5.1.2 垂线&基础过关专题 相交线中角度的计算与说理-【名师学案】2023-2024学年七年级下册数学分层进阶学习法（人教版）

5.1.2 垂线 第1课时垂线 知识储备 3.【补充解题过程】如图，若CD⊥EF,∠1=∠2， 1.垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中， 则AB⊥EF,请说明理由（补全解题过程）. 有一个角是 时，就说这两条直线互相垂 解：因为CD⊥EF 直，其中一条直线叫做另一条直线的 它 所以∠1= (垂直的 2 们的交点叫做 定义) 2.垂线的性质：在同一个平面内，过一点有 一条直线与已知直线垂直 因为∠2=∠1（已知）， 所以∠2=∠1= ④基础练 所以AB EF(垂直的定义). 知识点一 垂直的定义 易错点○因考虑问题不全面而漏解 1.(1)如图，OA⊥OB,∠1=30°，则∠2=( 4.在直线AB上任取一点O,过点O作射线 A.30° B.45 C.60° D.709 OC,OD,使OC⊥OD,当∠AOC=30°时， D ∠BOD的度数是 【点拨】由于图形不确定，故应分类讨论：①OC与 12 OD在直线AB的同侧：②OC与OD在直线AB的 第1(1)题图 第1(2)题图 两侧，画出图形再解答， (2)【T1(1)变式·逆向思维】如图，点O在直 知识点二垂线的画法 线AB上，过点O引射线OC,OD,若∠1= 5.下列各图中，过直线1外一点P画1的垂线 36°，要使OC⊥OD,则∠2= ( CD,三角板操作正确的是 A.74 B.64 C.54 D.36 2.(1)如图，点O在直线AB上，OC⊥OD.若 ∠AOC=110°，则∠BOD等于 ( 平 A.30 B.20° C.10° D.5 6.[教材P5练习T2变式]如图，已知∠AOB和 B 130 一点P,过点P画∠AOB两边的垂线 40 D 第2(1)题图 第2(2)题图 (2)【T2(1)变式·逆向思维】如图，直线AB, CD相交于点O.如果∠EOD=40°，∠BOC= 130°，那么射线OE与直线AB的位置关系是 3 七年级数学·下册 知识点三垂线的性质 11.如图，直线AB,CD相交于点O,OM⊥AB. 7.(1)[教材P9习题T12变式]如图，已知OML1, (1)若∠1=∠2，求∠VOD的度数： ON⊥l,所以OM与OV重合，其理由是( (2)若∠AOC=2∠1，求∠BOC的度数. A.两点确定一条直线 B.在同一平面内，过一点有 且只有一条直线与已知直 ) 线垂直 C.在同一平面内，过一点只能作一条垂线 D.垂线段最短 (2)【T7(1)变式】如图，在平面内作已知直线 m的垂线，可作垂线的条数有 () A.0条 B.1条 C.2条 D.无数条 B综合练 出出 8.(教材P9习题T12变式)已知直线AB,CB,l C素养练 在同一平面内，若AB⊥l,垂足是B,CB⊥， 12.【类比方法证明与计算】已知OA⊥OB,OC 垂足也是B,则符合题意的图形是 ⊥OD B (1)如图①，若∠BOC=40°，则∠AOD的度 数是 A B (2)如图②，若∠BOC=50°，则∠AOD的度 9.如图，直线AB,CD相交于点O,OE平分 数是 ∠BOC,OF⊥CD,若∠BOE=72°，则∠AOF 的度数为 (3)根据(1)(2)结果猜想∠AOD与∠BOC A.72 有怎样的关系？并根据图①说明理由. B.60° (4)如图②，若∠BOC:∠AOD=7：29,则 C.54 ∠BOC= D.36 10.如图，O是直线AB上一点，∠AOC: ∠BOC=1：3. (1)求∠AOC的度数； 图1 图2 (2)若OC平分∠AOD,试判断OD与AB 的位置关系. 核心 素养 几何直观运算能力推理能力 助学助散优质高数 4 第2课时 垂线段 知识储备 B综合练 出出 1,垂线段的性质：垂线段最 6.[教材P9习题T10变式]一跳远运动员跳落 2.,点到直线的距离：直线外一点到这条直线的 沙坑时的痕迹如图所示，则表示运动员成绩 的长度 的是 A 基础练 A.线段AP的长 出出 B.线段BP1的长 知识点一垂线段的定义 C.线段CP2的长 1.(原创题)如图，BA⊥CA,AD⊥BC,下列说法 D.线段CP3的长 不正确的是 7.(教材P6练习变式)如图，在直角三角形 A.点B到AC的垂线段是 ABC中，∠C=90°，BC=8cm,AC=6cm, 线段AB AB=10 cm. B.点C到AB的垂线段是 (1)点B到AC的距离是 :点A到 线段AC BC的距离是 C.线段AD是点D到BC的垂线段 (2)画出表示点C到AB的距离的线段，并求 D.线段BD是点B到AD的垂线段 这个距离. 知识点二垂线段的性质 2.如图，欲在AB上某处D点 修建一水泵站，将水引到村庄 A B C处，可过点C作CD⊥AB 于D,沿CD修渠路程最短，这种设计的依据 是 知识点三点到直线的距离 3.下列图形中线段PQ的长度表示点P到直线 a的距离的是 C素养练 出 8.如图，平原上有A,B,C,D四个村，为了解决 当地缺水问题，政府准备投资修建一蓄水池。 A B (1)不考虑其他因素，请你在图中确定蓄水池 4.如图，点A,B,C在直线 H的位置，使它与四个村庄的距离之和 I上，PB⊥I,PA= 最小： 6 cm,PB=5 cm,PC= (2)计划把河中的水引入蓄水池H中，怎样 7cm,则点P到直线l 挖可使开的渠道最短？ 的距离是 cm. 易错点○对垂线段的性质理解不透彻 B· ◆D 5.点P为直线m外一点，点A,B,C为直线 E 上三点，PA=4cm,PB=5cm,PC=6cm,则 点P到直线m的距离 () A.等于5cm B.等于4cm C.小于4cm D.不大于4cm 5 七年级数学·下册 基础过关专题 方 相交线中角度的计算与说理 解题技巧 3.直线AB与直线CD相交于点O,OE平 相交线中角度的计算与说理是各地月考、期中与 期末考试的常考题型，多以解答题的形式呈现，常用 分∠BOD 到邻补角、对顶角的性质与角的平分线及垂直的定义. (1)如图①，若∠BOC=130°，则∠AOE的度 1.【结论开放】如图，直线AB与CD相交于点 数是 O,OE⊥AB,OF⊥CD (2)如图②，射线OF在∠AOD内部. (1)图中∠AOF的余角是 ①若OF⊥OE,判断OF是否为∠AOD :(写一个即可) 的平分线，并说明理由； (2)∠EOF= :(写一 ②若OF平分∠AOE,∠AOF= 3∠DOF, 个即可) (3)如果∠AOD=160°，那么根据 求∠BOD的度数. ,可得∠BOC= (4)如果∠AOD=4∠EOF,求∠EOF的 度数. 图2 2.如图，直线AB,CD相交于点O,已知∠AOC =80°，射线OE把∠BOD分成两个角，且 ∠BOE:∠EOD=3:5. (1)求∠EOB的度数； (2)【分类讨论思想】过点O作射线OF⊥OE, 求∠BOF的度数. D 助学助教优质高数6七年级数学·下册 参考答案 第一部分同步练习堂堂清 第五章相交线与平行线 5.1相交线 5.1.1相交线 知识储备 1.(1)边反向延长线(2)互补2.(1)顶点反向延长线(2)相等 基础练 1.D2.D3.(1)∠2∠5与∠AOD(2)∠AOD∠BOE4.A5.(1) B(2)130°6.40对顶角相等7.解：(1)因为∠1十∠2=180°，∠1= 50°，所以∠2=180°-∠1=130°；(2)因为∠2+∠1=180°，∠2=3∠1，所以 3∠1十∠1=180°，解得∠1=45°.所以∠1=∠3=45°，∠2=∠4=135°.8. B9.C10.115°11.40或8012.解：(1)∠BOC,∠AOD;(2)与∠EOA 互为补角的角是∠EOB,∠COE.(3)因为∠AOC+∠BOC=180°，∠AOC= 42°，所以∠BOC=180°-∠AOC=138°.因为OE平分∠BOC,所以∠BOE =∠B0C=69.所以∠A0E=180-∠B0E=11.1B3.解：1)30 (2)OB是∠DOF的平分线，理由如下：因为∠AOE=30°，所以∠BOE=180 -∠AOE=150.因为OF平分∠BOE,所以∠BOF=号∠BOE=号×150 =75°.因为∠BOD=180°-∠AOD=75°，所以∠BOD=∠BOF.即OB平分 ∠DOF.14.解：(1)13图略对顶角6对，邻补角12对(2)16 图略对顶角12对，邻补角24对(3)1m,1Dn(m-1）2m(n-1) 2 5.1.2垂线 第1课时垂线 知识储备 1.直角垂线垂足2.且只有 基础练 1.(1)C(2)C2.(1)B(2)OE⊥AB3.90°90°⊥4.60°或120 5.D6.解：画图如图所示.、 1) 3 7.(1)B(2)D8.C9.C10.解：(1)因为∠AOC:∠BOC=1：3, ∠A0C+∠B0C=180,所以∠A0C-×180°=45；(2)0D1AB.理由如 下：因为OC平分∠AOD,所以∠AOD=2∠AOC=90°，即OD⊥AB. 11.解：(1)因为OM⊥AB,所以∠AOM=90°=∠1+∠AOC.因为∠1=∠2， 所以∠2+∠AOC=90°=∠CON.所以∠DON=180°-∠CON=90°；(2)由 (1)知∠1十∠AOC=90°，因为∠AOC=2∠1，所以∠1+2∠1=90°.解得∠1 =30°，所以∠AOC=60°.所以∠BOC=180°-∠AOC=120°.12.解：(1) 140°(2)130°(3)∠AOD十∠BOC=180°.理由如下：设∠BOC=x,由(1) 知∠AOC=90°-x,∠AOD=∠AOC+∠COD=90°-x+90°=180°-x,所 以∠AOD+∠BOC=180°-x+x=180°.(4)35 -172 第2课时垂线段 知识储备 1.短2.垂线段 基础练 1.C2.垂线段最短3.C4.55.D6.B7.解：(1) 8cm6cm(2)如图，线段CD即为所求.S△Ac= 2AC·BC=AB·CD.CD-ACC-48emf AB 答：点C到AB的距离是4.8cm. 8.解：(1)连接AD,BC交于点H,则点H为所求蓄水池 的位置；(2)过点H作HR⊥EF于R,沿HR挖渠，可使开 B D 的渠最短. 基础过关专题相交线中角度的计算与说理 1.解：(1)∠EOF(答案不唯一)(2)∠AOC(答案不唯一)(3)对顶角相等 160°(4)因为∠EOF十∠DOE=90°.∠BOD+∠DOE=90°，所以 ∠EOF=∠BOD.因为∠AOD+∠BOD=180°，∠AOD=4∠EOF,所以4 ∠EOF+∠EOF=180°.即5∠EOF=180°.解得∠EOF=36°.2.解：(1)因 为∠AOC=80°，∠BOD=∠AOC,所以∠BOD=80°.因为∠BOE：∠EOD =3:5,所以∠B0B=80×8-30,2)因为0F10E,所以∠B0F=90 当OF在∠AOD的内部时，∠BOF=∠EOF+∠BOE=90°+30°=120°，当 OF在∠BOC的内部时，∠BOF=∠EOF-∠BOE=90°-30°=60°.综上所 述，∠BOF=60°或120°.3.解：(1)155°(2)①OF是∠AOD的平分线，理 由如下：因为OF⊥OE,所以∠EOF=90°.所以∠BOE+∠AOF=∠DOE+ ∠DOF=90°.因为OE平分∠BOD,所以∠BOE=∠DOE.所以∠DOE+ ∠AOF=90°.所以∠AOF=∠DOF.所以OF是∠AOD的平分线；②因为 ∠AOF-号∠DOF,设∠DOF=3,则∠AOF=5.因为OF平分∠AOE, 所以∠AOF=∠EOF=5.x.所以∠DOE=2.x.因为OE平分∠BOD,所以 ∠BOD=4.x,5.x十3.x+4.x=180°，解得x=15°.所以∠BOD=4,x=60°.答： ∠BOD的度数为60°. 5.1.3同位角、内错角、同旁内角 知识储备 1.∠5∠2∠8∠32.∠5∠63.∠6∠5 基础练 1.B2.D3.C4.EFAB内错5.D6.(1)AB,CD同旁内(2) EF,EG同旁内7.解：∠1和∠2是直线AB,CD被直线BD所截形成的 内错角；∠3和∠4是直线AB,CD被直线EF所截形成的同位角；∠4和∠2 是直线EF,BD被直线AB所截形成的同旁内角.8.3229.C 10.解：(1)画图如图所示. (2)162°54° 11.解：如图，与∠A成同旁内角的角有3个.与∠A成同旁内角的角最多有 4个，如图， 173-