专题01 平行线四种常见模型解题技巧【暑假自学课】-2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（人教版）

专题01 平行线四种常见模型解题技巧 题型一：“猪蹄”模型 题型二：“铅笔”模型 题型三：“鸡翅”模型 题型四：“骨折”模型 模型一：“猪蹄”模型 如图，若 AB // CD，你能确定∠B、∠D与∠BED 的大小关系吗？ 解：∠B＋∠D＝∠DEB． 理由如下： 过点E 作 EF // AB 又 ∵ AB//CD．  ∴ EF//CD．  ∴ ∠D =∠DEF．∠B=∠BEF． ∴∠B＋∠D＝∠BEF＋∠DEF＝∠DEB  即∠B＋∠D＝∠DEB． 猪蹄模型的基本特征：一组平行线，中间有一个点，分别与平行线上的点构成“猪蹄”。 如图，已知AB∥CD，求∠E、∠B、∠D之间的数量关系． 思路1：过拐点作平行线过点E作EF∥AB，∴∠B=∠BEF，又∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠D=∠DEF，∴∠E=∠BEF+∠DEF=∠B+∠D．∴∠E=∠B+∠D． 思路2：延长BE交CD于点F∵AB∥CD，∴∠B=∠BFD，∴∠D+∠BFD=∠BED，∴∠B+∠D=∠E． 小结 证明的方法还有很多，同学们可以多多尝试。重点在于构造平行线的三线八角，就可以得到经典结论：猪蹄模型顶点在同一侧的角之和等于顶点在另一侧的角之和。 猪蹄模型（又名燕尾模型、M字模型） 结论：∠B+∠D=∠E 步骤总结 步骤一：过猪蹄（拐点）作平行线 步骤二：借助平行线的性质找相等或互补的角 步骤三：推导出角的数量关系 模型二、“铅笔”模型 如图，AB // CD，探索∠B、∠D与∠DEB的大小关系 ？ 解：∠B＋∠D＋∠DEB＝360°． 理由如下： 过点E 作 EF // AB．   又 ∵AB//CD．   ∴EF//CD．  ∴ ∠B+∠BEF＝180°．      ∠D+∠DEF＝180°． ∴ ∠B＋∠D+∠DEB ＝∠B＋∠D+∠BEF＋∠DEF ＝360°．  即∠B＋∠D＋∠DEB＝360°． 从猪蹄模型可以看出，点E是凹进去了，如果点E是凸出来，如下图： 那么，像这样的模型，我们就称为铅笔头模型。 模型结论：∠B+∠E+∠D=360° 二、模型证明 如图，若AB//CD，求证：∠B+∠E+∠D=360° 证明一：如图，过点E作FG//AB ∵ AB//FG，AB//CD ∴ FG//CD ∵ AB//FG ∴ ∠BEF+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补） ∵ FG//CD ∴ ∠D+∠DEF=180°（两直线平行，同旁内角互补） ∴ ∠BEF+∠B+∠D+∠DEF=360° ∴ ∠B+∠D+∠BED=360° 证明二：如图，连接BD， ∵ AB//CD ∴ ∠ABD+∠BDC=180° 在△BDE中，∠DBE+∠E+∠EDB=180° ∴ ∠DBE+∠E+∠EDB+∠ABD+∠BDC=360° ∴ ∠ABD+∠DBE+∠E+∠EDB+∠BDC=360° ∴ ∠ABE+∠E+∠CDE=360° 证明该模型结论的还有其他方法，这里就没有全部写出来，可以自行证明。从前面学过的猪蹄模型和这里的铅笔头模型我们都能看出，最简单的方法就是过点E作平行线，利用平行线的性质得到结论。 三、猪蹄模型和铅笔头模型关系 1、将猪蹄模型转化为铅笔头模型 ABEDC为猪蹄模型，FBEDG为铅笔头模型由猪蹄模型可得，∠ABE+∠CDE=∠BED ∵ ∠ABE+∠FBE=180°，∠CDE+∠GDE=180° ∴ ∠ABE=180°-∠FBE，∠CDE=180°-∠GDE∴ 180°-∠FBE+180°-∠GDE=∠BED ∴ ∠FBE+∠GDE+∠BED=360° 2、将铅笔头模型转化为猪蹄模型 ABEDC为铅笔头模型，FBEDG为猪蹄模型由铅笔头模型得， ∠ABE+∠BED+∠CDE=360° ∵ ∠ABE+∠FBE=180°，∠CDE+∠GDE=180° ∴ ∠ABE=180°-∠FBE，∠CDE=180°-∠GDE ∴ 180°-∠FBE+∠BED+180°-∠GDE=360° ∴ ∠FBE+∠GDE=∠BED 模型三、“鸡翅”模型 如图，已知AB//CD，试猜想∠A、∠E、∠C 的关系，并说明理由． 解：∠AEC=∠A-∠C, 理由如下： 过点E 作 EF // AB 又 ∵AB//CD．  ∴EF//CD． ∴∠A+∠FEA=180°， ∠C+∠FEC=180° ∴ ∠AEC＝ ∠FEC- ∠FEA= 180°- ∠C –(180°-∠A)=∠A-∠C 即：∠AEC=∠A-∠C 模型四、“骨折模型” 如图，已知BC//DE，试猜想∠A、∠B、∠D 的关系，并说明理由． 解：∠BAD=∠D-∠B , 理由如下： 过点A 作 AG // BC 又 ∵CB//DE．  ∴AG//DE ∴∠GAB+∠B=180°，   ∠GAD+∠D=180° ∴ ∠BAD＝ ∠GAB- ∠GAD=180°-∠B–(180°-∠D)=∠D-∠B 即：∠BAD=∠D-∠B 注：平行线四大模型大题不可直接使用，必须证明后再用，选择填空满足条件即可直接用！ 题型归纳 题型一：猪蹄模型 【例1】（2023春•赣县区期末）【问题背景】：同学们，观察小猪的猪蹄，你会发现一个熟悉的几何图形，我们就把这个图形的形象称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． 【问题探究】：（1）如图1，，为、之间一点，连接、，得到与、之间的数量关系，并说明理由； 【类比迁移】：（2）请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题：如图2，直线，若，，，求的度数； 【灵活应用】：（3）如图3，直线，若，，则　　度． 【变式1-1】（2022春•铁东区校级月考）感知与填空：如图①，直线．来证：． （1）阅读下面的解答过程，请填上适当的理由． 证明：过点作直线 　　 （已知）， 　　 　　 　　 （2）应用与拓展：如图②，直线．若，，， 求的度数． （3）方法与实践：如图③，直线．若，， 则　　度． 【变式1-2】．（2023春•仪征市期末）如图1，已知线段、线段被直线所截于点、点，，的度数是的3倍少． （1）求证：； （2）如图2，连接，沿方向平移得到，点在上，点是上的一点，连接、，，，求的度数； （3）如图3，点是线段上一点，点是射线上一点，度数为，度数为，度数为，请直接写出、、之间的数量关系．（本题的角均小于 【变式1-3】．（2022春•赣榆区期末）已知：如图，，．求证：． （1）下面是小明同学的推理过程，请按先后顺序填写空格： 解：连接． （已知）， 　　　　（内错角相等，两直线平行）． 　　， （已知）， （两直线平行，内错角相等） 　　　　， 即． （2）试用其他方法进行推理，并书写证明过程． 题型二：“铅笔”模型 【例2】（2023春•巴南区月考）已知直线，点、分别在直线、上，点在直线和之间． （1）如图1，求证：； （2）如图2，，点在直线上，且，求证：； （3）如图3，平分，平分，且．若，直接写出的度数． 【变式2-1】请在横线上填上合适的内容． （1）如图（1）已知//，则． 解：过点作直线//． ∴（   ）．（    ） ∵//，//， ∴（  ）//（   ）．（如果两条直线和第三条直线平行，那么这两直线平行） ∴（   ）．（    ）． ∴． ∴． （2）如图②，如果//，则（ ） 【变式2-2】如图，，定点，分别在直线，上，在平行线，之间有一个动点，满足． （1）试问：，，满足怎样的数量关系？ 解：由于点是平行线，之间一动点，因此需对点的位置进行分类讨论．如图1，当点在的左侧时，易得，，满足的数量关系为；如图2，当点在的右侧时，写出，，满足的数量关系_________． （2）如图3，，分别平分和，且点在左侧． ①若，则的度数为______； ②猜想与的数量关系，并说明理由； ③如图4，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，以此类推，则与满足怎样的数量关系？（直接写出结果） 【变式2-3】已知，连接A，C两点． (1)如图1，与的平分线交于点E，则等于 　 　度； (2)如图2，点M在射线反向延长线上，点N在射线上．与的平分线交于点E．若，求的度数； (3)如图3，图4，M，N分别为射线，射线上的点，与的平分线交于点E．设，请直接写出图中的度数（用含α，β的式子表示）． 题型三：“鸡翅”模型 【例3】如图，若，则∠1+∠3-∠2的度数为 【变式3-1】如图所示，，，，求的度数. 【变式3-2】AB∥CD，点P为直线AB，CD所确定的平面内的一点． （1）如图1，写出∠APC、∠A、∠C之间的数量关系，并证明； （2）如图2，写出∠APC、∠A、∠C之间的数量关系，并证明； （3）如图3，点E在射线BA上，过点E作EF∥PC，作∠PEG＝∠PEF，点G在直线CD上，作∠BEG的平分线EH交PC于点H，若∠APC＝30°，∠PAB＝140°，求∠PEH的度数． 【变式3-3】问题探究： 如下面四个图形中， ABCD． （1）分别说出图1、图2、图3、图4中，∠1与∠2、∠3三者之间的关系． （2）请你从中任选一个加以说明理由． 解决问题： （3）如图5所示的是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于O点的灯泡发出两束光线OB、OC经灯碗反射后平行射出．如果∠ABO=57°，∠DCO=44°，那么∠BOC=_______°． 题型四：“骨折”型 【例4】已知AB//CD ，求证：∠B＝∠E＋∠D 【变式4-1】探索：小明在研究数学问题：已知，AB和CD都不经过点P，探索与、的数量关系． 发现：在图1中，；如图5 小明是这样证明的：过点Р作 ∴___________ ∵，． ∴__________ ∴ ∴ 即 （1）为小明的证明填上推理的依据； （2）理解： ①在图2中，与、的数量关系为_____________________； ②在图3中，若，，则的度数为_________________； （3）拓展： 在图4中，探究与、的数量关系，并说明理由． 【变式4-2】已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD． （1）如图1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数； （2）如图2，判断∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为 　 　． （3）如图3，在（2）的条件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+∠PAB＝∠APD，求∠AND的度数． 【变式4-3】如图，已知：点A、C、B不在同一条直线，    (1)求证：： (2)如图②，分别为的平分线所在直线，试探究与的数量关系； (3)如图③，在（2）的前提下，且有，直线交于点P，，直接写出　 　． 过关检测 1.为更好地理清平行线与相关角的关系，小明爸爸为他准备了四根细直木条、，、，做成折线，如图1，且在折点B、C、D处均可自由转出． （1）如图2，小明将折线调节成，判别是否平行于，并说明理由； （2）如图3，若，调整线段、使得，求出此时的度数，要求画出图形，并写出计算过程． （3）若，求出此时的度数，要求画出图形，直接写出度数，不要求计算过程． 2.如图1，MN∥PQ，点C、B分别在直线MN、PQ上，点A在直线MN、PQ之间． （1）求证：∠CAB＝∠MCA+∠PBA； （2）如图2，CD∥AB，点E在PQ上，∠ECN＝∠CAB，求证：∠MCA＝∠DCE； （3）如图3，BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，AF∥CG．若∠CAB＝60°，求∠AFB的度数． 3．已知直线，点A，C分别在，上，点B在直线，之间，且． （1）如图①，求证：． 阅读并将下列推理过程补齐完整： 过点B作，因为， 所以__________（      ） 所以，（     ） 所以． （2）如图②，点D，E在直线上，且，BE平分． 求证：； （3）在（2）的条件下，如果的平分线BF与直线平行，试确定与之间的数量关系，并说明理由． 4.已知直线， A是l1上的一点，B是l2上的一点，直线l3和直线l1，l2交于C和D，直线上有一点P． (1)如果P点在C，D之间运动时，问，，有怎样的数量关系？请说明理由． (2)若点P在C，D两点的外侧运动时（P点与C，D不重合），试探索，，之间的关系又是如何？（请直接写出答案，不需要证明） 5．（1）如图（1），猜想与的关系，说出理由． （2）观察图（2），已知，猜想图中的与的关系，并说明理由． （3）观察图（3）和（4），已知，猜想图中的与的关系，不需要说明理由．    6.已知，点为平面内一点，于． （1）如图1，点在两条平行线外，则与之间的数量关系为______； （2）点在两条平行线之间，过点作于点． ①如图2，说明成立的理由； ②如图3，平分交于点平分交于点．若，求的度数． 7.已知，，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，作的平分线交于点，点为上一点，连接，若的平分线交线段于点，连接，若，过点作交的延长线于点，且，求的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 平行线四种常见模型解题技巧 题型一：“猪蹄”模型 题型二：“铅笔”模型 题型三：“鸡翅”模型 题型四：“骨折”模型 模型一：“猪蹄”模型 如图，若 AB // CD，你能确定∠B、∠D与∠BED 的大小关系吗？ 解：∠B＋∠D＝∠DEB． 理由如下： 过点E 作 EF // AB 又 ∵ AB//CD．  ∴ EF//CD．  ∴ ∠D =∠DEF．∠B=∠BEF． ∴∠B＋∠D＝∠BEF＋∠DEF＝∠DEB  即∠B＋∠D＝∠DEB． 猪蹄模型的基本特征：一组平行线，中间有一个点，分别与平行线上的点构成“猪蹄”。 如图，已知AB∥CD，求∠E、∠B、∠D之间的数量关系． 思路1：过拐点作平行线过点E作EF∥AB，∴∠B=∠BEF，又∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠D=∠DEF，∴∠E=∠BEF+∠DEF=∠B+∠D．∴∠E=∠B+∠D． 思路2：延长BE交CD于点F∵AB∥CD，∴∠B=∠BFD，∴∠D+∠BFD=∠BED，∴∠B+∠D=∠E． 小结 证明的方法还有很多，同学们可以多多尝试。重点在于构造平行线的三线八角，就可以得到经典结论：猪蹄模型顶点在同一侧的角之和等于顶点在另一侧的角之和。 猪蹄模型（又名燕尾模型、M字模型） 结论：∠B+∠D=∠E 步骤总结 步骤一：过猪蹄（拐点）作平行线 步骤二：借助平行线的性质找相等或互补的角 步骤三：推导出角的数量关系 模型二、“铅笔”模型 如图，AB // CD，探索∠B、∠D与∠DEB的大小关系 ？ 解：∠B＋∠D＋∠DEB＝360°． 理由如下： 过点E 作 EF // AB．   又 ∵AB//CD．   ∴EF//CD．  ∴ ∠B+∠BEF＝180°．      ∠D+∠DEF＝180°． ∴ ∠B＋∠D+∠DEB ＝∠B＋∠D+∠BEF＋∠DEF ＝360°．  即∠B＋∠D＋∠DEB＝360°． 从猪蹄模型可以看出，点E是凹进去了，如果点E是凸出来，如下图： 那么，像这样的模型，我们就称为铅笔头模型。 模型结论：∠B+∠E+∠D=360° 二、模型证明 如图，若AB//CD，求证：∠B+∠E+∠D=360° 证明一：如图，过点E作FG//AB ∵ AB//FG，AB//CD ∴ FG//CD ∵ AB//FG ∴ ∠BEF+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补） ∵ FG//CD ∴ ∠D+∠DEF=180°（两直线平行，同旁内角互补） ∴ ∠BEF+∠B+∠D+∠DEF=360° ∴ ∠B+∠D+∠BED=360° 证明二：如图，连接BD， ∵ AB//CD ∴ ∠ABD+∠BDC=180° 在△BDE中，∠DBE+∠E+∠EDB=180° ∴ ∠DBE+∠E+∠EDB+∠ABD+∠BDC=360° ∴ ∠ABD+∠DBE+∠E+∠EDB+∠BDC=360° ∴ ∠ABE+∠E+∠CDE=360° 证明该模型结论的还有其他方法，这里就没有全部写出来，可以自行证明。从前面学过的猪蹄模型和这里的铅笔头模型我们都能看出，最简单的方法就是过点E作平行线，利用平行线的性质得到结论。 三、猪蹄模型和铅笔头模型关系 1、将猪蹄模型转化为铅笔头模型 ABEDC为猪蹄模型，FBEDG为铅笔头模型由猪蹄模型可得，∠ABE+∠CDE=∠BED ∵ ∠ABE+∠FBE=180°，∠CDE+∠GDE=180° ∴ ∠ABE=180°-∠FBE，∠CDE=180°-∠GDE∴ 180°-∠FBE+180°-∠GDE=∠BED ∴ ∠FBE+∠GDE+∠BED=360° 2、将铅笔头模型转化为猪蹄模型 ABEDC为铅笔头模型，FBEDG为猪蹄模型由铅笔头模型得， ∠ABE+∠BED+∠CDE=360° ∵ ∠ABE+∠FBE=180°，∠CDE+∠GDE=180° ∴ ∠ABE=180°-∠FBE，∠CDE=180°-∠GDE ∴ 180°-∠FBE+∠BED+180°-∠GDE=360° ∴ ∠FBE+∠GDE=∠BED 模型三、“鸡翅”模型 如图，已知AB//CD，试猜想∠A、∠E、∠C 的关系，并说明理由． 解：∠AEC=∠A-∠C, 理由如下： 过点E 作 EF // AB 又 ∵AB//CD．  ∴EF//CD． ∴∠A+∠FEA=180°， ∠C+∠FEC=180° ∴ ∠AEC＝ ∠FEC- ∠FEA= 180°- ∠C –(180°-∠A)=∠A-∠C 即：∠AEC=∠A-∠C 模型四、“骨折模型” 如图，已知BC//DE，试猜想∠A、∠B、∠D 的关系，并说明理由． 解：∠BAD=∠D-∠B , 理由如下： 过点A 作 AG // BC 又 ∵CB//DE．  ∴AG//DE ∴∠GAB+∠B=180°，   ∠GAD+∠D=180° ∴ ∠BAD＝ ∠GAB- ∠GAD=180°-∠B–(180°-∠D)=∠D-∠B 即：∠BAD=∠D-∠B 注：平行线四大模型大题不可直接使用，必须证明后再用，选择填空满足条件即可直接用！ 题型归纳 题型一：猪蹄模型 【例1】（2023春•赣县区期末）【问题背景】：同学们，观察小猪的猪蹄，你会发现一个熟悉的几何图形，我们就把这个图形的形象称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． 【问题探究】：（1）如图1，，为、之间一点，连接、，得到与、之间的数量关系，并说明理由； 【类比迁移】：（2）请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题：如图2，直线，若，，，求的度数； 【灵活应用】：（3）如图3，直线，若，，则　25　度． 【分析】（1）过点作，利用猪脚模型即可解答； （2）过点作，利用猪脚模型可得：，，从而可得，进行计算即可解答； （3）先利用三角形内角和定理可得，从而利用对顶角相等可得，然后利用猪脚模型可得，最后进行计算即可解答． 【解答】解：（1）， 理由：过点作， ， ， ， ， ， ； （2）过点作， 由（1）可得：， ， ， 由（1）可得：， ，，， ， 的度数为； （3）如图： ，， ， ， ， 由（1）可得：， ， 故答案为：25． 【点评】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 【变式1-1】（2022春•铁东区校级月考）感知与填空：如图①，直线．来证：． （1）阅读下面的解答过程，请填上适当的理由． 证明：过点作直线 　　 （已知）， 　　 　　 　　 （2）应用与拓展：如图②，直线．若，，， 求的度数． （3）方法与实践：如图③，直线．若，， 则　　度． 【分析】（1）过点作直线，由两直线平行，内错角相等得出，由两直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行得出，由两直线平行，内错角相等得出，由，等量代换得出． （2）过点作，则，由感知与填空得，，即可得出结果． （3）设交于，，由感知与填空得，即可得出结果． 【解答】解：（1）过点作直线， （两直线平行，内错角相等）， （已知），， （两直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）， （两直线平行，内错角相等）， ， （等量代换）， 故答案为：两直线平行，内错角相等；两直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；两直线平行，内错角相等；等量代换； （2）过点作， 则，如图②所示： 由（1）得：，， ，，， ， 即的度数为； （3）设交于点，如图③所示： ，， ， 由感知与填空得：， ， 故答案为：25． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【变式1-2】．（2023春•仪征市期末）如图1，已知线段、线段被直线所截于点、点，，的度数是的3倍少． （1）求证：； （2）如图2，连接，沿方向平移得到，点在上，点是上的一点，连接、，，，求的度数； （3）如图3，点是线段上一点，点是射线上一点，度数为，度数为，度数为，请直接写出、、之间的数量关系．（本题的角均小于 【分析】（1）根据已知先求得的邻补角的度数，得到即可得结论； （2）过作，利用平行线的性质定理和平行公理的推论即可； （3）利用平行线的性质定理和平行公理的推论即可． 【解答】证明：（1），的度数是的3倍少， ， ， ， ； （2）过作， ， ， ， ， ； （3）， 与（2）同理可得：， ，， ， ，， ， ， 即． 【点评】本题考查了平行线的性质定理及平行公理的推论，理解题意是解决问题的关键． 【变式1-3】．（2022春•赣榆区期末）已知：如图，，．求证：． （1）下面是小明同学的推理过程，请按先后顺序填写空格： 解：连接． （已知）， 　　　　（内错角相等，两直线平行）． 　　， （已知）， （两直线平行，内错角相等） 　　　　， 即． （2）试用其他方法进行推理，并书写证明过程． 【分析】（1）连接，根据已知，得出，根据平行线的性质得到，再根据得出，进而得出即可得出答案； （2）延长交的延长线于，根据平行线的性质可得，再利用等量代换可得，进而可判定，然后可得． 【解答】（1）解：连接． （已知）， （内错角相等，两直线平行）． 两直线平行，内错角相等）， （已知）， （两直线平行，内错角相等） 等式的基本性质）， 即． 故答案为：，；两直线平行，内错角相等；；等式的基本性质． （2）证明：延长交的延长线于， ， ， ． ， ， ． 【点评】本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆． 题型二：“铅笔”模型 【例2】（2023春•巴南区月考）已知直线，点、分别在直线、上，点在直线和之间． （1）如图1，求证：； （2）如图2，，点在直线上，且，求证：； （3）如图3，平分，平分，且．若，直接写出的度数． 【分析】（1）过点作，然后根据平行线的性质可得即可得证． （2）由得出，结合即可得证． （3）由平行线的性质得到，再由角平分线的定义及平行线的性质得出，最后根据三角形的内角和即可求解． 【解答】（1）证明：过点作，如图： ， ，， ， ． （2）证明：． ， ， ， ，， ． （3）解：． ， ， ， ， 平分，平分， ，， 又， ， ， ， ． ． 【点评】本题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质及三角形的内角和定理是解题关键． 【变式2-1】请在横线上填上合适的内容． （1）如图（1）已知//，则． 解：过点作直线//． ∴（   ）．（    ） ∵//，//， ∴（  ）//（   ）．（如果两条直线和第三条直线平行，那么这两直线平行） ∴（   ）．（    ）． ∴． ∴． （2）如图②，如果//，则（ ） 【答案】（1）∠B，两直线平行，内错角相等，EF，CD，∠D，两直线平行，内错角相等； （2）360° 【分析】（1）过点E作直线EF∥AB，则∠FEB=∠B，继而由EF∥CD可得∠FED=∠D．所以∠B+∠D=∠BEF+∠FED，即∠B+∠D=∠BED； （2）过点E作直线EF∥AB，则∠FEB+∠B=180°，继而由EF∥CD可得∠FED+∠D=180°．所以∠B+∠D+∠BEF+∠FED=360°，即∠B+∠BED+∠D=360°． 【详解】解：（1）解：过点E作直线EF∥AB． ∴∠FEB=∠B．（ 两直线平行，内错角相等） ∵AB∥CD，EF∥AB， ∴ EF∥CD（如果两条直线和第三条直线平行，那么这两直线平行）． ∴∠FED=∠D（ 两直线平行，内错角相等）． ∴∠B+∠D=∠BEF+∠FED． ∴∠B+∠D=∠BED． 故答案为：∠B，两直线平行，内错角相等，EF，CD，∠D，两直线平行，内错角相等； （2）解：过点E作直线EF∥AB，如图． ∴∠FEB+∠B=180°．两直线平行，内错角相等）． ∵AB∥CD，EF∥AB， ∴ EF∥CD（如果两条直线和第三条直线平行，那么这两直线平行）． ∴∠FED+∠D=180° （ 两直线平行，内错角相等）． ∴∠B+∠D+∠BEF+∠FED=360°． ∴∠B+∠BED+∠D=360°． 故答案为：360°． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，平行公理及其推论，熟练掌握平行线判定、性质说理是关键． 【变式2-2】如图，，定点，分别在直线，上，在平行线，之间有一个动点，满足． （1）试问：，，满足怎样的数量关系？ 解：由于点是平行线，之间一动点，因此需对点的位置进行分类讨论．如图1，当点在的左侧时，易得，，满足的数量关系为；如图2，当点在的右侧时，写出，，满足的数量关系_________． （2）如图3，，分别平分和，且点在左侧． ①若，则的度数为______； ②猜想与的数量关系，并说明理由； ③如图4，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，以此类推，则与满足怎样的数量关系？（直接写出结果） 【答案】（1）；（2）①130°；②，见解析；③∠EPF+22021∠EQ2020F＝360° 【分析】（1）过点P作PHAB，利用平行线的性质即可求解； （2）根据（1）的结论结合角平分线的定义，平角的定义，运用整体思想即可求解． 【详解】解：（1）如图2，当点P在EF的右侧时，过点P作PMAB，则PMCD， ∴∠AEP+∠EPM＝180°，∠PFC+∠MPF＝180°， ∴∠AEP+∠EPM+∠PFC+∠MPF＝360°， 即：∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°； 故答案为：∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°； （2）①由（1）得：∠DFQ+∠BEQ＝∠EQF，∠PEA+∠PFC＝∠EPF， ∵∠EPF＝100°， ∴∠PEA+∠PFC＝100°， ∵QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD， ∴∠DFP＝2∠DFQ，∠BEP＝2∠BEQ， ∵∠PFC+∠DFP＝180°，∠PEA+∠BEP＝180°， ∴∠PFC+2∠DFQ＝180°，∠PEA+2∠BEQ＝180°， ∴∠PFC+2∠DFQ＋∠PEA+2∠BEQ＝360°， ∴100°+2∠DFQ＋2∠BEQ＝360°， ∴∠DFQ+∠BEQ＝130°， ∴∠EQF＝∠DFQ+∠BEQ＝130°， 故答案为：130°； ②∠EPF+2∠EQF＝360°，理由如下： ∵QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD， ∴∠DFP＝2∠DFQ，∠BEP＝2∠BEQ， ∵∠PFC+∠DFP＝180°，∠PEA+∠BEP＝180°， ∴∠PFC+2∠DFQ＝180°，∠PEA+2∠BEQ＝180°， ∴∠PFC+2∠DFQ＋∠PEA+2∠BEQ＝360°， ∴∠PFC＋∠PEA +2(∠DFQ +∠BEQ)＝360°， ∵由（1）得：∠DFQ+∠BEQ＝∠EQF，∠PEA+∠PFC＝∠EPF， ∴∠EPF +2∠EQF＝360°； ③∵Q1E，Q1F分别平分∠QEB和∠QFD， ∴∠DFP＝2∠DFQ＝22∠DFQ1，∠BEP＝2∠BEQ＝22∠BEQ1， ∵∠PFC+∠DFP＝180°，∠PEA+∠BEP＝180°， ∴∠PFC+22∠DFQ1＝180°，∠PEA+22∠BEQ1＝180°， ∴∠PFC+22∠DFQ1＋∠PEA+22∠BEQ1＝360°， ∴∠PFC＋∠PEA +22(∠DFQ1 +∠BEQ1)＝360°， ∵由（1）得：∠DFQ1+∠BEQ1＝∠EQ1F，∠PEA+∠PFC＝∠EPF， ∴∠EPF +22∠EQ1F＝360°； 同理可得：∠EPF +23∠EQ2F＝360°，∠EPF +24∠EQ3F＝360°，…… ∴∠EPF+22021∠EQ2020F＝360°． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平行公理及推论，角平分线的定义等知识点，作辅助线后能求出各个角的度数，利用整体思想解决第（2）问是解此题的关键． 【变式2-3】已知，连接A，C两点． (1)如图1，与的平分线交于点E，则等于 　 　度； (2)如图2，点M在射线反向延长线上，点N在射线上．与的平分线交于点E．若，求的度数； (3)如图3，图4，M，N分别为射线，射线上的点，与的平分线交于点E．设，请直接写出图中的度数（用含α，β的式子表示）． 【答案】(1)90 (2) (3)或 【分析】（1）根据平行线的性质得到，利用角平分线的定义求出，即可求出答案； （2）过点E作，得到，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义求出，即可得到答案； （3）由平行线的性质：两直线平行同旁内角互补，两直线平行内错角相等，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，∵， ∴， ∵分别平分， ∴， ∴， ∴； 故答案为：90． （2）如图2，过点E作， ∵， ∴， ∴， ∵分别平分， ∴， ∴； （3）①如图3，过点E作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图4，过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了平行线的性质及角平分线的定义，解题的关键是正确掌握平行线的性质：两直线平行同旁内角互补，两直线平行内错角相等． 题型三：“鸡翅”模型 【例3】如图，若，则∠1+∠3-∠2的度数为 【答案】180° 【分析】延长EA交CD于点F，则有∠2+∠EFC=∠3，然后根据可得∠1=∠EFD，最后根据领补角及等量代换可求解． 【详解】解：延长EA交CD于点F，如图所示： ， ∠1=∠EFD， ∠2+∠EFC=∠3， ， ， ； 故答案为180°． 【点睛】本题主要考查三角形外角的性质及平行线的性质，熟练掌握三角形外角的性质及平行线的性质是解题的关键． 【变式3-1】如图所示，，，，求的度数. 【答案】. 【分析】根据平行线的性质，由靴子图ABEFC知，，，由靴子图知，， 又因为，得到，所以. 【详解】因为，结合题意，由靴子图ABEFC知，，，由靴子图知，， ， 即， ， 【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质. 【变式3-2】AB∥CD，点P为直线AB，CD所确定的平面内的一点． （1）如图1，写出∠APC、∠A、∠C之间的数量关系，并证明； （2）如图2，写出∠APC、∠A、∠C之间的数量关系，并证明； （3）如图3，点E在射线BA上，过点E作EF∥PC，作∠PEG＝∠PEF，点G在直线CD上，作∠BEG的平分线EH交PC于点H，若∠APC＝30°，∠PAB＝140°，求∠PEH的度数． 【答案】（1）∠A+∠C+∠APC＝360°，证明详见解析；（2）∠APC＝∠A−∠C，证明详见解析；（3）55°． 【分析】（1）首先过点P作PQ∥AB，结合题意得出AB∥PQ∥CD，然后由“两直线平行，同旁内角互补”进一步分析即可证得∠A+∠C+∠APC＝360°； （2）作PQ∥AB，结合题意得出AB∥PQ∥CD，根据“两直线平行，内错角相等”进一步分析即可证得∠APC＝∠A−∠C； （3）由（2）知，∠APC＝∠PAB−∠PCD，先利用平行线性质得出∠BEF＝∠PQB＝110°，然后进一步得出∠PEG＝∠FEG，∠GEH＝∠BEG，最后根据∠PEH＝∠PEG−∠GEH即可得出答案． 【详解】（1）∠A+∠C+∠APC＝360°，证明如下： 如图1所示，过点P作PQ∥AB， ∴∠A+∠APQ＝180°， 又∵AB∥CD， ∴PQ∥CD， ∴∠C+∠CPQ＝180°， ∴∠A+∠APQ+∠C+∠CPQ＝360°， 即∠A+∠C+∠APC＝360°； （2）∠APC＝∠A−∠C，证明如下： 如图2所示，过点P作PQ∥AB， ∴∠A＝∠APQ， ∵AB∥CD， ∴PQ∥CD， ∴∠C＝∠CPQ， ∵∠APC＝∠APQ−∠CPQ， ∴∠APC＝∠A−∠C； （3）由（2）知，∠APC＝∠PAB−∠PCD， ∵∠APC＝30°，∠PAB＝140°， ∴∠PCD＝110°， ∵AB∥CD， ∴∠PQB＝∠PCD＝110°， ∵EF∥PC， ∴∠BEF＝∠PQB＝110°， ∵∠PEG＝∠PEF， ∴∠PEG＝∠FEG， ∵EH平分∠BEG， ∴∠GEH＝∠BEG， ∴∠PEH＝∠PEG−∠GEH ＝∠FEG−∠BEG ＝∠BEF ＝55°． 【点睛】本题主要考查了利用平行线性质与角平分线性质求角度的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键. 【变式3-3】问题探究： 如下面四个图形中， ABCD． （1）分别说出图1、图2、图3、图4中，∠1与∠2、∠3三者之间的关系． （2）请你从中任选一个加以说明理由． 解决问题： （3）如图5所示的是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于O点的灯泡发出两束光线OB、OC经灯碗反射后平行射出．如果∠ABO=57°，∠DCO=44°，那么∠BOC=_______°． 【答案】(1) 图1：∠1+∠2＝∠3；  图2：∠1+∠2+∠3＝； 图3：∠1＝∠2+∠3；  图4：∠1+∠3＝∠2；(2)见解析；(3) 【分析】(1) 图1：首先过点P作PEAB，由ABCD，即可得ABPECD，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得答案； 图2：首先过点P作PEAB，由ABCD，即可得ABPECD，然后根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得答案； 图3：由ABCD，根据两直线平行，同位角线相等，以及三角形外角的性质，即可求得答案； 图4：由ABCD，根据两直线平行，同位角线相等，以及三角形外角的性质，即可求得答案． （2）选图1，过点P作PEAB，由ABCD，即可得ABPECD，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得答案； （3）利用图1结论进行求解 【详解】(1)图1：∠1+∠2＝∠3；   图2：∠1+∠2+∠3＝   图3：∠1＝∠2+∠3；   图4：∠1+∠3＝∠2； (2)选择图1， 如图所示：过点P作EP//AB ∵ABCD，EPAB ∴ABEPCD ∴∠1=∠APE，∠2=∠EPC 又∵∠3＝∠APE+∠EPC ∴∠1+∠2＝∠3； (3)由图1可得：∠BOC＝∠ABO+∠DCO， 又∵∠ABO=57°，∠DCO=44°， ∴∠BOC=57°+44°＝101° 【点睛】考查了平行线的性质与三角形外角的性质．解题的关键是掌握两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，内错角相等以及两直线平行，同位角相等定理的应用与辅助线的作法． 题型四：“骨折”型 【例4】已知AB//CD ，求证：∠B＝∠E＋∠D 【答案】见解析 【分析】过点E作EF∥CD，根据平行线的性质即可得出∠B=∠BOD，根据平行线的性质即可得出∠BOD=∠BEF、∠D=∠DEF，结合角之间的关系即可得出结论． 【详解】证明：过点E作EF∥CD，如图 ∵AB∥CD， ∴∠B=∠BOD， ∵EF∥CD（辅助线）， ∴∠BOD=∠BEF（两直线平行，同位角相等）；∠D=∠DEF（两直线平行，内错角相等）； ∴∠BEF=∠BED+∠DEF=∠BED+∠D（等量代换）， ∴∠BOD=∠E+∠D（等量代换）， 即∠B=∠E+∠D． 【点睛】本题考查了平行线的性质以及角的计算，解题的关键是根据平行线的性质找出相等或互补的角． 【变式4-1】探索：小明在研究数学问题：已知，AB和CD都不经过点P，探索与、的数量关系． 发现：在图1中，；如图5 小明是这样证明的：过点Р作 ∴___________ ∵，． ∴__________ ∴ ∴ 即 （1）为小明的证明填上推理的依据； （2）理解： ①在图2中，与、的数量关系为_____________________； ②在图3中，若，，则的度数为_________________； （3）拓展： 在图4中，探究与、的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）两直线平行，内错角相等；平行于同一直线的两直线平行；（2）①；②40°；（3），理由见解析． 【分析】（1）过点作，根据平行线的性质得出，，即可得出答案； （2）①过点作，根据平行线的性质得出，，即可得出答案； ②根据平行线的性质得出，根据三角形外角性质得出即可； （3）根据平行线的性质得出，求出，根据得出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：过点作， ∴（两直线平行，内错角相等） ，． （平行于同一直线的两直线平行） 即 故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一直线的两直线平行； （2）① 解：过点作， 所以， ，． ， ， ，， 即， 故答案为：； ② 解：，， ， ， ， 故答案为：； （3）解： ． 理由是：如图4，过点作， ， ， ，， （平行于同一直线的两直线平行） ， ， ． 【点睛】本题考查了角平分线定义和平行线的性质和判定，能正确作出辅助线是解此题的关键． 【变式4-2】已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD． （1）如图1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数； （2）如图2，判断∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为 　 　． （3）如图3，在（2）的条件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+∠PAB＝∠APD，求∠AND的度数． 【答案】（1）∠APD=80°；（2）∠PAB+∠CDP-∠APD=180°；（3）∠AND=45°． 【分析】（1）首先过点P作PQ∥AB，则易得AB∥PQ∥CD，然后由两直线平行，同旁内角互补以及内错角相等，即可求解； （2）作PQ∥AB，易得AB∥PQ∥CD，根据平行线的性质，即可证得∠PAB+∠CDP-∠APD=180°； （3）先证明∠NOD=∠PAB，∠ODN=∠PDC，利用（2）的结论即可求解． 【详解】解：（1）∵∠A=50°，∠D=150°， 过点P作PQ∥AB， ∴∠A=∠APQ=50°， ∵AB∥CD， ∴PQ∥CD， ∴∠D+∠DPQ=180°，则∠DPQ=180°-150°=30°， ∴∠APD=∠APQ+∠DPQ=50°+30°=80°； （2）∠PAB+∠CDP-∠APD=180°， 如图，作PQ∥AB， ∴∠PAB=∠APQ， ∵AB∥CD， ∴PQ∥CD， ∴∠CDP+∠DPQ=180°，即∠DPQ=180°-∠CDP， ∵∠APD=∠APQ-∠DPQ， ∴∠APD=∠PAB-(180°-∠CDP)=∠PAB+∠CDP-180°； ∴∠PAB+∠CDP-∠APD=180°； (3)设PD交AN于O，如图， ∵AP⊥PD， ∴∠APO=90°， 由题知∠PAN+∠PAB=∠APD，即∠PAN+∠PAB=90°， 又∵∠POA+∠PAN=180°-∠APO=90°， ∴∠POA=∠PAB， ∵∠POA=∠NOD， ∴∠NOD=∠PAB， ∵DN平分∠PDC， ∴∠ODN=∠PDC， ∴∠AND=180°-∠NOD-∠ODN=180°-(∠PAB+∠PDC)， 由(2)得∠PAB+∠CDP-∠APD=180°， ∴∠PAB+∠PDC=180°+∠APD， ∴∠AND=180°-(∠PAB+∠PDC) =180°-(180°+∠APD) =180°-(180°+90°) =45°， 即∠AND=45°． 【点睛】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 【变式4-3】如图，已知：点A、C、B不在同一条直线，    (1)求证：： (2)如图②，分别为的平分线所在直线，试探究与的数量关系； (3)如图③，在（2）的前提下，且有，直线交于点P，，直接写出　 　． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）过点C作，则，根据平行线的性质可得出、，据此可得； （2）过点Q作，则，根据平行线的性质、角平分线的定义可得出，结合（1）的结论可得出； （3）由（2）的结论可得出①，由可得出②，联立①②可求出的度数，再结合（ 1）的结论可得出的度数，将其代入中可求出结论． 【详解】（1）在图①中，过点C作，则．    ∵， ∴， ∴． （2）在图2中，过点Q作，则．    ∵， ∴． ∵平分，平分， ∴， ∴． ∵， ∴． （3）∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平行线的的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质、添加辅助线构建平行线． 过关检测 1.为更好地理清平行线与相关角的关系，小明爸爸为他准备了四根细直木条、，、，做成折线，如图1，且在折点B、C、D处均可自由转出． （1）如图2，小明将折线调节成，判别是否平行于，并说明理由； （2）如图3，若，调整线段、使得，求出此时的度数，要求画出图形，并写出计算过程． （3）若，求出此时的度数，要求画出图形，直接写出度数，不要求计算过程． 【答案】（1）AB∥DE，理由见解析；（2）25°或155°，画图见解析；（3）60°或120°或70°或110° 【分析】（1）过点C作CF∥AB，利用平行线的判定和性质解答即可； （2）分别画图3和图4，根据平行线的性质可计算∠B的度数； （3）分别画图，根据平行线的性质计算出∠B的度数． 【详解】解：（1）AB∥DE，理由是： 如下图，过点C作CF∥AB， ∴∠B=∠BCF=50°， ∵∠BCD=75°， ∴∠DCF=25°， ∵∠D=25°， ∴∠D=∠DCF=25°， ∴CF∥DE， ∴AB∥DE； （2）如下图， ∵AB∥CD， ∴∠B=∠BCD=25°； 如图4： ∵AB∥CD， ∴∠B+∠BCD=180°， ∴∠ABC=180°-25°=155°； （3）由（1）得：∠B=85°-25°=60°； 如图5，过C作CF∥AB，则AB∥CF∥CD， ∴∠FCD=∠D=25°， ∵∠BCD=85°， ∴∠BCF=85°-25°=60°， ∵AB∥CF， ∴∠B+∠BCF=180°， ∴∠B=120°； 如图6，∵∠C=85°，∠D=25°， ∴∠CFD=180°-85°-25°=70°， ∵AB∥DE， ∴∠B=∠CFD=70°， 如图7，同理得：∠B=25°+85°=110°， 综上所述，∠B的度数为60°或120°或70°或110°． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质和三角形内角和的运用，解决问题的关键是作辅助线构造同位角以及内错角，依据平行线的性质及三角形外角性质进行推导计算． 2.如图1，MN∥PQ，点C、B分别在直线MN、PQ上，点A在直线MN、PQ之间． （1）求证：∠CAB＝∠MCA+∠PBA； （2）如图2，CD∥AB，点E在PQ上，∠ECN＝∠CAB，求证：∠MCA＝∠DCE； （3）如图3，BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，AF∥CG．若∠CAB＝60°，求∠AFB的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）120°． 【分析】（1）过点A作AD∥MN，根据两直线平行，内错角相等得到∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB，根据角的和差等量代换即可得解； （2）由两直线平行，同旁内角互补得到∴、∠CAB+∠ACD＝180°，由邻补角定义得到∠ECM+∠ECN＝180°，再等量代换即可得解； （3）由平行线的性质得到，∠FAB＝120°﹣∠GCA，再由角平分线的定义及平行线的性质得到∠GCA﹣∠ABF＝60°，最后根据三角形的内角和是180°即可求解． 【详解】解：（1）证明：如图1，过点A作AD∥MN， ∵MN∥PQ，AD∥MN， ∴AD∥MN∥PQ， ∴∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB， ∴∠CAB＝∠DAC+∠DAB＝∠MCA+∠PBA， 即：∠CAB＝∠MCA+∠PBA； （2）如图2，∵CD∥AB， ∴∠CAB+∠ACD＝180°， ∵∠ECM+∠ECN＝180°， ∵∠ECN＝∠CAB ∴∠ECM＝∠ACD， 即∠MCA+∠ACE＝∠DCE+∠ACE， ∴∠MCA＝∠DCE； （3）∵AF∥CG， ∴∠GCA+∠FAC＝180°， ∵∠CAB＝60° 即∠GCA+∠CAB+∠FAB＝180°， ∴∠FAB＝180°﹣60°﹣∠GCA＝120°﹣∠GCA， 由（1）可知，∠CAB＝∠MCA+∠ABP， ∵BF平分∠ABP，CG平分∠ACN， ∴∠ACN＝2∠GCA，∠ABP＝2∠ABF， 又∵∠MCA＝180°﹣∠ACN， ∴∠CAB＝180°﹣2∠GCA+2∠ABF＝60°， ∴∠GCA﹣∠ABF＝60°， ∵∠AFB+∠ABF+∠FAB＝180°， ∴∠AFB＝180°﹣∠FAB﹣∠FBA ＝180°﹣（120°﹣∠GCA）﹣∠ABF ＝180°﹣120°+∠GCA﹣∠ABF ＝120°． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，线段、角、相交线与平行线，准确的推导是解决本题的关键 3．已知直线，点A，C分别在，上，点B在直线，之间，且． （1）如图①，求证：． 阅读并将下列推理过程补齐完整： 过点B作，因为， 所以__________（      ） 所以，（     ） 所以． （2）如图②，点D，E在直线上，且，BE平分． 求证：； （3）在（2）的条件下，如果的平分线BF与直线平行，试确定与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）BG；平行于同一条直线的两条直线平行；两直线平行，内错角相等；（2）见解析；（3），理由见解析 【分析】（1）根据平行于同一条直线的两条直线平行可得，再根据平行线的性质即可得结论； （2）过点作，根据，可得，所以，，结合（1）即可进行证明； （3）根据，，可得，根据平分，可得，结合（2）可得，中根据平行线的性质即可得结论． 【详解】（1）解：如图①，过点作，因为， 所以（平行于同一条直线的两条直线平行）． 所以，（两直线平行，内错角相等）． 所以． 故答案为：，平行于同一条直线的两条直线平形，两直线平行，内错角相等； （2）证明：如图②，过点作，因为， 所以， 所以，， 由（1）知：． 又， 所以． 因为． 所以， 所以， 因为平分． 所以， 所以， 所以； （3）解：，理由如下： 因为，， 所以， 因为平分， 所以， 由（2）知：， 所以， 因为， 所以， 所以，， 而， 所以． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用． 4.已知直线， A是l1上的一点，B是l2上的一点，直线l3和直线l1，l2交于C和D，直线上有一点P． (1)如果P点在C，D之间运动时，问，，有怎样的数量关系？请说明理由． (2)若点P在C，D两点的外侧运动时（P点与C，D不重合），试探索，，之间的关系又是如何？（请直接写出答案，不需要证明） 【答案】(1) (2)当点在直线上方时，；当点在直线下方时，． 【分析】（1）过点作，由“平行于同一条直线的两直线平行”可得出，再由“两直线平行，内错角相等”得出、，再根据角与角的关系即可得出结论； （2）按点的两种情况分类讨论：①当点在直线上方时；②当点在直线下方时，同理（1）可得、，再根据角与角的关系即可得出结论． 【详解】（1）解：． 过点作，如图1所示． ，， ， ，， ， ． （2）解：结论：当点在直线上方时，；当点在直线下方时，． ①当点在直线上方时，如图2所示．过点作． ，， ， ，， ， ． ②当点在直线下方时，如图3所示．过点作． ，， ， ，， ， ． 【点睛】本题考查了平行线的性质以及角的计算，解题的关键是根据“两直线平行，内错角相等”找到相等的角．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据平行线的性质得出相等（或互补）的角是关键． 5．（1）如图（1），猜想与的关系，说出理由． （2）观察图（2），已知，猜想图中的与的关系，并说明理由． （3）观察图（3）和（4），已知，猜想图中的与的关系，不需要说明理由．    【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3）图（3），图（4） 【分析】（1）过点P作，得到，由，，得到，得到，由此得到； （2）过点P作，由，得到，从而得到结论； （3）由，根据两直线平行，内错角相等与三角形外角的性质，即可求得与的关系． 【详解】（1）解：猜想． 理由：过点P作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）． 理由：如图，过点P作，    ∵， ∴， ∴， ∴； （3）如图（3）：． 理由：∵，    ∴， ∵， ∴， 即； 如图（4）：． 理由：∵，    ∴， ∵， ∴， 即． 【点睛】此题考查了平行线的性质，平行公理的推论，三角形的外角的性质定理，熟记平行线的性质是解题的关键． 6.已知，点为平面内一点，于． （1）如图1，点在两条平行线外，则与之间的数量关系为______； （2）点在两条平行线之间，过点作于点． ①如图2，说明成立的理由； ②如图3，平分交于点平分交于点．若，求的度数． 【答案】（1）∠A+∠C=90°；（2）①见解析；②105° 【分析】（1）根据平行线的性质以及直角三角形的性质进行证明即可； （2）①过点B作BG∥DM，根据平行线找角的联系即可求解；②先过点B作BG∥DM，根据角平分线的定义，得出∠ABF=∠GBF，再设∠DBE=α，∠ABF=β，根据∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得2α+β+3α+3α+β=180°，根据AB⊥BC，可得β+β+2α=90°，最后解方程组即可得到∠ABE=15°，进而得出∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°． 【详解】解：（1）如图1，AM与BC的交点记作点O， ∵AM∥CN， ∴∠C=∠AOB， ∵AB⊥BC， ∴∠A+∠AOB=90°， ∴∠A+∠C=90°； （2）①如图2，过点B作BG∥DM， ∵BD⊥AM， ∴DB⊥BG， ∴∠DBG=90°， ∴∠ABD+∠ABG=90°， ∵AB⊥BC， ∴∠CBG+∠ABG=90°， ∴∠ABD=∠CBG， ∵AM∥CN，BG∥DM， ∴∠C=∠CBG， ∠ABD=∠C； ②如图3，过点B作BG∥DM， ∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD， ∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE， 由（2）知∠ABD=∠CBG， ∴∠ABF=∠GBF， 设∠DBE=α，∠ABF=β， 则∠ABE=α，∠ABD=2α=∠CBG， ∠GBF=∠AFB=β， ∠BFC=3∠DBE=3α， ∴∠AFC=3α+β， ∵∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°， ∴∠FCB=∠AFC=3α+β， △BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°得： 2α+β+3α+3α+β=180°， ∵AB⊥BC， ∴β+β+2α=90°， ∴α=15°， ∴∠ABE=15°， ∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，运用等角的余角（补角）相等进行推导．余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．解题时注意方程思想的运用． 7.已知，，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，作的平分线交于点，点为上一点，连接，若的平分线交线段于点，连接，若，过点作交的延长线于点，且，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）根据平行线的性质得出，再根据等量代换可得，最后根据平行线的判定即可得证； （2）过点E作，延长DC至Q，过点M作，根据平行线的性质及等量代换可得出，再根据平角的含义得出，然后根据平行线的性质及角平分线的定义可推出；设，根据角的和差可得出，结合已知条件可求得，最后根据垂线的含义及平行线的性质，即可得出答案． 【详解】（1）证明： ； （2）过点E作，延长DC至Q，过点M作 ，，， AF平分 FH平分 设 ， ． 【点睛】本题考查了平行线的判定及性质，角平分线的定义，能灵活根据平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$