专题02 二次根式的运算7种常考题型归类-【好题汇编】备战2023-2024学年八年级数学下学期期末真题分类汇编（云南专用）

专题02 二次根式的 利用二次根式的性质化简 1．（22-23八年级下·云南楚雄·期末）一组数据按一定规律排列：，，，，，，则这组数据的第项是（    ） A． B． C． D． 2．（21-22八年级下·云南保山·期末）若2、5、为三角形的三边长，则化简的结果为（   ） A．5 B． C． D．10 3．（21-22八年级下·云南普洱·期末）二次根式的最小值为（    ） A．0 B．1 C． D．不能确定 4．（22-23八年级下·云南昆明·期末）下列各等式成立的是（　　） A．（）2＝5 B．＝﹣5 C．＝5 D．＝x 5．（22-23八年级下·云南楚雄·期末）对于任意两个不相等的正数，，定义一种运算，，例如，则 ． 6．（22-23八年级下·昆明·阶段练习）如果，则 ． 7．（2024·云南·模拟预测）化简：＝ ． 8．（21-22八年级下·云南红河·期末）化简= 9．（23-24八年级上·云南昆明·期末）计算：． 10．（22-23八年级下·云南文山·期末）计算：． 11．（2023·云南·二模）计算：． 二次根式的乘除混合运算 12．（22-23八年级下·云南楚雄·期末）下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 13．（23-24八年级上·云南昆明·期末）下列各式中成立的是（    ） A． B． C． D． 14．（21-22八年级下·云南西双版纳·期末）下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 15．（21-22八年级下·云南德宏·期末）计算： 16．（22-23八年级下·云南昭通·期末）计算：． 17．（22-23八年级上·云南红河·期末）计算：14＋(3.14) 0＋÷ 18．（22-23八年级下·云南昆明·期末）计算： （1） （2） 二次根式的加减运算 19．（22-23八年级下·云南迪庆·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 20．（23-24八年级上·云南文山·期末）下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 21．（23-24九年级上·福建泉州·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 22．（22-23八年级下·云南红河·期末）化简： ． 23．（2024·云南·模拟）计算： ． 24．（23-24八年级上·云南文山·期末）计算： 25．（22-23八年级下·云南大理·期末）计算． 26．（21-22八年级上·云南文山·期末）计算： 二次根式的混合运算 27．（22-23八年级下·云南昆明·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 28．（22-23八年级下·云南昭通·期末）下列各式中计算正确的是（    ） A． B． C． D． 29．（21-22八年级下·云南红河·期末）若x为实数，在“”的“”中添上一种运算符号（在“＋，－，×，÷”中选择）后，其运算的结果为有理数，则不可能是（    ） A． B． C． D． 30．（22-23八年级下·云南昭通·期末）计算：＝ ． 31．（22-23八年级上·云南楚雄·期末）计算： = ． 32．（22-23八年级下·云南楚雄·期末）计算：． 33．（22-23八年级下·云南昆明·期末）计算： (1)； (2)． 34．（22-23八年级下·云南迪庆·期末）计算： (1)； (2)． 己知字母的值，化简求值 35．（20-21八年级上·云南文山·期末）先化简，再求值：，其中． 36．（23-24八年级下·云南昭通·阶段练习）已知，，求的值． 37．（22-23八年级下·云南昆明·阶段练习）已知，，， (1)求，的值； (2)求的值． 38．（22-23八年级下·云南昭通·期中）已知，．求的值． 39．（22-23八年级下·云南昆明·期末）先化简，再求值：，其中， 40．（22-23八年级下·云南昭通·期中）已知，求值： （1）            （2） 已知条件式，化简求值 41．（23-24八年级上·云南昭通·期末）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 42．（22-23八年级下·曲靖·单元测试）已知，，则的值为（    ） A． B． C．4 D． 43．（23-24八年级下·昆明·单元测试）已知a+b＝﹣7，ab＝4，则＝(　　) A． B．﹣ C． D．﹣ 44．（22-23八年级下·红河·期末）已知， 求的值. 45．（22-23八年级上·昆明·期中）在数学小组探究学习中，张兵与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求的值．他们是这样解答的： ∵ ∴ ∴即 ∴ ∴． 珇你根据张兵小组的解题方法和过程，解决以下问题： (1)______． (2)化简； (3)若，求的值． 46．（22-23八年级下·昆明·阶段练习）已知，，，． （1）求的值； （2）若，，求的值． 47．（22-23八年级下·云南昭通·期末）若x＝3＋2，y＝3－2，求的值． 二次根式的应用 48．（23-24八年级下·昆明·单元测试）如图，在长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片则图中空白部分的面积为（    ）． A． B． C． D． 49．（22-23八年级下·玉溪·期中）如图，长方形内有两个相邻的正方形（空白部分），其面积分别为3和12，则图中阴影部分的面积为 ．    50．（22-23八年级下·昭通·期中）古希腊著名数学家海伦写了一本《测量仪论》，上面记载着一个重要公式：指三角形的面积，是三角形各边长，为周长的一半．海伦对这个公式做出了证明，所以后人称这个公式为海伦公式．已知的边长分别为2，3，4，根据海伦公式求得的面积为 ． 51．（23-24八年级下·云南昭通·阶段练习）如图，从一张面积为的正方形纸板的四个角上各剪掉一个面积为的小正方形，将剩余部分制作成一个无盖的长方体盒子． (1)求这个长方体盒子的底面边长；（结果用最简二次根式表示） (2)求这个长方体盒子的体积． 52．（22-23八年级下·云南楚雄·期中）小明家正在装修，电视背景墙是矩形，其中，，中间要镶一个长为，宽为的矩形大理石图案（图中阴影部分）．    (1)矩形的面积是多少？（结果化为最简二次根式） (2)除去大理石图案部分，其他部分贴壁布，若壁布的造价为8元，大理石的造价为150元，则整个电视墙需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 53．（22-23八年级下·云南·期末）高空抛物现象曾被称为“悬在城市上空的痛”，严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常来不及避让，据研究，高空抛物下落的时间t（秒）和高度h（米）近似满足公式 （其中g≈9.8米/秒2）． (1)当米时，求下落的时间t；（结果保留根号） (2)伤害无防护人体只需要65焦的动能，高空抛物动能（焦）＝10×物体质量（千克）×高度（米），某质量为0.1千克的玩具在高空被抛出后经过4秒后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由． 54．（23-24八年级下·云南临沧·期中）观察下列等式 等式一：； 等式二：； 等式三：； ……； 解决下列问题： （1）化简：； （2）若有理数a、b满足，求a＋b的值． 1．（22-23八年级下·河南新乡·期末）若，则化简的结果为（     ） A． B． C． D． 2．（21-22八年级下·云南红河·期末）若x为实数，在“”的“”中添上一种运算符号（在“＋，－，×，÷”中选择）后，其运算的结果为有理数，则不可能是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级下·福建厦门·期末）化简：（1） ；（2） ． 4．（22-23八年级下·陕西西安·期末）已知实数、y满足，化简：； 5．（22-23八年级上·辽宁沈阳·期中）计算： (1)； (2)． 6．（23-24八年级上·江西吉安·期末）（1）； （2）． 7．（22-23八年级下·宁夏石嘴山·期末）计算 (1)； (2)． 8．（22-23八年级上·广东广州·期末）计算：． 9．（22-23八年级下·天津和平·期末）计算： (1)； (2)． 10．（22-23八年级下·云南大理·期末）计算： (1)． (2)； 11．（2024·河北唐山·二模）阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：＝＝ ＝＝ ＝＝＝﹣1 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． （1）化简 （2）化简． （3）化简：＋＋＋…＋． 12．（22-23八年级下·全国·期末）（1）先化简，再求值：，其中． （2）已知，，试求代数式的值． 13．（22-23八年级下·山东威海·期末）（1）若，求； （2）若，求的值． 14．（23-24八年级下·福建南平·期末）李老师家装修，矩形电视背景墙的长为，宽为，中间要镶一个长为，宽为的矩形大理石图案（图中阴影部分） (1)背景墙的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)除去大理石图案部分，其它部分贴壁纸，若壁纸造价为22元，大理石造价为200元，则整个电视背景墙需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 二次根式的 利用二次根式的性质化简 1．（22-23八年级下·云南楚雄·期末）一组数据按一定规律排列：，，，，，，则这组数据的第项是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数式规律问题及二次根式的性质化简，根据题干中数据总结规律，得出第个数据为即可． 【详解】解：第个数据为， 第个数据为， 第个数据为， 则第个数据为， 故选：C． 2．（21-22八年级下·云南保山·期末）若2、5、为三角形的三边长，则化简的结果为（   ） A．5 B． C． D．10 【答案】A 【分析】先确定n的取值范围，再化简二次根式． 【详解】解：∵2、5、n为三角形的三边长， ∴3＜n＜7， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，掌握二次根式的性质和三角形的三边关系是解决本题的关键． 3．（21-22八年级下·云南普洱·期末）二次根式的最小值为（    ） A．0 B．1 C． D．不能确定 【答案】A 【分析】根据二次根式的非负性求解即可． 【详解】解：∵≥0， ∴的最小值为0， 故选：A． 【点睛】本题考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质≥0是解题的关键． 4．（22-23八年级下·云南昆明·期末）下列各等式成立的是（　　） A．（）2＝5 B．＝﹣5 C．＝5 D．＝x 【答案】C 【分析】根据二次根式的性质化简． 【详解】解：A、 的被开方数是负数，所以无意义，故选项不正确，不符合题意； B、，故选项不正确，不符合题意； C、，故选项正确，符合题意； D、，故选项不正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质（1），（2），熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 5．（22-23八年级下·云南楚雄·期末）对于任意两个不相等的正数，，定义一种运算，，例如，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，分母有理化，理解定义的新运算是解题的关键．按照定义的新运算进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得：， 故答案为： 6．（22-23八年级下·昆明·阶段练习）如果，则 ． 【答案】 【分析】 根据，再列不等式解题即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二次根式的化简，掌握是解本题的关键． 7．（2024·云南·模拟预测）化简：＝ ． 【答案】9 【分析】根据二次根式的性质，即由此即可求解． 【详解】解：根据二次根式的性质得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次根式的性质，解题的关键是掌握二次根式的性质． 8．（21-22八年级下·云南红河·期末）化简= 【答案】 【分析】把化简为，然后再进行计算，即可得到答案． 【详解】解：； 故答案为：． 【点睛】本题考查了算术平方根，将化成是正确解答的前提． 9．（23-24八年级上·云南昆明·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的混合计算，化简二次根式，零指数幂，负整数指数幂，先化简二次根式，计算零指数幂和负整数指数幂，再根据实数的计算法则求解即可． 【详解】解； ． 10．（22-23八年级下·云南文山·期末）计算：． 【答案】 【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了实数的运算，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键． 11．（2023·云南·二模）计算：． 【答案】 【分析】利用负整数指数幂，零指数幂，二次根式的性质，绝对值的化简的运算法则对各项进行计算，再依次进行计算即可． 【详解】解：， ， ， ． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握负整数指数幂，零指数幂，二次根式的性质，绝对值的化简的运算法则是解答本题的关键． 二次根式的乘除混合运算 12．（22-23八年级下·云南楚雄·期末）下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，平方差公式以及二次根式的乘法法则逐项进行计算即可． 【详解】A、计算正确，故选项A符合题意； B、，故选项B不符合题意； C、，故选项C不符合题意； D、，故选项D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，平方差公式以及二次根式的乘法，掌握相关运算的法则是解题的关键． 13．（23-24八年级上·云南昆明·期末）下列各式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的运算和化简，还涉及到零指数幂有意义的条件，熟练掌握二次根式的运算法则，化简公式是解题关键． 利用二次根式的除法运算法则对A选项进行判断；根据零指数幂有意义的条件对B选项进行判断；利用乘积的幂运算法则及二次根式的乘方法则对C选项进行判断；利用二次根式的开方运算法则对D选项进行判断． 【详解】解：A、，故此选项符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选： 14．（21-22八年级下·云南西双版纳·期末）下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由二次根式的乘除法、积的乘方，对每个选项的运算进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A、，故A错误，不符合题意； B、，故B正确，符合题意； C、，故C错误，不符合题意； D、，故D错误，不符合题意； 故选：B 【点睛】本题考查了二次根式的乘除法、积的乘方等运算，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行判断． 15．（21-22八年级下·云南德宏·期末）计算： 【答案】1 【分析】由题意先利用平方差公式进行运算，计算二次根式的乘法，再合并即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查二次根式的运算，熟练掌握平方差公式以及利用二次根式的基本性质化简是解题的关键． 16．（22-23八年级下·云南昭通·期末）计算：． 【答案】2021 【分析】先化简有理数的乘方，二次根式，算术平方根，然后算除法，最后算加减． 【详解】解：原式＝﹣1﹣+2020﹣（﹣6） ＝﹣1﹣+2020+6 ＝﹣1﹣4+2020+6 ＝2021． 【点睛】本题主要考查了有理数的乘方，二次根式的除法运算，算术平方根，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 17．（22-23八年级上·云南红河·期末）计算：14＋(3.14) 0＋÷ 【答案】0 【分析】首先计算乘方，然后计算除法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可． 【详解】原式 =1+21 += 0 【点睛】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用． 18．（22-23八年级下·云南昆明·期末）计算： （1） （2） 【答案】（1）0；（2） 【分析】（1）直接利用二次根式的加减乘除运算法则求出答案． （2）直接利用乘法公式以及二次根式的混合运算法则计算得出答案． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算及完全平方公式，正确化简二次根式是解题的关键． 二次根式的加减运算 19．（22-23八年级下·云南迪庆·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，二次根式的乘法运算，二次根式的性质，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．根据二次根式的加法法则，二次根式的乘法法则，二次根式的减法法则和二次根式的性质进行计算，即可判断答案． 【详解】A、和不能合并，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：B． 20．（23-24八年级上·云南文山·期末）下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式运算，涉及二次根式减法、二次根式性质、二次根式除法等知识，根据这些运算法则逐项验证即可得到答案，熟练掌握二次根式性质及运算法则是解决问题的关键． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故该选项运算错误，不符合题意； B、根据二次根式性质，故该选项运算错误，不符合题意； C、，故该选项运算错误，不符合题意； D、，故该选项运算正确，符合题意； 故选：D． 21．（23-24九年级上·福建泉州·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次根式的加减运算和二次根式的性质，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：A. 不能运算，计算错误； B. ，计算错误； C. ，计算错误； D. ，计算正确； 故选D． 22．（22-23八年级下·云南红河·期末）化简： ． 【答案】 【分析】化简二次根式即可； 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次根式的化简，正确计算是解题的关键． 23．（2024·云南·模拟）计算： ． 【答案】 【分析】先把化简为2，再合并同类二次根式即可得解. 【详解】2-=. 故答案为：. 【点睛】本题考查了二次根式的运算，正确对二次根式进行化简是关键． 24．（23-24八年级上·云南文山·期末）计算： 【答案】 【分析】本题考查二次根式混合运算，涉及二次根式性质、零指数幂、负整数指数幂和二次根式的加减运算，先运用二次根式性质化简、再计算零指数幂及负整数指数幂，最后利用二次根式加减运算求解即可得到答案，熟练掌握二次根式混合运算法则是解决问题的关键． 【详解】解： ． 25．（22-23八年级下·云南大理·期末）计算． 【答案】 【分析】先根据零次幂、二次根式的性质、负整数次幂、绝对值的知识化简，然后再合并同类二次根式即可解答． 【详解】解：， ， ． 【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，掌握零次幂、二次根式的性质、负整数次幂是解答本题的关键． 26．（21-22八年级上·云南文山·期末）计算： 【答案】 【分析】由二次根式的性质、完全平方公式、立方根、乘方的运算法则进行计算，即可得到答案． 【详解】解：原式＝． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算、完全平方公式、立方根、乘方的运算法则，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行解题． 二次根式的混合运算 27．（22-23八年级下·云南昆明·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，根据二次根式混合运算的法则对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A． 与不是同类项，不能合并，原计算错误，故本选项不符合题意； B． ，正确，故本选项符合题意； C． ，原计算错误，故本选项不符合题意； D． ，原计算错误，故本选项不符合题意； 故选：B． 28．（22-23八年级下·云南昭通·期末）下列各式中计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的性质和运算法则逐一计算可得． 【详解】解：对于A，，故A选项错误，不符题意； 对于B，，故B选项错误，不符题意； 对于C，，故C选项正确，符合题意； 对于D，，故D选项错误，不符题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简运算，准确理解二次根式的运算法则进行计算是解题的关键． 29．（21-22八年级下·云南红河·期末）若x为实数，在“”的“”中添上一种运算符号（在“＋，－，×，÷”中选择）后，其运算的结果为有理数，则不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】代入选项，添加运算符然后化简，其结果不为有理数，即可选出答案 【详解】A．原式＝ ，结果为有理数； B．原式＝ ，结果为有理数； C．任意添加一种运算符号，其运算结果都为无理数； D．原式＝ ，结果为有理数． 故选择C． 【点睛】本题考查根式的运算，灵活运用根式的运算法则为关键． 30．（22-23八年级下·云南昭通·期末）计算：＝ ． 【答案】1 【分析】直接利用积的乘方运算法则将原式变形进而得出答案． 【详解】原式=[（2−5）（2+5）]2002 =1． 故答案为1． 【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确运用乘法公式是解题关键． 31．（22-23八年级上·云南楚雄·期末）计算： = ． 【答案】-1 【详解】解：原式=．故答案为－1． 32．（22-23八年级下·云南楚雄·期末）计算：． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式的混合运算和零指数幂，先根据二次根式的乘法法则，二次根式的除法法则，零指数幂和二次根式的性质进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可． 【详解】解： ． 33．（22-23八年级下·云南昆明·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序． （1）根据二次根式的乘法和除法法则进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可； （2）先根据平方差公式，完全平方公式和二次根式的性质进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 34．（22-23八年级下·云南迪庆·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序． （1）先根据完全平方公式展开，再根据二次根式的性质和二次根式的乘法法则进行计算，再算加法即可； （2）先根据二次根式的乘法法则，绝对值和二次根式的性质进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 己知字母的值，化简求值 35．（20-21八年级上·云南文山·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先把整式进行化简，得到最简整式，再把代入计算，即可得到答案． 【详解】解：原式， ∴当时， 原式． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，整式的化简求值，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行化简． 36．（23-24八年级下·云南昭通·阶段练习）已知，，求的值． 【答案】28 【分析】本题考查二次根式的运算，完全平方公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．先将代数式化为完全平方式，再代入计算求值即可． 【详解】解：将，代入： ． 37．（22-23八年级下·云南昆明·阶段练习）已知，，， (1)求，的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用二次根式的运算以及平方差公式求解即可； （2）利用完全平方公式的变形进行求解即可． 【详解】（1）解：， 则，； （2） 【点睛】此题考查了二次根式的运算，涉及了平方差公式和完全平方公式，解题的关键是熟练掌握相关运算法则． 38．（22-23八年级下·云南昭通·期中）已知，．求的值． 【答案】 【分析】先计算出，的值，再把所求代数式变形为，然后代值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，． 则原式 ． 【点睛】本题二次根式运算及分式的化简求值，通过先计算，的值，变形所求代数式，从而使计算变得简便． 39．（22-23八年级下·云南昆明·期末）先化简，再求值：，其中， 【答案】，-3 【分析】化简原式，将数值的代入，即可求解． 【详解】解：原式 ． 当，时， 原式 ． 【点睛】本题主要考查了多项式的化简及求值，正确掌握多项式的化简及求值是解题的关键． 40．（22-23八年级下·云南昭通·期中）已知，求值： （1）            （2） 【答案】（1）12；（2）70 【分析】先求得a+b＝2，ab＝2， （1）首先把所求的式子变形成的形式，然后代入数值计算即可求解； （2）利用完全平方公式变形，将a+b与ab的值代入计算即可求出值． 【详解】解：∵ ∴a+b＝2，ab＝2， （1）原式＝ （2）原式＝ 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，正确对所求的式子进行变形是关键． 已知条件式，化简求值 41．（23-24八年级上·云南昭通·期末）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查完全平方公式，二次根式的混合运算，根据完全平方公式变形，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴， 故选：B． 42．（22-23八年级下·曲靖·单元测试）已知，，则的值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】利用已知，代入求值即可． 【详解】解：， 当，时， ，， 原式． 故选：D． 【点睛】本题考查了分式化简求值，二次根式的加减． 43．（23-24八年级下·昆明·单元测试）已知a+b＝﹣7，ab＝4，则＝(　　) A． B．﹣ C． D．﹣ 【答案】A 【分析】先化简原式，再整体代入即可． 【详解】∵a+b=-7＜0，ab=4＞0， ∴a＜0，b＜0 原式=（-）+（-） =-， ∵a+b=-7，ab=4， ∴原式=-， 故选A． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化是解题的关键． 44．（22-23八年级下·红河·期末）已知， 求的值. 【答案】10 【分析】根据二次根式的加减法法则、平方差公式求出x＋y、xy，利用完全平方公式把所求的代数式变形，代入计算即可． 【详解】∵ ∴x＋y＝（＋1）＋（−1）＝2，xy＝（＋1）（−1）＝2， ∴＝x2＋2xy＋y2−xy＝（x＋y）2−xy＝12-2=10． 【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质、二次根式的混合运算法则、完全平方公式、平方差公式是解题的关键． 45．（22-23八年级上·昆明·期中）在数学小组探究学习中，张兵与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求的值．他们是这样解答的： ∵ ∴ ∴即 ∴ ∴． 珇你根据张兵小组的解题方法和过程，解决以下问题： (1)______． (2)化简； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)利用分母有理化计算； (2)先分母有理化，然后合并即可； (3)先利用得到，两边平方得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】（1）， 故答案为：； （2）解： ； （3）， ， ∴，即． ∴． ∴ ． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式． 46．（22-23八年级下·昆明·阶段练习）已知，，，． （1）求的值； （2）若，，求的值． 【答案】（1）2，4；（2） 【分析】（1）由x和y的值求出xy，y－x和x2+y2，将m和n分别变形，从而求值； （2）根据（1）中m和n的值，将变形，求出a+b的值，再根据求出的值. 【详解】解：（1）∵， ∴，， ∴， ∴，； （2）∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 又∵， ∴. 【点睛】本题考查了二次根式的运算、完全平方公式以及分式的加减运算，解题的关键是熟悉公式以及运算法则，掌握利用完全平方公式进行变形求值. 47．（22-23八年级下·云南昭通·期末）若x＝3＋2，y＝3－2，求的值． 【答案】0 【分析】先运用平方差及完全平方公式进行因式分解，再约分，将分式化到最简即可． 【详解】 = = = =0． 故当x＝3+2，y＝3−2时，原式=0． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值．运用公式将分子因式分解可使运算简便．由于所求代数式化简之后是一个常数0，与字母取值无关．因而无论x、y取何值，原式都等于0． 二次根式的应用 48．（23-24八年级下·昆明·单元测试）如图，在长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片则图中空白部分的面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次根式的应用，算术平方根的实际应用，根据正方形的面积求出两个正方形的边长即可得出结果． 【详解】解：∵两张正方形纸片面积分别为和， ∴它们的边长分别为，， ∴，， ∴空白部分的面积 故选：A． 49．（22-23八年级下·玉溪·期中）如图，长方形内有两个相邻的正方形（空白部分），其面积分别为3和12，则图中阴影部分的面积为 ．    【答案】3 【分析】根据题意求出空白两正方形的边长，进而求出阴影部分的长与宽的和，即可求出阴影部分面积． 【详解】解：根据小空白正方形面积为3，得到边长为，大空白正方形面积为，得到边长为，则阴影部分的长为，阴影部分的宽的和为， 则阴影部分面积为． 故答案为：3． 【点睛】此题主要考查了二次根式的应用，正确得出正方形的边长是解题关键． 50．（22-23八年级下·昭通·期中）古希腊著名数学家海伦写了一本《测量仪论》，上面记载着一个重要公式：指三角形的面积，是三角形各边长，为周长的一半．海伦对这个公式做出了证明，所以后人称这个公式为海伦公式．已知的边长分别为2，3，4，根据海伦公式求得的面积为 ． 【答案】 【分析】根据题目中的海伦公式，将的边长代入计算即可． 【详解】解：若一个三角形的三边长分别为2，3，4， ，，， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的三角形的面积． 51．（23-24八年级下·云南昭通·阶段练习）如图，从一张面积为的正方形纸板的四个角上各剪掉一个面积为的小正方形，将剩余部分制作成一个无盖的长方体盒子． (1)求这个长方体盒子的底面边长；（结果用最简二次根式表示） (2)求这个长方体盒子的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的应用，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）利用正方形的面积公式和二次根式的性质，求出大正方形和小正方形的边长即可； （2）用大正方形的边长减去两个小正方形的边长求出底面边长，利用长方体的体积公式求出体积即可． 【详解】（1）解：∵大正方形的边长为；剪掉的四个小正方形的边长为， ∴长方体盒子的底面边长； （2）这个长方体盒子的体积为． 52．（22-23八年级下·云南楚雄·期中）小明家正在装修，电视背景墙是矩形，其中，，中间要镶一个长为，宽为的矩形大理石图案（图中阴影部分）．    (1)矩形的面积是多少？（结果化为最简二次根式） (2)除去大理石图案部分，其他部分贴壁布，若壁布的造价为8元，大理石的造价为150元，则整个电视墙需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 【答案】(1)矩形的面积是 (2)整个电视墙需要花费元 【分析】（1）根据矩形的面积公式列出式子，计算二次根式的乘法即可得； （2）先求出大理石的面积，从而可得壁布的面积，再根据壁布和大理石的造价列式计算即可得． 【详解】（1）解：，， ∴矩形的面积为． 答：矩形的面积是． （2）解：大理石的面积为， 壁布的面积为， 则整个电视墙的总费用为（元）． 答：整个电视墙需要花费元． 【点睛】本题考查了二次根式乘法与加法的应用，正确列出运算式子，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键． 53．（22-23八年级下·云南·期末）高空抛物现象曾被称为“悬在城市上空的痛”，严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常来不及避让，据研究，高空抛物下落的时间t（秒）和高度h（米）近似满足公式 （其中g≈9.8米/秒2）． (1)当米时，求下落的时间t；（结果保留根号） (2)伤害无防护人体只需要65焦的动能，高空抛物动能（焦）＝10×物体质量（千克）×高度（米），某质量为0.1千克的玩具在高空被抛出后经过4秒后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由． 【答案】(1)2 (2)会，理由见解析 【分析】（1）把h的值代入计算求解； （2）先求出h的值，再计算判断． 【详解】（1）解：当米时： ==2； （2）这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人， 理由：当秒时，， 解得：米， ∵， 所以这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人． 【点睛】本题考查了二次根式的运用，掌握二次根式的运算是解题的关键． 54．（23-24八年级下·云南临沧·期中）观察下列等式 等式一：； 等式二：； 等式三：； ……； 解决下列问题： （1）化简：； （2）若有理数a、b满足，求a＋b的值． 【答案】（1）；（2）2 【分析】利用平方差公式进行分母有理化． 【详解】解：（1）； （2）∵， ∴a（﹣1）＋b（＋1）＝2﹣1， 即：（a＋b）﹣（a﹣b）＝2﹣1， ∴a＋b＝2． 【点睛】本题考查分母有理化、平方差公式，根据材料理解题意是关键． 1．（22-23八年级下·河南新乡·期末）若，则化简的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的性质，求一个数的立方根，化简即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，求一个数的立方根，熟练掌握以上知识是解题的关键． 2．（21-22八年级下·云南红河·期末）若x为实数，在“”的“”中添上一种运算符号（在“＋，－，×，÷”中选择）后，其运算的结果为有理数，则不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】代入选项，添加运算符然后化简，其结果不为有理数，即可选出答案 【详解】A．原式＝ ，结果为有理数； B．原式＝ ，结果为有理数； C．任意添加一种运算符号，其运算结果都为无理数； D．原式＝ ，结果为有理数． 故选择C． 【点睛】本题考查根式的运算，灵活运用根式的运算法则为关键． 3．（22-23八年级下·福建厦门·期末）化简：（1） ；（2） ． 【答案】 / 【分析】本题主要考查了化简二次根式， （1）根据进行化简即可； （2）把分母分子同时乘以3，再进行化简即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：． 4．（22-23八年级下·陕西西安·期末）已知实数、y满足，化简：； 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件求出x的值，进而求出y的取值范围，据此化简绝对值和二次根式即可得到答案． 【详解】解：∵二次根式和要有意义， ， ， ∵， ∴， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了化简二次根式，化简绝对值，二次根式有意义的条件，正确根据二次根式有意义的条件求出x的值，进而确定y的取值范围是解题的关键． 5．（22-23八年级上·辽宁沈阳·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）先化简，再算二次根式的加减法即可； （2）先化简，再算括号里的加减法，最后算除法即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是掌握二次根式的运算法则和性质． 6．（23-24八年级上·江西吉安·期末）（1）； （2）． 【答案】（1）；(2) 【分析】（1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可； （2）根据二次根式的混合计算法则求解即可． 【详解】（1）原式 ． （2） 原式 ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的加减计算，二次根式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 7．（22-23八年级下·宁夏石嘴山·期末）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简各项，再合并同类二次根式； （2）根据二次根式的乘除混合运算法则求解即可． 【详解】（1） ； （2） ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则、正确计算是解题的关键． 8．（22-23八年级上·广东广州·期末）计算：． 【答案】 【分析】先计算二次根式的乘法运算，化简能够化简的二次根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，熟练的利用二次根式的乘除法与加减运算法则进行二次根式的运算是解本题的关键． 9．（22-23八年级下·天津和平·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用完全平方公式展开，再计算加减即可； （2）先计算乘法，再计算加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则． 10．（22-23八年级下·云南大理·期末）计算： (1)． (2)； 【答案】(1) (2)0 【分析】（1）先化简，再进行加减乘除的混合运算即可； （2）先计算绝对值、平方根、零指数幂，再进行加减混合运算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查实数的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 11．（2024·河北唐山·二模）阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：＝＝ ＝＝ ＝＝＝﹣1 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． （1）化简 （2）化简． （3）化简：＋＋＋…＋． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）分子，分母同乘，再根据二次根式的运算法则，即可化简； （2）分子，分母同乘-，再利用平方差公式和约分，化简即可； （3）分母有理化后，分母都是2，分子相加，进而即可求解． 【详解】（1）原式= = = = =； （2）原式= = = =； （3）原式=＋＋＋…＋ =＋＋＋…＋ =（＋＋＋…＋） =． 【点睛】本题主要考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质以及分母有理化，是解题的关键． 12．（22-23八年级下·全国·期末）（1）先化简，再求值：，其中． （2）已知，，试求代数式的值． 【答案】（1），；（2）42 【分析】（1）先计算整式的乘法，再合并同类项，然后把代入化简后的结果，即可求解． （2）先利用x、y的值计算出，，再利用完全平方公式得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】（1）解： ， 当时， 原式； （2）解：∵，， ∴，， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．利用整体代入的方法可简化计算． 13．（22-23八年级下·山东威海·期末）（1）若，求； （2）若，求的值． 【答案】（1）18；（2） 【分析】（1）根据二次根式的加法法则求出，根据二次根式的乘法法则求出，根据提公因式、完全平方公式把原式变形，代入计算即可； （2）根据完全平方公式把原式变形，计算即可． 【详解】解：（1），， ，， 则 ； （2）， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的乘法法则、加法法则是解题的关键． 14．（23-24八年级下·福建南平·期末）李老师家装修，矩形电视背景墙的长为，宽为，中间要镶一个长为，宽为的矩形大理石图案（图中阴影部分） (1)背景墙的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)除去大理石图案部分，其它部分贴壁纸，若壁纸造价为22元，大理石造价为200元，则整个电视背景墙需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 【答案】(1)背景墙的周长为 (2)整个电视背景墙需要花费元 【分析】 本题主要考查二次根式的应用： （1）背景墙长方形的周长，根据最简二次根式的定义化简即可； （2）分别求出大理石的面积和壁纸的面积即可，求解面积需要根据二次根式的乘法和加减运算法则计算． 【详解】（1）背景墙长方形的周长． 答：背景墙的周长为． （2）长方形的面积： ． 大理石的面积：． 壁纸的面积：． 整个电视墙的总费用：(元)． 答：整个电视背景墙需要花费元． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$