复习测试卷（人教A版2019必修二全书内容）（综合检测）-2024年高二数学暑假预习（人教A版2019选择性必修第一册）（新高考通用）

必修二复习测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：必修二全书内容。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设复数，则复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．某同学坚持夜跑锻炼身体，他用手机记录了连续周每周的跑步总里程（单位：千米），其数据分别为17，21，15，8，9，13，11，10，20，6，则这组数据的分位数是（    ） A．12 B．16 C．17 D．18.5 3．一个圆台的上、下底面的半径分别为1和4，体积为，则它的母线长为（    ） A． B． C． D．5 4．已知m，n是两条不同的直线，，是两个不重合的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 5．随着国潮的兴起，消费者对汉服的接受度日渐提高，数据显示，目前中国大众穿汉服的场景主要有汉服活动、艺术拍摄、传统节日、旅游观光、舞台表演、婚庆典礼6类，某自媒体博主准备从这6类场景中选2类拍摄中国大众穿汉服的照片，则汉服活动、旅游观光这2类场景至少有1类场景被选中的概率为（    ） A． B． C． D． 6．已知是边长为1的正三角形，是上一点且，则（    ） A． B． C． D．1 7．在中，在边上，且平分，若，则的长为（ ） A． B． C． D． 8．已知正四棱锥的底面边长为1，侧棱长为，的中点为E，过点E作与垂直的平面，则平面截正四棱锥所得的截面面积为（    ）． A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，为的共轭复数，则（    ） A．的虚部是 B． C． D．是方程的一个根 10．已知向量，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则在方向上的投影向量为 C．的最小值为2 D．若与的夹角为钝角，则的取值范围是 11．如图，四面体ABCD的各个面都是全等的三角形，且，若A，B，C，D在同一个球面上，则下列正确的是（    ）    A．直线AB，CD所成角为 B．二面角的余弦值为 C．四面体ABCD的体积为 D．四面体外接球的半径为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的面积为 .    13．某地需要经过一座山两侧的两点修建一条穿山隧道．工程人员先选取直线上的三点，在隧道正上方的山顶处测得处的俯角为，处的俯角为，处的俯角为，且测得，，，则拟修建的隧道的长为 ． 14．已知点在所在的平面内，则下列各结论正确的个数是 ． ①若为的垂心，．则 ②若为边长为2的正三角形，则的最小值为 ③若，则动点的轨迹经的外心 ④若为的重心，过点的直线分别与、交于、两点，若，，则 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）某公司为了解员工对食堂的满意程度，随机抽取了200名员工做了一次问卷调查，要求员工对食堂的满意程度进行打分，所得分数均在[40，100]内，将所得数据分成6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并得到如图所示的频率分布直方图． (1)求a的值，并估计这200名员工所得分数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）和中位数（精确到0.1）； (2)现从[70，80），[80，90），[90，100]这三组中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取24人，求[70，80）这组中抽取的人数． 16．（15分）如图，在直三棱柱中，点D为线段AC的中点． (1)证明：平面； (2)若，，，求到平面的距离． 17．（15分）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知 (1)求角C的大小； (2)若，求的周长的取值范围． 18．（17分）己知如图，在矩形中，，将沿着翻折至处，得到三棱锥，过M作的垂线，垂足为．    (1)求证：； (2)求二面角的余弦值． 19．（17分）平面向量是数学中一个非常重要的概念，它具有广泛的工具性，平面向量的引入与运用，大大拓展了数学分析和几何学的领域，使得许多问题的求解和理解更加简单和直观，在实际应用中，平面向量在工程、物理学、计算机图形等各个领域都有广泛的应用，平面向量可以方便地描述几何问题，进行代数运算，描述几何变换，表述物体的运动和速度等，因此熟练掌握平面向量的性质与运用，对于提高数学和物理学的理解和能力，具有非常重要的意义，平面向量的大小可以由模来刻画，其方向可以由以轴的非负半轴为始边，所在射线为终边的角来刻画.设，则.另外，将向量绕点按逆时针方向旋转角后得到向量.如果将的坐标写成（其中，那么.根据以上材料，回答下面问题: (1)若，求向量的坐标; (2)用向量法证明余弦定理; (3)如图，点和分别为等腰直角和等腰直角的直角顶点，连接DE，求DE的中点坐标. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 必修二复习测试卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A C D C C B A B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BD AB ABC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14．①③④ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）【详解】（1）由题意知， 解得． 估计这200名员工所得分数的平均数． [40，70）的频率为， [40，80）的频率为， 所以中位数落在区间[70，80），设中位数为m，所以， 解得，即估计这200名员工所得分数的中位数为72.9． （2）[70，80）的人数：，[80，90）的人数：， [90，100]的人数：， 所以[70，80）这组中抽取的人数为：． 16．（15分）【详解】（1）连接，交于，连接， 因为四边形为矩形，所以为的中点， 因为D为线段AC的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2）因为，，D为线段AC的中点， 所以，且，， 因为直棱柱中平面，面，所以， 因为，平面，所以平面， 即点到平面的距离为，由线面垂直的性质易得， 在直角三角形中，，， 所以面积，又三角形的面积为. 设到平面的距离为，因为，所以， 所以，解得，即到平面的距离为. 17．（15分）【详解】（1）因为， 所以， 所以， 由正弦定理可得， 由正弦定理可得， 因为，所以. （2）由（1）可得， 所以，所以， 当且仅当时取等号， 又，所以△的周长的取值范围为． 18．（17分）【详解】（1）连结， 由，，， 得，，，， 在中，由余弦定理得, ， ， ，又平面，， 平面，又平面， ； （2）过点作于点，在平面内作与点，交于点，连结，    则为二面角的平面角， 在中，由，得，， 在中，由余弦定理得， 在中，， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，由余弦定理得：, ， 即二面角的余弦值为. 19．（17分）【详解】（1），则， . （2）设，， ， 所以， 同理可得， （3）设，又，则， 由， ， ， 得， 所以DE的中点坐标为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 必修二复习测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：必修二全书内容。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设复数，则复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据复数的运算法则，求得，得到，结合复数的几何意义，即可求解. 【详解】由复数，可得，所以， 则对应的点在第一象限. 故选：A. 2．某同学坚持夜跑锻炼身体，他用手机记录了连续周每周的跑步总里程（单位：千米），其数据分别为17，21，15，8，9，13，11，10，20，6，则这组数据的分位数是（    ） A．12 B．16 C．17 D．18.5 【答案】C 【分析】将数据从小到大排列，再根据百分位数计算规则计算可得. 【详解】依题意这个数据从小到大排列为：，，，，，，，，，， 又，所以分位数为从小到大排列的第八个数，即为. 故选：C 3．一个圆台的上、下底面的半径分别为1和4，体积为，则它的母线长为（    ） A． B． C． D．5 【答案】D 【分析】根据圆台的体积求出圆台的高，利用圆台轴截面基本量的计算求解母线长即可. 【详解】设圆台的高为h，则圆台的体积为，解得， 所以圆台的母线长为. 故选：D. 4．已知m，n是两条不同的直线，，是两个不重合的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】C 【分析】利用立体几何公理、定理结合反例证明即可. 【详解】对于A，若，，，当m，n都平行于，的交线时， 满足条件，此时，相交，故A错误； 对于B，若，，，则m，n可能异面，故B错误； 对于C，若，，，则，故C正确； 对于D，若，，，则m，n可能平行或异面，故D错误. 故选：C. 5．随着国潮的兴起，消费者对汉服的接受度日渐提高，数据显示，目前中国大众穿汉服的场景主要有汉服活动、艺术拍摄、传统节日、旅游观光、舞台表演、婚庆典礼6类，某自媒体博主准备从这6类场景中选2类拍摄中国大众穿汉服的照片，则汉服活动、旅游观光这2类场景至少有1类场景被选中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】列举出从6类场景中选2类场景进行拍摄的所有基本事件，再列举出汉服活动、旅游观光这2类场景至少有1类场景被选中的基本事件，根据古典概型的概率公式，即可求得答案. 【详解】记汉服活动、艺术拍摄、传统节日、旅游观光、舞台表演、婚庆典礼这6类场景分别为A，B，C，D，E，F， 从6类场景中选2类场景进行拍摄的基本事件有 ，，，，，，，，， ，，，，，，共15种， 设事件M为“汉服活动、旅游观光这2类场景至少有1类场景被选中”， 则事件M包含的基本事件有，，，，， ，，，，共9种， 故所求概率， 故选：C． 6．已知是边长为1的正三角形，是上一点且，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据题意得，由三点共线求得，利用向量数量积运算求解. 【详解】，，且， 而三点共线，，即， ， 所以. 故选：B. 7．在中，在边上，且平分，若，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用角平分线性质定理，再利用余弦定理求出的长，然后再利用角平分线分得的两三角形面积和等于整个三角形面积，就可求得. 【详解】 由角平分线性质定理可得：，所以不妨设，则， 由三角形余弦定理得：， 代入已知条件得：， 即，解得，即， 再由三角形等面积关系得：， 即， 利用已知条件可得： 即，代入已知数据得： ，解得：. 故选：A. 8．已知正四棱锥的底面边长为1，侧棱长为，的中点为E，过点E作与垂直的平面，则平面截正四棱锥所得的截面面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，作出平面截正四棱锥所得的截面，再借助余弦定理、三角形面积公式求解作答. 【详解】在正四棱锥中，连接，则，是正三角形，由的中点为E，得， 而，则，在中，， ，令平面与直线交于，连，则， ，即点在棱上，同理平面与棱相交，令交点为，连， 于是四边形为平面截正四棱锥所得的截面，由对称性知， 在中，，而， 在中，，由余弦定理得， 在中，，， 所以所得截面面积. 故选：B 【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，为的共轭复数，则（    ） A．的虚部是 B． C． D．是方程的一个根 【答案】BD 【分析】对于A：直接求虚部；对于B：代入复数然后求模；对于C：代入复数及其共轭复数计算；对于D：直接代入验证. 【详解】对于A：因为，所以，则的虚部是，A错误； 对于B：因为，所以， 所以，B正确； 对于C：因为， ，则，C错误； 对于D：， 故是方程的一个根，D正确. 故选：BD. 10．已知向量，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则在方向上的投影向量为 C．的最小值为2 D．若与的夹角为钝角，则的取值范围是 【答案】AB 【分析】借助向量垂直与数量积的关系可得A；借助投影向量定义计算可得B；借助坐标形式的模长公式计算可得C；结合向量的数量积与共线定理计算可得D. 【详解】对A：若，则，即，故A正确； 对B：若，则，故B正确； 对C：，故C错误； 对D：若与的夹角为钝角，则有，且， 分别解得，，即的取值范围是，故D错误. 故选：AB. 11．如图，四面体ABCD的各个面都是全等的三角形，且，若A，B，C，D在同一个球面上，则下列正确的是（    ）    A．直线AB，CD所成角为 B．二面角的余弦值为 C．四面体ABCD的体积为 D．四面体外接球的半径为 【答案】ABC 【分析】由线面垂直可得A正确；由线面垂直结合余弦定理可得B正确；由同角的三角函数，棱锥的体积公式，三角形的面积公式可得C正确；补入长方体中，求出长方体外接球半径可得D错误； 【详解】A：取的中点，连接，    由题意四面体ABCD的各个面都是全等的三角形， 可得，又平面， 所以平面，因为平面，所以， 所以AB，CD所成角为，故A正确； B：取的中点，连接，    则，所以为二面角的平面角， 在中，，， 由余弦定理可得，故B正确； C：由B可得， 由，故C正确； D：将四面体放入长方体中，如图    可得长方体与四棱锥共圆，所以外接球半径一样，设为， 所以，故D错误； 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：本题D选项关键是把图形放入长方体中，利用共圆模长求长方体的外接圆半径即可. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的面积为 .    【答案】 【分析】首先求出，再画出平面图形，从而求出其面积. 【详解】因为，，所以， 由直观图可得如下平面图形，则，，    所以. 故答案为： 13．某地需要经过一座山两侧的两点修建一条穿山隧道．工程人员先选取直线上的三点，在隧道正上方的山顶处测得处的俯角为，处的俯角为，处的俯角为，且测得，，，则拟修建的隧道的长为 ． 【答案】/ 【分析】由题意可得，，，，在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，再由得到答案. 【详解】由题意得，，，， 在中，由正弦定理得，即，所以， 在中，由正弦定理得，即， 所以， ， 故答案为：. 14．已知点在所在的平面内，则下列各结论正确的个数是 ． ①若为的垂心，．则 ②若为边长为2的正三角形，则的最小值为 ③若，则动点的轨迹经的外心 ④若为的重心，过点的直线分别与、交于、两点，若，，则 【答案】①③④ 【分析】①由得到；②建立平面直角坐标系，写出点的坐标，设，表达出，求出最小值；③变形得到，设是的中点，则，故则动点的轨迹经过的外心，③正确；④由，，三点共线，可得，结合即可求解. 【详解】对于①，为的垂心，则，又， 所以，所以①正确； 对于②，取的中点，连接，以为坐标原点，，所在直线分别为轴，轴，建立平面直角坐标系，    则，，，设， 则 ， 故当，时， 取得最小值， 最小值为，所以②错误； 对于③，， ， 所以， 如图，设是的中点，则， 故， 即， 故则动点的轨迹经过的外心，所以③正确；    对于④，    由，，三点共线，设， 由，， 所以， 又， 所以，所以， 所以，即，所以④正确. 故答案为：①③④. 【点睛】方法点睛：平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路： ①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解； ②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）某公司为了解员工对食堂的满意程度，随机抽取了200名员工做了一次问卷调查，要求员工对食堂的满意程度进行打分，所得分数均在[40，100]内，将所得数据分成6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并得到如图所示的频率分布直方图． (1)求a的值，并估计这200名员工所得分数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）和中位数（精确到0.1）； (2)现从[70，80），[80，90），[90，100]这三组中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取24人，求[70，80）这组中抽取的人数． 【答案】(1)平均数为72.5，中位数为72.9 (2)14 【分析】（1）由频率分布直方图的性质求得参数，结合平均数公式直接计算即可； （2）算出各个区间的人数，用总抽取人数乘以抽样比即可. 【详解】（1）由题意知， 解得． 估计这200名员工所得分数的平均数． [40，70）的频率为， [40，80）的频率为， 所以中位数落在区间[70，80），设中位数为m，所以， 解得，即估计这200名员工所得分数的中位数为72.9． （2）[70，80）的人数：，[80，90）的人数：， [90，100]的人数：， 所以[70，80）这组中抽取的人数为：． 16．（15分）如图，在直三棱柱中，点D为线段AC的中点． (1)证明：平面； (2)若，，，求到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）作辅助线，利用中位线得到线线平行，结合线面平行的判定得证结论； （2）利用等体积法可求到平面的距离. 【详解】（1）连接，交于，连接， 因为四边形为矩形，所以为的中点， 因为D为线段AC的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2）因为，，D为线段AC的中点， 所以，且，， 因为直棱柱中平面，面，所以， 因为，平面，所以平面， 即点到平面的距离为，由线面垂直的性质易得， 在直角三角形中，，， 所以面积，又三角形的面积为. 设到平面的距离为，因为，所以， 所以，解得，即到平面的距离为. 17．（15分）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知 (1)求角C的大小； (2)若，求的周长的取值范围． 【答案】(1). (2)△的周长的取值范围为 【分析】（1）根据三角恒等变换和正弦定理的得到，进而由余弦定理得到，可求得C； （2）由（1）可得，结合三边关系定理可求得△ABC的周长的取值范围． 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 由正弦定理可得， 由正弦定理可得， 因为，所以. （2）由（1）可得， 所以，所以， 当且仅当时取等号， 又，所以△的周长的取值范围为． 18．（17分）己知如图，在矩形中，，将沿着翻折至处，得到三棱锥，过M作的垂线，垂足为．    (1)求证：； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直的性质定理，转化为证明平面，利用线面垂直的判断定理，即可证明； （2）结合几何关系，构造二面角的平面角，三角形内根据余弦定理，即可求解. 【详解】（1）连结， 由，，， 得，，，， 在中，由余弦定理得, ， ， ，又平面，， 平面，又平面， ； （2）过点作于点，在平面内作与点，交于点，连结，    则为二面角的平面角， 在中，由，得，， 在中，由余弦定理得， 在中，， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，由余弦定理得：, ， 即二面角的余弦值为. 19．（17分）平面向量是数学中一个非常重要的概念，它具有广泛的工具性，平面向量的引入与运用，大大拓展了数学分析和几何学的领域，使得许多问题的求解和理解更加简单和直观，在实际应用中，平面向量在工程、物理学、计算机图形等各个领域都有广泛的应用，平面向量可以方便地描述几何问题，进行代数运算，描述几何变换，表述物体的运动和速度等，因此熟练掌握平面向量的性质与运用，对于提高数学和物理学的理解和能力，具有非常重要的意义，平面向量的大小可以由模来刻画，其方向可以由以轴的非负半轴为始边，所在射线为终边的角来刻画.设，则.另外，将向量绕点按逆时针方向旋转角后得到向量.如果将的坐标写成（其中，那么.根据以上材料，回答下面问题: (1)若，求向量的坐标; (2)用向量法证明余弦定理; (3)如图，点和分别为等腰直角和等腰直角的直角顶点，连接DE，求DE的中点坐标. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）若，由公式求向量的坐标； （2）用向量法证明余弦定理； （3）设，有，利用旋转求出，得两点坐标，可求中点坐标. 【详解】（1），则， . （2）设，， ， 所以， 同理可得， （3）设，又，则， 由， ， ， 得， 所以DE的中点坐标为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$