高一数学期末模拟卷（江苏专用，测试范围：苏教版2019必修第二册全部）-学易金卷：2023-2024学年高中下学期期末模拟考试

2023-2024学年高一数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版2019必修第二册全部。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（ ） A. B. C. D. 2．设与是两个不共线向量，向量，，，若，，三点共线，则（ ） A. B. C. D. 3 3．在中，角、、的对边分别为、、．若，则（ ） A. B. C. D. 4．已知l，m，n表示不同的直线，，，表示不同的平面，则下列四个命题正确的是（ ） A. 若，且，则 B. 若，，，则 C. 若，且，则 D. 若，，，则 5．抛掷两枚质地均匀的硬币一次，设“第一枚硬币正面朝上”为事件A，“第二枚硬币反面朝上”为事件B，则下述正确的是（ ）. A. A与B对立 B. A与B互斥 C. D. A与B相互独立 6．如图，一种工业部件是由一个圆台挖去一个圆锥所制成的.已知圆台的上、下底面半径分别为和，且圆台的母线与底面所成的角为，圆锥的底面是圆台的上底面，顶点在圆台的下底面上，则该工业部件的体积为（ ） A. B. C. D. 7．若，且，，则（ ） A. B. C. D. 8．八卦是中国古代的基本哲学概念，八卦文化是中华文化的核心精髓，八卦图与太极图（图1）的轮廓分别为正八边形ABCDEFGH和圆（图2），其中正八边形的中心是点，鱼眼（黑白两点）、是圆半径的中点，且关于点对称．若，圆的半径为6，当太极图转动（即圆面及其内部点绕点转动）时，的最大值为（ ） A. 39 B. 48 C. 57 D. 60 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设为复数，且，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10．已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，且该三角形有两解，则 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，则锐角三角形 11．已知正四棱台的所有顶点都在球的球面上，，为内部（含边界）的动点，则（ ） A. 平面 B. 球的表面积为 C. 的最小值为 D. 与平面所成角的最大值为60° 第二部分（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．一组数据按从大到小的顺序排列为8，7，，4，4，1，若该组数据的中位数是众数的倍，则该组数据的平均值、方差和第60百分位数分别是______． 13．中，角、、的对边分别是、、，角的平分线交边于点．若，，且，则中最长的边为______． 14．在正四棱柱中，已知，，则点到平面的距离为______；以A为球心，2为半径的球面与该棱柱表面的交线的总长度为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 某商场为了制定合理的停车收费政策，需要了解顾客的停车时长（单位：分钟）.现随机抽取了该商场到访顾客的100辆车进行调查，将数据分成6组：，，，，，，并整理得到如下频率分布直方图： （1）若某天该商场到访顾客的车辆数为1000，根据频率分布直方图估计该天停车时长在区间上的车辆数； （2）为了吸引顾客，该商场准备给停车时长较短的车辆提供免费停车服务.若以第30百分位数为标准，请你根据频率分布直方图，给出确定免费停车时长标准的建议（数据取整数）. 16．（15分） 在中，角的对边分别为． （1）求； （2）若的面积为边上的高为1，求的周长． 17．（15分） 每年的月日为国际数学日，为庆祝该节日，某中学举办了数学文化节，其中一项活动是“数学知识竞赛”，竞赛共分为两轮，每位参赛学生均须参加两轮比赛，若其在两轮竞赛中均胜出，则视为优秀，已知在第一轮竞赛中，学生甲、乙胜出的概率分别为，；在第二轮竞赛中，甲、乙胜出的概率分别为，.甲、乙两人在每轮竞赛中是否胜出互不影响. （1）若，求甲恰好胜出一轮的概率； （2）若甲、乙各胜出一轮的概率为，甲、乙都获得优秀的概率为. （i）求，，的值； （ii）求甲、乙两人中至少有一人获得优秀的概率. 18．（17分） 如图，在圆锥中，是底面的直径，且，，，是的中点． （1）求证：平面平面； （2）求二面角的余弦值． 19．（17分） 已知在平面直角坐标系中，点､点（其中､为常数，且），点为坐标原点． （1）设点为线段靠近点的三等分点，，求的值； （2）如图，设点是线段的等分点，，其中，，，，求当时，求的值（用含､的式子表示） （3）若，，求的最小值 ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年高一数学下学期期末模拟卷 参考答案 第一部分（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A B D C D B C A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BD ABD ACD 第二部分（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．5，,6 13． 14．； 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 【解析】（1）根据频率分布直方图中所有频率和为1，设的频率为， 可列等式为， ， 所以样本中停车时长在区间上的频率为， 估计该天停车时长在区间上的车辆数是50；（5分） （2）设免费停车时间长不超过分钟，又因为的频率为， 并且的频率为，所以位于之间，（7分） 则满足， ， 确定免费停车时长为分钟.（13分） 16．（15分） 【解析】（1）因为， 由正弦定理，得， 即，即. 因为在中，， 所以. 又因为，所以.（7分） （2）因为的面积为， 所以，得.（9分） 由，即， 所以.由余弦定理，得，即， 化简得，所以，即， 所以的周长为.（15分） 17．（15分） 【解析】（1）设“甲在第一轮竞赛中胜出”为事件， “甲在第二轮竞赛中胜出”为事件， “乙在第一轮竞赛中胜出”为事件， “乙在第二轮竞赛中胜出”为事件， 则，，，相互独立， 且，，，. 设“甲恰好胜出一轮”为事件， 则，，互斥. 当时， . 所以当，甲恰好胜出一轮的概率为.（5分） （2）由（1）知，（i）记事件为“甲、乙各胜出一轮”， 事件为“甲、乙都获得优秀”， 所以，. 因为甲、乙两人在每轮竞赛中是否胜出互不影响， 所以 ， ， 则，解得或（舍去）. 综上，，.（9分） （ii）设事件为“甲获得优秀”，事件为“乙获得优秀”， 于是“两人中至少有一人获得优秀”， 且，， 所以，， 所以. 故甲、乙两人中至少有一人获得优秀的概率为.（15分） 18．（17分） 【解析】（1）如图，由题意，是底面的直径，， 为的中点，为的中点，则， 则，而平面平面， 则， 又，平面，平面 平面， 又平面平面平面；（7分） （2）在平面中，过作，垂足为， 在平面中，过作，垂足为， 连接， ∵平面平面，， 又，平面，平面， 平面，平面，， ，平面，平面 则平面，可得为二面角的平面角．（10分） 由已知可得，，， ，， ，（12分） 又，得．（14分） 在中，， ∴． 即二面角的余弦值为． （17分） 19．（17分） 【解析】（1）因为, 而点为线段上靠近点的三等分点， 所以， 所以， 所以.（5分） （2）由题意得， ， 所以， 事实上，对任意正整数，，且， 有， ， 所以 所以，（10分） （3）当时，线段上存在一点， 使得，， 且存在点，， 则， ， 所以， 即线段上存在一点，到点和点的距离之和， 如图所示： 作点关于线段的对称点， 则最小值为（17分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2023-2024学年高一数学下学期期末模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ ____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 1 2023-2024 学年高一年级数学下学期期末模拟卷 答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．______________ 13．______________ 14． __________ __________ 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13 分） 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B 铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm 黑色签字笔 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 16．（15 分） 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17 分） 19．（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2023-2024学年高一数学下学期期末模拟卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（ ） A. B. C. D. 1.【答案】A 【解析】因为复数对应的点的坐标是，所以， 所以. 故选：A 2．设与是两个不共线向量，向量，，，若，，三点共线，则（ ） A. B. C. D. 3 2.【答案】B 【解析】若，，三点共线，则存在实数，使， ， ∴， ∵与是两个不共线向量， ∴，且，解得， 故选：B. 3．在中，角、、的对边分别为、、．若，则（ ） A. B. C. D. 3.【答案】D 【解析】因为，由正弦定理可得， 设，则，， 由余弦定理可得. 故选：D. 4．已知l，m，n表示不同的直线，，，表示不同的平面，则下列四个命题正确的是（ ） A. 若，且，则 B. 若，，，则 C. 若，且，则 D. 若，，，则 4.【答案】C 【解析】若，且，则与可能平行，可能相交，可能异面，A选项错误； 若，，，则与可能平行，可能相交，可能异面，B选项错误； 两条平行直线，其中一条与平面垂直，则另一条也与平面垂直，C选项正确； 若，，，则与可能平行可能相交，D选项错误 故选：C 5．抛掷两枚质地均匀的硬币一次，设“第一枚硬币正面朝上”为事件A，“第二枚硬币反面朝上”为事件B，则下述正确的是（ ）. A. A与B对立 B. A与B互斥 C. D. A与B相互独立 5.【答案】D 【解析】由题意可得，抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果是：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）， 则事件包含的结果有：（正，正），（正，反），事件包含的结果有：（正，反），（反，反）， 显然事件，事件都包含“（正，反）”这一结果，即事件，事件能同时发生， 所以，事件，事件既不互斥也不对立，故AB错误. 又因为，而，， 所以，，故C错误，D正确. 故选：D 6．如图，一种工业部件是由一个圆台挖去一个圆锥所制成的.已知圆台的上、下底面半径分别为和，且圆台的母线与底面所成的角为，圆锥的底面是圆台的上底面，顶点在圆台的下底面上，则该工业部件的体积为（ ） A. B. C. D. 6.【答案】B 【解析】根据题意，该圆台的轴截面为等腰梯形，如图， 所以即为圆台母线与底面所成角，即， 分别过点、在平面内作，，垂足分别为点、， 因为，则四边形为矩形，且， 因为，，， 所以，，所以，，且， 因为，则， 所以，圆台，圆锥的高均为， 所以，该工业部件的体积为 . 故选：B. 7．若，且，，则（ ） A. B. C. D. 7.【答案】C 【解析】因为，则，则， 所以， 而，则， 所以. 故选：C 8．八卦是中国古代的基本哲学概念，八卦文化是中华文化的核心精髓，八卦图与太极图（图1）的轮廓分别为正八边形ABCDEFGH和圆（图2），其中正八边形的中心是点，鱼眼（黑白两点）、是圆半径的中点，且关于点对称．若，圆的半径为6，当太极图转动（即圆面及其内部点绕点转动）时，的最大值为（ ） A. 39 B. 48 C. 57 D. 60 8.【答案】A 【解析】如图所示建立平面直角坐标系， 因为正八边形的每个内角为， 所以， 所以， 又因为， 所以，， 由题意知，P在以O为圆心，3为半径的圆上，且P、Q关于原点对称， 所以设，则， 所以 ，（）， 所以当时，取得最大值为. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设为复数，且，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 9.【答案】BD 【解析】对于A，若，，则，此时，A错误； 对于B，，，又，，即，B正确； 对于C，若，则，若为虚数，则，C错误； 对于D，设，，则， ，， ， ， ，D正确. 故选：BD. 10．已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，且该三角形有两解，则 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，则锐角三角形 10.【答案】ABD 【解析】因为，所以，由正弦定理，可知，故A正确； 如图， ，，且该三角形有两解，所以，即， 故B正确； 由正弦定理可得，，即，所以，因为，所以或， 即或，所以三角形为等腰或直角三角形，故C错误； 因为 ，且， 所以，即为锐角，所以为锐角三角形，故D正确. 故选：ABD 11．已知正四棱台的所有顶点都在球的球面上，，为内部（含边界）的动点，则（ ） A. 平面 B. 球的表面积为 C. 的最小值为 D. 与平面所成角的最大值为60° 11.【答案】ACD 【解析】对于A，如图1， 由棱台的结构特征易知与的延长线必交于一点，故共面， 又面面，而面面，面面，故，即； 由平面几何易得，即； 所以四边形是平行四边形，故， 而面，面，故平面，故A正确； . 对于B，如图2，设为的中点，为正四棱台外接球的球心，则， 在等腰梯形中，易得，即， 为方便计算，不妨设，则由， 即，即，又， 解得，即与重合，故， 故球的表面积为，故B错误； . 对于C，由图2易得，，，面， 故面， 不妨设落在图3处，过作，则面，故， 故在中，（勾股边小于斜边）；同理，， 所以，故动点只有落在上，才有可能取得最小值； 再看图4，由可知， 故，故C正确， . 对于D，由选项C可知，面，面，故面面， 在面内过作交于，如图5， 则面，面面，故面，故为与平面所成角， 在中，，故当取得最小值时，取得最大值，即取得最大值， 显然，动点与重合时，取得最小值，即取得最大值，且， 在中，，，，故为正三角形，即，即与平面所成角的最大值为，故D正确. 故选：ACD. 第二部分（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．一组数据按从大到小的顺序排列为8，7，，4，4，1，若该组数据的中位数是众数的倍，则该组数据的平均值、方差和第60百分位数分别是______. 12.【答案】 5，,6 【解析】依题意，将这组数据从小到大重新排列得，，，，，， 则中位数 ，众数为， 由题意知，解得， 所以这组数据的平均数为， 则这组数据的方差是， 因为，所以这组数据的第百分位数是； 故答案为：5，,6 13．中，角、、的对边分别是、、，角的平分线交边于点．若，，且，则中最长的边为______ 13.【答案】 【解析】因为，由，即， 整理可得， 由余弦定理可得， 所以，，即，解得或（舍）. 所以，，即，解得或， 因为，故中最长的边为， 故答案为： 14．在正四棱柱中，已知，，则点到平面的距离为______；以A为球心，2为半径的球面与该棱柱表面的交线的总长度为______. 14.【答案】 ①. ②. 【解析】空1：由题意可得：， 因为平面，平面，可得， 设点到平面的距离为d, 因为，则，解得， 即点到平面的距离为； 空2：由题意可知：球A仅与平面、平面、平面和平面相交， 因为，此时球A与平面的交线为半径为2的圆的， 则交线的长度为； 设球A与棱的交点为，即，可得， 则， 且为锐角，则，即， 所以球A与平面的交线为半径为2的圆的， 则交线的长度为； 同理可得：球A与平面的交线的长度； 可知，所以球A与平面的交线为半径为的圆的， 则交线的长度为； 所以球面与该棱柱表面的交线的总长度为. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 某商场为了制定合理的停车收费政策，需要了解顾客的停车时长（单位：分钟）.现随机抽取了该商场到访顾客的100辆车进行调查，将数据分成6组：，，，，，，并整理得到如下频率分布直方图： （1）若某天该商场到访顾客的车辆数为1000，根据频率分布直方图估计该天停车时长在区间上的车辆数； （2）为了吸引顾客，该商场准备给停车时长较短的车辆提供免费停车服务.若以第30百分位数为标准，请你根据频率分布直方图，给出确定免费停车时长标准的建议（数据取整数）. 15.【答案】（1）50 （2）免费停车时长为分钟 【解析】（1）根据频率分布直方图中所有频率和为1，设的频率为， 可列等式为， ， 所以样本中停车时长在区间上的频率为， 估计该天停车时长在区间上的车辆数是50； （2）设免费停车时间长不超过分钟，又因为的频率为， 并且的频率为，所以位于之间， 则满足， ， 确定免费停车时长为分钟. 16. （15分） 在中，角的对边分别为． （1）求； （2）若的面积为边上的高为1，求的周长． 16.【答案】（1） （2） 【解析】（1）因为， 由正弦定理，得， 即，即. 因为在中，， 所以. 又因为，所以. （2）因为的面积为， 所以，得. 由，即， 所以.由余弦定理，得，即， 化简得，所以，即， 所以的周长为. 17．（15分） 每年的月日为国际数学日，为庆祝该节日，某中学举办了数学文化节，其中一项活动是“数学知识竞赛”，竞赛共分为两轮，每位参赛学生均须参加两轮比赛，若其在两轮竞赛中均胜出，则视为优秀，已知在第一轮竞赛中，学生甲、乙胜出的概率分别为，；在第二轮竞赛中，甲、乙胜出的概率分别为，.甲、乙两人在每轮竞赛中是否胜出互不影响. （1）若，求甲恰好胜出一轮的概率； （2）若甲、乙各胜出一轮的概率为，甲、乙都获得优秀的概率为. （i）求，，的值； （ii）求甲、乙两人中至少有一人获得优秀的概率. 17.【答案】（1） （2）（i），；（ii） 【解析】（1）设“甲在第一轮竞赛中胜出”为事件， “甲在第二轮竞赛中胜出”为事件， “乙在第一轮竞赛中胜出”为事件， “乙在第二轮竞赛中胜出”为事件， 则，，，相互独立， 且，，，. 设“甲恰好胜出一轮”为事件， 则，，互斥. 当时， . 所以当，甲恰好胜出一轮的概率为. （2）由（1）知，（i）记事件为“甲、乙各胜出一轮”， 事件为“甲、乙都获得优秀”， 所以，. 因为甲、乙两人在每轮竞赛中是否胜出互不影响， 所以 ， ， 则，解得或（舍去）. 综上，，. （ii）设事件为“甲获得优秀”，事件为“乙获得优秀”， 于是“两人中至少有一人获得优秀”， 且，， 所以，， 所以. 故甲、乙两人中至少有一人获得优秀的概率为. 18．（17分） 如图，在圆锥中，是底面的直径，且，，，是的中点． （1）求证：平面平面； （2）求二面角的余弦值． 18.【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】（1）如图，由题意，是底面的直径，， 为的中点，为的中点，则， 则，而平面平面， 则， 又，平面，平面 平面， 又平面平面平面； （2）在平面中，过作，垂足为， 在平面中，过作，垂足为， 连接， ∵平面平面，， 又，平面，平面， 平面，平面，， ，平面，平面 则平面，可得为二面角的平面角． 由已知可得，，， ，， ， 又，得． 在中，， ∴． 即二面角的余弦值为． 19． （17分） 已知在平面直角坐标系中，点､点（其中､为常数，且），点为坐标原点． （1）设点为线段靠近点的三等分点，，求的值； （2）如图，设点是线段的等分点，，其中，，，，求当时，求的值（用含､的式子表示） （3）若，，求的最小值 19.【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）因为, 而点为线段上靠近点的三等分点， 所以， 所以， 所以. （2）由题意得， ， 所以， 事实上，对任意正整数，，且， 有， ， 所以 所以， （3）当时，线段上存在一点， 使得，， 且存在点，， 则， ， 所以， 即线段上存在一点，到点和点的距离之和， 如图所示： 作点关于线段的对称点， 则最小值为. ( 20 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( 11 ) 2023-2024学年高一年级数学下学期期末模拟卷 ( 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 姓 名： __________________________ 准考证号： )答题卡 ( 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二 、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 1 0 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 1 1 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 三 、填空题：本题共3小题， 每小题5分， 共15分。 1 2 ． ____________ __ 1 3 ． _____________ _ 1 4 ． __________ __________ 四 、解答题： 本题 共5小题，共77分。 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15． （1 3 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 16． （1 5 分） 17． （1 5 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18． （1 7 分） 19． （1 7 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2023-2024学年高一数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版2019必修第二册全部。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（ ） A. B. C. D. 2．设与是两个不共线向量，向量，，，若，，三点共线，则（ ） A. B. C. D. 3 3．在中，角、、的对边分别为、、．若，则（ ） A. B. C. D. 4．已知l，m，n表示不同的直线，，，表示不同的平面，则下列四个命题正确的是（ ） A. 若，且，则 B. 若，，，则 C. 若，且，则 D. 若，，，则 5．抛掷两枚质地均匀的硬币一次，设“第一枚硬币正面朝上”为事件A，“第二枚硬币反面朝上”为事件B，则下述正确的是（ ）. A. A与B对立 B. A与B互斥 C. D. A与B相互独立 6．如图，一种工业部件是由一个圆台挖去一个圆锥所制成的.已知圆台的上、下底面半径分别为和，且圆台的母线与底面所成的角为，圆锥的底面是圆台的上底面，顶点在圆台的下底面上，则该工业部件的体积为（ ） A. B. C. D. 7．若，且，，则（ ） A. B. C. D. 8．八卦是中国古代的基本哲学概念，八卦文化是中华文化的核心精髓，八卦图与太极图（图1）的轮廓分别为正八边形ABCDEFGH和圆（图2），其中正八边形的中心是点，鱼眼（黑白两点）、是圆半径的中点，且关于点对称．若，圆的半径为6，当太极图转动（即圆面及其内部点绕点转动）时，的最大值为（ ） A. 39 B. 48 C. 57 D. 60 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设为复数，且，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10．已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，且该三角形有两解，则 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，则锐角三角形 11．已知正四棱台的所有顶点都在球的球面上，，为内部（含边界）的动点，则（ ） A. 平面 B. 球的表面积为 C. 的最小值为 D. 与平面所成角的最大值为60° 第二部分（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．一组数据按从大到小的顺序排列为8，7，，4，4，1，若该组数据的中位数是众数的倍，则该组数据的平均值、方差和第60百分位数分别是______． 13．中，角、、的对边分别是、、，角的平分线交边于点．若，，且，则中最长的边为______． 14．在正四棱柱中，已知，，则点到平面的距离为______；以A为球心，2为半径的球面与该棱柱表面的交线的总长度为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 某商场为了制定合理的停车收费政策，需要了解顾客的停车时长（单位：分钟）.现随机抽取了该商场到访顾客的100辆车进行调查，将数据分成6组：，，，，，，并整理得到如下频率分布直方图： （1）若某天该商场到访顾客的车辆数为1000，根据频率分布直方图估计该天停车时长在区间上的车辆数； （2）为了吸引顾客，该商场准备给停车时长较短的车辆提供免费停车服务.若以第30百分位数为标准，请你根据频率分布直方图，给出确定免费停车时长标准的建议（数据取整数）. 16．（15分） 在中，角的对边分别为． （1）求； （2）若的面积为边上的高为1，求的周长． 17．（15分） 每年的月日为国际数学日，为庆祝该节日，某中学举办了数学文化节，其中一项活动是“数学知识竞赛”，竞赛共分为两轮，每位参赛学生均须参加两轮比赛，若其在两轮竞赛中均胜出，则视为优秀，已知在第一轮竞赛中，学生甲、乙胜出的概率分别为，；在第二轮竞赛中，甲、乙胜出的概率分别为，.甲、乙两人在每轮竞赛中是否胜出互不影响. （1）若，求甲恰好胜出一轮的概率； （2）若甲、乙各胜出一轮的概率为，甲、乙都获得优秀的概率为. （i）求，，的值； （ii）求甲、乙两人中至少有一人获得优秀的概率. 18．（17分） 如图，在圆锥中，是底面的直径，且，，，是的中点． （1）求证：平面平面； （2）求二面角的余弦值． 19．（17分） 已知在平面直角坐标系中，点､点（其中､为常数，且），点为坐标原点． （1）设点为线段靠近点的三等分点，，求的值； （2）如图，设点是线段的等分点，，其中，，，，求当时，求的值（用含､的式子表示） （3）若，，求的最小值 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$