复习08讲 立体几何中外接球问题的六大常见类型（精讲+精练）-2024年高二数学暑假预习（人教A版2019选择性必修第一册）

2024年高二数学暑假自学提升课（人教A版2019选择性必修第一册） 复习08讲 立体几何中外接球问题的六大常见类型（精讲+精练） ①墙角模型 ②三棱锥的三组对棱长分别相等模型 ③直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型 ④垂面模型 ⑤有一侧面垂直底面的棱锥型 ⑥圆锥、顶点在底面的射影是底面外心的棱锥型 一、外接球概念 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球．解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用． ①外接球模型一：墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长(在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝．)，秒杀公式：R2＝．可求出球的半径从而解决问题．有以下四种类型： ②外接球模型二：三棱锥的三组对棱长分别相等模型，一般用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长，即(长方体的长、宽、高分别为a、b、c)．秒杀公式：R2＝(三棱锥的三组对棱长分别为x、y、z)．可求出球的半径从而解决问题． ③外接球模型三：直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型，用找球心法(多面体的外接球的球心是过多面体的两个面的外心且分别垂直这两个面的直线的交点．一般情况下只作出一个面的垂线，然后设出球心用算术方法或代数方法即可解决问题．有时也作出两条垂线，交点即为球心．)解决．以直三棱柱为例，模型如下图，由对称性可知球心O的位置是△ABC的外心O1与△A1B1C1的外心O2连线的中点，算出小圆O1的半径AO1＝r，OO1＝，． 　　　　 ④外接球模型四：垂面模型是有一条侧棱垂直底面的棱锥模型，可补为直棱柱内接于球，由对称性可知球心O的位置是△CBD的外心O1与△AB2D2的外心O2连线的中点，算出小圆O1的半径AO1＝r，OO1＝，． 　　　　　 ⑤外接球模型五：有一侧面垂直底面的棱锥型，常见的是两个互相垂直的面都是特殊三角形且平面ABC⊥平面BCD，如类型Ⅰ，△ABC与△BCD都是直角三角形，类型Ⅱ，△ABC是等边三角形，△BCD是直角三角形，类型Ⅲ，△ABC与△BCD都是等边三角形，解决方法是分别过△ABC与△BCD的外心作该三角形所在平面的垂线，交点O即为球心．类型Ⅳ，△ABC与△BCD都一般三角形，解决方法是过△BCD的外心O1作该三角形所在平面的垂线，用代数方法即可解决问题．设三棱锥A－BCD的高为h，外接球的半径为R，球心为O．△BCD的外心为O1，O1到BD的距离为d，O与O1的距离为m，则解得R．可用秒杀公式：R2＝r12＋r22－(其中r1、r2为两个面的外接圆的半径，l为两个面的交线的长) ⑥外接球模型六：圆锥、顶点在底面的射影是底面外心的棱锥．秒杀公式：R＝(其中h为几何体的高，r为几何体的底面半径或底面外接圆的圆心) 　　　　　　 ①墙角模型 【题型精练】 一、单选题 1．（23-24高一下·四川成都·期中）若长方体的长、宽、高分别为，则长方体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·四川成都·开学考试）在三棱锥中，，则该三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·江苏南京·期末）在三棱锥中，平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（23-24高一下·重庆·期中）我国古代数学名著《九章算术》，将底面为矩形且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．如图所示，在长方体中，已知，．该“阳马”的外接球的表面积 ． 5．（22-23高二上·浙江杭州·期中）已知三棱锥中， 面， 则三棱锥的外接球的体积为 . 6．（23-24高一下·福建泉州·期中）已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上，若，，则球的体积为 . ②三棱锥的三组对棱长分别相等模型 【题型精练】 一、单选题 1．（23-24高三上·云南德宏·期末）在三棱锥中，，，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二下·广东揭阳·期中）在三棱锥中，，，，则该三棱锥的外接球表面积是（    ） A． B． C． D． ③直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型 【题型精练】 一、单选题 1．（2024·广西·模拟预测）已知正四棱柱的底面棱长与侧棱长之比为1：2，且其外接球的表面积为，则该正四棱柱的侧面积为（    ） A．12 B．24 C．36 D．48 2．（2023·浙江绍兴·模拟预测）已知某正六棱柱的所有棱长均为2，则该正六棱柱的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·浙江·期中）《九章算术》是我国古代的数学专著，是“算经十书”（汉唐之间出现的十部古算书）中非常重要的一部．在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．已知“堑堵”的所有顶点都在球的球面上，且．若球的表面积为，则这个三棱柱的表面积是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·山东枣庄·模拟预测）已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高一下·河南郑州·期中）已知圆柱的高为2，侧面积为，若该圆柱的上、下底面圆周都在某一球的球面上，则该球的体积为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·四川成都·期中）已知圆柱内接于表面积为的球（圆柱的上､下底面圆周都在球面上），当圆柱的体积最大时，其高等于（    ） A． B． C．3 D． ④垂面模型 【题型精练】 一、单选题 1．（23-24高一下·湖南长沙·期中）在三棱锥中，平面，，为边长等于的正三角形，则三棱锥的外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川·模拟预测）已知在三棱锥中，，，，平面平面，则该三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（2023·全国·模拟预测）在三棱锥中，是边长为3的等边三角形，平面，则三棱锥的外接球的半径为 ． 4．（2023·陕西商洛·模拟预测）在三棱锥中，为等边三角形，平面，若，则三棱锥外接球的表面积的最小值为 . 5．（23-24高三上·全国·开学考试）已知在三棱锥中，，，平面，则三棱锥的外接球表面积的最小值为 . ⑤有一侧面垂直底面的棱锥型 【题型精练】 一、单选题 1．（2024·四川巴中·一模）在三棱锥中，侧面是等边三角形，平面平面，且，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川凉山·二模）已知在三棱锥中，，，底面是边长为1的正三角形，则该三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·安徽合肥·期末）如图，在三棱锥 中，，平面 平面 ，则三棱锥 外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·山西朔州·一模）在三棱锥中，，若是等边三角形，则三棱锥的外接球的体积是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知四棱锥的各顶点在同一球面上，若，为正三角形，且面面，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． ⑥圆锥、顶点在底面的射影是底面外心的棱锥型 【题型精练】 一、单选题 1．（23-24高一下·湖南株洲·期中）已知正三棱锥，各棱长均为，则其外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一下·广西南宁·期末）在三棱锥中，，，则三棱锥的外接球的体积是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·安徽安庆·阶段练习）已知各棱长均相等的正四棱锥各顶点都在同一球面上，若该球表面积为，则正四棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·天津·一模）已知圆锥的顶点和底面圆周都在球的球面上，该圆锥的底面半径为2，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则球的表面积等于（    ） A． B． C． D． 5．（2024·内蒙古包头·一模）已知两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在该球面上，若两个圆锥的高之比为，它们的体积之和为，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·浙江宁波·期中）已知球O为棱长为1的正四面体的外接球，若点P是正四面体ABCD的表面上的一点，Q为球O表面上的一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 r R A O P h O1 A O P h B C C O1 r R $$ 2024年高二数学暑假自学提升课（人教A版2019选择性必修第一册） 复习08讲 立体几何中外接球问题的六大常见类型（精讲+精练） ①墙角模型 ②三棱锥的三组对棱长分别相等模型 ③直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型 ④垂面模型 ⑤有一侧面垂直底面的棱锥型 ⑥圆锥、顶点在底面的射影是底面外心的棱锥型 一、外接球概念 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球．解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用． ①外接球模型一：墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长(在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝．)，秒杀公式：R2＝．可求出球的半径从而解决问题．有以下四种类型： ②外接球模型二：三棱锥的三组对棱长分别相等模型，一般用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长，即(长方体的长、宽、高分别为a、b、c)．秒杀公式：R2＝(三棱锥的三组对棱长分别为x、y、z)．可求出球的半径从而解决问题． ③外接球模型三：直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型，用找球心法(多面体的外接球的球心是过多面体的两个面的外心且分别垂直这两个面的直线的交点．一般情况下只作出一个面的垂线，然后设出球心用算术方法或代数方法即可解决问题．有时也作出两条垂线，交点即为球心．)解决．以直三棱柱为例，模型如下图，由对称性可知球心O的位置是△ABC的外心O1与△A1B1C1的外心O2连线的中点，算出小圆O1的半径AO1＝r，OO1＝，． 　　　　 ④外接球模型四：垂面模型是有一条侧棱垂直底面的棱锥模型，可补为直棱柱内接于球，由对称性可知球心O的位置是△CBD的外心O1与△AB2D2的外心O2连线的中点，算出小圆O1的半径AO1＝r，OO1＝，． 　　　　　 ⑤外接球模型五：有一侧面垂直底面的棱锥型，常见的是两个互相垂直的面都是特殊三角形且平面ABC⊥平面BCD，如类型Ⅰ，△ABC与△BCD都是直角三角形，类型Ⅱ，△ABC是等边三角形，△BCD是直角三角形，类型Ⅲ，△ABC与△BCD都是等边三角形，解决方法是分别过△ABC与△BCD的外心作该三角形所在平面的垂线，交点O即为球心．类型Ⅳ，△ABC与△BCD都一般三角形，解决方法是过△BCD的外心O1作该三角形所在平面的垂线，用代数方法即可解决问题．设三棱锥A－BCD的高为h，外接球的半径为R，球心为O．△BCD的外心为O1，O1到BD的距离为d，O与O1的距离为m，则解得R．可用秒杀公式：R2＝r12＋r22－(其中r1、r2为两个面的外接圆的半径，l为两个面的交线的长) ⑥外接球模型六：圆锥、顶点在底面的射影是底面外心的棱锥．秒杀公式：R＝(其中h为几何体的高，r为几何体的底面半径或底面外接圆的圆心) 　　　　　　 ①墙角模型 【题型精练】 一、单选题 1．（23-24高一下·四川成都·期中）若长方体的长、宽、高分别为，则长方体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求得长方体对角线长得外接球直径，再计算球的表面积即可． 【详解】由已知得长方体的对角线长为，所以外接球半径为， 球的表面积为， 故选：A． 2．（23-24高二上·四川成都·开学考试）在三棱锥中，，则该三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂直关系，结合补体法，将四棱锥补成正方体，利用正方体的外接球的半径的计算方法，即可求解. 【详解】由题意，两两相互垂直，以为边补成一个正方体，其外接球就是三棱锥的外接球， ，表面积，      故选:B 3．（23-24高三上·江苏南京·期末）在三棱锥中，平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由余弦定理和勾股定理证明出，三棱锥补成长方体，利用长方体对角线求外接球直径. 【详解】在中，，，， 由余弦定理得，， 则，所以， 因为平面，三棱锥补成长方体，如图所示， 为长方体对角线，所以三棱锥外接球的直径为， 又，即外接球的直径， 所以外接球的表面积为. 故选：B. 二、填空题 4．（23-24高一下·重庆·期中）我国古代数学名著《九章算术》，将底面为矩形且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．如图所示，在长方体中，已知，．该“阳马”的外接球的表面积 ． 【答案】 【分析】根据长方体的外接球即为四棱锥的外接球，长方体的对角线就是外接球的直径，结合球体的表面积公式求解. 【详解】长方体的外接球即为四棱锥的外接球， 因为，. 长方体的对角线长为， 则长方体的外接球的半径， 该“阳马”外接球的表面积为. 故答案为： 5．（22-23高二上·浙江杭州·期中）已知三棱锥中， 面， 则三棱锥的外接球的体积为 . 【答案】 【分析】根据三棱锥的顶点是长方体的顶点即可求解. 【详解】 由题可知,该三棱锥在长方体中，且三棱锥的四个顶点为长方体的四个顶点， 所以三棱锥的外接球即为长方体的外接球， 由图可知长方体的长宽高分别为， 所以体对角线长， 所以外接球的体积等于. 故答案为:. 6．（23-24高一下·福建泉州·期中）已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上，若，，则球的体积为 . 【答案】 【分析】将直三棱柱补成长方体，计算出长方体的体对角线长，可得出球的半径，利用球的体积公式计算可得结果. 【详解】在直三棱柱中，， 将直三棱柱补成长方体，如下图所示： 所以，球的直径为， 可得， 因此，球的体积为. 故答案为：. ②三棱锥的三组对棱长分别相等模型 【题型精练】 一、单选题 1．（23-24高三上·云南德宏·期末）在三棱锥中，，，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将三棱锥转化为长方体，结合长方体的外接球以及长度关系运算求解. 【详解】如图，将三棱锥转化为长方体，    可知三棱锥的外接球即为长方体的外接球， 则，可得， 则外接球的半径， 所以三棱锥的外接球的表面积为. 故选：C. 2．（22-23高二下·广东揭阳·期中）在三棱锥中，，，，则该三棱锥的外接球表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由于三棱锥对棱相等，可将它补成一个长方体，利用长方体求得其外接球的半径，然后求出球表面积即可． 【详解】因为， 所以可以将三棱锥如图放置于一个长方体中，如图所示：    设长方体的长、宽、高分别为a、b、c， 则有，整理得， 则该棱锥外接球的半径即为该长方体外接球的半径， 所以有， 所以所求的球体表面积为：． 故选：A． ③直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型 【题型精练】 一、单选题 1．（2024·广西·模拟预测）已知正四棱柱的底面棱长与侧棱长之比为1：2，且其外接球的表面积为，则该正四棱柱的侧面积为（    ） A．12 B．24 C．36 D．48 【答案】D 【分析】设正四棱柱的底面棱长为a，则侧棱长为2a，根据外接球的表面积求解球的半径，即可求得，从而求解正四棱柱的侧面积. 【详解】设正四棱柱的底面棱长为a，则侧棱长为2a， 因为其外接球的表面积为，设其外接球的半径为R，则，解得， 又正四棱柱外接球的直径为其体对角线，所以，解得， 则该正四棱柱的侧面积为. 故选：D 2．（2023·浙江绍兴·模拟预测）已知某正六棱柱的所有棱长均为2，则该正六棱柱的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正六棱柱的性质可求解半径，由表面积公式即可求解. 【详解】由正六棱柱的性质可得为其外接球的球心（如图）, 由于底面为正六边形，所以为等边三角形，故, 所以, 所以为外接球的半径，故外接球表面积为， 故选：D 3．（23-24高一下·浙江·期中）《九章算术》是我国古代的数学专著，是“算经十书”（汉唐之间出现的十部古算书）中非常重要的一部．在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．已知“堑堵”的所有顶点都在球的球面上，且．若球的表面积为，则这个三棱柱的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知条件确定球心的位置，根据球的半径求得棱柱的高，可计算表面积. 【详解】设，的中点分别为，，连接，取的中点． 直三棱柱中，，， 四边形是平行四边形，有， 因为三棱柱的底面是直角三角形，，所以，， ，分别是，的外接圆圆心． 因为平面，所以平面， 所以为的外接球的球心． 连接，因为球的表面积为，所以球的半径为1，即， ，则，，可得，， 所以三棱柱的表面积， 故选：C． 4．（2024·山东枣庄·模拟预测）已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用圆柱及球的特征计算即可. 【详解】由题意可知该球为圆柱的外接球，所以球心为圆柱的中心，设球半径为， 则，故该球的表面积为. 故选：C 5．（22-23高一下·河南郑州·期中）已知圆柱的高为2，侧面积为，若该圆柱的上、下底面圆周都在某一球的球面上，则该球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆柱侧面积求出圆柱底面圆的半径，再由球截面圆的性质得出球半径，即可得解. 【详解】由圆柱侧面积，解得， 因为圆柱的上、下底面圆周都在某一球的球面上， 所以球心在圆柱高的中点处，设球半径为， 则由， 所以, 故选：A 6．（23-24高二下·四川成都·期中）已知圆柱内接于表面积为的球（圆柱的上､下底面圆周都在球面上），当圆柱的体积最大时，其高等于（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】由题意画出图形，利用勾股定理可得，得出圆柱的体积公式，换元后求导，利用导数求出体积的最大值时对应的高即可. 【详解】设圆柱底面圆半径为，高为，如图， 则，， 则，则，圆柱体积为， 由题意可知球的表面积为，所以，解得，所以， 设，则， 所以，故， 当时，，当时，，当时，， 故在上为增函数，在上为减函数， 所以当时，即时，圆柱体积取得最大值，此时. 故选：D. ④垂面模型 【题型精练】 一、单选题 1．（23-24高一下·湖南长沙·期中）在三棱锥中，平面，，为边长等于的正三角形，则三棱锥的外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将三棱锥补形为一个直三棱柱,分别是上下底的外心，则的中点是外接球的球心，求出球半径后可得表面积． 【详解】易知的外接圆的半径为1，将三棱锥补形为一个直三棱柱， 如图，分别是上下底的外心，则的中点是外接球的球心， 由题设，易得底面外接圆半径，，则，即外接球的半径为， 其外接球的表面积是， 故选：D． 2．（2024·四川·模拟预测）已知在三棱锥中，，，，平面平面，则该三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意作出图形，由题设条件可得外接圆圆心即三棱锥外接球球心，利用正弦定理即可求出其半径即得. 【详解】 如图，因平面平面，，的外心为边的中点， 则三棱锥的外接球球心即为外接圆圆心，设外接球半径为. 在中，，,故由余弦定理可得， ， 即，由正弦定理，，则， 即三棱锥外接球的半径为，故其外接球的表面积为． 故选：D． 二、填空题 3．（2023·全国·模拟预测）在三棱锥中，是边长为3的等边三角形，平面，则三棱锥的外接球的半径为 ． 【答案】 【分析】设三棱锥的外接球的球心为的外接圆的圆心为，因为是边长为3的等边三角形，求出的值，根据勾股定理即可求出三棱锥的外接球的半径. 【详解】设三棱锥的外接球的球心为的外接圆的圆心为， 则三棱锥的外接球的球心在过且与平面垂直的直线上． 连接，因为平面，所以， 又， 所以，， 连接，因为是正三角形，所以， 所以球的半径为． 故答案为： 4．（2023·陕西商洛·模拟预测）在三棱锥中，为等边三角形，平面，若，则三棱锥外接球的表面积的最小值为 . 【答案】/ 【分析】先求得三棱锥外接球的半径，进而得到该外接球的表面积的表达式，利用二次函数的性质即可求得该外接球的表面积的最小值. 【详解】设，则， 取正三角形的外心为，设四面体的外接球球心为， 连接，则平面， 又平面，则， 则平面截球所得截面为大圆，又， 则 又底面外接圆的半径， 所以三棱锥外接球的半径. 当时，有最小值， 所以三棱锥外接球的表面积的最小值为.    故答案为： 5．（23-24高三上·全国·开学考试）已知在三棱锥中，，，平面，则三棱锥的外接球表面积的最小值为 . 【答案】 【分析】将三棱锥补成直三棱柱，设点，为上下底面的外心，点为直棱柱的外接球的球心，则为的中点，设，利用然后配方可得答案. 【详解】将三棱锥补成直三棱柱，设点，为上下底面的外心， 点为直棱柱的外接球的球心，则为的中点，点为的中点， 为底面外接圆的半径，设，则，所以，， 得外接球半径 ，当时，有最小值为， 此时球的表面积为.    故答案为：. ⑤有一侧面垂直底面的棱锥型 【题型精练】 一、单选题 1．（2024·四川巴中·一模）在三棱锥中，侧面是等边三角形，平面平面，且，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得出三棱锥外接球的球心一定在过三角形中心（外接圆圆心）的垂线上，也一定在过三角形的外接圆圆心（为直角三角形斜边中点）的垂线上，由此可得外接球圆心、半径，进一步即可求解. 【详解】    因为侧面是等边三角形，所以三棱锥外接球的球心一定在过三角形中心（外接圆圆心）的垂线上， 因为平面平面，作平面，其中为三棱锥外接球的球心， 又因为， 所以三棱锥外接球的球心一定在过三角形的外接圆圆心（为直角三角形斜边中点）的垂线上， 作平面，交于， 由题意知， 所以三棱锥外接球的半径为， 所以三棱锥外接球的表面积为. 故选：C. 2．（2024·四川凉山·二模）已知在三棱锥中，，，底面是边长为1的正三角形，则该三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，证得平面，再确定三棱锥外接球球心，并求出球半径及表面积. 【详解】在三棱锥中，，，正的边长为1， 则，即有，同理，而平面， 于是平面，令正的外心为，三棱锥外接球球心为， 则平面，显然球心在线段的中垂面上，取的中点，则， 而，则四边形是矩形，， 所以球半径，表面积. 故选：B 3．（23-24高二上·安徽合肥·期末）如图，在三棱锥 中，，平面 平面 ，则三棱锥 外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定底面的外接圆圆心，结合图形的特征，利用勾股定理及外接球的表面积公式计算即可. 【详解】如图所示，取中点E，连接，在上取F点满足， 由题意易知为正三角形，则F点为的外接圆圆心，且, 因为平面 平面 ，平面 平面 ， 所以底面，底面，过F作， 故三棱锥 外接球的球心O在直线上，作交于G点， 设，球半径为R， 根据， 易知，四边形为矩形， 由勾股定理可知：， 即， 故其外接球表面积为. 故选：B 4．（2024·山西朔州·一模）在三棱锥中，，若是等边三角形，则三棱锥的外接球的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，取的中点为，连接，设为的中心，为的中心，由对称性可得在平面中，且平面，平面，结合解三角形可得，从而可求外接球半径，故可得其体积. 【详解】如图，取的中点为，连接， 因为，故为等边三角形且， 因为为等边三角形，故， 由余弦定理可得， 故，而为等边的边上的中线， 故，同理，故， 而为三角形内角，故. 设为的中心，为的中心，则在上且在上， 因为、均为等边三角形其它们有公共边， 由对称性可得在平面中， 设为外接球的球心，连接，则平面，平面， 而平面，平面，故，连接， 则由四点共圆可得， 故，所以即外接球半径为， 故棱锥的外接球的体积为. 故选：A 5．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知四棱锥的各顶点在同一球面上，若，为正三角形，且面面，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作辅助线，找到球心的位置，证明到四棱锥所有顶点距离相等；根据勾股定理，求出球的半径，进而求出球的表面积. 【详解】如图，取的中点，取的中点，连接、，在线段上取一点，使， 过点作平面的垂线，使，连接， 易知四边形是等腰梯形，、、均为等边三角形， 所以， 因为平面， 所以， 所以， 因为为正三角形，为的中点， 所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面， 所以，即 又因为，所以四边形为平行四边形， 所以， 因为为正三角形，为的中点， 所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，所以平面， 又因为是的外心，所以， 所以， 所以即为四棱锥外接球的球心， 因为，， 所以 所以， 故选：C. ⑥圆锥、顶点在底面的射影是底面外心的棱锥型 【题型精练】 一、单选题 1．（23-24高一下·湖南株洲·期中）已知正三棱锥，各棱长均为，则其外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正三棱锥的性质可知顶点的投影在底面正三角形的重心上，在中结合勾股定理可求得外接球半径，进而可求得外接球表面积. 【详解】由是正三棱锥，底面是正三角形，边长为， 则顶点的投影在底面正三角形的重心上，则外接球的球心在高线上，且到各个顶点的距离相等， 如图，取的中点，连接，过作平面，且垂足为，则， 由， 则在中，有， 所以， 则在中，有， 设外接球的半径为， 则，即，解得， 故外接球的表面积为. 故选：A. 2．（22-23高一下·广西南宁·期末）在三棱锥中，，，则三棱锥的外接球的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正三棱锥的特征，由勾股定理即可求解半径，进而由体积公式求解. 【详解】由已知可得是正三棱锥，设PH是正三棱锥的高， 易知外接球求心O在PH上，且H为底面正的中心． 如图，设外接球的半径为R，由题可知， 则．由得，解得， 所以外接球的体积为． 故选：C．    3．（23-24高一下·安徽安庆·阶段练习）已知各棱长均相等的正四棱锥各顶点都在同一球面上，若该球表面积为，则正四棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求棱锥的高，利用球的表面积公式得，然后由求解可得，可求棱锥体积. 【详解】如图，设四棱锥的棱长为，在底面的射影为，则平面， 且为的交点，且， 由正四棱锥的对称性可知在直线上， 设外接球的半径为，则其表面积为，所以， 则，故，解得或（舍）， 故正四棱锥的体积为． 故选：A． 4．（2024·天津·一模）已知圆锥的顶点和底面圆周都在球的球面上，该圆锥的底面半径为2，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则球的表面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】借助圆锥的性质可计算出母线、高，由圆锥的顶点和底面圆周都在球的球面上，可得在圆锥的高所在直线上，且到圆锥顶点与底面圆周的距离相等，即可得，代入数据计算即可得球的半径，借助球的表面积公式计算即可得解. 【详解】底面周长为，则母线长度， 则圆锥的高为， 由圆锥的顶点和底面圆周都在球的球面上， 故在圆锥的高所在直线上，且到圆锥顶点与底面圆周的距离相等， 设球的半径为，则有，即， 解得，故球的表面积等于. 故选：B. 5．（2024·内蒙古包头·一模）已知两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在该球面上，若两个圆锥的高之比为，它们的体积之和为，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据同底圆锥高的比得到，两个圆锥的高分别是，而由它们的体积之和为即可求出，进而得解. 【详解】 记该截面和球的半径分别为，由于两个圆锥的高之比为， 故球心到该截面的距离为，从而，. 而两个圆锥的高分别是，故体积之和. 从而，故，.该球的表面积.故选：B. 6．（23-24高一下·浙江宁波·期中）已知球O为棱长为1的正四面体的外接球，若点P是正四面体ABCD的表面上的一点，Q为球O表面上的一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出正四面体外接球半径，再分析出最大值即可外接球直径. 【详解】首先求出正四面体外接球的半径： 由正四面体的对称性与球的对称性可知球心在正四面体的高上： 设外接球半径为，如图(为外接球球心，为的重心）， ， ，， 中，， 即，得， 因为点P是正四面体的表面上的一点，Q为球O表面上的一点， 则的最大值相当于外接球的直径，则最大值为.故选：D. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 r R A O P h O1 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