吗？ 3.如果李雷说图书馆在“中山北路西边、人民西路北边”，你能找到吗？ 想一想 若将中山路与人民路看着两条互相垂直的数轴，十字路口为它们的公共原点，这样就形成了一个平面直角坐标系. x y o 30 30 20 20 10 -10 -20 -30 -40 -20 -50 -10 -70 -60 -50 -40 -30 -80 （-70, 北 西 30） 人民路 中山路 概念归纳 1．平面直角坐标系概念： 水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向. 垂直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向. 两轴交点O为原点. 2．平面内一个点可以用一个有序实数对来表示． 3 1 4 2 5 -2 -4 -1 -3 O y 1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -1 x 平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴叫做平面直角坐标系； 总结归纳 x O 下面四个图形中，是平面直角坐标系的是（ ） -3 -2 -1 1 2 3 3 2 1 -1 -2 -3 y x x y （A） 3 2 1 -1 -2 -3 x y （B） 2 1 -1 -2 O -3 -2 -1 1 2 3 3 2 1 -1 -2 -3 （C） O -3 -2 -1 1 2 3 3 2 1 -1 -2 -3 y （D） O D 练一练 这样P点的横坐标是-2，纵坐标是3，规定把横坐标写在前，纵坐标在后，记作：P(-2，3) P(-2，3)就叫做点P在平面直角坐标系中的坐标，简称点P的坐标. -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 x y 思考：如图点P如何表示呢？ 后由P点向y轴画垂线，垂足N在y轴上的坐标是3. 称为P点的纵坐标. 先由P点向x轴画垂线，垂足M在x轴上的坐标是是-2；称为P点的横坐标. P N M 1 1 -1 -2 -3 -4 2 3 2 3 4 5 4 -1 -2 -3 -4 -5 0 Ａ （４，2） x y 1. 找出点Ａ的坐标. (1)过点Ａ作x轴的垂线，垂足在x轴上对应的数是４； (2)过点Ａ作y轴的垂线，垂足在y轴上对应的数是2； 点Ａ的坐标为（４，2） 练一练 3 1 4 2 5 -2 -1 -3 0 1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -1 x y · B · A · D · C 2.在直角坐标系中描下列各点： A（4，3）， B（-2，3）， C（-4，-1）， D（2，-2）. 练一练 16 x O 1 2 3 -1 -2 -3 1 2 -1 -2 -3 y 3. 在平面直角坐标系中找点A(1,-2) 由坐标找点的方法： (1)先找到表示横坐标与纵坐标的点； (2)然后过这两点分别作x轴与y轴的垂线； (3)垂线的交点就是该坐标对应的点. A 练一练 活动1: 观察坐标系,填写各象限内的点的坐标的特征： 点的位置 横坐标的符号 纵坐标的 符号 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 + + + - - - + - A y O x -1 -2 -3 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 1 2 3 4 5 -4 B C D E 交流:不看平面直角坐标系,你能迅速说出A(4,5) , B(-2,3), C(-4,-1), D(2.5,-2), E(0,-4)所在的象限吗？你的方法又是什么？ 2.平面直角坐标系中坐标的特征 新知探究 点的位置 横坐标的符号 纵坐标的 符号 在x轴的正半轴上 在x轴的负半轴上 在y轴的正半轴上 在y轴的负半轴上 0 + + - - 0 0 0 交流：不看平面直角坐标系,你能迅速说出(-5,0),(0,-5),(3,0), (0,3),(0,0)所在的位置吗？你的方法又是什么？ A y O x -1 -2 -3 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 1 2 3 4 5 -4 B C E 活动2.观察坐标系,填写坐标轴上的点的坐标的特征： 1.把图中A，B，C，D，E，F各点对应的坐标填入下表： 点 横坐标 纵坐标 坐标 A 4 2 （4,2） B C D E F 2 4 （2,4） -3 -2 （-3,-2） 3 -3 （3,-3） -3 0 （-3,0） 0 1 （0,1） 点A的坐标是（4,2），记作A（4,2）.点B的坐标是（2,4），可见（4,2）与（2,4）表示的两个点是不同的. 表示平面上点的坐标是一个有序实数对. x -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 y 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 • • • • • • A B C D E F O 课本例题 问题.坐标平面内的点与有序数对(坐标)是什么关系? 类似数轴上的点与实数是一一对应的.我们可以得出： ①对于坐标平面内任意一点M,都有唯一的一对有序实数(x,y) (即点M的坐标）和它对应； ②反过来，对于任意一对有序实数(x,y),在坐标平面内都有唯一的一点M(即坐标为(x,y)的点）和它对应. 也就是说，坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的. 概念归纳 x -4 -2 2 4 y 4 2 -2 -4 • A • C • B • E • D O • F 2.在平面直角坐标系中，描出下列各点： A（3,4），B（3，-2）， C（-1，-4），D（-2,2）， E（2,0），F（0，-3）. 解：如图所示 课本例题 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 O x y 第一象限 （+,+） 第二象限 （-,+） 第三象限 （-,-） 第四象限 （+,-） x轴和y轴把坐标平面分成四个部分，分别叫做第一、二、三、四象限. 坐标轴上的点，也就是x轴、y轴上的点不属于任何一个象限. 概念归纳 A（-4，2） B（2，-2） C（0，2） D（-5，0） E（2，8） F（0，0） G（3，0） H（-5，-3） I（0，-9） 1.请你根据下列各点的坐标判定它们分别在第几象限或在什么坐标轴上？ 第二象限 第四象限 y轴 x轴 第一象限 原点 x轴 第三象限 y轴 练一练 2.已在平面直角坐标系中，点T(n，n－2)在第一象限内，则n的取值范围是________． 解析：根据第一象限内点的坐标的符号特征，横坐标为正，纵坐标为正，可得关于n的一元一次不等式组 解得n＞2. n＞2 【方法总结】求点的坐标中字母的取值范围的方法：根据各个象限内点的坐标的符号特征，列出关于字母的不等式或不等式组，解不等式或不等式组即可求出相应字母的取值范围． 练一练 3.设点X(a，b)为平面直角坐标系内的点． (1)当m>0，n<0时，点X位于第几象限？ (2)当mn>0时，点X位于第几象限？ (3)当m为任意有理数，且n<0时，点X位于第几象限？ 解：(1)点X在第四象限； (2)可能在第一象限(m>0，n>0)或者在第三象限(m<0，n<0)； (3)可能在第三象限(m<0，n<0)或者第四象限(m>0，n<0)或者y轴负半轴上(m=0，n<0)． 练一练 4.点A(n＋3，n＋1)在x轴上，则A点的坐标为(　　) A.(0，-4) B.(2，0) C.(2，0) D.(0，－4) 【解析】点A(n＋3，n＋1)在x轴上，根据x轴上点的坐标特征知n＋1＝0，求出n的值代入m＋3中即可． B 【方法总结】坐标轴上的点的坐标特点：x轴上的点的纵坐标为0，y轴上的点的横坐标为0.根据点所在坐标轴确定字母取值，进而求出点的坐标． 练一练 5. 已知点Q到x轴的距离为2，到y轴的距离为1.如果过点Q作两坐标轴的垂线，垂足分别在x轴的正半轴上和y轴的负半轴上，那么点Q的坐标是(　　) A.(2，－1) B.(1，－2) C.(－2，－1) D.(1，2) 解析：由点Q到x轴的距离为2，可知点Q的纵坐标的绝对值为2，又因为垂足在y轴的负半轴上，则纵坐标为－2；由点Q到y轴的距离为1，可知点Q的横坐标的绝对值为1，又因为垂足在x轴的正半轴上，则横坐标为1.故点Q的坐标是(1，－2)． B 练一练 本题的易错点有三处： ①混淆距离与坐标之间的区别； ②不知道与“点P到x轴的距离”对应的是纵坐标，与“点P到y轴的距离”对应的是横坐标； ③忽略坐标的符号出现错解．若本例题只已知距离而无附加条件，则点P的坐标有四个． 概念归纳 课本练习 解：描点略； A（-5，-3）在第三象限，B（4，-6）在第四象限，C（0，-1）在y轴上，D（-5，3）在第二象限， E（3.5，0）在x轴上，F（-3.5，0）在x轴上. 1.在平面直角坐标系中描出下列各点，并指出它们分别在哪个象限或哪条坐标轴上： A（-5，-3），B（4，-6），C（0，-1），D（-5，3），E（3.5，0），F（-3.5，0）. 课本练习 2.已知王东同学家在学校东 100 m、北 150 m 处，赵西同学的家在学校西200 m、南50m处.如图，把学校所在地取作原点，建立平面直角坐标系，试在坐标系中画出王东、赵西同学家的位置并用坐标表示它们（每一单位长度代表50 m）. 解：王东、赵西同学家的位置如图 11-1 所示，王东同学家和赵西同学家的位置用坐标表示分别为（2，3），（-4，-1）. 横坐标符号 纵坐标符号 第一象限 ＋ ＋ 第二象限 － ＋ 第三象限 － － 第四象限 ＋ － 在x 轴上 在正半轴上 ＋ 0 在负半轴上 － 0 在y 轴上 在正半轴上 0 ＋ 在负半轴上 0 － 原点 0 0 点的位置 符号 坐标 课本练习 3.填空 重合 x轴或横轴 正方向 y轴或纵轴 正方向 原点 C 分层练习-基础 横坐标 纵坐标 (a，b) (－2,3) 4 3 分层练习-基础 四 (＋，＋) (－，＋) (－，－) (＋，－) 不属于 一一对应 分层练习-基础 A 一 三 三 x 分层练习-基础 D C 分层练习-巩固 B 第二象限 (－5，－3) (0,5) (2，－5) 分层练习-巩固 (D,6) 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-拓展 课堂反馈 m<0 坐标轴上 一三象限上 二四象限上 课堂反馈 （5，3）；（5，-3）；（-5,3）（-5，-3） 定 义 原点、坐标轴 点的坐标 定义与符号特征 点的坐标的确定 平面直角坐标系及点的坐标 课堂小结 知识点一：平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直并且原点 的数轴，水平的数轴叫做 ，取向右为 ；垂直的数轴叫做 ，取向上为 ；两轴交点O为 ．这样就建立了平面直角坐标系． 1．下列平面直角坐标系中，画法正确的是(　　) 知识点二：平面内点的坐标 在平面直角坐标系内有一点P，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点M、N，点M对应的实数为a，点N对应的实数为b，则a叫做点P的 ，b叫做点P的 ，点P的坐标记作 ． 2．(柳州中考)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是 ． 3．点A(3，－4)到x轴的距离是 ，到y轴的距离是 . 知识点三：平面直角坐标内点的坐标特征 x轴和y轴把坐标轴平面分成 个部分，分别叫做第一、二、三、四象限，各象限内的点的坐标符号分别为 、 、 、 ．坐标轴上的点 任何象限．坐标平面内的点与有序实数对是 的关系． 4．如图，下列各点在阴影区域内的是(　　) A．(3,2)　　　B．(－3,2)　　　C．(3，－2)　　　D．(－3，－2) 5．点C(3,2)在第 象限，点D(－3，－2)在第 象限，点E(0,2)在 轴上，点F(2,0)在 轴上． 6．(攀枝花中考)若点A(a＋1，b－2)在第二象限，则点B(－a,1－b)在(　　) A．第一象限　　　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．如图，若在象棋盘上建立直角坐标系，使“帅”位于点(－1，－2)，“马”位于点(2，－2)，则“兵”位于点(　　) A．(－1,1) B．(－2,1) C．(－3,1) D．(1，－2) 8．已知点A(1,2)，AC⊥x轴于点C，则点C的坐标为(　　) A．(2,0) B．(1,0) C．(0,2) D．(0,1) 9．在平面直角坐标系中，点P(－2，x2＋1)所在的象限是 ． 10．第三象限内的点P(x，y)满足|x|＝5，y2＝9，则P的坐标是 ． 11．若点P(m－3，m＋2)在y轴上，则点P的坐标为 ． 12．若点M在第四象限内，且点M到x轴的距离为5，到y轴的距离为2，则点M的坐标为 ． 13．如图，围棋盘的左下角呈现的是一局围棋比赛中的几手棋．为记录棋谱方便，纵线用英文字母表示，横线用数字表示．这样黑棋①的位置可记为(C,4)，白棋②的位置可记为(E,3)，则白棋⑨的位置应记为 ． 14．如图所示，若点A的位置记为(0,0)，点B的位置记为(1,1)． (1)试确定点C的位置； (2)若点A的位置记为(－1，－1)，点B的位置记为(0,0)，试确定点C的位置． 解：(1)(5,2)；　(2)(4,1)． 15．在平面直角坐标系中，已知点P(1－3m，m－4)在第三象限，且m为整数，求m的值． 解：由题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－3m＜0,m－4＜0))，解得eq \f(1,3)＜m＜4.∵m为整数，∴m＝1或2或3. 16．如果点P(3m－2,3－m)到x轴的距离与它到y轴的距离相等，求m的值． 解：由题意知：|3m－2|＝|3－m|.所以3m－2＝±(3－m)．当3m－2＝3－m时，m＝eq \f(5,4).当3m－2＝－(3－m)时，m＝－eq \f(1,2). 所以m＝eq \f(5,4)或－eq \f(1,2). 点的坐标特征． 【例1】(1)若P(m,2－m)是第二象限内的点，则m必须满足条件________； (2)已知点Q(x，y)：①若xy＝0，则点Q在________；②若xy＞0，则点Q在________；③若xy＜0，则点Q在________； (3)已知点M(3－a,3a)在第二、四象限的夹角平分线上，则a＝________. 【思路分析】(1)∵P(m,2－m)在第二象限，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＜0,2－m＞0))，∴m＜0，故应填m＜0；(2)①∵xy＝0，∴x＝0或y＝0.当x＝0时，点Q的坐标为(0，y)，在y轴上；当y＝0时，点Q的坐标为(x,0)，在x轴上；综上所述，点Q在坐标轴上；②∵xy＞0，∴x、y两数同号，∴点Q在第一象限或第三象限；③∵xy＜0，∴x、y两数异号，∴点Q在第二象限或第四象限；(3)依题意得3－a＋3a＝0，∴a＝－eq \f(3,2). 【方法归纳】抓住各象限内的点、坐标轴上的点及各象限夹角平分线上的点的坐标特征来思考． 点的坐标与点到坐标轴的距离． 【例2】已知点P(m，n)到x轴的距离为3，到y轴的距离等于5，则点P的坐标是________． 【思路分析】点的坐标与点到坐标轴的距离不同，P(m，n)到x轴的距离为3，则|n|＝3，所以n＝3或n＝－3；到y轴的距离等于5，则|m|＝5，即m＝5或m＝－5，这样的P点应有四个．故应填(5,3)、(5，－3)、(－5,3)、(－5，－3)． $$