专题05二次函数-【好题汇编】2024年中考数学二模试题分类汇编（江苏专用）

专题05 二次函数 1．（2024·江苏泰州·二模）二次函数（，h，k为常数）图象开口向下，当时，；当时，．则h的值可能为 （      ） A．2 B．3 C． D． 2．（2024·江苏苏州·二模）设二次函数（a，c为实数，）的图象过点，，，，则 （      ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 3．（2024·江苏无锡·二模）某公司计划生产一种新型电子产品，经过公司测算，在生产数量不超过8万件的情况下，生产成本和销售价格均是生产数量的一次函数，其部分数据如下表： 生产数量（万件） 生产成本（元/件） 销售价格（元/件） 1 9 16 2 8 14 3 7 12 为获最大利润，生产数量应为 （     ） A．3万件 B．4万件 C．5万件 D．6万件 4．（2024·江苏南京·二模）如图，在水平向右为轴正方向，竖直向上为轴正方向的坐标系中标记了个格点，已知网格的单位长度为，若二次函数的图像经过其中的个格点，则的最大值为 (     ) A． B．1 C． D． 5．（2024·江苏南通·二模）如图1，等腰中，，，点D从点B出发，沿方向运动，于点E，的面积随着点D的运动形成的函数图象（拐点左右两段都是抛物线的一部分）如图2所示，以下判断正确的是（    ） A．函数图象上点的横坐标表示的长 B．当点D为的中点时，点E为线段的三等分点 C．两段抛物线的开口大小不一样 D．图象上点的横坐标为3时，纵坐标为 6．（2024·江苏徐州·二模）把二次函数先向右平移个单位，再向下平移个单位后解析式为 ． 7．（2024·江苏宿迁·二模）下列关于抛物线（m为常数）的结论：①抛物线的对称轴为直线；②抛物线的顶点在直线上；③抛物线与y轴的交点在原点的上方；④抛物线上有两点，若，则．其中正确结论的序号是 ． 8．（2024·江苏无锡·二模）如图，二次函数的图像交轴于两点（在左侧），交轴于点，将绕着点逆时针旋转，其所在直线与二次函数图像交于点，则点坐标为 ． 9．（2024·江苏苏州·二模）已知二次函数（）图象的对称轴为直线，该二次函数图象上存在两点，，若对于，始终有，则的取值范围是 ． 10．（2024·江苏扬州·二模）在平面直角坐标系中，已知点，若抛物线与线段有两个不同的交点，则a的取值范围是 ． 11．（2024·江苏南京·二模）在二次函数中，与的部分对应值如下表： 则下列结论： ①图像经过原点；②图像开口向下；③图像经过点；④当时，随着的增大而增大；⑤方程有两个不相等的实数根．其中所有正确结论的序号是 ． 12．（2024·江苏徐州·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且，抛物线的对称轴轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)动点的坐标为．连结，，当最大时，求出点的坐标； (3)是抛物线上一个动点，在平面直角坐标系中是否存在点，使、、、为顶点的四边形成为矩形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 13．（2024·江苏宿迁·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与坐标轴分别相交于点，，三点，其对称轴为． (1)求该抛物线的解析式； (2)点是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线分别与轴，直线交于点，． 当时，求的长； 若，，的面积分别为，，，且满足，求点的横坐标． 14．（2024·江苏南京·二模）已知二次函数（为常数）的图像与轴的公共点为，． (1)当时，求的值； (2)当，且时，求的取值范围； (3)线段长的最小值为　　． 15．（2024·江苏南京·二模）二次函数的图像过点，． (1)的值为______； (2)若，是该函数图像上的两点，当，时，试说明：； (3)若关于的方程有一个正根和一个负根，直接写出的取值范围． 16．（2024·江苏盐城·二模）已知抛物线 与x轴交于点A和点两点，与y轴交于点    (1)求此抛物线的函数表达式； (2)点P是抛物线上一动点(不与点A，B，C重合)，作轴， 垂足为D，连接PC． ① 如图1，若点P在第三象限，且，求点 P的横坐标； ② 如图2，直线交直线于点，当点关于直线的对称点落在轴上时，直接写出四边形的周长． 17．（2024·江苏南通·二模）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上是否存在一点，满？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图2，过点作的垂线，垂足为，，分别为射线，上的两个动点，且满足，连接，请直按写出的最小值． 18．（2024·江苏无锡·二模）如图，已知二次函数的图象与轴交于A、B（A在B左侧），与轴交于C，在函数图象上取一点D，点D和点C的纵坐标相同，，． (1)求二次函数的表达式； (2)在x轴上取点M（m，0），若二次函数图象上存在一点N，使得，且满足条件的点N有且只有3个，请求出m的值． 19．（2024·江苏南京·二模）已知二次函数． (1)求证：不论a取何值时，该二次函数图像一定经过两个定点； (2)是该函数图像上的两个点，试用两种不同的方法证明； (3)当时，y随x的增大而增大或y随x的增大而减小，结合函数图像，直接写出a的取值范围． 20．（2024·江苏泰州·二模）如图（1），一小球从斜面顶端由静止开始沿斜面下滚，呈匀加速运动状态，经过8秒到达水平面后继续滚动，呈匀减速运动状态，设小球从斜面顶端开始到在水平面上停止的过程中运动t秒时的速度为v（单位：），滚动的路程为s（单位：）．结合物理学知识可知，小球在斜面滚动时v与t的函数表达式为，s与t的函数表达式为；在水平面滚动时v与t的函数表达式为．s与t的函数表达式为．v与t部分数据如下表所示，s与t的部分函数图像如图2所示． 时间 0 2 8 10 … 平均速度 0 4 14 … (1)表格中时，v的值为 ． 小球在水平面滚动过程中v与t的函数表达式为 ； (2)求小球在水平面滚动时s与t的函数表达式； (3)求小球从斜面顶端开始到在水平面上停止滚动的总路程． 21．（2024·江苏徐州·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴分别交于点A、C与y轴交于点B，顶点为D． (1)点A坐标为 ，点D坐标为 ； (2)P为之间抛物线上一点，直线交于，交轴于，若，求P点坐标． (3)M为抛物线对称轴上一动点，若平面内存在点N，使得以B、C、M、N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有 个． 22．（2024·江苏无锡·二模）如图，一次函数与二次函数的图像交于A、D两点（点A在点D左侧），与二次函数的图象交于B、C两点（点B在点C左侧）． (1)如图1，若，，请求出的值． (2)如图1，若，点B与A横坐标之差为1，试探究的值是否为定值？如果是，请求出这个比值：如果不是，请说明理由． (3)如图2，若，求的值． 23．（2024·江苏无锡·二模）在平面直角坐标系中，二次函数（为常数，且）的图象与轴交于两点（点在点左侧），与轴交于点．过点且平行于轴的直线交该二次函数图象于点，交线段于点． (1)求点和点的坐标； (2)求证：； (3)若点关于的对称点恰好落在直线上，求此时二次函数的表达式． 24．（2024·江苏连云港·二模）如图，已知、、三点的坐标分别为、、，抛物线的图象经过、两点    (1)求该抛物线的函数表达式； (2)过点作线段的平行线，交抛物线于点，连接，试判断四边形的形状； (3)点为线段上一动点，过点作轴的平行线，交该抛物线于点，当线段的长最大时，求点的坐标． 25．（2024·江苏连云港·二模）在平面直角坐标系中，抛物线（a，b，c为常数，且）经过点和两点． (1)求b和c的值（用含a的代数式表示）； (2)若当时，，求a的取值范围； (3)已知点，，，若该抛物线与恰有两个公共点，结合函数图像，直接写出a的取值范围． 26．（2024·江苏宿迁·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，顶点D的坐标为，点P是第一象限抛物线上的一动点．    (1)求抛物线的函数表达式． (2)如图2，连接、、，线段与相交于点E，设则w有最大值还是最小值？请做出判断，并求出w的最值． (3)如图3，点Q为第四象限抛物线上的另一动点，连接交y轴于点H，线段与y轴的交点记为G，用m表示的长，用n表示的长，若在P、Q两点运动的过程中，m与n始终满足函数关系式试探究直线是否过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 27．（2024·江苏常州·二模）如图，抛物线，抛物线交轴于点（点在点的右侧），交轴于点，抛物线与抛物线关于原点成中心对称．    (1)求抛物线的函数表达式和直线对应的函数表达式． (2)点是第一象限内抛物线上的一个动点，连接与相交于点． ①作轴，垂足为，当时，求点的横坐标． ②请求出的最大值． 28．（2024·江苏扬州·二模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线（其中、为常数）与轴分别交于点、两点，点在点的左侧，与轴交于点，且抛物线经过点、． (1)若点的坐标为， ①_______，点的坐标为______； ②点是线段上方抛物线上的一动点，连接交于点，若，直接写出点的横坐标为_______； (2)若，求证：． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 二次函数 1．（2024·江苏泰州·二模）二次函数（，h，k为常数）图象开口向下，当时，；当时，．则h的值可能为 （     ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，代入已知的点，可得，进而可得，即有，问题随之得解． 【详解】∵当时，；当时，， ∴， 即，可得：， 整理得：， ∵二次函数图像开口向下， ∴， ∴， 故选：D． 2．（2024·江苏苏州·二模）设二次函数（a，c为实数，）的图象过点，，，，则 （     ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．将四个点的坐标代入解析式，根据对每个选项解不等式即可解答． 【详解】解： ， ， A、，，则， 或， 即或， 当时，或， 当时，， 当时，，故A错误； B．，，则， 或， 即或， 当时， 当时，， 当时，，故B错误； C．，，则， 或， 即或， 当时，， 当时，无解， 当时，无解， ，故C正确； ，故选项C正确； D．，，则， 或， 即或， 当时，无解， 当时，无解， 当时，， ，故选项D错误； 故选：C． 3．（2024·江苏无锡·二模）某公司计划生产一种新型电子产品，经过公司测算，在生产数量不超过8万件的情况下，生产成本和销售价格均是生产数量的一次函数，其部分数据如下表： 生产数量（万件） 生产成本（元/件） 销售价格（元/件） 1 9 16 2 8 14 3 7 12 为获最大利润，生产数量应为 （     ） A．3万件 B．4万件 C．5万件 D．6万件 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的应用．根据生产成本和销售价格均是生产数量的一次函数以及表格中的数据，得到生产成本和销售价格的表达式，进而根据利润每件产品的利润生产数量，把相关数值代入可生产利润得关于生产数量的二次函数，进而根据二次函数的性质可得生产数量为多少时，利润最大． 【详解】解：设生产数量为万件，生产成本为元件，销售价格为元件． 生产成本和销售价格均是生产数量的一次函数， 设，． ，符合， ， 解得：． ． ，符合， ． 解得：． ． 设生产利润为，则 ． ， 当时，利润最大, 即为获最大利润，生产数量应为4万件． 故选：B． 4．（2024·江苏南京·二模）如图，在水平向右为轴正方向，竖直向上为轴正方向的坐标系中标记了个格点，已知网格的单位长度为，若二次函数的图像经过其中的个格点，则的最大值为(    ) A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数图象的性质，不共线三点确定抛物线解析式，根据开口向上，开口越小越大，进而建立坐标系，求解析式求得的值，即可求解． 【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系， 依题意，经过点时，抛物线开口向上，的值最大， ∵， 设抛物线解析式为，将代入得， 解得： 故选：D． 5．（2024·江苏南通·二模）如图1，等腰中，，，点D从点B出发，沿方向运动，于点E，的面积随着点D的运动形成的函数图象（拐点左右两段都是抛物线的一部分）如图2所示，以下判断正确的是（    ） A．函数图象上点的横坐标表示的长 B．当点D为的中点时，点E为线段的三等分点 C．两段抛物线的开口大小不一样 D．图象上点的横坐标为3时，纵坐标为 【答案】D 【分析】第二个图形中点在两段函数中，是关键点．结合第一个图形，可得此时点D移动到点C，E在AB的中点，那么．．可得．判断A选项；作于点H．可得，根据相似三角形的判定与性质可得E为的四等分点，从而判断B选项；分为当D在上时及当D在上时，两种情况分别求出函数解析式，从而判断C选项；把代入当D在上时的函数解析式中可求得面积的值，判断出D选项． 【详解】解：∵点在两段函数中，即点D与点C重合时． ∵等腰中，，，， ∴． ∴． ∴． ∴点横轴表示的长，故A错误； 如图，作于点H． 又∵是等腰三角形， ∴． ∵， ∴． ， ∵D为中点， ， ∴． ∴． ∴点E为线段的四等分点，故B错误； 当D在上时，为x，则， ∴， 当D在上时，为x，则， ∴． ∵两个二次函数的二次项的比例系数的绝对值相等， ∴两段抛物线的开口大小一样，故C错误； 当时，点D在上， ∴，故D正确． 故选D 【点睛】本题考查动点问题的函数图象．得到拐点在图形中表示的意义是解决本题的关键．用到的知识点为：若两个二次函数中二次项的比例系数的绝对值相等，则两个二次函数的形状相同． 6．（2024·江苏徐州·二模）把二次函数先向右平移个单位，再向下平移个单位后解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数平移的规律：上加下减，左加右减．根据函数平移的规律上加下减，左加右减直接代入即可得到答案； 【详解】解：把二次函数先向右平移个单位，再向下平移个单位后解析式为即 故答案为：． 7．（2024·江苏宿迁·二模）下列关于抛物线（m为常数）的结论：①抛物线的对称轴为直线；②抛物线的顶点在直线上；③抛物线与y轴的交点在原点的上方；④抛物线上有两点，若，则．其中正确结论的序号是 ． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质；二次函数配方即可得抛物线的对称轴，从而判断①；根据抛物线的顶点坐标可判断②；抛物线与y轴的交点为，对进行配方即可判断③；由题意得，，计算，根据差的符号即可判断④，最后得到结论． 【详解】解：， 则抛物线的对称轴为直线，故①正确； 抛物线的顶点坐标为，表明顶点纵坐标比横坐标大1，即顶点在直线上，故②正确； 对于，令，则， 所以抛物线与y轴的交点为， 而， 故抛物线与y轴的交点在原点的上方，故③正确； 在抛物线上， ，， ， ， ， ， 即， 故④错误； 综上，正确的是①②③； 故答案为：①②③． 8．（2024·江苏无锡·二模）如图，二次函数的图像交轴于两点（在左侧），交轴于点，将绕着点逆时针旋转，其所在直线与二次函数图像交于点，则点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，解直角三角形，待定系数法求函数解析式，矩形的性质，等腰直角三角形的直角，勾股定理，过点作于，过点作于，于，连接，设直线与轴相交于点，利用解直角三角形求出点的坐标，进而利用待定系数法求出直线的解析式，再联立函数解析式得到二元一次方程组，解方程组即可求解，求出点的坐标是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于，过点作于，于，连接，设直线与轴相交于点，则四边形为矩形， ∴，，， ∵二次函数， ∴， ∴， 把代入得，， 解得，， ∴，， ∴，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴，为等腰直角三角形， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 联立函数解析式得，， 解得或， ∴点坐标为， 故答案为：． 9．（2024·江苏苏州·二模）已知二次函数（）图象的对称轴为直线，该二次函数图象上存在两点，，若对于，始终有，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，首先根据得到二次函数图象开口向下，再得到点在对称轴左侧，结合题意可以得到t的最小值，即可得到答案． 【详解】解：二次函数（）图象开口向下，对称轴为直线， ∵二次函数图象上存在两点，，对于，始终有， ∴点在对称轴的左侧，如图， ， ∴， 故答案为：． 10．（2024·江苏扬州·二模）在平面直角坐标系中，已知点，若抛物线与线段有两个不同的交点，则a的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数图象与性质，待定系数法求一次函数解析式，一次函数与二次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 先求出线段的表达式为：，当抛物线与线段有两个不同交点，则，由得，当抛物线经过点A时，满足两个交点，代入可得，故；当时，且抛物线经过点，代入解得：，故满足题意． 【详解】解：设直线的表达式为，代入， 得， 解得：， ∴线段的表达式为：， 当， 化简得：， 则， 解得：， 当抛物线经过点A时，满足两个交点，代入得：， 解得：， 如图示： ∴当符合题意； 当时，且抛物线经过点，代入得：， 解得：， 如图示： ∴当时符合题意， 综上所述：当或满足题意． 故答案为：或． 11．（2024·江苏南京·二模）在二次函数中，与的部分对应值如下表： 则下列结论： ①图像经过原点；②图像开口向下；③图像经过点；④当时，随着的增大而增大；⑤方程有两个不相等的实数根．其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③⑤ 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，进而根据解析式逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：由图表可以得出当或时，，时，， 解得： ， ， 图象经过原点，故①正确； ＞， 抛物线开口向上，故②错误； 把代入得，， 图象经过点（），故③正确； 抛物线的对称轴是， ＞时，随的增大而增大，＜时，随的增大而减小，故④错误； 抛物线与轴有两个交点（）、（） 有两个不相等的实数根，故⑤正确； 故答案为：①③⑤． 12．（2024·江苏徐州·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且，抛物线的对称轴轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)动点的坐标为．连结，，当最大时，求出点的坐标； (3)是抛物线上一个动点，在平面直角坐标系中是否存在点，使、、、为顶点的四边形成为矩形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)点坐标为，， 【分析】本题考查了抛物线的综合应用，解直角三角形，垂径定理，矩形的性质； （1）结合，由两点式可得抛物线解析式为，求出点坐标，代入即可求出抛物线解析式； （2）记的外心为，则在的垂直平分线上（设与轴交于点），连接、．由圆周角定理和三角函数的定义可表示出，可得出的值随着的增大而减小，则可得与直线相切，再结合勾股定理可求得点的坐标； （3）分类讨论，①若为边，时，将绕点逆时针旋转得到'，根据证明'，依据全等的性质可得点点的坐标，求出直线的表达式与抛物线的解析式联立求解可得点横坐标，由矩形的性质可知，，结合点、、点坐标可得点坐标②若为边，时，同理可求：直线的解析式，与抛物线的解析式联立求解可得点横坐标，同理可得点坐标；③若为对角线，由点点坐标可得的中点坐标及的长，点在抛物线上，设点，利用勾股定理可求出的值，选择符合题意的，求出点坐标后结合的中点坐标可知点坐标，综上所述，点的坐标有种情况 【详解】（1）， ，， ， ， 点 设经过点， ， ， 抛物线解析式为：； （2）如图，记的外心为，则在的垂直平分线上（设与轴交于点）． 连接、，则，， ， 的值随着的增大而减小． 又， 当取最小值时最大， 即垂直直线时，最大， 此时，与直线相切． ∵，则 ，， 坐标为． 根据对称性，另一点也符合题意． 综上可知，点坐标为或． （3）若为边，时，如图，将绕点逆时针旋转得到， ， ，， ，且， ，， 点，且 直线'解析式为：， ， ， 点， ， ， ， ， ， 点， 若为边，时， 同理可求：直线的解析式为：， ， ， 点坐标 ， ， ， ， ， 点， 若为对角线， 、、、为顶点的四边形成为矩形， ，与互相平分， ， 中点坐标，， 设 ， ， ， ，且的中点坐标， 点 综上所述：点坐标为，，． 13．（2024·江苏宿迁·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与坐标轴分别相交于点，，三点，其对称轴为． (1)求该抛物线的解析式； (2)点是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线分别与轴，直线交于点，． 当时，求的长； 若，，的面积分别为，，，且满足，求点的横坐标． 【答案】(1)； (2)；点的横坐标为． 【分析】（）由待定系数法即可求解； （）求出直线的表达式为：，得到点，进而求点，即可求解； 证明，即可求解． 【详解】（1）由题意得：， 解得：， 即抛物线的表达式为：； （2）令，则或， 即点、的坐标分别为：、； 设点， 由点、得，直线的表达式为：， 当时，，即点， 则， 由点、的坐标得直线的表达式为：， 联立得：， 解得：，则点，， 由点、的坐标得，， ，即， 解得：（舍去）或， 则； 过点、分别作轴的垂线，垂足分别为点、， ∵，，同高，则其面积比为边的比， 即， ∵， 则，， 则， 即， 整理得：， 由①知，，， 则， 解得：，（舍去）， 经检验，是方程的根， 则点的横坐标为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，一次函数的性质，平行线分线段成比例定理，解一元二次方程，面积的计算等，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 14．（2024·江苏南京·二模）已知二次函数（为常数）的图像与轴的公共点为，． (1)当时，求的值； (2)当，且时，求的取值范围； (3)线段长的最小值为　　． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，一元二次方程根与系数的关系，二次函数的最值，利用数形结合是解决本题的关键． （1）把代入得，可得，即可求解； （2）把代入得，把代入得，分类讨论，利用数形结合思想即可解决； （3）先表示出，再由一元二次方程根于系数的关系即可求解． 【详解】（1）解：把代入得， ∵ 图像与x轴的公共点为，， ∴． ∵， ∴； （2）解：把代入得，      把代入得， 当时，则， ∴． 当时，则， ∴． 综上所述，m的范围是：或； （3）解：把代入得， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 15．（2024·江苏南京·二模）二次函数的图像过点，． (1)的值为______； (2)若，是该函数图像上的两点，当，时，试说明：； (3)若关于的方程有一个正根和一个负根，直接写出的取值范围． 【答案】(1)1； (2)见解析； (3)或． 【分析】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系； （1）由图像过点，得，即可求解； （2）可得，由到对称轴距离越小的点，纵坐标越大，即可求解； （3）由根的判别式和根于系数的关系得，，即可求解； 掌握二次函数的性质及一元二次方程根的判别式“时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程有无的实数根．”及根与系数的关系： 是解题的关键． 【详解】（1）解：图像过点，， ； 故答案：； （2）解：由（1）得 ， ， ， ， 到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ， 到对称轴距离越小的点，纵坐标越大， ； （3）解：由（1）得 ， 整理得：， 方程有一个正根和一个负根，即方程有两个不相等的实数根， ， 令，画出图象如图所示： 由图象得：或， ∵方程有一个正根和一个负根， ∴， 则有 同理由图象求得， 或， 综上：a的取值范围为：或． 16．（2024·江苏盐城·二模）已知抛物线 与x轴交于点A和点两点，与y轴交于点    (1)求此抛物线的函数表达式； (2)点P是抛物线上一动点(不与点A，B，C重合)，作轴， 垂足为D，连接PC． ① 如图1，若点P在第三象限，且，求点 P的横坐标； ② 如图2，直线交直线于点，当点关于直线的对称点落在轴上时，直接写出四边形的周长． 【答案】(1)； (2)①点P的横坐标为；②或． 【分析】（1）将，两点坐标代入抛物线的解析式，从而求得，，进而求得结果； （2）①根据为直角三角形，进而求得点坐标，从而求出的解析式，将其与抛物线的解析式联立，化为一元二次方程，从而求得结果； ②可推出四边形是菱形，从而得出，分别表示出和，从而列出方程，进一步求得结果． 【详解】（1）解：由题意得， ， ， ； （2）解：①如图1，延长直线交轴于，    ∵， ，，， ， 点， 直线的解析式为：， 由得， ，（舍去）， 点的横坐标为； ②如图2，        设点，四边形的周长记作， 点在第三象限时，作轴于， 点与关于对称， ，， ∵轴， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， 为菱形， ， ∵， ， ， ， 设直线的解析式为 ∴解得： ∴直线的解析式为 ， ， （舍去），， ， ， 当点在第二象限时， 同理可得： ， （舍去），， ， 综上所述：四边形的周长为：或． 【点睛】本题考查了求一次函数和二次函数的解析式，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，轴对称性质等知识，解决问题的关键是正确分类，作辅助线，表示出线段的数量． 17．（2024·江苏南通·二模）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上是否存在一点，满？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图2，过点作的垂线，垂足为，，分别为射线，上的两个动点，且满足，连接，请直按写出的最小值． 【答案】(1) (2)存在，或 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点作的角平分线，交轴于点，过点作于，得到，然后由求出，得到，过点作，垂足为，，设点坐标为，根据题意分点在第四象限和点在第三象限两种情况讨论，分别求解即可； （3）过点作，同时使得，连接，证明出，得到，得到，过点作，垂足为，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）把，，代入 得， 解得得 ∴抛物线的解析式为； （2）过点作的角平分线，交轴于点，过点作于， ∵为的角平分线，轴， ∴，，， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 又 ，即 在中， 又， 过点作，垂足为， 设点坐标为 ①若点在第四象限时， 或（舍） ． ②若点在第三象限时，同理可得关于轴的对称点 综上所述，或； （3）如图，过点作，同时使得，连接 ， 又 ， 过点作，垂足为， ， 在中，， ，， 在中， ∴的最小值为． 【点睛】此题考查了二次函数的综合题，解直角三角形，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，灵活运用所学知识是解题的关键． 18．（2024·江苏无锡·二模）如图，已知二次函数的图象与轴交于A、B（A在B左侧），与轴交于C，在函数图象上取一点D，点D和点C的纵坐标相同，，． (1)求二次函数的表达式； (2)在x轴上取点M（m，0），若二次函数图象上存在一点N，使得，且满足条件的点N有且只有3个，请求出m的值． 【答案】(1)二次函数的表达式为； (2)满足条件的点有且只有3个，的值为或． 【分析】（1）先求出二次函数的图象对称轴为直线，可得，根据，即可得，，再用待定系数法可得二次函数的表达式为； （2）过作交抛物线于，，作关于轴的对称直线交抛物线于，，画出图形可知，此时满足条件的有，两个；求出直线解析式为，求得直线解析式为；移动，使直线与抛物线只有一个交点时，满足条件的点有且只有3个，故有两个相等的实数解，有，解得；当移动，使直线与抛物线只有一个交点时，满足条件的点有且只有3个，同理可得有两个相等的实数解，． 【详解】（1）解：点和点的纵坐标相同， 和关于抛物线的对称轴直线对称， 又二次函数的图象对称轴为直线， ， ， ， ， 设，则， ， ， 解得（负值已舍去）， ，， ，， 把，代入得： ， 解得， 二次函数的表达式为； （2）解：， 又， ， 过作交抛物线于，，作关于轴的对称直线交抛物线于，，如图： 由平行线性质知， 由对称性知， ， 此时满足条件的有，两个； 由，可得直线解析式为， 设直线解析式为，将代入得： ， ， 直线解析式为， 直线与直线关于轴对称， 直线解析式为， 当移动，使直线与抛物线只有一个交点时，满足条件的点有且只有3个，如图： 此时有两个相等的实数解，即有两个相等的实数解， △， 即， 解得； 当移动，使直线与抛物线只有一个交点时，满足条件的点有且只有3个，如图： 同理可得有两个相等的实数解， ， 解得； 综上所述，满足条件的点有且只有3个，的值为或． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，一次函数图象与系数的关系，直线与抛物线的位置关系等，解题的关键是分类讨论思想的应用． 19．（2024·江苏南京·二模）已知二次函数． (1)求证：不论a取何值时，该二次函数图像一定经过两个定点； (2)是该函数图像上的两个点，试用两种不同的方法证明； (3)当时，y随x的增大而增大或y随x的增大而减小，结合函数图像，直接写出a的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或或 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数图像的对称性是关键； （1）当时，；当时，，进而即可得到结论； （2）分别用作差法和二次函数图像的对称性比较大小即可； （3）分当时和时，对抛物线的对称轴位置进行讨论即可 【详解】（1）解：∵当时，；当时，， ∴不论a取何值时，该二次函数图像一定经过两个定点； （2）方法一、∵是该函数图像上的两个点， ∴，， ∴ ， ∵， ∴，即； 方法二、∵抛物线的对称轴为：直线， ， 当时，，此时， 当时，，此时， 综上所述： （3）解：∵当时，抛物线开口向上，抛物线的对称轴为：直线， ∴时，y随x的增大而增大，符合题意； 当且或时，y随x的增大而减小或y随x的增大而增大， ∴或 20．（2024·江苏泰州·二模）如图（1），一小球从斜面顶端由静止开始沿斜面下滚，呈匀加速运动状态，经过8秒到达水平面后继续滚动，呈匀减速运动状态，设小球从斜面顶端开始到在水平面上停止的过程中运动t秒时的速度为v（单位：），滚动的路程为s（单位：）．结合物理学知识可知，小球在斜面滚动时v与t的函数表达式为，s与t的函数表达式为；在水平面滚动时v与t的函数表达式为．s与t的函数表达式为．v与t部分数据如下表所示，s与t的部分函数图像如图2所示． 时间 0 2 8 10 … 平均速度 0 4 14 … (1)表格中时，v的值为 ． 小球在水平面滚动过程中v与t的函数表达式为 ； (2)求小球在水平面滚动时s与t的函数表达式； (3)求小球从斜面顶端开始到在水平面上停止滚动的总路程． 【答案】(1)16， (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是： （1）把，代入，求出，把代入求出；把，；，代入求解即可； （2）把代入，求出，把，；，代入求解即可； （3）把（2）中化成顶点式，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解∶把，代入，得， 解得， ∴， 当时，， 把，；，代入， 得，解得， ∴， 故答案为∶16， ； （2）解：当时，， 把，；，代入， 得， 解得， ； （3）解： ∴当时，s有最大值为192， 即求小球从斜面顶端开始到在水平面上停止滚动的总路程． 21．（2024·江苏徐州·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴分别交于点A、C与y轴交于点B，顶点为D． (1)点A坐标为 ，点D坐标为 ； (2)P为之间抛物线上一点，直线交于，交轴于，若，求P点坐标． (3)M为抛物线对称轴上一动点，若平面内存在点N，使得以B、C、M、N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有 个． 【答案】(1)， (2) (3)4 【分析】（1）在中，令可得，由，得抛物线顶点为； （2）连接，由，，，，求出，根据，可得，故，可求出，，得直线函数表达式为，联立，求解，即可得出点P坐标； （3）分三种情况：①若以，为邻边，则以为圆心，为半径作圆与对称轴直线有交点，，②若以，为邻边，则以为圆心，为半径作圆与对称轴直线有交点，，③若以，为邻边，则作的垂直平分线与对称轴直线有交点，分别画出图形可得答案． 【详解】（1）解：在中，令得， 解得或， ， ， 抛物线顶点为， 故答案为：，； （2）解：连接，如图： 由（1）知，，，， 在中，令得， ， ， ， ， 即， ， ， ， ， 设直线函数表达式为， 把，代入，得， 解得：， ∴直线函数表达式为， 联立， 解得或， ∴； （3）解：①若以，为邻边，则以为圆心，为半径作圆与对称轴直线有交点，，如图： 可作菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点B作直线于E， ∴， ∵ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴与共线，以，，，为顶点不能作菱形； ②若以，为邻边，则以为圆心，为半径作圆与对称轴直线有交点，，如图： 可作菱形和菱形； 连接，相交于E， ∵，， ∴， ∴， ∵菱形， ∴，， ∴， ∴，， 解得：，， ∴； 同理可求得； ③若以，为邻边，则作的垂直平分线与对称轴直线有交点，如图： 可作菱形； 同样可求得． 综上所述，以、、、为顶点的四边形为菱形，则这样的点共有4个； 故答案为：4． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及三角形面积，菱形的判定等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用，属于中考压轴题． 22．（2024·江苏无锡·二模）如图，一次函数与二次函数的图像交于A、D两点（点A在点D左侧），与二次函数的图象交于B、C两点（点B在点C左侧）． (1)如图1，若，，请求出的值． (2)如图1，若，点B与A横坐标之差为1，试探究的值是否为定值？如果是，请求出这个比值：如果不是，请说明理由． (3)如图2，若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分别求出点A、B、C、D的坐标，再根据两点之间的距离公式，求出，即可解答； （2）先求出点A、B、C、D的横坐标，过点A、B、C、D分别作x轴的垂线，垂足分别为点E、F、G、H；过点A作于点P，过点C作于点Q，易证，则，根据点B与A横坐标之差为1，德吹，，进而得出，再求出，即可解答． （3）先求出点A、B、C、D的横坐标，由（2）同理可得：，，推出，进而求出，即可解答． 【详解】（1）解：若，，则一次函数为， 联立和得： ， 解得或， ，， 联立和得： ， 解得或， ，， ， ， ． （2）解：当时，一次函数为， 联立和得： ， 解得， 联立和得： ， 解得：， 过点A、B、C、D分别作x轴的垂线，垂足分别为点E、F、G、H；过点A作于点P，过点C作于点Q， ∵轴，轴， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵点B与A横坐标之差为1， ∴，，即， 整理得：， ∵， ∴． （3）解：联立和得： ， 解得， 联立和得： ， 解得：， 由（2）可得：， ∴， 整理得：， 由图可知：一次函数图象经过二、四象限，则， 两边同时除以m得：， 令，则， 解得：， ∴， ∴， 同理可得：． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合，解题的关键是熟练掌握求二次函数和一次函数交点的方法和步骤． 23．（2024·江苏无锡·二模）在平面直角坐标系中，二次函数（为常数，且）的图象与轴交于两点（点在点左侧），与轴交于点．过点且平行于轴的直线交该二次函数图象于点，交线段于点． (1)求点和点的坐标； (2)求证：； (3)若点关于的对称点恰好落在直线上，求此时二次函数的表达式． 【答案】(1)，； (2)证明见解析； (3)抛物线的表达式为：． 【分析】（）令即可求解； （）证明点在的垂直平分线上，即可求解； （）求出直线的表达式为，得到，再根据中点坐标即可求解； 本题考查了二次函数综合运用，一次函数的性质、垂直平分线的性质，解一元二次方程等，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）令，解得：或， 即点的坐标分别为：，； （2）证明：过点作于点， 当时，，当时，，即点的坐标分别为：，， 由点，的坐标得，直线的表达式为：， 当时，，即点， 由点的纵坐标知，点在的垂直平分线上，即平分， ∵轴， ∴， 即； （3）由（）（）知，点的坐标分别为：，，， 由点的坐标得，直线的表达式为：， 设的交于点，与轴交于点，过作于点， ∴，，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴点， 设直线的表达式为：， ∴，解得：， 则直线的表达式为：， 联立直线和的表达式得：， 解得：， 由中点坐标公式得：， 解得：(舍去正值)， 则抛物线的表达式为：． 24．（2024·江苏连云港·二模）如图，已知、、三点的坐标分别为、、，抛物线的图象经过、两点    (1)求该抛物线的函数表达式； (2)过点作线段的平行线，交抛物线于点，连接，试判断四边形的形状； (3)点为线段上一动点，过点作轴的平行线，交该抛物线于点，当线段的长最大时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)四边形是菱形，理由见解析 (3) 【分析】（1）用待定系数法即可求函数的解析式； （2）利用待定系数法求出的解析式，再求出直线的解析式，联立抛物线与直线解析式，可知点的坐标，即可得出结论； （3）设，则，表示出的长，然后根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：(1)将点，代入， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）四边形是菱形，理由如下： 设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为， ， 设直线的解析式为 ，解得， 直线的解析式为， 联立， 解得或， ， ， ， 四边形是平行四边形， 、、三点的坐标分别为，、，、，， ， 四边形是菱形； （3）设，则， ， 当时，线段的长最大，， 点的坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数综合应用，待定系数法，平行四边形的判定，二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的判定及性质是解题的关键． 25．（2024·江苏连云港·二模）在平面直角坐标系中，抛物线（a，b，c为常数，且）经过点和两点． (1)求b和c的值（用含a的代数式表示）； (2)若当时，，求a的取值范围； (3)已知点，，，若该抛物线与恰有两个公共点，结合函数图像，直接写出a的取值范围． 【答案】(1)，，详见解析 (2)或，详见解析 (3)或或，详见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质与几何图形的综合应用等知识点， （1）将两点代入解析即可得解； （2）将x的两个端点值代入发现规律，抛物线必过两定点A和B，据此得出此两点必在对称轴同侧，且y随x的增大而增大，然后分类讨论，即可得解； （3）分别求出经过点C，D时，抛物线与线段,线段相切时，a的值，结合图象性质讨论即可得解； 熟练掌握其性质，准确画出图象是解决此题的关键． 【详解】（1）∵抛物线经过点，， ∴， ∴； （2）∵当时，，当时，， ∴无论a取何值时，抛物线必过两定点A和B， ∵时，， ∴此时的y的范围不受顶点坐标的影响， ∴此两点必在对称轴同侧，且y随x的增大而增大， ∴当时，此两点在对称轴右侧， ∴， ∴， 当时，此两点在对称轴左侧， ∴， ∴， 综上所述：a的取值范围为或； （3）如图，当抛物线经过点C时，代入得，此时与有一个公共点， 如图，当抛物线经过点D时，代入得，此时与有三个公共点， 如图，当顶点在线段上时，，得，（此时，抛物线顶点在D点右侧，舍去）有三个交点， 设过D,E点直线解析为， ∴， ∴， ∴， 如图当抛物线与直线相切时，有一个交点， 由得有两个相等的实根，即， 得，（舍去）， 结合图象和越大，开口越小的规律得， ∴当或或时，该抛物线与恰有两个公共点． 26．（2024·江苏宿迁·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，顶点D的坐标为，点P是第一象限抛物线上的一动点．    (1)求抛物线的函数表达式． (2)如图2，连接、、，线段与相交于点E，设则w有最大值还是最小值？请做出判断，并求出w的最值． (3)如图3，点Q为第四象限抛物线上的另一动点，连接交y轴于点H，线段与y轴的交点记为G，用m表示的长，用n表示的长，若在P、Q两点运动的过程中，m与n始终满足函数关系式试探究直线是否过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)w有最大值为，此时 (3)直线过定点． 【分析】（1）由待定系数法求解即可． （2）求出A，B，C点的坐标，再用待定系数法求出的解析式，设，过点P作轴交与点G，过点A作轴交与点H． 则，，利用两点之间的距离求出，，再由平行线的性质可得出，利用三角形等高可得出，最后利用二次函数的性质求最值即可． （3）设直线的解析式为，，，设直线的解析式为，直线的解析式为，可分别得出，，，，由即，进一步即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴，， 解得：，， ∴抛物线的函数表达式为：． （2）∵ ∴，， ∴，， 另，则， ∴点， 设的解析式为：， ∴， 解得： ∴的解析式为：． 设， 过点P作轴交与点G，过点A作轴交与点H．    ∴，， ∴，， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， 当时，w有最大值为，此时． （3）直线过定点，理由如下∶ 设直线的解析式为，，， 当时， 整理得： ，， 设直线的解析式为，直线的解析式为， 当时， 整理得： ，， 当时， 整理得∶ ， ，， ∵， ∴， ∴， 整理得，， ∴直线经过点． 【点睛】本题主要考查了二次函数与面积综合，二次函数的图像和性质，二次函数的解析式以及一次函数的解析式．平行线的性质等知识，此题运算量大，准确计算是解题的关键． 27．（2024·江苏常州·二模）如图，抛物线，抛物线交轴于点（点在点的右侧），交轴于点，抛物线与抛物线关于原点成中心对称．    (1)求抛物线的函数表达式和直线对应的函数表达式． (2)点是第一象限内抛物线上的一个动点，连接与相交于点． ①作轴，垂足为，当时，求点的横坐标． ②请求出的最大值． 【答案】(1)，； (2)①P的横坐标为；②的最大值为：． 【分析】（1）根据中心对称的性质可得的表达式，再令，求解，的坐标即可； （2）①如图，连接，设，而，求解直线为，可得，，再利用建立方程求解即可；②作于，而，可得，可得，再建立二次函数的模型解题即可． 【详解】（1）解：∵抛物线，抛物线与抛物线关于原点成中心对称． ∴抛物线为：， ∴， 当， 解得：，， ∴，； ∵， 当时，， ∴， 设为， ∴， 解得：， ∴为； （2）①如图，连接，设， 而， 设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为， ∴， 解得：， ∴，，    ∵， ∴ ∴， 解得：，（不符合题意的根舍去）， ∴， ∴P的横坐标为； ②作于，而， ∴， ∴， ∴，    ∵，， ∵，， ∴， ∵，， ∴当时， 的最大值为：． 【点睛】本题考查的是中心对称的性质，求解函数的解析式以及交点坐标，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，本题的计算量大，难度大，熟练的计算是解本题的关键． 28．（2024·江苏扬州·二模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线（其中、为常数）与轴分别交于点、两点，点在点的左侧，与轴交于点，且抛物线经过点、． (1)若点的坐标为， ①_______，点的坐标为______； ②点是线段上方抛物线上的一动点，连接交于点，若，直接写出点的横坐标为_______； (2)若，求证：． 【答案】(1)①，；②； (2)见解析． 【分析】（1）①由∵抛物线经过点、，，得，把点代入得，，，从而抛物线的解析式为，令，则，得或，即可求解；②过点作轴于，交于点，设中，，则，得，再求得直线为，证，得，即，，设，则，由，构建方程求解即可； （2）由抛物线经过点、，，得，，进而得，再代入即可证明结论成立． 【详解】（1）解：①∵抛物线经过点、，， ∴即， ∴， 把点代入得， ∴，即 ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， 令，则， 解得或， ∵点在点的左侧， ∴， 故答案为：，； ②过点作轴于，交于点， 设中，，则， ∴， 设直线为， 把，代入得， ， 解得， ∴直线为， ∵， ∴， ∵轴，轴 ∴， ∴， ∴，即， ∴， 设，则， ∴， 解得， 故答案为：； （2）解：∵抛物线经过点、，， ∴，即，， ∴，， ∴，即 ∴ ． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式与一次函数的解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$