专题03 整式的乘法与因式分解（复习课件）-2023-2024学年七年级数学下学期期末考点大串讲（苏科版）

七年级苏科版数学下册期中考点大串讲 串讲03 整式的乘除与 因式分解 01 02 目 录 考点剖析 考点透视 三大常考点思维导图梳理 三大考点知识梳理+易错易混/技巧+热考题型 考点透视 考点剖析 考点一 整式的乘法 整式的乘法 运算步骤说明 补充说明及注意事项 单项式乘单项式 ①将单项式系数相乘作为积的系数; ②相同字母的因式，利用同底数幂的乘法，作为积的一个因式; ③单独出现的字母，连同它的指数，作为积的一个因式. 1）实质:乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用. 2）单项式乘单项式所得结果仍是单项式 . 单项式乘多项式 ①先用单项式和多项式的每一项分别相乘； ②再把所得的积相加. 1）单项式乘多项式实质上是转化为单项式乘以单项式 2）单项式乘多项式的结果是多项式，积的项数与原多项式的项数相同. 多项式乘多项式 ①先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘， ②再把所得的积相加． 运用法则时应注意以下两点： ①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏； ②多项式与多项式相乘，多项式的每一项都应该带上它前面的正负号.且结果仍是多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积． 热考题型 考点一 整式的乘法 1．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【详解】（1）解： （2） （3） （4） 热考题型 考点一 整式的乘法 2．（22-23七年级下·四川成都·期中）先化简，再求值：，其中x、y满足． 【详解】解：原式 ， ，即， ， 当时，原式． 热考题型 考点一 整式的乘法 2．（23-24七年级下·陕西咸阳·期中）已知关于x的多项式与的乘积展开式中不含项和项，求的值． 【详解】解： ， ∵关于x的多项式与的乘积展开式中不含项和项， ∴， ∴， ∴． 热考题型 考点一 整式的乘法 4．（22-23八年级上·河南安阳·期末）在计算时，甲把b错看成了6，得到结果是：；乙把a错看成，得到结果是：． (1)求出a，b的值； (2)在（1）的条件下，计算的结果． 【详解】（1）根据题意得：， ， 所以，， 解得：，； （2）当，时，． 热考题型 考点一 整式的乘法 5．（22-23七年级下·全国·假期作业）小红准备完成题目：计算 ，她发现第一个因式的一次项系数被墨水遮挡住了． (1)她把被遮住的一次项系数猜成3，请你完成计算：； (2)老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含一次项的，”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？ 【详解】（1）解：； （2）解：设第一次因式的一次项系数为a，则原题目变为， ， ∵的计算结果不含一次项，∴， ∴，∴被遮住的一次项系数是2． 热考题型 考点一 整式的乘法 6．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）【典例展示】 若关于x，y的代数式的值与x无关，求a的值； 解：原式 ∵代数式的值与x无关， ∴，∴． 【理解应用】 已知，，且的值与x无关，求m的值； 【详解】解：【理解应用】 ， 的值与x无关， ， 解得：； 热考题型 考点一 整式的乘法 【拓展延伸】 用6张长为a，宽为b的长方形纸片按照如图所示的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分，设左上角部分的面积为，右下角部分的面积为，当的长度发生变化时，的值始终保持不变，求a与b之间的数量关系． 【拓展延伸】设， 由图得：，， ， 的长度发生变化时，的值始终保持不变， ， ． 热考题型 考点一 整式的乘法 7．（23-24七年级下·江西九江·阶段练习）观察下列各式的计算规律，解答下列问题． （1）； （2）； （3）； （4）； …… (1)根据上面各式的规律可得： _____________； (2)根据（1）中规律计算的值； (3)求的个位数字． 【详解】（1）解：； （2）解： ； 热考题型 考点一 整式的乘法 7．（23-24七年级下·江西九江·阶段练习）观察下列各式的计算规律，解答下列问题． （1）； （2）； （3）； （4）； …… (3)求的个位数字． （3）解： ， ∵的个位数字以3,9,7,1进行四次一个循环， 又∵， ∴的个位数字为3， ∵3减去1之后的个位数字是2，再除以2之后个位数字就是1， ∴的个数数字就是1． 热考题型 考点一 整式的乘法 8．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，甲长方形的两邻边长分别为，，乙长方形的两邻边长分别为，．（其中为正整数） (1)图中甲长方形的面积为，乙长方形的面积为，比较大小：______（填“”、“”或“”），并说明理由； 【详解】（1）解：， 理由如下： ， ， 故答案为：． 热考题型 考点一 整式的乘法 8．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，甲长方形的两邻边长分别为，，乙长方形的两邻边长分别为，．（其中为正整数） (2)现有一正方形，其周长与图中甲长方形的周长相等，正方形的面积为．若甲、乙两个长方形的面积，与正方形的面积满足，求这个正方形的面积． （2）解：正方形的周长与图中甲长方形的周长相等， 正方形的周长为， 正方形的边长为， 正方形的面积． ， ， 整理得， ， 这个正方形的面积为10． 热考题型 考点一 整式的乘法 9．（21-22七年级下·江苏无锡·期中）已知：的结果中不含关于字母x的一次项，求的值． 【详解】解： ， ∵结果中不含关于字母x的一次项， ∴， 化简可得：原式，             将代入化简之后的式子得：． 热考题型 考点一 整式的乘法 10．（22-23七年级下·陕西咸阳·阶段练习）定义新运算，如，那么化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【详解】解： ． 故选：D． 考点剖析 考点二 乘法公式 考点剖析 乘法公式 基础 变形 平方差公式 (a＋b)(a－b)＝a2－b2 1.通过移项变形 ① a2+b2＝(a+b)2-2ab ② 2ab=(a+b)2-(a2+b2) 用法：已知a+b、ab、a2+b2中的两项求另一项的值（知二求一）. 2.a+b与a-b的转化 ① (a+b)2＝(a-b)2+4ab ② (a-b)2＝(a+b)2-4ab ③ (a+b)2 -(a-b)2＝4ab ④ (a+b)2 +(a-b)2 =2(a2+b2) 用法：已知a+b、ab、a-b 中的两项求另一项的值（知二求一）. 3.特殊结构 ① (x+ )2＝x2+2＋ ② x2＋ =(x＋)2-2 ③ (x- )2＝x2-2＋ ④ x2- =(x -)2+2 4.扩展 ① (a±b)3＝a3±3a2b＋3ab2±b3 ② (a+b+c)3＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc 完全平方公式 (a±b)2＝a2±2ab＋b2 口诀：首平方，尾平方， 二倍乘积放中央. 易错易混 考点二 乘法公式 1.应用完全平方公式计算时，应注意以下几个问题： ①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式； ②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式； ③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 2.应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是相同项的平方减去相反项的平方； ③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式； ④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便． 考点剖析 考点二 乘法公式 完全平方公式的几何背景 1.意义：运用几何图形直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释． 2. 常见验证完全平方公式的几何图形 结论：（a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系） 考点剖析 考点二 乘法公式 平方差公式的几何背景 1.意义：运用几何图形直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释． 2. 常见验证平方差公式的几何图形 结论：(a＋b)(a－b)＝a2－b2 热考题型 考点二 乘法公式 1．（22-23七年级下·浙江金华·期末）若能运用平方差公式计算，则，满足的条件可能是（    ） ①，；②，；③，；④，． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【详解】解：∵能运用平方差公式计算， ∴，或，，故选：C． 2．（20-21七年级下·广东茂名·期中）下列多项式不是完全平方式的是(    )． A． B． C． D． 3．【易错常考】（21-22七年级下·江苏苏州·期中）若是完全平方式，则常数的值为（    ） A．-11或13 B．11或-13 C． D． 【详解】是完全平方式， 解得：或，故答案为B. 热考题型 考点二 乘法公式 4．（23-24七年级下·河北保定·期中）先化简再求值： (1)，其中． (2)，其中，． 【详解】（1）解：原式 ， 当时，原式． （2）原式 2， 当，时， 原式． 热考题型 考点二 乘法公式 5．（22-23七年级下·江苏盐城·期中）已知多项式． (1)化简多项式A； (2)若是一个完全平方式，求A的值． 【详解】（1）解： ； （2）是一个完全平方式， ， ． 当时，； 当时，． 故所求的值为3或27． 热考题型 考点二 乘法公式 6．（23-24七年级下·江苏宿迁·期中）根据完全平方公式，把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做“配方法”．例如把配方如下：．请完成下列问题： (1)填空：配方多项式的结果为 ； (2)当等于多少时，代数式的值最小？ 【详解】（1）解：的三种配方分别为： ， ， ， 故答案为：或或； （2）∵， 无论取何值时，都有， ∴当时，取最小值，此时代数式的值最小，最小值为， ∴当时，代数式的值最小． 热考题型 考点二 乘法公式 6．（23-24七年级下·江苏宿迁·期中）根据完全平方公式，把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做“配方法”．例如把配方如下：．请完成下列问题： (3)用一根长为米的绳子围成一个长方形，请问长方形的边长为多少时，围成的长方形面积最大？最大面积是多少？ （3）设该长方形的一边长为米，则其相邻边长为米，面积为平方米， 根据题意，得： ， ∴当时，取最大值为， ∴（米）， ∴当该长方形的相邻两边长均为米时，围成的长方形面积最大，最大面积是平方米． 热考题型 考点二 乘法公式 7．（23-24八年级下·福建漳州·期中）【阅读材料】配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题． 定义：若一个整数能表示成（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数” 例如，5是“完美数”，理由：因为．所以5是“完美数” (1)已知53是“完美数”，请将它写成（a，b为整数）的形式______； (2)若可配方成的形式（m、n均为常数），求的值； 【详解】（1）解：∵53是“完美数”， ∴； 故答案为： （2）解：∵， ∵， ∴ ∴； 热考题型 考点二 乘法公式 7．（23-24八年级下·福建漳州·期中）【阅读材料】配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题． 定义：若一个整数能表示成（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数” 例如，5是“完美数”，理由：因为．所以5是“完美数” (3)已知（x，y是整数，k是常数），若S为“完美数”，求k的值． （3）解： ∵S为“完美数”， ∴ ∴． 热考题型 考点二 乘法公式 8．求值: 【详解】原式. ． 9．（23-24七年级下·宁夏银川·阶段练习）求值： (1)已知，，求的值. (2)已知，，求的值 【详解】（1）∵，，， ∴， 解得； （2）∵，，， ∴， 解得． 热考题型 考点二 乘法公式 10．（2023八年级上·全国·专题练习）图①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形． (1)请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积． 方法1： ；方法2： ； (2)观察图②请你写出下列三个代数式；之间的等量关系； (3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，求：的值； ②已知：，求：的值． 【详解】（1）解：根据题意得：图②中阴影部分的面积： 方法1：， 方法2：； 故答案为：；； （2）解：； 热考题型 考点二 乘法公式 10．（2023八年级上·全国·专题练习）图①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形． (1)请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积． 方法1： ；方法2： ； (2)观察图②请你写出下列三个代数式；之间的等量关系； (3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，求：的值； ②已知：，求：的值． （3）解：①∵， ∴； ②． 热考题型 考点二 乘法公式 11．（23-24八年级上·山东滨州·期末）如图，在边长为a的正方形上裁去边长为b的正方形． (1)图1阴影面积是 ； (2)图2是将图1中的阴影部分裁开，重新拼成梯形，根据图形可以得到乘法公式 ； (3)运用得到的公式，计算： ． 【详解】（1）解：阴影面积是：，故答案为：； （2）解：根据梯形的面积公式可知图2中阴影部分的面积为：， ∴可以得到的乘法公式为，故答案为：； 热考题型 考点二 乘法公式 11．（23-24八年级上·山东滨州·期末）如图，在边长为a的正方形上裁去边长为b的正方形． (3)运用得到的公式，计算： ． （3）解： ． 考点剖析 考点三 因式分解 因式分解 概念 把一个多项式化成几个整式的乘积的形式叫做因式分解.因式分解与整式乘法是互逆变形. 基本 方法 提公因式法 ma+mb+mc=m(a+b+c) 公式法 ① 运用平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)． ② 运用完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2 进阶 方法 十字相乘法 a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q) 【口诀】首尾分解，交叉相乘，实验筛选，求和凑中. 【特殊】因式分解：ax2+bx+c ①若a+b+c=0，则必有因式x-1 ②若a-b+c=0，则必有因式x+1 分组分解法 ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d) 换元法 如果多项式中某部分代数式重复出现，那么可将这部分代数式用另一个字母代替. 例：因式分解(x2+5x+2)(x2+5x+3)-12，设x2+5x+2=t 则原式=t(t+1)-12=(t-3)(t+4)= (x+2)(x+3)(x2+5x-1) 一般 步骤 1）如果多项式各项有公因式，应先提取公因式； 2）如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法：①为两项时，考虑平方差公式； ②为三项时，考虑完全平方公式； ③为四项时，考虑利用分组的方法进行分解； 3）检查分解因式是否彻底，必须分解到每一个多项式都不能再分解为止． 以上步骤可以概括为“一提、二套、三检查”. 易错易混 考点三 因式分解 1.因式分解分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可； 2.因式分解必须是恒等变形； 3.因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止. 4.因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式． 解题技巧 考点三 因式分解 因式分解的关键在于熟练掌握因式分解的两种基本方法：提取公因式法和公式法．因式分解的一般步骤： 热考题型 考点三 因式分解 1．（21-22七年级上·上海·期末）下列等式中：①；②；③；④，从左到右的变形是因式分解的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【详解】解：①由因式分解的概念可得，是从左到右的变形是因式分解； ②30不是多项式，故从左到右的变形不是因式分解； ③不是几个整式的乘积的形式，故从左到右的变形不是因式分解； ④，从左到右的变形是整式乘法，故从左到右的变形不是因式分解， 故选：A． 热考题型 考点三 因式分解 2．（22-23七年级下·陕西西安·阶段练习）若，则的值为 ． 【详解】解：∵， 而， ∴，， ∴， 3．（22-23七年级下·江苏苏州·期中）因式分解时，甲看错了a的值，分解的结果是，乙看错了b的值，分解的结果为，那么分解因式正确的结果为 ． 【详解】解：甲错了a的值，，， 乙看错了b的值，，， 分解因式正确的结果：． 热考题型 考点三 因式分解 4．（22-23七年级下·江苏南京·阶段练习）分解因式： (1)； (2)． 【详解】（1） 解： ； （2） ． 热考题型 考点三 因式分解 5.（1）能被整除吗？能被整除吗？说明你的理由． （2）说明：当为正整数时，的值必为的倍数． 【详解】解：（1）能被整除，能被整除，理由如下： ， 能被整除，能被整除； （2）， 为正整数， 、、为三个连续的整数，必有2的倍数和3的倍数， 当为正整数时，的值必为的倍数． 热考题型 考点三 因式分解 6．（23-24八年级上·山西临汾·期末）阅读材料并解决问题：分解因式，细心观察这个式子就会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了，过程为： 这种分解因式的方法叫做分组分解法．利用这种方法解决问题： (1)分解因式： 【详解】（1）解： ； 热考题型 考点三 因式分解 6．（23-24八年级上·山西临汾·期末）阅读材料并解决问题：分解因式，细心观察这个式子就会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了，过程为： 这种分解因式的方法叫做分组分解法．利用这种方法解决问题： (2)已知的三边长a，b，c满足，试判断的形状． （2）∵， ∴ ∴ ∵ ， ∴． ∴是等腰三角形． 热考题型 考点三 因式分解 7. （23-24八年级上·全国·课堂例题）（1）若，，是三角形的三边长，且满足关系式，试判断这个三角形的形状． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 即， ∴这个三角形是等腰三角形． 热考题型 考点三 因式分解 7. （23-24八年级上·全国·课堂例题）（2）若，，是的三边长，且满足，则是什么形状？ （2）∵， ∴． ∴， 即． ∴，，， ∴，，， ∴， ∴是等边三角形． 热考题型 考点三 因式分解 8．（23-24八年级上·山东滨州·期末）分解因式： (1)； (2)． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 热考题型 考点三 因式分解 9．（23-24七年级上·上海青浦·期中）用简便方法计算：． 【详解】解：设， 则原式， ， ， ∴原式． 谢谢！ $$