1.2.2 直线的两点式方程（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（苏教版2019选择性必修第一册）

苏教版2019高二数学（选修一）第一章 直线与方程 1.2.2 直线的两点式方程 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂小结 分层练习 错因分析 学习目标 1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直 线的两点式方程. 2.了解直线的截距式方程的形式特征及适用范围． 1、直线的点斜式方程 2、直线的斜截式方程 3、直线的点斜式方程和斜截式方程之间的关系 斜截式是点斜式的特殊情况，两者均不能表示斜率不存在即与x轴垂直的直线。 复习回顾 情景导入 生活中“两点确定一条直线”的例子随处可见，比如我们在植树时，只要定出两个树坑的位置就能够确定同一行的树坑所在的直线．那么在直角坐标系内，已知直线上两点，如何求直线的方程呢？ 直线的两点式方程 问题1：若直线1经过点A（1，2），B（2，1），求直线1的方程。 问题2：已知直线上两点,（其中， ），如何求出通过这两点的直线方程呢？ 解：直线的斜率为 由直线的点斜式方程， 得 当时，方程可以写成 (3)方程 能表示平面内任意一条直线。 1、直线的两点式方程 新知探究 方程（， ）由直线上两点确定，把这个方程叫做直线的两点式方程，简称两点式（Two point form）。 说明：（1）这个方程由直线上两点确定； （2）当直线没有斜率或斜率为0时，不能用两点式求出它们的方程。 即：直线的两点式方程不能表示与坐标轴（x轴与y轴）平行的直线； 课本例3　已知直线l经过两点A(a,0)，B(0，b)(如图)，其中a≠0，b≠0，求直线l的方程． 解　直线 l 经过两点A(a,0)，B(0，b)，其中a≠0，b≠0，由直线的两点式方程，得直线l的方程为＝， 即＝1. 例1　(1)过(1,2)，(5,3)两点的直线方程是(　　) (2)在平面直角坐标系中，已知直线l经过(－1,0)，(1,4)两点，则直线l的两点式方程是______________． 答案　(1)B　(2) 典例剖析 解析　(1)直线过(1,2)，(5,3)两点， 所以由两点式得直线的方程为. (2)根据两点式方程可得. 利用两点式求直线的方程 (1)首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程． (2)在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程． 概念归纳 (1)过点A(－2,1)，B(3，－3)的直线方程为____________． 答案　4x＋5y＋3＝0 解析　因为直线过点(－2,1)和(3，－3)， 所以，即， 化简得4x＋5y＋3＝0. 练一练 练一练 (2)已知直线经过点A(1,0)，B(m,1)，求这条直线的方程． 解　由直线经过点A(1,0)，B(m,1)，因此该直线斜率不可能为零，但有可能不存在． ①当直线斜率不存在，即m＝1时，直线方程为x＝1； ②当直线斜率存在，即m≠1时，利用两点式，可得直线方程为，即x－(m－1)y－1＝0. 综上可得，当m＝1时，直线方程为x＝1； 当m≠1时，直线方程为x－(m－1)y－1＝0.   2、直线的截距式方程 新知探究 方程由直线在两坐标轴（即x轴与y轴）上的截距确定，把这个方程叫做直线的截距式方程，简称截距式（Two intercept form） 是直线与x轴交点的横坐标，称为直线在x轴上的截距（横截距）； 是直线与y轴交点的纵坐标，称为直线在y轴上的截距（纵截距）。 注意：直线的截距式方程不能表示与坐标轴（x轴与y轴）平行或经过原点的直线。 课本例4　已知三角形的顶点是A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)(如图)， 分别求这个三角形三边所在直线的方程． 解　直线AB过A(－5,0)，B(3，－3)两点，由直线的两点式方程，得， 即3x＋8y＋15＝0， 这就是直线AB的方程． 直线BC在y轴上的截距为2，斜率是k＝ ， 由直线的斜截式方程，得y＝－ x＋2， 即5x＋3y－6＝0， 这就是直线BC的方程． 直线AC在x轴、y轴上的截距分别是－5,2，由直线的截距式方程，得＝1， 即2x－5y＋10＝0， 这就是直线AC的方程. 方程 适用范围 点斜式 不垂直于x轴的直线 斜截式 不垂直于x轴的直线 两点式 不垂直于坐标轴的直线 截距式 不垂直于坐标轴且不经过原点的直线 ★四种直线方程及其适用范围★ 概念归纳 下列四个命题中正确的是( ) (A)经过定点P0 (x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0) 表示； (B)经过任意两个不同点P1 (x1，y1)、 P2 (x2，y2)的直线都可 以用方程(y－y1)(x2－x1) ＝ (x－x1)(y2－y1)表示； (C)不经过原点的直线都可以用方程 表示； (D)经过定点的直线都可以用方程y＝kx＋b表示。 B 练一练 典例剖析 例2　求过点A(3,4)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程． 解　(1)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，可设直线l的方程为＝1.又 l 过点A(3,4)，所以，解得a＝－1. 所以直线l的方程为， 即x－y＋1＝0. (2)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且为0时，即直线l过原点时，设直线l的方程为y＝kx，因为l过点(3,4)，所以4＝k·3，解得k＝，所以直线l的方程为y＝ x，即4x－3y＝0. 综上，直线l的方程为x－y＋1＝0或4x－3y＝0. 1．若将点A的坐标改为“A(－3，－4)”，其他条件不变，又如何求解？ 解　(1)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时， 设直线l的方程为＝1 ， 又l 过点A(－3，－4)， 所以， 解得a＝1. 所以直线l的方程为，即x－y－1＝0. (2)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且为0时，即直线l过原点时，设直线l的方程为y＝kx，由于l过点(－3，－4)， 所以－4＝k·(－3)，解得k＝ . 所以直线l的方程为y＝ x，即4x－3y＝0. 综上，直线l的方程为x－y－1＝0或4x－3y＝0. 2．若将本例中“截距互为相反数”改为“截距相等”呢？ 解　(1)当截距不为0时，设直线l的方程为＝1 ， 又l过点(3,4)，所以，解得a＝7， 所以直线l的方程为x＋y－7＝0. (2)当截距为0时，设直线l的方程为y＝kx， 又l过点(3,4)，所以4＝k·3，解得k＝ ， 所以直线l的方程为y＝ x，即4x－3y＝0. 综上，直线l的方程为x＋y－7＝0或4x－3y＝0. 截距式方程应用的注意事项 (1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式方程，用待定系数法确定其系数即可． (2)选用截距式方程时，必须首先考虑直线是否过原点以及是否与两坐标轴垂直． (3)要注意截距式方程的逆向应用． 概念归纳 直线l过点P ，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点．当△AOB的周长为12时，求直线l的方程． 解　设直线l的方程为＝1 (a>0，b>0)， 由题意知，a＋b＋ ＝12. 所以＝12－a－b. 两边平方整理得ab－12(a＋b)＋72＝0.① 又因为直线l过点P . 所以，整理得3ab＝6a＋4b.② 由①②，得或 所以直线l的方程为3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0. 练一练 例3　在平面直角坐标系中，过点P(3,1)作直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A，B. (1)若，求直线l的截距式方程； (2)求当取得最小值时直线l的方程． 典例剖析 解　设A(a,0)，B(0，b)，其中a>0，b>0. (1)∵ ， ∴(3－a,1)＝ (－3，b－1)， 即解得 ∴直线l的截距式方程为＝1. (2)∵A，P，B三点共线， ∴ ， 整理得＝1， ∴ ＝(3－a,1)·(－3，b－1)＝3a＋b－10＝(3a＋b) －10＝ ≥2 ＝6，当且仅当，即a＝b＝4时，等号成立． ∴当取得最小值时，直线l的方程为＝1，即x＋y－4＝0. 直线方程的选择技巧 (1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率． (2)若已知直线的斜率，一般选用直线的斜截式，再由其他条件确定直线的一个点或者截距． (3)若已知两点坐标，一般选用直线的两点式方程，若两点是与坐标轴的交点，就用截距式方程． (4)不论选用怎样的直线方程，都要注意各自方程的限制条件，对特殊情况下的直线要单独讨论解决． 概念归纳 一束光线从点A(3,2)发出，经x轴反射，通过点B(－1,6)，分别求入射光线和反射光线所在直线的方程． 解　易知点A(3,2)关于x轴的对称点为A′(3，－2)．由已知可得反射光线所在直线为直线A′B，其方程为，即2x＋y－4＝0. 点B(－1,6)关于x轴的对称点为B′(－1，－6)．由已知可得入射光线所在直线为直线AB′，其方程为，即2x－y－4＝0. 故入射光线所在直线的方程为2x－y－4＝0，反射光线所在直线的方程为2x＋y－4＝0. 练一练 随堂练 1．在x轴、y轴上的截距分别是－3,4的直线方程是(　　) 答案　A 2．已知直线l的两点式方程，则直线l的斜率为(　　) 答案　A 解析　由两点式方程， 知直线l过点(－5,0)，(3，－3)， 所以直线l的斜率为＝－ . 3．过点P(1,2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线方程为________________________． 答案　2x－y＝0或x－y＋1＝0 解析　当直线过原点时，得直线方程为2x－y＝0； 当在坐标轴上的截距不为零时， 可设直线方程为＝1 ， 将点P(1,2)代入方程可得a＝－1， 得直线方程为x－y＋1＝0. ∴直线方程为2x－y＝0或x－y＋1＝0. 4．过(－1，－1)和(1,3)两点的直线在x轴上的截距为________，在y轴上的截距为________． 答案　- 1 解析　由已知得直线的方程为 ， 化简得2x－y＋1＝0， 令x＝0，得y＝1；令y＝0，得x＝ -， 故直线在x轴、y轴上的截距分别为-，1. 分层练习-基础 分层练习-基础 答案　A 分层练习-基础 分层练习-基础 分层练习-基础 分层练习-基础 分层练习-基础 分层练习-基础 答案　D 分层练习-基础 分层练习-基础 答案　2023 分层练习-基础 分层练习-基础 分层练习-巩固 答案　AC 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 答案　x＋2y－6＝0 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-拓展 答案　3 分层练习-拓展 方程 适用范围 点斜式 不垂直于x轴的直线 斜截式 不垂直于x轴的直线 两点式 不垂直于坐标轴的直线 截距式 不垂直于坐标轴且不经过原点的直线 ★四种直线方程及其适用范围★ 课堂小结 1．过(－2,1)，(1,4)两点的直线方程为(　　) A．y＝x＋3 B．y＝－x＋1 C．y＝x＋2 D．y＝－x－2 答案　A 解析　由直线的两点式得直线方程为＝， 整理得y＝x＋3. 2．已知直线l：ax＋y－2＝0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a的值是(　　) A．1 B．－1 C．－2或－1 D．－2或1 解析　显然a≠0. 把直线l：ax＋y－2＝0化为 ＋＝1. ∵直线l：ax＋y－2＝0在x轴和y轴上的截距相等， ∴＝2，解得a＝1. 答案　C 解析　因为直线在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且经过第一、二、三象限，故a<0，b>0. 3．若直线＋＝1过第一、二、三象限，则(　　) A．a>0，b>0 B．a>0，b<0 C．a<0，b>0 D．a<0，b<0 答案　D 解析　由两点式得直线方程为＝，即x＋5y－27＝0，令y＝0，得x＝27. 4．经过点A(2,5)，B(－3,6)的直线在x轴上的截距为(　　) A．2 B．－3 C．－27 D．27 【答案】D 5．下列说法正确的是(　　) A．经过点P0(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示 B．经过点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示 C．不经过原点的直线都可以用方程＋＝1表示 D．经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示 解析　选项A不正确，当直线的斜率不存在时，经过点P0(x0，y0)的直线不可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示； 选项B不正确，当直线的斜率不存在时，经过点A(0，b)的直线不可以用方程y＝kx＋b表示； 选项C不正确，当直线与x轴平行或者与y轴平行时，虽然不经过原点但不可以用方程＋＝1表示； 选项D正确，斜率有可能不存在，截距也有可能为0，但都能用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示． 6．经过点P(－1,2)并且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有(　　) A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 解析　当直线l经过原点时，直线方程为y＝－2x. 当直线l不经过原点时，设直线方程为＋＝1， 把点P(－1,2)代入可得＋＝1， 当a＝b时，＋＝1， 解得a＝1，b＝1，可得方程为x＋y＝1. 当a＝－b时，－＝1， 解得a＝－3，b＝3，可得方程为y－x＝3. 综上，满足条件的直线有3条． 解析　直线l的方程为＝，即2x－y＋1＝0，因为点(1 011，b)在直线l上，所以2×1 011－b＋1＝0，解得b＝2 023. 7．如果直线l过(－1，－1)，(2,5)两点，且点(1 011，b)在直线l上，那么b的值为________． 答案　＋y＝1或＋＝1 8．若直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，且过定点A(6，－2)，则直线l的方程为________________________________________________________________________． 解析　设直线l在y轴上的截距为a(a≠0)， 则在x轴上的截距为a＋1(a≠－1)， 则直线l的方程为＋＝1， 代入点A(6，－2)得－＝1， 即a2－3a＋2＝0，解得a＝2或a＝1， ∴直线l的方程为＋y＝1或＋＝1. 9．(多选)过点A(4,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为(　　) A．x＋y＝5 B．x－y＝5 C．x－4y＝0 D．x＋4y＝0 解析　当直线过原点(0,0)时，直线方程为y＝x， 即x－4y＝0； 当直线不过原点(0,0)时，可设直线方程为＋＝1. 把点(4,1)代入，解得a＝5， 所以直线方程为x＋y＝5. 综上可知，直线方程为x＋y＝5或x－4y＝0. 答案　D 解析　由A(2,8)，C(6,0)，得AC的中点坐标为D(4,4)，则过点B将△ABC的面积平分的直线过点D(4,4)，则所求直线方程为＝， 即x－2y＋4＝0. 10．已知△ABC的三个顶点分别为A(2,8)，B(－4,0)，C(6，0)，则过点B将△ABC的面积平分的直线方程为(　　) A．2x－y＋4＝0 B．x＋2y＋4＝0 C．2x＋y－4＝0 D．x－2y＋4＝0 答案　B 解析　易知直线－＝1的斜率为，直线－＝1的斜率为，于是两直线的倾斜角同为锐角或者同为钝角，且斜率的绝对值一个大于1，一个小于1，检验4个选项，知只有B选项满足． 11．直线－＝1与－＝1(m≠n)在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　　) 12．过点P(4,1)作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于A，B两点，O为坐标原点，当OA＋OB取最小值时，直线l的方程为____________________． 解析　设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)． 由点P在直线l上，得＋＝1， ∴OA＋OB＝a＋b＝(a＋b) ＝5＋＋≥5＋2＝9. 当且仅当＝，即a＝6，b＝3时取“＝”． ∴直线l的方程为＋＝1，即x＋2y－6＝0. 13．已知A(3,0)，B(0,4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是________． 解析　直线AB的方程为＋＝1， 则x＝3－y， ∴xy＝3y－y2＝(－y2＋4y) ＝[－(y－2)2＋4]≤3. 即当点P的坐标为时，xy取得最大值3. 解　设A(a,0)，B(0，b)，且a>0，b>0， 则直线l的方程为＋＝1， 又直线l经过点M(2,1)，所以＋＝1， 根据题意，易知点M在线段AB上， 所以＝(a－2，－1)，＝(－2，b－1)， ||·||＝－·＝2(a－2)＋b－1＝2a＋b－5 ＝(2a＋b)－5＝＋≥2＝4， 当且仅当a＝b＝3时取等号， 此时直线l的方程为x＋y－3＝0. 14．已知直线l过点M(2,1)，且与x轴、y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点，求当||·||取得最小值时直线l的方程． $$