专题11中考综合压轴题-【好题汇编】2024年中考数学二模试题分类汇编（江苏专用）

专题11 综合题 1．（2024·江苏无锡·二模）如图，正六边形外作正方形，连接交于点O，求的值（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏徐州·二模）如图，和是以点为直角顶点的等腰直角三角形，且，分别作射线、，它们交于点．以点为旋转中心，将按顺时针方向旋转，若的长为2，则面积的最小值是（    ） A．4 B．8 C． D． 3．（2024·江苏宿迁·二模）四个村庄坐落在矩形的四个顶点上，公里，公里，在新农村建设中，要设立两个车站E，F，则的最小值为 公里． 4．（2024·江苏常州·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴正半轴交于点，与轴交于点，，点是线段上一点（不与点重合），过点作轴，交抛物线于点，连接，四边形是平行四边形． (1)填空：________． (2)求四边形的面积； (3)若点是的中点，连接．点是抛物线上一点，是直线上一点，连接，若与相似，求点的坐标． 5．（2024·江苏宿迁·二模）在平面直角坐标系中对于已知的点C和图形W，给出如下定义：若存在过点C的直线l，使之与图形W有两个公共点P，Q，且C，P，Q三点中，某一点恰为另两点所连线段的中点，则称点C是图形W的“相合点”． (1)已知点，线段与线段组成的图形记为W； ①点中，图形W的“相合点”是　　　　　　； ②点M在直线上，且点M为图形W的“相合点”，求点M的横坐标m的取值范围； (2)的半径为r，直线与x轴，y轴分别交于点E，F，若在线段上存在外的一点P，使得点P为的相合点，直接写出r的取值范围． 6．（2024·江苏无锡·二模）【教材呈现】如图，在中，点D、E分别是与的中点．则与的关系是，； 【感知】如图1，在矩形中，点O为的中点，点M为边上一动点，点N为的中点，连结、、．，与的数量关系是____________． 【应用】如图2，在中，，，、是的中线，M、N分别是和的中点，求的长； 【拓展】如图3，在平行四边形中，点E为边上一点，连接，点P在上，，点G是的中点，连接交于点F，若点F为的中点，，连接，求的值． 7．（2024·江苏宿迁·二模）[基础巩固] （1） 如图1， 在中， D、E、F分别为上的点，，交于点G， 求证：； [尝试应用] （2）如图2， 在（1）的条件下， 连接．若， 求 的值： [拓展提高] （3）如图3， 在中，，与交于点O， E为上一点，交于点G， 交于点 F．若平分，求 的长． 8．（2024·江苏徐州·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴分别交于点、，顶点为，连接、．点在线段上，作射线，过点作射线，垂足为点，以点为旋转中心把按逆时针方向旋转到，连接． (1)求点、的坐标． (2)随着点在线段上运动． ①连接，的大小是否发生变化？请说明理由； ②延长交于点，线段的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． (3)连接，当点在该抛物线的对称轴上时，的面积为 ． 9．（2024·江苏宿迁·二模）如图1，在中，，，点为的中点；动点以每秒个单位长度的速度从点出发沿线段运动，点同时在线段上运动，运动过程中始终保持，当点到达点时运动就停止，设运动的时间为秒，连接、． (1)当点在线段上时，求证：． (2)当射线将分成面积相等的两部分时，求点运动的时间． (3)如图2，设射线与线段的交点为，求点在从向运动的过程中，点所走过的路径长． 10．（2024·江苏常州·二模）给出如下定义：点，点是平面直角坐标系中不同的两点，且，若存在一个正数，使点、的坐标满足，则称、为一对“斜关点”，叫点、的“斜关比”，记作．由定义可知，．例如：若，，有，所以点、为一对“斜关点”，且“斜关比”为． 如图，已知平面直角坐标系中，点、、、． (1)在点、、、中，写出一对“斜关点”是________，此两点的“斜关比”是________（只需写出一对即可）． (2)若存在点，使得点、是一对“斜关点”，点、也是一对“斜关点”，且，求点的坐标． (3)若的半径是，是上一点，满足的所有点，都与点是一对“斜关点”，且．请直接写出点横坐标的取值范围． 11．（2024·江苏连云港·二模）【问题情境】如图，在中，，，点O是的中点，点D，E分别是边，上的动点，且，以为直角边，在上方作，使得，，与交于点H，连接． 【问题提出】    （1）当时，________； （2）当时，求此时的长； 【问题探究】 （3）在点D，E的运动过程中． ①的大小是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由； ②四边形的面积是否存在最大值？若存在，直接写出最大值；若不存在，说明理由． 12．（2023·江苏宿迁·二模）已知是四边形的对角线，．点E沿A→B→C运动，到达点C时停止运动．点F在线段运动，且始终保持．射线交线段于点P．      (1)如图1，当点E在线段上时； ①求证：．　　 ②若，求的度数． (2)如图2，若点E在线段上；G是线段中点，在图2中，仅用无刻度直尺在线段上作出点P． (3)请求出点P运动的路径长． 13．（2023·江苏镇江·二模）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图像的“平衡点”．例如，点是函数的图像的“平衡点”． (1)在函数①，②，③，④的图象上，存在“平衡点”的函数是________；（填序号） (2)设函数与的图象的“平衡点”分别为点A、B，过点A作轴，垂足为C．当为等腰三角形时，求b的值； (3)若将函数的图像绕y轴上一点M旋转，M在下方，旋转后的图象上恰有1个“平衡点”时，求的坐标． 14．（2024·江苏南通·二模）问题情境：如图，对折矩形纸片，使与重合，折痕为；再一次对折纸片，使与重合，折痕为；把纸片展平，也为折痕；点P为线段上一点，再次沿折叠矩形纸片，使点A落在原矩形所在平面的点Q处． 问题解决： (1)如图1，若点Q在线段上，延长交于点W，求证：为等边三角形； (2)如图2，若点Q在线段上，求的值； (3)矩形中，，，直线交的延长线于点K．若，求线段的长． 15．（2024·江苏宿迁·二模）对某一个函数给出如下定义：如果函数的自变量与函数值满足：当时，为实数，且，我们称这个函数在上是“同步函数”．比如：函数在上是“同步函数”．理由：∵由，得，∵，∴，，解得，∴，∴是“同步函数”． (1)反比例函数在上是“同步函数”吗?请判断并说明理由； (2)若一次函数在上是“同步函数”，求此函数的解析式（可用含，的代数式表示）； (3)若抛物线在上是“同步函数”，且在上的最小值为，设抛物线与直线交于，点，与轴相交于点，若的内心为，求点的坐标． 16．（2024·江苏苏州·二模）某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题做了如下研究： (1)如图①，在等边三角形中，点M是边上任意一点，连接，以为边作等边三角形，连接，试探究和的数量关系，并说明理由； (2)如图②，在等腰三角形中，，点M是边上任意一点（不含端点B，C），连接，以为边作等腰三角形，使，，连接，试探究与的数量关系，并说明理由； (3)如图③，在等腰直角三角形中，，点E为线段上一点，点D为斜边上一点，满足，过C作交延长线于F，若，，则_____． 17．（2024·江苏南京·二模）几何图形中，两条线段乘积关系的构造往往可以借助相似三角形的比例关系去关联……． 【模型认识】 （1）如图①，在四边形中，点E在边上，连接，． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）与满足的数量关系为______； 【初步理解】 （2）如图②，在中，，，点D在外，，连接并延长到点E，，点N在上，交于点M，，求证：． 【问题解决】 （3）如图③，在中，，点D在外，D到A的距离等于，过点D作直线l，使l分别交于点，且平分的面积．（要求：用直尺和圆规作图；保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．） 18．（2024·江苏徐州·二模）[阅读理解]如图1，在学习三角形的中位线时，我们发现三角形的三条中位线在三角形内部构成一个新的三角形，则其面积与原三角形面积的比是 ． [探究思考]如图2，已知，，分别是三边的三等分点，且，依次连接、、，则与的面积比是定值吗？如果是，请求出该数值；如果不是，请说明理由． [发现结论]如图3，已知，E，分别是三边的等分点，且，依次连接、、，则与的面积比是 ． 19．（2024·江苏泰州·二模）如图1，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，轴． (1)若菱形边长为5，对角线． ①若点，反比例函数的图像经过点B．求该反比例函数的表达式，并判断点A是否在这个反比例函数图像上； ②是否存在点，使得反比例函数的图像同时经过点A、B？若存在，求a、b满足的关系式；若不存在，说明理由． (2)如图2，菱形的顶点A，B和边的中点E在反比例函数图像上，顶点C、D在反比例函数图像上，边与y轴的交点为F， ①求的值； ②若，则菱形的面积为 ． 20．（2024·江苏泰州·二模）问题背景：苏科版八年级下册数学教材第95页“探索研究” （1）如图1，正方形的对角线相交于点O，正方形的顶点与点O重合．将正方形绕点旋转，在这个过程中，这两个正方形重合部分的面积是正方形面积的__________． 问题迁移： （2）等边三角形的中线相交于点O，先将绕点O逆时针旋转，再沿线段方向平移，得到，点O、A、B的对应点分别为、、，且，在这个过程中，的边，所在射线分别交AB，BC于点M，N． ①如图2，当与重合时，求证：； ②如图3，当时，判断和之间的数量关系，并说明理由； 问题拓展： ③如图4，连接MN，记周长为，在a、k的变化过程中，存在a、k的值，使得MN平分的周长，此时，的结果是否会发生变化？如不变，请求出其值；如变化，求出的最小值． 21．（2024·江苏盐城·二模）【问题情境】如图，在中，，，是边上的高，点是上一点，连接，过点作于，交于点． 【特例猜想】如图，当时，直接写出与之间的数量关系为_____； 【问题探究】如图，当时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请指出此时与的数量关系，并说明理由； 【类比运用】如图3， 连接， 若，，，求的长． 22．（2024·江苏宿迁·二模）四边形是正方形，是对角线，点分别在边上，且不与端点重合，，与交于点． (1)如图①，若平分，直接写出线段之间的等量关系； (2)如图②，若不平分，探究发现中线之间的等量关系还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； (3)如图③，在矩形中，，点分别在边上，，直接写出的长度． 23．（2024·江苏扬州·二模）定义：若直角三角形的两直角边的比值为（为正整数），这样的直角三角形称为“型三角形”．    (1)利用尺规在图1中作出以点为直角顶点，以为直角边的“型三角形”；（作出一种情况即可） (2)如图2，已知是“型三角形”，其中，，点在斜边上，且，过点作于点，连接，证明是“型三角形”； (3)如图3，已知是“型三角形”（为正整数），其中，，利用尺规作图在中作出一个，使得是“型三角形”（其中）． 24．（2024·江苏扬州·二模）如图，点E是边长为2的正方形边上一动点，连接，将射线绕点B顺时针旋转交边于点F，过点E作，垂足为点H，连接交于G，在点E从点A运动到点D运动过程中． (1)直接写出的度数为_______ °； (2)连接， ①的比值是否为定值，是定值求出该比值，不是定值请说明理由； ②当时，直接写出的长； (3)在点E运动过程中，的面积记为，的面积记为，求出的最大值． 25．（2024·江苏宿迁·二模）【基础巩固】 （1）如图1，在中，为上一点，连结，为上一点，连结，若，，求证：． 【尝试应用】 （2）如图2，在平行四边形中，对角线交于点为上一点，连结，，，若，求的长． 【拓展提升】 （3）如图3，在菱形中，对角线交于点为中点，为上一点，连结、，，若，，求菱形的边长． 26．（2024·江苏无锡·二模）如图，矩形中，，，点为线段上一点，点为线段一点，取线段的中点，以，为邻边向上作，、所在直线分别交于．设． (1)当点落在上时（如图），的值为 ． (2)若为的中点，且点到直线的距离为时，求的值． (3)设的面积为，求与的函数表达式． 27．（2024·江苏宿迁·二模）（1）观察猜想：如图1，已知、、三点在一条直线上（），正方形和正方形在线段同侧，是中点，线段与的数量关系是______，位置关系是______； （2）猜想证明：在（1）的基础上，将正方形绕点旋转度（），试判断（1）中结论是否仍成立？若成立，仅用图2进行证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展延伸：如图3，矩形和矩形中，，，将矩形绕点旋转任意角度，连接、，是中点，若，求点运动的路径长． 28．（2024·江苏宿迁·二模）中国象棋棋盘上双方的分界处称为“楚河汉界”，以“楚河汉界”比喻双方对垒的分界线．在平面直角坐标系中，为了对两个图形进行分界，对“楚河汉界线”给出如下定义：点是图形上的任意一点，点是图形上的任意一点，若存在直线满足且，则直线就是图形与的“楚河汉界线”．例如：如图，直线是函数的图像与正方形的一条“楚河汉界线”． (1)在直线，，，中，是图函数的图像与正方形的“楚河汉界线”的有______；（填序号） (2)如图，第一象限的等腰直角的两腰分别与坐标轴平行，直角顶点的坐标是，与的“楚河汉界线”有且只有一条，求出此“楚河汉界线”的表达式； (3)正方形的一边在y轴上，其他三边都在y轴的右侧，点是此正方形的中心，若存在直线是函数的图像与正方形的“楚河汉界线”，求的取值范围． 29．（2024·江苏苏州·二模）已知抛物线交轴于点和点，交轴于点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是拋物线对称轴上一点，且点在轴上方，连接、，若，则点坐标是_______；（请直接在答题卷相应位置上写出答案） (3)如图2，将抛物线向右平移个单位得到抛物线与线段交于点（点不与点重合），与线段交于点，连接是否存在的值，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 综合题 1．（2024·江苏无锡·二模）如图，正六边形 外作正方形，连接 交于点O，求 的值（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 交 于点N，连接 ，过点C作 于点M，根据正方形与正六边形性质可证 、H、D三点共线，根据 ，得到 ，求出 ，再证明 ，得到 ，即可求解． 【详解】解：如图， 交 于点N，连接 ，过点C作 于点M， 设正六边形的边长为a，则 ， 六边形 是正六边形， ， ， ， ， 同理可得 ， ∵四边形 是正方形， ， 、H、D三点共线， ， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了正六边形与正方形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形的相关计算，两直线平行，平行线分线段成比例，等知识，熟练掌握并灵活运用相关性质定理是解题关键． 2．（2024·江苏徐州·二模）如图， 和 是以点 为直角顶点的等腰直角三角形，且 ，分别作射线 、 ，它们交于点 ．以点 为旋转中心，将 按顺时针方向旋转，若 的长为2，则 面积的最小值是（    ） A．4 B．8 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、切线的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关性质成为解题的关键． 先证明 ，则 ，推出 ，由题意知，E在以A为圆心，2为半径的圆上运动，如图，当 在 下方且与 相切时，线段 最短， 面积的最小；再证明四边形 是正方形，则 ，由勾股定理得， ，则 ，最后根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵ 和 是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，且 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，即 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ EMBED Equation.DSMT4 ， 如图：由题意知，E在以A为圆心，2为半径的圆上运动， ∵ ， ∴当 在 下方且与 相切时，点M到 距离最小， 面积的最小 ∵ ， ∴四边形 是矩形， ∵ ∴四边形 是正方形， ∴ ， 由勾股定理得， ， ∴ ， ∴ ． 故选：A． 3．（2024·江苏宿迁·二模）四个村庄坐落在矩形 的四个顶点上， 公里， 公里，在新农村建设中，要设立两个车站E，F，则 的最小值为 公里． 【答案】 【分析】将 绕A顺时针旋转 得到 ，连接 ；将 绕点D逆时针旋转 ，得到 ，连接 ；由旋转及等边三角形的性质知， ， 的最小值转化为 的最小值，当H、G、E、F、N、M在同一直线上时，取得最小值，最小值为线段 的长． 【详解】解：如图1，将 绕A顺时针旋转 得到 ，连接 ；将 绕点D逆时针旋转 ，得到 ，连接 ； 由旋转性质得： ， 都是等边三角形， ， ； 同理： 都是等边三角形， ， ； 当H、G、E、F、N、M在同一直线上时， 取得最小值，最小值为线段 的长． 故 的最小值为线段 的长，如图2； 设 分别交 于点P、Q； ， 是 的垂直平分线， ； ， 是等边三角形， ， ， ； EMBED Equation.DSMT4 ， 四边形 是矩形， ， 公里， 即 的最小值为 公里； 故答案为： ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定与性质，最短路径问题，确定最小值时点E、F的位置是本题的关键． 4．（2024·江苏常州·二模）如图，在平面直角坐标系 中，二次函数 的图像与 轴正半轴交于点 ，与 轴交于点 ， ，点 是线段 上一点（不与点 重合），过点 作 轴，交抛物线于点 ，连接 ，四边形 是平行四边形． (1)填空： ________． (2)求四边形 的面积； (3)若点 是 的中点，连接 ．点 是抛物线上一点， 是直线 上一点，连接 ，若 与 相似，求点 的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点 的坐标是 或 【分析】（1）将点 的坐标代入抛物线表达式，即可求解； （2）过点P作 轴，由四边形 是平行四边形得到 ，则四边形 的面积 ； （3）当 时，即 即可求解；当 时，同理可解． 【详解】（1）∵ ，则 ，则点 将点 的坐标代入抛物线表达式得： 解得： ， 故答案为： ； （2）如图，过点 作 轴于 ． ． 直线 的函数表达式是 ． 四边形 是平行四边形 且 设点 ，则点 ． ． ． ． ． ． （3）如图，过点 作 轴于 ，过点 作 于 ． 则 ． ， ， 直线 的函数表达式是 ， 直线 与 轴的交点 ． ， ， ． ． ， ． ． ①当 时， ． ． ， ． ②当 时， ． ． ， ． ． 综上所述，点 的坐标是 或 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合，解直角三角形，相似三角形的性质和判定.要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题 5．（2024·江苏宿迁·二模）在平面直角坐标系 中对于已知的点C和图形W，给出如下定义：若存在过点C的直线l，使之与图形W有两个公共点P，Q，且C，P，Q三点中，某一点恰为另两点所连线段的中点，则称点C是图形W的“相合点”． (1)已知点 ，线段 与线段 组成的图形记为W； ①点 中，图形W的“相合点”是　　　　　　； ②点M在直线 上，且点M为图形W的“相合点”，求点M的横坐标m的取值范围； (2) 的半径为r，直线 与x轴，y轴分别交于点E，F，若在线段 上存在 外的一点P，使得点P为 的相合点，直接写出r的取值范围． 【答案】(1)① ；② 或 (2) EMBED Equation.DSMT4 或 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系和直线与圆的位置关系，坐标与图形： （1）根据点C是图形W的“相合点”的定义结合图形判断即可． （2）如图2中，图形W的“相合点”的分布情形：①在第一象限，矩形 上或内部．②在第二象限，矩形 上或内部．③第四象限，矩形 上或内部．结合图形判断即可． （3）如图3中，以O为圆心， 为半径作圆，当直线 与图中圆环有交点时，满足条件．求出几种特殊情形的r的值，即可判断． 【详解】（1）解：①如图，观察图象可知 是 的中点，Q是 的中点． 是 的中点，故图形W的“相合点”是 ， ， ． 故答案为： ． ②如图，图形W的“相合点”的分布情形： ①在第一象限，矩形 上或内部． ②在第二象限，矩形 上或内部． ③第四象限，矩形 上或内部． 结合图形可知，直线 上图形W的“相合点”M的横坐标为 或 ． （2）解：如图，以O为圆心， 为半径作圆，当直线 与图中圆环有交点时，满足条件． 当直线 在第一象限与大圆相切时，则 ， 解得， ， 当直线 经过 时， ，解得 ， 观察图象可知，满足条件的r的值为： ， 当直线 经过 时， ，解得 ， 结合图象可知，满足条件的 的值为： ． 6．（2024·江苏无锡·二模）【教材呈现】如图，在 中，点D、E分别是 与 的中点．则 与 的关系是 ， ； 【感知】如图1，在矩形 中，点O为 的中点，点M为 边上一动点，点N为 的中点，连结 、 、 ． ， 与 的数量关系是____________． 【应用】如图2，在 中， ， ， 、 是 的中线，M、N分别是 和 的中点，求 的长； 【拓展】如图3，在平行四边形 中，点E为 边上一点，连接 ，点P在 上， ，点G是 的中点，连接 交 于点F，若点F为 的中点， ，连接 ，求 的值． 【答案】感知： 应用： 拓展： 【分析】（1）证明四边形 是平行四边形，从而证得四边形 是平行四边形，继而说不得四边形 是矩形，则 ，即可得 ； （2）连接 ，并延长 交 于点F，先由勾股定理求得 ，利用三角形中位线的性质可证得 ，由勾股定理求得 ，从而得 ，由三角形中位线的性质可求得 ； （3）连接 ，作 交 延长线于H， 是等边三角形，利用等边三角形的性质与解直角三角形求得 ，再证明 是等边三角形， 是直角三角形，求得 ，代入即可求解． 【详解】解：感知：如图， ∵点O为 的中点，点N为 的中点， ∴ ， ， ∴ ，即 ， ∴四边形 是平行四边形， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴四边形 是平行四边形， ∵矩形 ， ∴ ， ∴四边形 是矩形， ∴ ∴ ， 故答案为： ． 【定理应用】如图，连接 ，并延长 交 于点F， ∵ ， ， ∴ ， ， ∵ 、 是 的中线， ∴ ， ， ∵点M、N分别是 和 的中点， ∴ ， ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 【拓展】连接 ，作 交 延长线于H，如图， ∵ ， ∴P是 的中点， ∵若点F为 的中点， ∴ ， ， ∵点G是 的中点， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ 是等边三角形， ∴ ， ∵ ∴ ， 在 中， ， ， 在 中， ， 由勾股定理得， ， ∵ ， ∴ ∴ 是等边三角形， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题考查三角形中位线的性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，解直角三角形，等边三角形的判定与性质．本题属四边形的综合题目，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键． 7．（2024·江苏宿迁·二模）[基础巩固] （1） 如图1， 在 中， D、E、F分别为 上的点， ， 交 于点G， 求证： ； [尝试应用] （2）如图2， 在（1）的条件下， 连接 ．若 ， 求 的值： [拓展提高] （3）如图3， 在 中， ， 与 交于点O， E为 上一点， 交 于点G， 交 于点 F．若 平分 ，求 的长． 【答案】（1）见解析；（2） ；（3） 【分析】（1）证明 ，根据相似三角形的性质得到 ＝ ，进而证明结论； （2）根据线段垂直平分线的性质求出 ，根据相似三角形的性质计算，得到答案； （3）延长 交 于M，连接 ，过点M作 于N，根据直角三角形的性质求出 ，求出 ，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可． 【详解】（1）证明：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ； （2）解：∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ； （3）解：延长 交 于M，连接 ，过点M作 于N， ∵四边形 为平行四边形， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 在 中， ， ∴ ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质及判定、等腰三角形的性质及判定、解特殊的直角三角形等知识，遵循构第（1）、（2）小问的思路，构造出等腰三角形和特殊的直角三角形是解决本题的关键． 8．（2024·江苏徐州·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与 轴分别交于点 、 ，顶点为 ，连接 、 ．点 在线段 上，作射线 ，过点 作 EMBED Equation.DSMT4 射线 ，垂足为点 ，以点 为旋转中心把 按逆时针方向旋转 到 ，连接 ． (1)求点 、 的坐标． (2)随着点 在线段 上运动． ①连接 ， 的大小是否发生变化？请说明理由； ②延长 交 于点 ，线段 的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． (3)连接 ，当点 在该抛物线的对称轴上时， 的面积为 ． 【答案】(1) ； (2)① 的大小不变，理由见解析；② 存在，最大值为4，理由见解析； (3) 或 【分析】（1）将解析式化为顶点式即可求出顶点 的坐标，令 ，即可求得 的坐标； （2）① 连接 ， 和 是等边三角形，证明 ，得到 ，由此可得 的大小不变；② 取 中点 ，以 为圆心， 长为半径画圆，证明点 在 上，证明 ， 点 为 与 的交点，即 为定点， 为 的弦，根据圆中最长弦为直径，可得当 为 的直径时， 取得最大值． （3）设抛物线对称轴与 轴交点为 ， 与与 轴交点为 ，连接 ，证明 ，可得 ，由此可求出 ，可证 和 是等腰直角三角形，设 ， ， ， ，在 中，利用勾股定理 ，可求出 ．作 ， ，可得四边形 是矩形，可求得 ，利用 ，即得解． 【详解】（1） ， 顶点 的坐标为 ， 令 ，则 ， 解得 ， ， 的坐标为 ． （2）① 的大小不变，理由如下； 连接 ，如图所示， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 以点 为旋转中心把 按逆时针方向旋转 到 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 的大小不变． ② 存在， 取 中点 ，以 为圆心， 长为半径画圆，如图所示， ， 点 在 上， 设 交 轴于点 ， 是等边三角形， ， ，即 ， ， ， ， ， 点 为 与 的交点，即 为定点， 为 的弦， 圆中最长弦为直径， 当 为 的直径时， 取得最大值， ， 取得最大值为4． （3）如图，设抛物线对称轴与 轴交点为 ， 与与 轴交点为 ，连接 ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又 ， ， ， ，即 ， ， ， ， 和 是等腰直角三角形， 设 ， ， ， ， 在 中， ，即 ， 整理得 ，即 ， 两边平方整理得： ， 解得 ， ， 如图，作 ， ， ， 四边形 是矩形， 又 为等边三角形， ， ， ， ，或 ， 综上所述， 或 ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图像及性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，圆的性质，矩形的性质以及解直角三角形，熟练掌握、灵活运用各知识点，作出合适的辅助线是解题的关键． 9．（2024·江苏宿迁·二模）如图1，在 中， ， EMBED Equation.DSMT4 ，点 为 的中点；动点 以每秒 个单位长度的速度从点 出发沿线段 运动，点 同时在线段 上运动，运动过程中始终保持 ，当点 到达点 时运动就停止，设运动的时间为 秒，连接 、 ． (1)当点 在线段 上时，求证： ． (2)当射线 将 分成面积相等的两部分时，求点 运动的时间 ． (3)如图2，设射线 与线段 的交点为 ，求点 在从 向 运动的过程中，点 所走过的路径长． 【答案】(1)见解析 (2) 或 (3) 【分析】（1）证明 ，即可得证； （2）设 交 于点 ，过点 作 于点 ，根据射线 将 分成面积相等的两部分得出 ，进而求得 的长，根据 求得 ，即可得出 ，进而分类讨论，即可求解； （3）分当 在 上运动时，当 在 上运动时，点 在 上运动，当 在 上运动， 点在 上运动，分别求得 的长，即可求解． 【详解】（1）在 中， ， ，点 为 的中点， ∴ ， ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ； （2）解：如图所示， 设 交 于点 ，过点 作 于点 ， ∵ 是等腰直角三角形， ∴ ， ，则 ， ∴ 是等腰直角三角形， ∵射线 将 分成面积相等的两部分 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ，则 ，则 ∴当射线 将 分成面积相等的两部分时，求点 运动的时间 或 （3）解：当 在 上运动时，如图所示， 连接 并延长交 于点 ， ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ 又 ∴ 垂直平分 ， ∴ 垂直平分 ∴ 当 在 上运动时，点 在 上运动， 如图所示，当 在 上运动， 同理可得 ∴ 设 EMBED Equation.DSMT4 ∴ ， ∴ ， 又∵ ∴ 四点共圆，且圆心为 ∴ 点在 上运动， ∴ 综上所述，点 所走过的路径长为 ． 【点睛】本题考查了求弧长，直角所对的圆周角是直径，全等三角形的性质与判定，正切的定义，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 10．（2024·江苏常州·二模）给出如下定义：点 ，点 是平面直角坐标系 中不同的两点，且 ，若存在一个正数 ，使点 、 的坐标满足 ，则称 、 为一对“斜关点”， 叫点 、 的“斜关比”，记作 ．由定义可知， ．例如：若 ， ，有 ，所以点 、 为一对“斜关点”，且“斜关比”为 ． 如图，已知平面直角坐标系 中，点 、 、 、 ． (1)在点 、 、 、 中，写出一对“斜关点”是________，此两点的“斜关比”是________（只需写出一对即可）． (2)若存在点 ，使得点 、 是一对“斜关点”，点 、 也是一对“斜关点”，且 ，求点 的坐标． (3)若 的半径是 ， 是 上一点，满足 的所有点 ，都与点 是一对“斜关点”，且 ．请直接写出点 横坐标 的取值范围． 【答案】(1) 、 ， （答案不唯一） (2)点 的坐标为 或 (3) 【分析】本题考查圆的综合应用，解题的关键是弄清楚新定义，熟练掌握圆与直线的关系，绝对值方程的解法，数形结合． （1）根据定义通过计算求解即可得到答案； （2）设 ，由根据“斜关点”定义列方程求解即可得到答案； （3）作直线 满足与两轴的夹角为 ，在直线 右侧作直线 且与 相距一个单位，设 交 于点 ，连接 ，作 轴于点 ，交 于 ，作 于 ，设直线 交 于 ，以 、 为圆心， 为半径作圆，则两圆分别与直线 和 相切，利用勾股定理求出 ，再设 ，利用 列出方程，求出 ，即可求解； 【详解】（1）解： 满足 的 为正数， EMBED Equation.DSMT4 ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， 点 、 、 、 ， 只能是 与 或 与 形成“斜关点”， 当 与 形成“斜关点”时， ， EMBED Equation.DSMT4 ， 故答案为： 、 ， （答案不唯一）； （2）设点 ， 点 ， ，点 、 是一对“斜关点”， 点 、 也是一对“斜关点”，且 ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， 解得： ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， 点 的坐标为 或 ； （3）如图即为 ，作直线 满足与两轴的夹角为 ，在直线 右侧作直线 且与 相距一个单位，设 交 于点 ，连接 ，作 轴于点 ，交 于 ，作 于 ，设直线 交 于 ，以 、 为圆心， 为半径作圆， 两圆分别与直线 和 相切， EMBED Equation.DSMT4 ， 点 在以 为圆心，1为半径的圆上， EMBED Equation.DSMT4 ， 点 需在直线 的右侧（可以在直线 上）， EMBED Equation.DSMT4 ， 点 需在 的左侧，则满足题意得点 的横坐标应在点 和点 之间（不与点 重合）， EMBED Equation.DSMT4 ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， 设 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， 点 的横坐标为 ， 点 的横坐标为 ， EMBED Equation.DSMT4 ． 11．（2024·江苏连云港·二模）【问题情境】如图，在 中 ， ， ，点O是 的中点，点D，E分别是边 ， 上的动点，且 ，以 为直角边，在 上方作 ，使得 ， ， 与 交于点H，连接 ． 【问题提出】    （1）当 时， ________ ； （2）当 时，求此时 的长； 【问题探究】 （3）在点D，E的运动过程中． ① 的大小是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由； ②四边形 的面积是否存在最大值？若存在，直接写出最大值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）30；（2）AE的长为 ，详见解析（3）①存在， 定值为 ，②存在，四边形 面积最大值为 【分析】（1）由 得出 ，由三角形内角和得出 ，进而即可得解； （2）过点E作 交 于点M，由已知得出 ，由三角函数得出 ， ， ，即可得解； （3）①由先判定四点其圆，再利用圆周角定理即可得解； ②过点E作 交 于点M，过点F作 交 的延长线于点N，设 ， ，用含a，b的式子表示出 ，再利用二次函数的性质得出 最大值，进而即可得解． 【详解】（1）∵ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， 故答案为：30； （2）如图，过点E作 交 于点M，    ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 在 中， ， 在 中， ， ∴ ； （3）①是个定值， ，理由如下： ∵ ， ∴E，D，B，F四点共圆， ∴ ，    ②存在最大值， 最大值为 ，理由如下： 过点E作 交 于点M，过点F作 交 的延长线于点N，设 ， ，    ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 在 和 中， ∴ ， ， ∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴当 时， 最大， 此时 ， ∴ （负值已舍）， ∴ ， 此时 ， ∵ ， ∴当 最大时， 最大， ∴ 最大值为 ． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，三角函数的应用，四点共圆的性质，相似三角形的性质，二次函数的性质等知识点，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键． 12．（2023·江苏宿迁·二模）已知 是四边形 的对角线， ．点E沿A→B→C运动，到达点C时停止运动．点F在线段 运动，且始终保持 ．射线 交线段 于点P．      (1)如图1，当点E在线段 上时； ①求证： ．　　 ②若 ，求 的度数． (2)如图2，若点E在线段 上；G是线段 中点，在图2中，仅用无刻度直尺在线段 上作出点P． (3)请求出点P运动的路径长． 【答案】(1)①见解析；② (2)见解析 (3) 【分析】（1）①可证明 ，从而 ； ②设 ，可表示出 ，在 中，由三角形内角和定理列出 ，进而求得结果； （2）作出点 关于 的对称点 ，进而得出点 ； （3）可推出 ，从而点 在 的垂直平分线上运动，当点 从点 运动到点 时，点 的运动路径是 ， ；可推出 ，从而点 、 、 、 共圆，所以点 在等边三角形 的外接圆上 运动，当点 从 运动到点 时，点 运动的路径是 ，根据弧长公式，进一步得出结果． 【详解】（1）①证明： ， ， ， ， ； ②解：设 ， 由（1）知： ， ， ， ， ， ， 在 中，由三角形内角和定理得， ， ， ； （2）解：如图1，    （Ⅰ）连接 ，交 于点 ， （Ⅱ）连接 ，并延长 ，交 于点 ， （Ⅲ）作射线 ，交 于点 ， 则点 就是所求作的点； （3）解：如图2，      当点 在 上时， 由（1）知： ， ， ， ， ， ， 点 在 的垂直平分线上运动， 当点 从点 运动到点 时，点 的运动路径是 ， ， 如图3， ， ， ， ， ， 点 、 、 、 共圆， 点 在等边三角形 的外接圆上 运动， 当点 从 运动到点 时，点 运动的路径是 ， 连接 ， ，作 于点 ， ， ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， 点 运动的路径长为： ． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，确定圆的条件，弧长公式等知识，解决问题的关键是分类讨论，找出点 的运动路径． 13．（2023·江苏镇江·二模）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图像的“平衡点”．例如，点 是函数 的图像的“平衡点”． (1)在函数① ，② ，③ ，④ 的图象上，存在“平衡点”的函数是________；（填序号） (2)设函数 与 的图象的“平衡点”分别为点A、B，过点A作 轴，垂足为C．当 为等腰三角形时，求b的值； (3)若将函数 的图像绕y轴上一点M旋转 ，M在 下方，旋转后的图象上恰有1个“平衡点”时，求 的坐标． 【答案】(1)③ (2) 或 或 或 (3) 【分析】（1）根据“平衡点”的定义进行逐一计算判断即可； （2）可求 ， ，①当 为等腰三角形的顶点时， ，此时 在以 圆心， 长为半径的圆周上，由 进行求解即可；②当 为等腰三角形的顶点时， ，此时 在以 圆心， 长为半径的圆周上，由 进行求解即可；③当 为等腰三角形的顶点时， ，此时 在 的垂直平分线上，由 进行求解即可． （3）设 （ ），先将抛物线向上平移 个单位得 ，再将 绕原点旋转 得： ，即： ， 然后将 向下平移 个单位得 为 绕 旋转 后函数解析式；由 ，进行求解即可． 【详解】（1）解：① EMBED Equation.DSMT4 ， ， 故此函数不存在“平衡点”； ②当 时， ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， ， 故此函数不存在“平衡点”； ③当 时， ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， 整理得： ， ， 此方程有两个不相等的实数根， 此函数存在“平衡点”； ④当 时， ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， 整理得： ， 此方程无实数根， 此函数不存在“平衡点”； 故答案：③． （2）解：当 时， ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， 解得： ， （舍去） ， ， ， 同理可求： ， ①如图，当 为等腰三角形的顶点时， ， 此时 在以 圆心， 长为半径的圆周上，    EMBED Equation.DSMT4 ， 解得： ， ， 当 时， ， EMBED Equation.DSMT4 与 重合， 舍去 ； ②如图，当 为等腰三角形的顶点时， ， 此时 在以 圆心， 长为半径的圆周上，      EMBED Equation.DSMT4 ， 解得： ， ； ③如图，当 为等腰三角形的顶点时， ， 此时 在 的垂直平分线上，    ， 解得： ； 综上所述： 的值为 、 、 、 ． （3）解：设 （ ），先将抛物线向上平移 个单位得 ，再将 绕原点旋转 得： ，即： ， 然后将 向下平移 个单位得 为 绕 旋转 后函数解析式； ， 整理得： ， 旋转后的图象上恰有1个“平衡点”， ， 解得： ， ． 【点睛】本题考查了新定义“平衡点”，等腰三角形的判定，函数图象的旋转，理解定义，掌握等腰三角形的判定方法和函数图象旋转中解析式的变化规律是解题的关键． 14．（2024·江苏南通·二模）问题情境：如图，对折矩形纸片 ，使 与 重合，折痕为 ；再一次对折纸片，使 与 重合，折痕为 ；把纸片展平， 也为折痕；点P为线段 上一点，再次沿 折叠矩形纸片，使点A落在原矩形所在平面的点Q处． 问题解决： (1)如图1，若点Q在线段 上，延长 交 于点W，求证： 为等边三角形； (2)如图2，若点Q在线段 上，求 的值； (3)矩形 中， ， ，直线 交 的延长线于点K．若 ，求线段 的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由矩形的性质得 ， ，由折叠的性质得 ，由等腰三角形的判定及性质得 ，由平行线分线段成比例定理得 ，从而可得 ，由线段垂直平分线的性质定理得 ，即可得证； （2）设 交 于点R， ，则 ，由勾股定理得 ，由相似三角形的判定方法得 ，由相似三角形的性质得 ， 由此可求 ，由正切的定义即可求解； （3）设直线PK交边BC于点T，相似三角形的判定方法得 ，由相似三角形的性质得 ，设 ，则 ， ，由勾股定理 即可求解． 【详解】（1）解： 四边形 为矩形． ， ， ， 由 折叠得到， ， ， ， ， 由题意可知， ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， 又 ， ， 垂直平分 ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， 是等边三角形． （2）解：设 交 于点R， ，则 ， 由折叠得： ， ∴ ， 由（1）同理可证： ， ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， ； （3）解：如图，设直线PK交边BC于点T， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， 设 ，则 ， ， 同（1）可得 ， EMBED Equation.DSMT4 ， 在 中， ， EMBED Equation.DSMT4 ， 解得： （舍去）， ， EMBED Equation.DSMT4 ． 【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定及性质，等边三角形的判定，平行线分线段成比例定理，勾股定理，相似三角形的判定及性质，正切函数等，掌握相关的判定方法及性质，利用辅助未知数用方程思想进行求解是解题的关键． 15．（2024·江苏宿迁·二模）对某一个函数给出如下定义：如果函数的自变量 与函数值 满足：当 时， 为实数，且 ，我们称这个函数在 上是“同步函数”．比如：函数 在 上是“同步函数”．理由：∵由 ，得 ，∵ ，∴ ， ，解得 ，∴ ，∴是“同步函数”． (1)反比例函数 在 上是“同步函数”吗?请判断并说明理由； (2)若一次函数 在 上是“同步函数”，求此函数的解析式（可用含 ， 的代数式表示）； (3)若抛物线 在 上是“同步函数”，且在 上的最小值为 ，设抛物线与直线 交于 ， 点，与 轴相交于 点，若 的内心为 ，求点 的坐标． 【答案】(1)反比例函数 是 上的“同步函数”，理由见解析； (2) 或 ； (3) ． 【分析】（ ）根据“同步函数”的定义进行判断即可； （ ）根据“同步函数”的定义以及一次函数的增减性，分两种情况进行求解即可； （ ） 由 ， 得 ，则抛物线 在 上是 随 的增大而增大，可知 时， 1，且最小值为 ，得出抛物线的解析式，从而得出点 的坐标，设 ，根据 ，可得 的坐标，再利用面积法求出点 的坐标； 【详解】（1）当 时, 则 ， ∵反比例函数 在第一象限内 随 的增大而减小， ∴当 时， ， ∴ ， ∴反比例函数 是 上的“同步函数”； （2）由题意得: 当 时， ， ∵ ， 当 时， 随着 的增大而增大， ∴当 时， ，当 时， ， 则 ， 解得： ， 即 ； 当 时， 随着 的增大而减小， ∴当 时 ，当 时， ， 则 解得： 即 ， 综上所述， 或 ； （3）抛物线的顶点式为 ，顶点坐标为 ， ∵ ， ， ∴ ， ∴抛物线 ，在 上是 随 的增大而增大， ∴当 时，取最小值， ∴ ， 解得： ， ∴抛物线的函数表达式为 ， ∵抛物线与直线 相交于 两点，设 ， ，      假设 点在 点的左侧，即 ， ∴ ， 解得： ， ， ∴在 中， ， ， ， ∴ ， ， ∵外心 在线段 的垂直平分线上，设 ，则 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 在 中，根据内心的性质，设内心 到各边距离为 得 ， ∴ ， ∵ 是等腰三角形， 轴为 的角平分线， ∴ 的内心 在 轴上， ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的性质，三角形外心和内心的性质，等腰三角形的性质等知识，理解新定义及熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 16．（2024·江苏苏州·二模）某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题做了如下研究： (1)如图①，在等边三角形 中，点M是 边上任意一点，连接 ，以 为边作等边三角形 ，连接 ，试探究 和 的数量关系，并说明理由； (2)如图②，在等腰三角形 中， ，点M是 边上任意一点（不含端点B，C），连接 ，以 为边作等腰三角形 ，使 ， ，连接 ，试探究 与 的数量关系，并说明理由； (3)如图③，在等腰直角三角形 中， ，点E为线段 上一点，点D为斜边 上一点，满足 ，过C作 交 延长线于F，若 ， ，则 _____． 【答案】(1) ，理由见解析 (2) ，理由见解析 (3) 【分析】（1）利用 证明 ，即可得出结论； （2）证明 ，得出 ， ，利用等式的性质得出 ，证明 ，利用相似三角形的性质即可得证； （3）证明 ，得出 ，根据 ，得出 ，则可求 ，利用平角定义和三角形内角和定理可得出 ，利用平行线的性质得出 ，则可证 ，得出 ，过A作 交 于G，则 是等腰直角三角形，得出 ， ， ，证明 ，利用相似的性质求出 ，即可求解． 【详解】（1）解∶ 理由：∵ ， 都是等边三角形， ∴ ， ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （2）解： 理由：∵ ， ， ∴ ， 又 ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，即 ； （3）解：∵等腰直角三角形 中， ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， 又 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ （负值舍去） ∵ ， ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 过A作 交 于G ∴ 是等腰直角三角形， ∴ ， ， ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ，即 ， ∴ ， ∴ ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造等腰直角三角形和相似三角形是解题的关键． 17．（2024·江苏南京·二模）几何图形中，两条线段乘积关系的构造往往可以借助相似三角形的比例关系去关联……． 【模型认识】 （1）如图①，在四边形 中，点E在边 上，连接 ， ． （Ⅰ）求证： ； （Ⅱ） 与 满足的数量关系为______； 【初步理解】 （2）如图②，在 中， ， ，点D在 外， ，连接 并延长到点E， ，点N在 上， 交 于点M， ，求证： ． 【问题解决】 （3）如图③，在 中， ，点D在 外，D到A的距离等于 ，过点D作直线l，使l分别交 于点 ，且平分 的面积．（要求：用直尺和圆规作图；保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．） 【答案】（1）（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） ；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）（Ⅰ）根据相似三角形的性质可得 ，即可得出结论； （Ⅱ）根据相似三角形的性质可得 ， ，从而可得 ， ，再根据四边形的内角和可得 ，即可得出结论； （2）证明 ，可得 ，即 ，再根据三角形面积公式及 ，即可得出结论； （3）作 的垂直平分线，交 于点E，连接 并延长作直线l，再以点A为圆心， 为半径作弧，交直线l于点D． 【详解】解：（1）（Ⅰ）∵ ， ∴ ， ∴ ； （Ⅱ）∵ ， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ； （2）∵ ， ， ∴ ， ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （3）如图，作 的垂直平分线，交 于点E，连接 并延长作直线l，再以点A为圆心， 为半径作弧，交直线l于点D， 理由如下：∵点E是 的中点， ∴ ， ∴ ， 又∵点D、B在 上， ∴ ． 【点睛】本题考查尺规作图−垂直平分线及圆、相似三角形的判定与性质、四边形的内角和，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 18．（2024·江苏徐州·二模）[阅读理解]如图1，在学习三角形的中位线时，我们发现三角形的三条中位线在三角形内部构成一个新的三角形，则其面积与原三角形面积的比是 ． [探究思考]如图2，已知 ， ， 分别是 三边的三等分点，且 ，依次连接 、 、 ，则 与 的面积比是定值吗？如果是，请求出该数值；如果不是，请说明理由． [发现结论]如图3，已知 ，E， 分别是 三边的 等分点，且 ，依次连接 、 、 ，则 与 的面积比是 ． 【答案】阅读理解： ；探究思考：是定值，定值为 ；发现结论： 【分析】本题考查三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，添加辅助线构造相似三角形是解题的关键． 阅读理解：由中位线可得 ，进而证明 ， ，同理可证 ， ，即可求解； 探究思考：取 中点G， 中点H， 中点I，连接 ， ， ，先证 ，推出 ，根据等高三角形面积比等于底边长度之比，可得 ，同理推出 ， ，即可求解； 发现结论：取G、H、I分别是 三边的n等分点，且 ，先证 ，推出 ，根据等高三角形面积比等于底边长度之比，可得 ，同理可得 ， ，即可求解． 【详解】解：阅读理解： EMBED Equation.DSMT4 是 的中位线， EMBED Equation.DSMT4 ， 又 EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ，即 ， 同理可证 ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， 故答案为： ； 探究思考: 如图，取 中点G， 中点H， 中点I，连接 ， ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， 又 EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ，即 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， 同理可证 ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， 综上可知， 与 的面积比是定值，定值为 ； 发现结论： 如图，取G、H、I分别是 三边的n等分点，且 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ，即 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， 同理可证 ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， 故答案为： ． 19．（2024·江苏泰州·二模）如图1，在平面直角坐标系中，四边形 是菱形， 轴． (1)若菱形 边长为5，对角线 ． ①若点 ，反比例函数 的图像经过点B．求该反比例函数的表达式，并判断点A是否在这个反比例函数图像上； ②是否存在点 ，使得反比例函数 的图像同时经过点A、B？若存在，求a、b满足的关系式；若不存在，说明理由． (2)如图2，菱形的顶点A，B和边 的中点E在反比例函数 图像上，顶点C、D在反比例函数 图像上，边 与y轴的交点为F， ①求 的值； ②若 ，则菱形 的面积为 ． 【答案】(1)① ，不在；②存在， (2)① ，② 【分析】（1）①连接 交 于 ，交 轴于 ，根据菱形的性质先求出 ， ，再根据将 向下平移4个单位，再向左平移3个单位即可得到B点，可得 ，问题得解；②同理有将 向下平移4个单位，再向左平移3个单位即可得到B点，即 ，问题随之得解； （2）①如图，连接 交 于 ，交 轴于 ，设 ， ，可得 ，结合 为 的中点，可得 ，可得： ，可得 ，解得 ，由 ，可得 ，②再结合 ，可得： ， ，再利用菱形的面积公式计算即可． 【详解】（1）①连接 交 于 ，交 轴于 ，如图， ∵菱形 边长为5，对角线 ， ∴ ， ， ， ∴ ， ∵ ，且将 向下平移4个单位，再向左平移3个单位即可得到B点， ∴ ， ∵反比例函数 的图像经过点B， ∴ ，即 ， ∴反比例函数解析式为： ， ∵ ， ∴ 不在反比例函数 的图像上； ②存在，理由如下： ∵ ， ， ∴将 向下平移4个单位，再向左平移3个单位即可得到B点， ∴ ， ∵反比例函数 的图像同时经过点A、B， ∴ ， ， ∴ ， 整理有： ； （2）①如图，连接 交 于 ，交 轴于 ， ∵菱形 ， ∴ ， ， ， ， 设 ， ，即有 ， ∴ ， ，即有 ， 则 ， ∴ ，即 ， ∴ ， ∵ 为 的中点， ∴ ∴ ， 整理得： ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 解得： （舍去）， ， ∵ ， ∴ ， 即 ， ②根据 ， ∵ ， 解得： ， ， ∴菱形 的面积为： ； 故答案为： ， 【点睛】本题考查的是菱形的性质，反比例函数的几何应用，一元二次方程的解法，平行线分线段成比例的应用，本题难度大，计算量大，作出合适的辅助线是解本题的关键． 20．（2024·江苏泰州·二模）问题背景：苏科版八年级下册数学教材第95页“探索研究” （1）如图1，正方形 的对角线 相交于点O，正方形 的顶点 与点O重合．将正方形 绕点 旋转，在这个过程中，这两个正方形重合部分的面积是正方形 面积的__________． 问题迁移： （2）等边三角形 的中线 相交于点O，先将 绕点O逆时针旋转 EMBED Equation.DSMT4 ，再沿线段 方向平移，得到 ，点O、A、B的对应点分别为 、 、 ，且 ，在这个过程中， 的边 ， 所在射线分别交AB，BC于点M，N． ①如图2，当 与 重合时，求证： ； ②如图3，当 时，判断 和 之间的数量关系，并说明理由； 问题拓展： ③如图4，连接MN，记 周长为 ，在a、k的变化过程中，存在a、k的值，使得MN平分 的周长，此时， 的结果是否会发生变化？如不变，请求出其值；如变化，求出 的最小值． 【答案】（1） ；（2）①见解析；② ；③变化， 最小值为 【分析】（1）由全等可以得出 ，就可以得出 可得结论； （2）①证明 ，即可得到 ； ②作 ，垂足为 ，则 ，证明 ，可得 ． 中， ， ，可得 ，再求出 ，再求比值即可； ③延长 至P，使得 ，连接 ，当 时，MN最小，再求解即可． 【详解】（1） 正方形 的对角线 、 交于点 ， ， ， 正方形 的 交 于点 ， 交 于点 ． ． 在 和 中， ， ． ， 即 ， 故答案为： ； （2）① 等边三角形 的中线 相交于点O， ， ， ， ， ； ②作 ，垂足为 ，则 ， 是等边 角平分线的交点， ， ， ． 又 ， ， ， ， ， ． 中， ， ， 等边三角形 的中线 相交于点O， ， ， ， 在 中， ， ， ， ， ， ， ． ③如图，延长 至P，使得 ，连接 ， 则 又 ， 当 时，MN最小，此时 ， 所以 为等边三角形， 当 时，MN最小为 ， 最小为 【点睛】本题是旋转综合题，考查了正方形的性质、等边三角形的性质的运用，勾股定理的运用，全等三角形的判定及性质的运用，相似三角形的判定与性质、解直角三角形，解答时证明三角形全等及相似是关键． 21．（2024·江苏盐城·二模）【问题情境】如图，在 中， ， ， 是 边上的高，点 是 上一点，连接 ，过点 作 于 ，交 于点 ． 【特例猜想】如图 ，当 时，直接写出 与 之间的数量关系为_____； 【问题探究】如图 ，当 时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请指出此时 与 的数量关系，并说明理由； 【类比运用】如图3， 连接 ， 若 ， ， ，求 的长． 【答案】［特例猜想］ ；［问题探究］当 时，（1）中的结论不成立，此时 ，理由见解析；［类比运用］ 【分析】［特例猜想］根据已知条件得到 ， ，得到 ，证明 ，根据全等三角形的性质得到结论； ［问题探究］根据已知条件得到 ，得到 ，证明 ，根据相似三角形的性质得到 ，推出 ，证明 ，根据相似三角形的性质得到结论； ［类比运用］如图，连接 ，等腰三角形三线合一性质得到 ，继而得到 ，设 ，则 ，则根据勾股定理得到 ，得到 ，再根据勾股定理建立关于 的方程即可得到结论． 【详解】解：［特例猜想］ 与 之间的数量关系为： ． 理由：当 时，则 ， ∵ 是 边上的高， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ； ［问题探究］当 时，（1）中的结论不成立，此时 ， 理由：∵ ， 是 边上的高， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴△ADG∽△CDE， ∴ ， ∴ ； ［类比运用］如图，连接 ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ 垂直平分 ， ∴ ， ∵ 是 边上的高， ， ， ∴ ， ， ∴ ， 设 ，则 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 解得： ， ∴ ， ∴ 的长为 ． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形三线合一的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，垂直平分线的性质，勾股定理等知识点．熟练掌握全等三角形的判定和性质定理以及相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 22．（2024·江苏宿迁·二模）四边形 是正方形， 是对角线，点 分别在边 上，且不与端点重合， ， 与 交于点 ． (1)如图①，若 平分 ，直接写出线段 之间的等量关系； (2)如图②，若 不平分 ，探究发现中线 之间的等量关系还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； (3)如图③，在矩形 中， ，点 分别在边 上， ，直接写出 的长度． 【答案】(1) (2) 还成立，理由见解析 (3) 【分析】（1）利用 证明 ，得出 ，由角平分线的性质得出 ， ，即可得证； （2）延长 至 ，截取 ，连接 ，证明 得出 ，再证明 ，即可得证； （3）取 、 的中点 ， ，连接 ， ，则四边形 是正方形，由勾股定理得出 ，设 ，则 ， ，根据勾股定理计算即可得出答案． 【详解】（1）解： ， 证明如下： 四边形 为正方形， ， EMBED Equation.DSMT4 ， 平分 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分 ， ， ， ； （2）解： 还成立，理由如下： 如图，延长 至 ，截取 ，连接 ， ， 在 和 中， ， ， ， ， ， ， ， ，即 ， 在 和 中， ， ， ； （3）解：如图，取 、 的中点 ， ，连接 ， ， ， 四边形 为矩形， ， ， ， ， ， ， 四边形 是正方形， ， ， 在 中， ， ， ， ， ， 由（1）同理可得： ， 设 ，则 ， ， 在 中， ， ， 解得： ， 是 的中点， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了四边形的综合题，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，勾股定理等知识点，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形和等腰直角三角形是解题的关键． 23．（2024·江苏扬州·二模）定义：若直角三角形的两直角边的比值为 （ 为正整数），这样的直角三角形称为“ 型三角形”．    (1)利用尺规在图1中作出以点 为直角顶点，以 为直角边的“ 型三角形”；（作出一种情况即可） (2)如图2，已知 是“ 型三角形”，其中 ， ，点 在斜边 上，且 ，过点 作 于点 ，连接 ，证明 是“ 型三角形”； (3)如图3，已知 是“ 型三角形”（ 为正整数），其中 ， ，利用尺规作图在 中作出一个 ，使得 是“ 型三角形”（其中 ）． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】该题主要考查了复杂作图-作垂线，作相等线段，以及相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，解题的关键是正确理解题意，作出对应图形． （1）根据“ 型三角形”的定义即可得出需要作以 为直角边等腰直角三角形即可； （2）根据 是“ 型三角形”，得出 ，设 ，则 ， ，根据 ，证明 ，根据相似三角形的性质即可求出 ，从而求出 ，即可证明． （3）在 上截取 ，再过点 作 交 于点 ，即为所求； 【详解】（1）根据“ 型三角形”的定义即可得出，作以 为直角边的“ 型三角形”即过点 作 的垂线，且等于 ，即以 为直角边等腰直角三角形，如图：    （2）∵ 是“ 型三角形”， ， 设 ，则 ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ， ， ， ， ∴ 是“ 型三角形”． （3）在 上截取 ，再过点 作 交 于点 ，即为所求；    理由：∵ 是“ 型三角形”（ 为正整数），， ， 设 ，则 ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ， ， ， ， ∴ 是“ 型三角形”． 24．（2024·江苏扬州·二模）如图，点E是边长为2的正方形 边 上一动点，连接 ，将射线 绕点B顺时针旋转 交边 于点F，过点E作 ，垂足为点H，连接 交 于G，在点E从点A运动到点D运动过程中． (1)直接写出 的度数为_______ °； (2)连接 ， ① 的比值是否为定值，是定值求出该比值，不是定值请说明理由； ②当 时，直接写出 的长； (3)在点E运动过程中， 的面积记为 ， 的面积记为 ，求出 的最大值． 【答案】(1)45 (2)①是定值， ；② (3) 的最大值为 【分析】（1）先证明 ，可得 四点共圆，再由圆周角定理即可得结论； （2）①连接 ，先证明 ，再由相似三角形的性质可得结论；②过点E作 ，先证明点 三点共线，可得 ，再由等腰三角形性质可得 ，再证 是等腰直角三角形，设 ，则 ，可列出方程 ，再求解即可； （3）过点H作 ，延长 交 于点N，设 ，先证明 ，可得 ，即可求得 ， ，由 ，可列出函数关系式 ，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1） 四边形 是正方形， ， ， 绕点B顺时针旋转 交边 于点F， ， ， ， 四点共圆， ， 故答案为：45； （2）① 的比值是定值， 如图，连接 ， 四边形 是正方形， 是对角线， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ②如图，过点E作 ， ， ， ， ， 由（1）得 ，且 ， 点 三点共线， EMBED Equation.DSMT4 ， ， ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， 是等腰直角三角形， 设 ，则 ， 解得： ， ； （3）如图，过点H作 ，延长 交 于点N， 设 ， 可得四边形 是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即 ， ， ， ， 当 时， 有最大值，为 ． 【点睛】本题考查二次函数与几何图形结合问题、全等三角形的判定及性质，旋转的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定及性质，熟练掌握相关性质定理，添加辅助线，用二次函数解决最值问题是解决问题的关键． 25．（2024·江苏宿迁·二模）【基础巩固】 （1）如图1，在 中， 为 上一点，连结 ， 为 上一点，连结 ，若 ， ，求证： ． 【尝试应用】 （2）如图2，在平行四边形 中，对角线 交于点 为 上一点，连结 ， ， ，若 ，求 的长． 【拓展提升】 （3）如图3，在菱形 中，对角线 交于点 为 中点， 为 上一点，连结 、 ， ，若 ， ，求菱形 的边长． 【答案】（1）见解析（2）32（3） 【分析】（1）可证得 ， 从而 ， 进一步得出结论； （2）可证得 ，从而得出 ，进而得出 ，从而 ， 设 ，则 ， 从而得出 ， 从而求得 的值，进一步得出结果； （3） 延长 ，交于点 ， 可得出 ， 从而 ， 进而表示出 ，可证得 ， 从而 ，进而求得 的值，进一步得出结果． 【详解】（1）证明：∵ ， ， ， ， ； （2）解：∵四边形 是平行四边形， 设 ，则 （舍）， ； （3）解：如图，延长 ，交于点 ， 设 则 ∵四边形 是菱形， 即 在 中， ∵ 为 的中点， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 即 ， ∴ (舍去)， ∴ ， 即菱形 的边长为 ． 【点睛】本题考查了平行四边形、菱形的性质，直角三角形和等腰三角形的性质， 相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形． 26．（2024·江苏无锡·二模）如图 ，矩形 中， ， ，点 为线段 上一点，点 为线段 一点，取线段 的中点 ，以 ， 为邻边向上作 ， 、 所在直线分别交 于 ．设 ． (1)当点 落在 上时（如图 ）， 的值为 ． (2)若 为 的中点，且点 到直线 的距离为 时，求 的值． (3)设 的面积为 ，求 与 的函数表达式． 【答案】(1) ； (2) ； (3) ． 【分析】（ ）由平行四边形的性质得 ， ，由相似三角形的判定方法得 ，由相似三角形的性质得 ，即可求解； （ ）过 作 交于 ，过 作 交于 ，由等腰三角形的判定得 ，由勾股定理得 EMBED Equation.DSMT4 ， ，设 ，则 ，可求出 ， ， ， 由相似的判定方法得 ，由相似三角形的性质得 ，可求出 ，由平行四边形的性质可求出 ， ，分别代入比例式，即可求解； （ ）当 时，过 作 交于 ，过 作 交于 ，设 ， ， ，由（ ）同理可得 ，由相似三角形的判定方法得 ，由相似三角形的性质得 ，可求出 ，由（ ）得 ，可求出 、 ，即可求解；当 时，仿照上述解法，同理可求 【详解】（1）解： 四边形 是平行四边形， ， ，即： ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 为 的中点， ， EMBED Equation.DSMT4 ， ； 故答案： ； （2）解：如图，过 作 交于 ，过 作 交于 ， ， 四边形 是矩形， ， ， 是 的中点， ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， ， ， ， ， 设 ，则 ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， 解得： ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， 由（ ）同理可得： ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， 四边形 是平行四边形， EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ， ， ， 解得： ， 故 的值为 ； （3）解：由题意得：点G不能落在 上， 故m不能等于 ①当 时， 如图，过 作 交于 ，过 作 交于 ， 设 ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， ， 由（ ）同理可得： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由（ ）得： ， ， ， 解得： ， ， ； ②当 时，如图，过 作 交于 ，过 作 交于 ，    设 ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， ， 由（ ）同理可得： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由（ ）得： ， ， ， 解得： ， ， ； 综上所述， 与 的函数表达式为： ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理等；能熟练掌握相关的判定方法及性质，能设恰当的辅助未知数，用方程思想求解是解题的关键． 27．（2024·江苏宿迁·二模）（1）观察猜想：如图1，已知 、 、 三点在一条直线上（ ），正方形 和正方形 在线段 同侧， 是 中点，线段 与 的数量关系是______，位置关系是______； （2）猜想证明：在（1）的基础上，将正方形 绕点 旋转 度（ ），试判断（1）中结论是否仍成立？若成立，仅用图2进行证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展延伸：如图3，矩形 和矩形 中， ， ，将矩形 绕点 旋转任意角度，连接 、 ， 是 中点，若 ，求点 运动的路径长． 【答案】（1） ， ；（2）成立，理由见解析；（3） 【分析】（1）根据正方形的性质即可判定； （2）延长 至点M，使 ，延长 交 于N，证明 ，得出 ， ，利用平角定义和三角形内角和定理可证出 ，证明 ，得出 ， ， 结合 ，可得出 ，结合 ，可得出 ，进而得出 ，即可得出结论； （3）延长 至点M，使 ，取 中点O，连接 ，同（2）证明 ， ， ，证明 ，得出 ，求出 ，利用三角形中位线定理求出 ，则判断出点H在以O为圆心，2为半径的圆上运动，即可解答． 【详解】解：（1）∵正方形 和正方形 ， 、 、 三点共线， ∴ ， ， ， ∴ ， ， ， ∵ 是 中点， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故答案为： ， ； （2） ， 理由：延长 至点M，使 ，延长 交 于N， ∵ 是 中点， ∴ ， 又 ， ∴ ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， 又 ， ∴ ， 又 ， ， ∴ ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ，即 ， ∵ ， ∴ ， 又 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （3）如图，延长 至点M，使 ，取 中点O，连接 ， ∵ 是 中点， ∴ ， 又 ， ∴ ， ∴ ， ， ∵矩形 ，矩形 ， ∴ ， ∴ ， 又 ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 又 ， ∴ ， ∵O为 中点， ， ∴ ， ∴点H在以O为圆心，2为半径的圆上运动， ∴点 运动的路径长为 ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理等知识，明确题意，倍长中线，构造全等三角形、相似三角形是解题的关键． 28．（2024·江苏宿迁·二模）中国象棋棋盘上双方的分界处称为“楚河汉界”，以“楚河汉界”比喻双方对垒的分界线．在平面直角坐标系中，为了对两个图形进行分界，对“楚河汉界线”给出如下定义：点 是图形 上的任意一点，点 是图形 上的任意一点，若存在直线 满足 且 ，则直线 就是图形 与 的“楚河汉界线”．例如：如图 ，直线 是函数 的图像与正方形 的一条“楚河汉界线”． (1)在直线 EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 中，是图 函数 的图像与正方形 的“楚河汉界线”的有______；（填序号） (2)如图 ，第一象限的等腰直角 的两腰分别与坐标轴平行，直角顶点 的坐标是 ， 与 的“楚河汉界线”有且只有一条，求出此“楚河汉界线”的表达式； (3)正方形 的一边在y轴上，其他三边都在y轴的右侧，点 是此正方形的中心，若存在直线 是函数 的图像与正方形 的“楚河汉界线”，求 的取值范围． 【答案】(1) ； (2) ； (3) 或 ． 【分析】（ ）根据定义，结合图象，可判断出直线为 或 与双曲线 及正方形 最多有一个公共点，即可求解； （ ）先作出以原点 为圆心且经过 的顶点 的圆，再过点 作 的切线，求出该直线的解析式即可； （ ）先由抛物线与直线组成方程组，则该方程组有唯一一组解，再考虑直线与正方形有唯一公共点的情形，数形结合，分类讨论，求出 的取值范围即可． 【详解】（1）解：如图， 从图可知， 与双曲线 和正方形 只有一个公共点， 与双曲线 和正方形 没有公共点， 、 不在双曲线 及正方形 之间， 根据“楚河汉界线”定义可知，直线 ， 是双曲线 与正方形 的“楚河汉界线”， 故答案为： ； （2）解：如图，连接 ，以 为圆心， 长为半径作 ，作 轴于点 ，过点 作 的切线 ，则 ， ∵ ， 轴， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 设直线 的解析式为 ，把 、 代入得， ， 解得 ， ∴ ， ∴ 与 的“楚河汉界线”为 ； （3）解：由 得， ， ∵直线与抛物线有唯一公共点， ∴ ， ∴ ， 解得 ， ∴此时的“楚河汉界线”为 ， 当正方形 在直线 上方时，如图， ∵点 是此正方形的中心， ∴顶点 ， ∵顶点 不能在直线 下方，得 ， 解得 ； 当正方形 在直线 下方时，如图， 对于抛物线 ，当 时， ；当 时， ； ∴直线 恰好经过点 和点 ； 对于直线 ，当 时， ，由 不能在直线 上方， 得 ， 解得 ； 综上所述， 或 ． 【点睛】此题考查了一次函数、正方形的性质、三角函数、一次函数的应用、二元二次方程组，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 29．（2024·江苏苏州·二模）已知抛物线 交 轴于点 和点 ，交 轴于点 ，连接 ． (1)求抛物线 的表达式； (2)如图1，点 是拋物线 对称轴上一点，且点 在 轴上方，连接 、 ，若 ，则 点坐标是_______；（请直接在答题卷相应位置上写出答案） (3)如图2，将抛物线 向右平移 个单位 得到抛物线 与线段 交于点 （点 不与点 重合），与线段 交于点 ，连接 是否存在 的值，使得 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， ，理由见解析． 【分析】（1）用待定系数法即可求出抛物线 的表达式． （2）通过设设 与 相交于点H，设过点A，B，C的圆的圆心为点M，，根据抛物线的解析式即可求出点 根据点 及正切函数的概念即可求出 ，即可得到 ，即可得出 ，即可判断出 ，即可得出 ，即可判断出点D在 上，根据抛物线的对称轴垂直平分线段 ，即可判断出点M在抛物线的对称轴上，根据抛物线的解析式即可求出抛物线的对称轴为直线 ，通过设点 ，根据圆的半径相等即可建立关于m的方程，解方程，即可求出点 ，即可求出圆的半径，根据点D在直线 上即可得出答案． （3）由平移的的性质得出 的解析是为 ，由点A的平移得出 ，由待定系数法求出直线 的解析式，设点 ，作 交x轴于点 ， ，由平行的性质得出 ，则 ，即 ，代入得出 ，由点F在 上，得出 ，代入 即可得出m的一元二次方程，解方程并结合条件即可得出答案． 【详解】（1）解：把 ， 代入 ， 得∶ 解得∶ ， ∴抛物线 的表达式为 ． （2）如图，设 与 相交于点H，设过点A，B，C的圆的圆心为点M， ∵ ， ∴当 时， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴点D在 上， ∵抛物线的对称轴垂直平分线段 ， ∴点M在抛物线的对称轴上， ∵ ， ∴抛物线的对称轴为直线 ， 设点 ， ∵ ， ∴ ， 解得： ， ∵ ， ∴ ， ∵点D在直线 上， ∴点 ． （3）∵ 向右平移 个单位 得到抛物线 ， ∴ 的解析是为 ， ∵ ， ∴ ， 设直线 的解析式为： ， 则 ． 解得： ， ∴直线 的解析式为： ， 设点 ， 作 交x轴于点 ， ∴ ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 即 ， 整理得： ∴ ， ∵点F在 上， ∴ ， 把 代入得： ， 整理得： ， 解得： 或 ， ∵ ∴ ． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定以及性质，平行线的性质，正切的定义，两点之间的距离公式，平移的性质等知识，掌握这些性质以及定义是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ _1779084054.un$$