精品解析：辽宁省朝阳市建平县高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷

JPGZ2023~2024学年度下学期高二期中考试试卷 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教B版选择性必修第一册，选择性必修第二册，选择性必修第三册第五章～第六章6.1.3. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数在上的平均变化率是（ ） A. B. 8 C. D. 2. 根据3对数据，，绘制的散点图知，样本点呈直线趋势，且线性回归方程为，则（ ） A. 11 B. 10 C. 9 D. 8 3. 若随机变量，且，则（ ） A. 0.29 B. 0.71 C. 0.79 D. 0.855 4. 曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知随机变量，若，，则（ ） A. 15 B. C. D. 6. 已知为等比数列的前项和，若，则（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 7. 研究人员对甲、乙两种药物的临床抗药性进行研究，通过实验数据发现：“对药物甲产生抗药性”的概率为，“对药物乙产生抗药性”的概率为，“对甲、乙两种药物均不产生抗药性”的概率为，则在对药物甲产生抗药性的条件下，对药物乙也产生抗药性的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 某校为丰富学生的课外活动，加强学生体质健康，拟举行乒乓球团体赛，赛制采取3局2胜制，每局都是单打模式，每队有5名队员，比赛中每个队员至多上场一次且是否上场是随机的，每局比赛结果互不影响.经过小组赛后，最终甲、乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队种子选手对乙队每名队员的胜率均为，甲队其余4名队员对乙队每名队员的胜率均为（注：比赛结果没有平局），则甲队最终获胜且种子选手上场的概率是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 2024年3月，中华人民共和国全国人民代表大会与中国人民政治协商会议在北京召开（以下简称“两会”），两会结束后，5名人大代表A，B，C，D，E站成一排合影留念，则下列说法正确的是（ ） A. 若A与B相邻，则有48种不同站法 B. 若C与D不相邻，则有24种不同站法 C. 若B在E的左边（可以不相邻），则有60种不同站法 D. 若A不在最左边，D不在最中间，则有78种不同站法 11. 已知是正项数列前项积，且，将数列的第1项，第3项，第7项，…，第项抽出来，按原顺序组成一个新数列，令，数列的前项和为，且不等式对恒成立，则（ ） A. 数列是等比数列 B. C. D. 实数的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等差数列的前项和为，若，则______. 13. 的展开式中项的系数是________. 14. “算两次”是一种重要的数学方法，也称做富比尼（G. Fubini）原理．“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来”（波利亚著《数学的发现》第一卷），即将一个量“算两次”．由等式，，，利用“算两次”原理可得______．（结果用组合数表示） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前n项和为，，． （1）求数列的通项公式； （2）求的最小值及取得最小值时n的值． 16. 唐诗是中国古典文化最灿烂的瑰宝之一.2023年7月8日，电影《长安三万里》上映以来，全国掀起了诗词背诵的狂潮，在电影院背诗成了当下最常见的现象，某诗词协会为了了解观众对影片中出现的48首唐诗的熟悉情况（若会背诵其中40首唐诗为极熟悉，否则为不太熟悉），在影片放映结束后，随机抽取了200位观众进行调查，得到如下2×2列联表： 对48首唐诗极熟悉 对48首唐诗不太熟悉 总计 不超过30岁 80 120 超过30岁 40 总计 附：，. 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （1）补全2×2列联表 （2）是否有97.5%的把握认为对这48首唐诗的熟悉程度与年龄有关? （3）按分层随机抽样方式在极熟悉48首唐诗的观众中抽取6人进行唐诗小调查，随后再从这6人中抽取3人进行唐诗接力赛，记3人中年龄超过30岁的人数为X，求X的分布列与均值 17. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，M是中点 （1）求证：平面平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知双曲线的焦点到一条渐近线的距离为. （1）求的方程； （2）若直线交双曲线于两点，是坐标原点，若是弦的中点，求的面积. 19. 差分法的定义：若数列的前项和为，且，则时，．例如：已知数列的通项公式是，前项和为，因为，所以． （1）若数列通项公式是，求的前项和； （2）若，且数列的前项和分别为，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ JPGZ2023~2024学年度下学期高二期中考试试卷 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教B版选择性必修第一册，选择性必修第二册，选择性必修第三册第五章～第六章6.1.3. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数在上的平均变化率是（ ） A. B. 8 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平均变化率的概念求解即可. 【详解】函数在上的平均变化率是. 故选：A. 2. 根据3对数据，，绘制的散点图知，样本点呈直线趋势，且线性回归方程为，则（ ） A. 11 B. 10 C. 9 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】由回归方程比过样本中心点即可列方程求解. 【详解】由已知，得，，又经过点，所以，解得． 故选：B． 3. 若随机变量，且，则（ ） A. 0.29 B. 0.71 C. 0.79 D. 0.855 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态曲线性质计算可得. 【详解】因为，又， 所以， 所以． 故选：B． 4. 曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出处的切线方程，然后分别求出切线与轴交点的横坐标、纵坐标，然后求出出三角形的面积，即可得解. 【详解】由，得，所以切线的斜率为， 因为，所以曲线在处的切线方程为， 即， 令，得，令，得， 所以切线与坐标轴围成的三角形的面积为. 故选：B. 5. 已知随机变量，若，，则（ ） A. 15 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由随机变量的期望和方差公式解方程组计算即可. 【详解】因为，， 所以， 即，所以， 所以． 故选：A． 6. 已知为等比数列的前项和，若，则（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列前项和的性质计算即可. 【详解】因为为等比数列的前项和， 所以成等比数列， 由，得，则， 所以，所以， ，所以， ，所以， ，所以， 所以. 故选：C. 7. 研究人员对甲、乙两种药物的临床抗药性进行研究，通过实验数据发现：“对药物甲产生抗药性”的概率为，“对药物乙产生抗药性”的概率为，“对甲、乙两种药物均不产生抗药性”的概率为，则在对药物甲产生抗药性的条件下，对药物乙也产生抗药性的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据和事件的概率公式求出，再由条件概率公式计算即可得解. 【详解】设“对药物甲产生抗药性”为事件，“对药物乙产生抗药性”为事件，“对甲、乙两种药物均不产生抗药性”为事件， 则，且， 所以，又， 所以， 所以． 故选：D． 8. 某校为丰富学生的课外活动，加强学生体质健康，拟举行乒乓球团体赛，赛制采取3局2胜制，每局都是单打模式，每队有5名队员，比赛中每个队员至多上场一次且是否上场是随机的，每局比赛结果互不影响.经过小组赛后，最终甲、乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队种子选手对乙队每名队员的胜率均为，甲队其余4名队员对乙队每名队员的胜率均为（注：比赛结果没有平局），则甲队最终获胜且种子选手上场的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设事件“种子选手第局上场”，事件“甲队最终获胜且种子选手上场”，根据全概率公式计算可得. 【详解】设事件“种子选手第局上场”，事件“甲队最终获胜且种子选手上场”， 由全概率公式知， 因为每名队员是否上场是随机的，故，，， 所以，，， 所以， 所以甲队最终获胜且种子选手上场的概率为. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据基本初等函数的导数求导，求出导数值逐项检验即可得解. 【详解】A选项中，，所以，故A错误； B选项中，，所以，故B正确； C选项中，，所以，故C错误； D选项中，，所以，故D正确. 故选：BD. 10. 2024年3月，中华人民共和国全国人民代表大会与中国人民政治协商会议在北京召开（以下简称“两会”），两会结束后，5名人大代表A，B，C，D，E站成一排合影留念，则下列说法正确的是（ ） A. 若A与B相邻，则有48种不同站法 B. 若C与D不相邻，则有24种不同站法 C. 若B在E的左边（可以不相邻），则有60种不同站法 D. 若A不在最左边，D不在最中间，则有78种不同站法 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用捆绑法求A与B相邻的排法数，判断选项A；利用插空法求C与D不相邻的排法数，判断选项B；根据倍缩法求B在E的左边的排法数，判断选项C；优先考虑的位置，结合排列知识和两大计数原理求A不在最左边，D不在最中间的排法，判断选项D. 【详解】若A与B相邻，则有种不同站法，A正确； 若C与D不相邻，则有种不同站法，B错误； 若B在E的左边（可以不相邻），则有种不同站法，C正确； 若A不在最左边，D不在最中间， 当A排在最中间时，满足条件的排法有种， 当A不排在最中间时，满足条件的排法有种， 故共有种不同排法，D正确. 故选：ACD. 11. 已知是正项数列的前项积，且，将数列的第1项，第3项，第7项，…，第项抽出来，按原顺序组成一个新数列，令，数列的前项和为，且不等式对恒成立，则（ ） A. 数列等比数列 B. C. D. 实数的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据递推关系变形得，利用等差数列定义即可判断A，根据递推式结合A选项即可求解判断B，利用错位相减法求解判断C，按照为奇数和偶数讨论，结合单调递增求解的取值范围判断D. 【详解】因为，所以， 当时，由是数列的前项积，得，即， 所以，所以，所以数列是公差为1的等差数列，故A错误； 当时，，即，又，所以， 所以，当时，， 又，满足上式，所以，故B正确； 由题意知，所以， 则，， 两式相减，得 ，所以，故C正确； 由，得单调递增，当为奇数时，由对恒成立， 得恒成立，即，所以； 当n为偶数时，由对恒成立，得恒成立，即， 所以，所以实数的取值范围是，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：本题考查等差数列的定义和构造法求通项公式，以及利用错位相减法求和.求数列通项公式常用的方法：（1）由与的关系求通项公式；（2）累加法；（3）累乘法；（4）构造新数列法. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等差数列的前项和为，若，则______. 【答案】3 【解析】 【分析】根据等差数列的前n项求和公式和下标数字的特征，计算即可求解. 【详解】由题意知， ，又，所以. 故答案：3 13. 的展开式中项的系数是________. 【答案】112 【解析】 【分析】先根据二项展开式的通项公式求得含项和含项，从而求得答案. 【详解】的二项展开式的通项， 令，得，令，得， 所以展开式中的系数为. 故答案为：112. 14. “算两次”是一种重要的数学方法，也称做富比尼（G. Fubini）原理．“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来”（波利亚著《数学的发现》第一卷），即将一个量“算两次”．由等式，，，利用“算两次”原理可得______．（结果用组合数表示） 【答案】 【解析】 【分析】由二项式定理展开式的系数结合题意计算即可. 【详解】因为，因此是展开式中项的系数，而的展开式中项的系数为， 所以． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前n项和为，，． （1）求数列的通项公式； （2）求的最小值及取得最小值时n的值． 【答案】（1） （2）当时，最小，最小值为-26 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式和求和公式列方程，解方程得到，，然后写通项即可； （2）方法一：根据等差数列的性质求最小值即可； 方法二：根据前项和的函数性质求最小值. 【小问1详解】 设等差数列的公差为d， 由，，得，，解得，， 所以． 【小问2详解】 方法一：由知是递增数列， 当时，；当时，． 所以， 所以当时，最小，最小值为． 方法二：， 又，所以当时，最小，最小值为-26. 16. 唐诗是中国古典文化最灿烂的瑰宝之一.2023年7月8日，电影《长安三万里》上映以来，全国掀起了诗词背诵的狂潮，在电影院背诗成了当下最常见的现象，某诗词协会为了了解观众对影片中出现的48首唐诗的熟悉情况（若会背诵其中40首唐诗为极熟悉，否则为不太熟悉），在影片放映结束后，随机抽取了200位观众进行调查，得到如下2×2列联表： 对48首唐诗极熟悉 对48首唐诗不太熟悉 总计 不超过30岁 80 120 超过30岁 40 总计 附：，. 0.10 0.05 0.025 0010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （1）补全2×2列联表 （2）是否有97.5%的把握认为对这48首唐诗的熟悉程度与年龄有关? （3）按分层随机抽样的方式在极熟悉48首唐诗的观众中抽取6人进行唐诗小调查，随后再从这6人中抽取3人进行唐诗接力赛，记3人中年龄超过30岁的人数为X，求X的分布列与均值 【答案】（1）表格见解析； （2）有97.5%的把握认为对这48首唐诗的熟悉程度与年龄有关； （3）分布列见解析，1 【解析】 【分析】（1）根据题意进行数据分析，完善2×2列联表； （2）根据公式求出，对照临界值表，即可得出结论； （3）先求出6人中年龄不超过30岁的抽取4人，年龄超过30岁的抽取2人，再根据古典概型即可的解. 【小问1详解】 对48首唐诗极熟悉 对48首唐诗不太熟悉 总计 不超过30岁 80 40 120 超过30岁 40 40 80 总计 120 80 200 【小问2详解】作零假设：对这48首唐诗的熟悉程度与年龄无关， ， 所以假设不成立， 所以有97.5%的把握认为对这48首唐诗的熟悉程度与年龄有关. 【小问3详解】 按分层随机抽样的方式在极熟悉48首唐诗的观众中抽取6人进行唐诗小调查， 其中年龄不超过30岁的抽取4人，年龄超过30岁的抽取2人， 由题意，得X的可能取值是0，1，2， ，，. 所以的分布列为 0 1 2 . 17. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，M是的中点 （1）求证：平面平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定、面面垂直的判定推理即得. （2）由已知证明两两垂直，建立空间直角坐标系，求出平面与平面法向量，利用面面角的向量求法求解即得. 【小问1详解】 在四棱锥中，由，是的中点，得， 而，，平面，则平面， 又平面，所以平面平面. 【小问2详解】 在直角梯形中，，，又，， 平面，则平面，又平面，于是， 由，得，则，即，，两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， ，，，，则，， 设是平面的法向量，则，令，得. 由（1）知平面，即平面的一个法向量为， 因此， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知双曲线的焦点到一条渐近线的距离为. （1）求的方程； （2）若直线交双曲线于两点，是坐标原点，若是弦的中点，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用焦点到渐近线的距离求出，结合渐近线方程即可求出双曲线方程； （2）利用点差法求出直线的斜率，然后联立直线与双曲线的方程，求出弦长和点到直线的距离，即可求出的面积. 【小问1详解】 由双曲线的一条渐近线方程为，所以， 故到渐近线的距离， 所以，又，所以， 故的方程为. 【小问2详解】 设点，因为是弦的中点，则 由于，所以两式相减得， 所以，即直线的斜率为， 所以直线方程为，即. 联立消去并整理，得， 所以，且， 所以. 点到直线的距离为， 所以的面积为. 19. 差分法的定义：若数列的前项和为，且，则时，．例如：已知数列的通项公式是，前项和为，因为，所以． （1）若数列的通项公式是，求的前项和； （2）若，且数列的前项和分别为，证明：． 【答案】（1）； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由，根据差分法求解即可； （2）由（1）中结论，结合求数列的前项和，由，根据差分法可得数列的前项和，然后可得的前项和，结合等差数列求和公式可证. 【小问1详解】 因为（且）， 所以，即， 当时，； 当时，，满足上式．所以． 【小问2详解】 证明：因为数列是等差数列，所以． 由（1）知数列的前项和为， 数列是等差数列，其前项和为， 因为， 所以数列的前项和为． 因为（且）， 所以，即． 令数列的前项和为， 当时，； 当时，，满足上式．所以． 又数列的前项和为， 数列是等差数列，其前项和为， 因为， 所以数列的前项和为 ， 即．又，所以． 【点睛】关键点点睛：本题关键在于对新定义的理解，以及对代数式结构特征的敏锐观察，由和，根据差分法求解即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$