圆锥曲线3 抛物线小题专题讲义-2025届高三数学一轮复习

圆锥曲线3 - 抛物线小题专题 大纲解析 1. 能够同其他圆锥曲线性质或同其他章节内容相结合解决关于抛物线方程或性质的问题； 2. 能够利用数形结合的思想解决关于抛物线定义或性质的有关问题. 知识梳理 1. 过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，则有以下结论成立：（注：当或焦点在轴上时，亦有类似结论成立.） 1) 焦点弦长：（其中为直线倾斜角） 2) 3) 2. 抛物线过原点，两点在抛物线上，且，则直线过定点 3. 抛物线焦点到其切线的距离，是焦点到切点的距离与焦点到顶点距离的比例中项 4. 抛物线上一点的切线是： 注：①对于任意圆锥曲线，过圆锥曲线上一点的切线方程为 ②当点位于圆锥曲线外时，直线为切点弦方程（经过过点的两条切线所对应的两个切点的直线方程） 5. 抛物线上一点的切线斜率为. 6. 顶点在原点且对边为焦点弦的三角形面积求法： 1） （为到的距离） 2） 典型例题 A组：抛物线定义和几何性质 1. 设抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的方程是 A. B. C. D. 2. 如图1­4，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a＜b)，原点O为AD的中点，抛物线 (p＞0)经过C，F两点，则＝________． 3. 如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米.水位下降1米后，水面宽 米. 4. 已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过.若点到抛物线焦点的距离为3，则 A. B. C. D. 5. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则有 A. B. C. D. 6. 已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，,则线段AB的中点到y轴的距离为 A. B. C. D. 7. 抛物线上的两点到焦点距离之和为5，则线段的中点到y轴的距离是 . 8. 已知抛物线的方程为，直线的方程为，在抛物线上有一个动点P到轴的距离为，到直线的距离为则的最小值为 A. B. C. D. 9. 已知抛物线，一条长为的弦，其两个端点在抛物线上滑动，则此弦中点到轴的最小距离为 B组：抛物线与其他专题简单综合 1. 抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是 A. B. C. D. 2. 抛物线的焦点为，其准线与双曲线相交于两点，若为等边三角形，则 3. 已知抛物线的焦点为，直线与交于两点，则 A. B. C. D. 4. 若抛物线上的一点到焦点和到抛物线的对称轴的距离分别为10和6，则的值为 A. B. C. 或 D. 或 5. 将两个顶点在抛物线上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为，则 A. B. C. D. 6. 设抛物线的焦点为，点在上，，若以为直径的圆过点，则的方程为 A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 C、抛物线与直线结合题目 1. 过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，若抛物线在点处的切线斜率为，则 2. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点.则 1) 2) 三角形面积的最小值是 3. 过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若，，则 4. 过抛物线的焦点的直线交该抛物线于两点，为坐标原点.若，则的面积为 A. B. C. D. 5. 过抛物线焦点的直线与抛物线的交于、两点，是坐标原点，满足，，则的值是 . 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 圆锥曲线3 - 抛物线小题专题 大纲解析 1. 能够同其他圆锥曲线性质或同其他章节内容相结合解决关于抛物线方程或性质的问题； 2. 能够利用数形结合的思想解决关于抛物线定义或性质的有关问题. 知识梳理 1. 过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，则有以下结论成立：（注：当或焦点在轴上时，亦有类似结论成立.） 1) 焦点弦长：（其中为直线倾斜角） 2) 3) 2. 抛物线过原点，两点在抛物线上，且，则直线过定点 3. 抛物线焦点到其切线的距离，是焦点到切点的距离与焦点到顶点距离的比例中项 4. 抛物线上一点的切线是： 注：①对于任意圆锥曲线，过圆锥曲线上一点的切线方程为 ②当点位于圆锥曲线外时，直线为切点弦方程（经过过点的两条切线所对应的两个切点的直线方程） 5. 抛物线上一点的切线斜率为. 6. 顶点在原点且对边为焦点弦的三角形面积求法： 1） （为到的距离） 2） 典型例题 A组：抛物线定义和几何性质 1. 设抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的方程是（） A. B. C. D. 2. 如图1­4，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a＜b)，原点O为AD的中点，抛物线 (p＞0)经过C，F两点，则＝________． 3. 如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米.水位下降1米后，水面宽 米. 4. 已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过.若点到抛物线焦点的距离为3，则（） A. B. C. D. 5. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则有（） A. B. C. D. 6. 已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，,则线段AB的中点到y轴的距离为（） A. B. C. D. 7. 抛物线上的两点到焦点距离之和为5，则线段的中点到y轴的距离是 . 8. 已知抛物线的方程为，直线的方程为，在抛物线上有一个动点P到轴的距离为，到直线的距离为则的最小值为（） A. B. C. D. 9. 已知抛物线，一条长为的弦，其两个端点在抛物线上滑动，则此弦中点到轴的最小距离为 B组：抛物线与其他专题简单综合 1. 抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（） A. B. C. D. 2. 抛物线的焦点为，其准线与双曲线相交于两点，若为等边三角形，则 3. 已知抛物线的焦点为，直线与交于两点，则（） A. B. C. D. 4. 若抛物线上的一点到焦点和到抛物线的对称轴的距离分别为10和6，则的值为 A. B. C. 或 D. 或 5. 将两个顶点在抛物线上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为，则（） A. B. C. D. 6. 设抛物线的焦点为，点在上，，若以为直径的圆过点，则的方程为（） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 C、抛物线与直线结合题目 1. 过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，若抛物线在点处的切线斜率为，则 2. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点.则 1) 2) 三角形面积的最小值是 3. 过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若，，则 4. 过抛物线的焦点的直线交该抛物线于两点，为坐标原点.若，则的面积为（） A. B. C. D. 5. 过抛物线焦点的直线与抛物线的交于、两点，是坐标原点，满足，，则的值是 . 30 学科网（北京）股份有限公司 $$