第1部分 中考必备能力卷（课件PPT）-【思而优·中考新考卷】2024年广东中考数学

24版《中考新考卷》数学 第一部分 中考必备能力卷 提升一　等价转换 类型1　代数式整体求值 1．当a＋b＝3时，代数式2(a＋2b)－(3a＋5b)＋5的值为________． 首页 10 11 4 5 6 7 8 9 1 2 3 12 16 14 13 15 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2 2．若2a－b＋3＝0，则2(2a＋b)－4b的值为________． 首页 10 11 4 5 6 7 8 9 1 2 3 12 16 14 13 15 17 18 19 20 21 22 23 24 25 －6 首页 10 11 4 5 6 7 8 9 1 2 3 12 16 14 13 15 17 18 19 20 21 22 23 24 25 4．若a＋b＝15，a2＋b2＝125，则ab＝________． 首页 10 11 4 5 6 7 8 9 1 2 3 12 16 14 13 15 17 18 19 20 21 22 23 24 25 50 5．已知a，b是方程x2＋3x－4＝0的两根，则a2＋4a＋b－3＝__________． 首页 10 11 4 5 6 7 8 9 1 2 3 12 16 14 13 15 17 18 19 20 21 22 23 24 25 －2 6．已知关于x，y的二元一次方程组 的解满足x－y＝4，则2m的值为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 首页 10 11 4 5 6 7 8 9 1 2 3 12 16 14 13 15 17 18 19 20 21 22 23 24 25 C 7．已知关于x，y的方程组 的解满足x＋y＝1，则4m÷2n的值是(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 首页 10 11 4 5 6 7 8 9 1 2 3 12 16 14 13 15 17 18 19 20 21 22 23 24 25 D 类型2　配凑思想(配方求最值) 8．已知P＝x2－x，Q＝x－2为任意实数，则P－Q的值(　　) A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．大于或等于0 首页 10 11 4 5 6 7 8 9 1 2 3 12 16 14 13 15 17 18 19 20 21 22 23 24 25 A 9．对于任意的实数x，代数式x2－4x＋5的值是一个(　　) A．非负数 B．正数 C．负数 D．整数 首页 10 11 4 5 6 7 8 9 1 2 3 12 16 14 13 15 17 18 19 20 21 22 23 24 25 B 首页 10 11 4 5 6 7 8 9 1 2 3 12 16 14 13 15 17 18 19 20 21 22 23 24 25 A．y2＋5y＋5＝0 B．y2－5y＋5＝0 C．y2＋5y＋1＝0 D．y2－5y＋1＝0 D 11．若(x2＋y2)2－5(x2＋y2)－6＝0，则x2＋y2＝________． 首页 10 11 4 5 6 7 8 9 1 2 3 12 16 14 13 15 17 18 19 20 21 22 23 24 25 6 类型4　割补法 12．如图，边长为 的正方形ABCD内接于⊙O，分别过点A，D作⊙O的切线，两条切线交于点P，则图中阴影部分的面积是________． 首页 10 11 4 5 6 7 8 9 1 2 3 12 16 14 13 15 17 18 19 20 21 22 23 24 25 13．如图，正方形ABCD的边长是4，分别以点A，B，C，D为圆心，2为半径作圆，则图中阴影部分的面积是________(结果保留π)． 首页 10 11 4 5 6 7 8 9 1 2 3 12 16 14 13 15 17 18 19 20 21 22 23 24 25 16－4π 14．如图，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O，以点B为圆心，对角线BD的长为半径画弧，交BC的延长线于点E，则图中阴影部分的面积为____． 首页 10 11 4 5 6 7 8 9 1 2 3 12 16 14 13 15 17 18 19 20 21 22 23 24 25 π 15．如图，等圆⊙O1和⊙O2相交于A，B两点，⊙O1经过⊙O2的圆心O2，若O1O2＝2，则图中阴影部分的面积为(　　) 首页 10 11 4 5 6 7 8 9 1 2 3 12 16 14 13 15 17 18 19 20 21 22 23 24 25 D 类型5　线段垂直平分线的性质 16．如图，在△ABC中，∠A＝90°，分别以点B和点C为圆心，大于 BC的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点；作直线MN交AB于点E.若线段AE＝5，AC＝12，则BE的长为________． 首页 10 11 4 5 6 7 8 9 1 2 3 12 16 14 13 15 17 18 19 20 21 22 23 24 25 13 17．如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝90°，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则∠EBC＝________． 首页 10 11 4 5 6 7 8 9 1 2 3 12 16 14 13 15 17 18 19 20 21 22 23 24 25 10° 类型6　角平分线的性质 18．如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，AE＝12，DF＝5，则点E到直线AD的距离为________． 首页 10 11 4 5 6 7 8 9 1 2 3 12 16 14 13 15 17 18 19 20 21 22 23 24 25 19．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8.连接AC，在AC和AD上分别截取AE，AF，使AE＝AF.分别以点E和点F为圆心，大于 EF的长为半径作弧，两弧交于点G.作射线AG交CD于点H，则线段DH的长是________． 首页 10 11 4 5 6 7 8 9 1 2 3 12 16 14 13 15 17 18 19 20 21 22 23 24 25 类型7　线段或角度的等量代换 20．如图，在△ABC和△ADE中，延长BC交DE于点F，BC＝DE，AC＝AE，∠ACF＋∠AED＝180°. 求证：AB＝AD. 首页 10 11 4 5 6 7 8 9 1 2 3 12 16 14 13 15 17 18 19 20 21 22 23 24 25 证明：∵∠ACF＋∠AED＝180°，∠ACF＋∠ACB＝180°， ∴∠ACB＝∠AED. 在△ABC和△ADE中， ∴△ABC≌△ADE(SAS)， ∴AB＝AD. 21.如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上．下面四个条件：①AB＝DE；②AC＝DF；③BE＝CF；④∠ABC＝∠DEF. (1)请选择其中的三个条件，使得△ABC≌△DEF(写出一种情况即可)； 首页 10 11 4 5 6 7 8 9 1 2 3 12 16 14 13 15 17 18 19 20 21 22 23 24 25 解：选择的条件为：①②③；或选择的条件为：①③④. (2)在(1)的条件下，求证：△ABC≌△DEF. 首页 10 11 4 5 6 7 8 9 1 2 3 12 16 14 13 15 17 18 19 20 21 22 23 24 25 证明：当选择的条件为①②③时， ∵BE＝CF， ∴BE＋EC＝CF＋EC，即BC＝EF. 在△ABC和△DEF中， ∴△ABC△DEF(SSS)； 当选择的条件为①③④时， ∵BE＝CF， ∴BE＋EC＝CF＋EC，即BC＝EF. 在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF(SAS)． 类型8　中点的运用 22．如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，E为AC的中点．若AC＝8，CD＝5，则DE＝____． 首页 10 11 4 5 6 7 8 9 1 2 3 12 16 14 13 15 17 18 19 20 21 22 23 24 25 3 23．如图，OA是⊙O的半径，弦BC⊥OA于点D，连接OB.若⊙O的半径为 5 cm，BC的长为8 cm，则OD的长是____cm. 首页 10 11 4 5 6 7 8 9 1 2 3 12 16 14 13 15 17 18 19 20 21 22 23 24 25 3 24．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABD＝60°，AE⊥BD，垂足为E，F是OC的中点，连接EF，若EF＝2 ，则矩形ABCD的周长是(　　) 首页 10 11 4 5 6 7 8 9 1 2 3 12 16 14 13 15 17 18 19 20 21 22 23 24 25 D 25．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，连接DE.已知BC＝10，AD＝12，求BD，DE的长． 首页 10 11 4 5 6 7 8 9 1 2 3 12 16 14 13 15 17 18 19 20 21 22 23 24 25 解：∵AB＝AC，AD⊥BC于点D， ∴BD＝ BC. ∵BC＝10， ∴BD＝5. ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∴在Rt△ABD中，AB2＝AD2＋BD2. ∵AD＝12，BD＝5， 1．某服装店经销A，B两种T恤衫，进价和售价如下表所示： 第一次进货时，服装店用6 000元购进A，B两种T恤衫共120件，全部售完获利多少元？ 首页 品名 A B 进价(元/件) 45 60 售价(元/件) 66 90 解：设购进A种T恤衫x件，购进B种T恤衫y件， 根据题意，得 解得 ∴(66－45)×80＋(90－60)×40＝1 680＋1 200＝2 880(元)． 答：全部售完获利2 880元． 提升二　建立数量关系 类型1　设未知量 2．端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽礼盒的进价比肉粽礼盒的进价每盒便宜10元，某商家用2 500元购进的肉粽和用2 000元购进的豆沙粽盒数相同．求每盒肉粽和每盒豆沙粽的进价． 首页 解：设每盒豆沙粽的进价为a元，则每盒肉粽的进价为(a＋10)元， 根据题意，得 ， 解得a＝40， 经检验，a＝40是原分式方程的解，且符合题意， 则a＋10＝50. 答：每盒肉粽和每盒豆沙粽的进价分别为50元和40元． 类型2　设坐标 3．在平面直角坐标系中，一次函数y＝ kx＋b的图象与反比例函数y＝ 的图象相交于点A(2，4)，B(4，n)．C是y轴上的一点，连接CA，CB. (1)求一次函数、反比例函数的表达式； 首页 (2)若△ABC的面积是6，求点C的坐标． 首页 如图所示，设点C(0，t)， ∵点E是一次函数y＝－x＋6的图象与y轴的交点， ∴点E(0，6)， 解： 4．如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点A(6，0)，与y轴交于点B(0，－6)，抛物线经过点A，B，且对称轴为直线x＝1. (1)求直线l的解析式； 首页 解：设直线l的解析式为y＝mx＋n(m≠0)， 把A(6，0)，B(0，－6)代入， 得 ∴直线l的解析式为y＝x－6. (2)求抛物线的解析式； 首页 解：设抛物线的解析式为y＝a(x－h)2＋k(a≠0)， ∵抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴y＝a(x－1)2＋k. 把A(6，0)，B(0，－6)代入， (3)点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，交直线l于点D，过点P作PM⊥l，垂足为M.求PM的最大值及此时点P的坐标． 首页 解：∵A(6，0)，B(0，－6)， ∴OA＝OB＝6. 在△AOB中，∠AOB＝90°， ∴∠OAB＝∠OBA＝45°. ∵PC⊥x轴，PM⊥l， ∴∠PCA＝∠PMD＝90°. ∴∠ADC＝180°－∠PCA－∠OAB＝180°－90°－45°＝45°. ∴∠PDM＝∠ADC＝45°. 在Rt△PMD中，∠PMD＝90°，∠PDM＝45°， 首页 类型3　设线段长 5．综合与实践 折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动． 【操作】如图1，在矩形ABCD中，点M在边AD上，将矩形纸片ABCD沿MC所在的直线折叠，使点D落在点D′处，MD′与BC交于点N. 首页 【猜想】MN＝CN. 【验证】请将下列证明过程补充完整： ∵矩形纸片ABCD沿MC所在的直线折叠， ∴∠CMD＝________． ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC(矩形的对边平行)， ∴∠CMD＝________(__________________________ )， ∴________＝________(等量代换)， ∴MN＝CN(_____________)． 首页 ∠CMD′ ∠MCN 两直线平行，内错角相等 ∠CMD′ ∠MCN 等角对等边 【应用】 如图2，继续将矩形纸片ABCD折叠，使AM恰好落在直线MD′上，点A落在点A′处，点B落在点B′处，折痕为ME. (1)猜想MN与EC的数量关系，并说明理由； 首页 EC＝2MN，理由如下： ∵由四边形ABEM折叠得到四边形A′B′EM， ∴∠AME＝∠A′ME. ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC(矩形的对边平行)， ∴∠AME＝∠MEN(两直线平行，内错角相等)， ∴∠A′ME＝∠MEN， ∴MN＝EN(等角对等边)． ∵MN＝CN， ∴MN＝EN＝NC，即EC＝2MN. 解： (2)若CD＝2，MD＝4，求EC的长． 首页 解：∵矩形ABCD沿MC所在直线折叠， ∴∠D＝∠D′＝90°，DC＝D′C＝2，MD＝MD′＝4. 设MN＝NC＝x， ∴ND′＝MD′－MN＝4－x. 在Rt△ND′C中，∠D′＝90°， ∴ND′2＋D′C2＝NC2(勾股定理)， ∴(4－x)2＋22＝x2， 解得x＝ ， ∴EC＝2MN＝5. 6．如图，在△ABC中，O是AC上(异于点A，C)的一点，⊙O恰好经过点A，B，AD⊥CB于点D，且AB平分∠CAD. (1)判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由； 首页 解：BC与⊙O相切，理由如下： 如图，连接OB， ∵AB是∠CAD的平分线， ∴∠BAD＝∠BAO. 又∵OB＝OA， ∴∠OAB＝∠OBA， ∴∠BAD＝∠OBA， ∴OB∥AD. ∵AD⊥CB， ∴OB⊥BC. 又∵OB为⊙O的半径， ∴BC与⊙O相切． (2)若AC＝10，DC＝8，求⊙O的半径长． 首页 提升三　识图、辨图 类型1　全等模型 1．如图，在正方形ABCD中，AB＝12，点E，F分别在边BC，CD上，AE与BF相交于点G，∠BGA＝90°，若BE＝CF＝5，则BG的长为________． 首页 2．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为(8，4)，连接OB，将OB绕点O逆时针旋转90°得到OB′，则点B′的坐标为________． 首页 (－4，8) 3．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝3 ，点D在AB边上，连接CD，将CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，连接BE，DE.求证：△CAD≌△CBE. 首页 证明：由题意，知∠ACB＝∠DCE＝90°，CA＝CB，CD＝CE， ∴∠ACB－∠DCB＝∠DCE－∠DCB， 即∠ACD＝∠BCE， ∴△CAD≌△CBE(SAS)． 4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O在边AC上，以点O为圆心，OC的长为半径的半圆与斜边AB相切于点D，交OA于点E，连接OB. 求证：BD＝BC. 首页 证明：如图，连接OD， ∵半圆O与AB相切于点D， ∴OD⊥AB. ∵∠ACB＝90°， ∴∠ODB＝∠OCB＝90°. ∵OD＝OC，OB＝OB， ∴Rt△ODB≌Rt△OCB(HL)． ∴BD＝BC. 类型2　相似模型 5．如图，用一个卡钳 测量某个零件的内孔直径AB，量得CD的长为6 cm，则AB的长为________cm. 首页 18　 6．在《数书九章》(宋·秦九韶)中记载了一个测量塔高的问题：如图，AB表示塔的高度，CD表示竹竿顶端到地面的高度，EF表示人眼到地面的高度，AB，CD，EF在同一平面内，点A，C，E在一条水平直线上．已知AC＝20米，CE＝10米，CD＝7米，EF＝1.4米，人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度．根据以上信息，塔的高度为________米． 首页 18.2 提升四　构造辅助线 类型1　连接两点 1．如图，AB为⊙O的直径，如果圆上的点D恰使∠ADC＝∠B.求证：直线CD与⊙O相切． 首页 证明：如图，连接OD， ∵OA＝OD， ∴∠A＝∠ODA. ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠A＋∠B＝90°. ∵∠ADC＝∠B， ∴∠ODA＋∠ADC＝90°， 即∠CDO＝90°， ∴CD⊥OD. ∵OD是⊙O的半径， ∴直线CD与⊙O相切． 类型2　作延长线 2．“倍长中线法”是解决几何问题的重要方法．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，具体做法是：如图，AD是△ABC的中线，延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，构造出△BED和△CAD.求证：△BED≌△CAD. 首页 证明：∵AD是△ABC的中线， ∴DB＝DC， 在△BED和△CAD中， ∴△BED≌△CAD(SAS)． 类型3　作平行线 3．如图1，点E在直线AB上，点F在直线CD上，点M在直线AB，CD之间，且∠BEM＋∠DFM＝∠EMF. (1)求证：AB∥CD； 首页 证明：如图1，过点M作MN∥AB， ∵MN∥AB， ∴∠BEM＝∠EMN. ∵∠BEM＋∠DFM＝∠EMF，∠EMN＋∠FMN＝∠EMF， ∴∠DFM＝∠FMN， ∴MN∥CD， ∴AB∥CD. (2)如图2，点M，N在直线AB，CD之间，且位于EF的异侧，连接MN，若2∠M＝3∠N，则∠AEM，∠NFD，∠N三个角之间存在何种数量关系，并说明理由． 首页 解： ∠MNF＝∠AEM－∠NFD，理由如下： 如图2，过点M作MP∥AB，过点N作NQ∥AB， ∵AB∥CD，MP∥AB，NQ∥AB， ∴AB∥CD∥MP∥NQ， ∴∠AEM＝∠EMP，∠PMN＝∠MNQ，∠QNF＝∠NFD， ∴∠EMN＝∠EMP＋∠PMN＝∠AEM＋∠MNQ， ∠MNF＝∠MNQ＋∠QNF＝∠MNQ＋∠NFD， ∴∠EMN－∠MNF＝∠AEM－∠NFD. ∵2∠EMN＝3∠MNF， 类型4　作垂线 4．如图，轮船甲和轮船乙同时离开海港O，轮船甲沿北偏东60°的方向航行，轮船乙沿东南方向航行，2小时后，轮船甲到达A处，轮船乙到达B处，此时轮船甲正好在轮船乙的正北方向．已知轮船甲的速度为每小时25海里，求轮船乙的速度(结果保留根号)． 首页 解：如图，过点O作OD⊥AB于点D， 在Rt△AOD中， ∠AOD＝90°－60°＝30°， OA＝25×2＝50(海里)， 提升五　信息获取与解读 类型1　函数图象信息题 1．小明从家出发到商场购物后返回，如图表示的是小明离家的路程s(单位：m)与时间t(单位：min)之间的函数关系．已知小明购物用时30 min，从商场返回家的速度是从家去商场速度的1.2倍，则a的值为(　　) A．46 B．48 C．50 D．52 首页 D 2．如图，正方形ABCD的边长为4，动点P从点B出发沿折线BCDA做匀速运动，设点P运动的路程为x，△PAB的面积为y，下列图象能表示y与x之间函数关系的是(　　) 首页 D 3．如图，长方体水池内有一无盖圆柱形铁桶，现用水管往铁桶中持续匀速注水，直到长方体水池有水溢出一会儿为止．设注水时间为t，y1表示铁桶中水面高度，y2表示水池中水面高度(铁桶高度低于水池高度，铁桶底面积小于水池底面积的一半，注水前铁桶和水池内均无水)，则y1，y2随时间t变化的函数图象大致为(　　) 首页 C 4．学校提倡“低碳环保，绿色出行”，小明和小亮分别选择步行和骑自行车上学，两人各自从家同时同向出发，沿同一条路匀速前进．如图所示，l1和l2分别表示两人到小亮家的距离s(km)和时间t(h)的关系，则出发________h后两人相遇． 首页 0.35 类型2　情境应用题 5．某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，采用以下方法：如图，把支架(EF)放在离树(AB)适当距离的水平地面上的点F处，再把镜子水平放在支架(EF)上的点E处，然后沿着直线BF后退至点D处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A，再用皮尺分别测量BF，DF，EF，观测者目高(CD)的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知CD⊥BD于点D，EF⊥BD于点F，AB⊥BD于点B，BF＝6米，DF＝2米，EF＝0.5米，CD＝1.7米，则这棵树的高度(AB的长)是________米． 首页 4.1 6．根据以下材料，完成项目任务． 首页 项目 测量古塔的高度及古塔底面圆的半径 测量工具 测角仪、皮尺等 测量 说明：点Q为古塔底面圆圆心，测角仪高度AB＝CD＝1.5 m，在B，D处分别测得古塔顶端的仰角为32°，45°，BD＝9 m，测角仪CD所在位置与古塔底部边缘距离DG＝12.9 m．点B，D，G，Q在同一条直线上 参考数据 sin 32°≈0.530，cos 32°≈0.848，tan 32°≈0.625 项目任务 (1)求出古塔的高度 (2)求出古塔底面圆的半径 首页 解：（1）如图，延长AC交PQ于点E，则四边形CDQE是矩形， ∴QE＝CD. 依题意，得∠PCE＝45°，∠PAE＝32°，AB＝CD＝QE＝1.5 m， 解得x＝15， ∴PQ＝PE＋QE＝15＋1.5＝16.5(m)． 答：古塔的高度为16.5 m. (2) DQ＝CE＝15 m，DG＝12.9 m， ∴GQ＝15－12.9＝2.1(m)． 答：古塔底面圆的半径为2.1 m. 类型3　统计与概率 7．某青年排球队有12名队员，他们的年龄情况如下表： 则这12名队员年龄的中位数是________． 首页 年龄/岁 18 19 20 21 22 人数 3 5 2 1 1 19 8．为提高学生的安全意识，某学校组织学生参加了“安全知识答题”活动．该校随机抽取部分学生的答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：A(优秀)，B(良好)，C(一般)，D(不合格)，并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图： 首页 根据图中所给信息解答下列问题： (1)这次抽样调查共抽取________人，条形统计图中的m＝________； (2)将条形统计图补充完整，在扇形统计图中，求C等级所在扇形圆心角的度数； 首页 50 7 解：成绩为C等级人数所占百分比： 1－24%－32%－14%＝30%， ∴C等级所在扇形圆心角的度数： 360°×30%＝108°， 成绩为A等级的人数：50×24%＝12(人)， 补全条形统计图如图所示： (3)该校有1 200名学生，估计该校学生答题成绩为A等级和B等级共有多少人； 首页 解：1 200×(24%＋32%)＝672(人)． 答：估计该校学生答题成绩为A等级和B等级共有672人． (4)学校要从答题成绩为A等级且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生去做“安全知识宣传员”，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率． 首页 解：列表如下： 共有12种等可能的情况，抽出的两名学生恰好是甲和丁的情况有2种， ∴抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率为 提升六　实践与操作 类型1　尺规作图 1．如图，在平行四边形ABCD(AB<AD)中，按如下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AD于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在∠BAD内交于点P；③作射线AP交BC于点E.若∠B＝120°，则∠EAD为________°. 首页 30 2．如图，AC是菱形ABCD的对角线． (1)作边AB的垂直平分线，分别与AB，AC交于点E，F(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)； 首页 解：如图，直线EF即为所求． (2)在(1)的条件下，连接FB，若∠D＝140°，求∠CBF的度数． 首页 解：如图，连接FB， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠ABC＝∠D＝140°，AB＝CB， ∴∠BAC＝∠BCA＝ ×(180°－140°)＝20°. ∵MN垂直平分AB， ∴AF＝BF， ∴∠ABF＝∠BAC＝20°， ∴∠CBF＝∠ABC－∠ABF＝120°. 3．用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：△ABC.求作：点P，使PA＝PC，且点P在△ABC边AB的高上． 首页 解：如图，点P为所作． 类型2　综合与实践 4．综合与实践 如图1所示为一上面无盖的正方体纸盒，现将其剪开展成平面图，如图2所示．已知展开图中每个正方形的边长为1. 首页 (1)求在该展开图中可画出最长线段的长度，这样的线段可画几条； 首页 答：可画出最长线段的长度为，这样的线段可画4条(另三条在图①中用虚线标出)． (2)试比较立体图中∠BAC与平面展开图中∠B′A′C′的大小关系． 首页 解：∵立体图中∠BAC为平面等腰直角三角形的一锐角， ∴∠BAC＝45°. 如图②，在平面展开图中，连接线段B′C′，由勾股定理可得A′B′＝ ，B′C′＝ . 又∵A′B′2＋B′C′2＝A′C′2， ∴△A′B′C′为直角三角形． 又∵A′B′＝B′C′， ∴△A′B′C′为等腰直角三角形， ∴∠B′A′C′＝45°， ∴∠BAC与∠B′A′C′相等． 提升七　分类与讨论 类型1　函数中特殊三角形和四边形存在性问题 1．综合运用 在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C. (1)求抛物线的解析式； 首页 解：∵A(－3，0)，B(1，0)两点在抛物线上， ∴抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3. 1．综合运用 在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C. (2)如图甲，在y轴上找一点D，使△ACD为等腰三角形，请直接写出点D的坐标； 首页 解：点D的坐标为(0，0)或(0，－3)或(0，3－3 )或(0，3＋3 )． 解析：令x＝0，y＝3， ∴C(0，3)， 由△ACD为等腰三角形，如图甲， 当以点D为顶点时，DA＝DC，点D与原点O重合， ∴D(0，0)； 当以点A为顶点时，AC＝AD′，AO是等腰△ACD′中线， ∴OC＝OD′， ∴D′(0，－3)； 首页 (3)如图乙，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在P，Q两点使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出P，Q两点的坐标，若不存在，请说明理由． 首页 解：存在，理由如下： ∵y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4， ∴抛物线的对称轴为直线x＝－1， 设P(－1，t)，Q(m，n)， ∵A(－3，0)，C(0，3)， 则AC2＝(－3)2＋32＝18， AP2＝(－1＋3)2＋t2＝t2＋4， PC2＝(－1)2＋(t－3)2＝t2－6t＋10. ∵以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形， ∴分三种情况：以AP为对角线或以AC为对角线或以CP为对角线， 首页 首页 当以AC为对角线时，PC＝AP，如图2， ∴t2－6t＋10＝t2＋4， 解得t＝1， ∴P3(－1，1)． ∵四边形APCQ是菱形， ∴AC与PQ互相垂直平分， 即AC与PQ的中点重合， 首页 首页 类型2　动点问题 2．综合探究 如图1，⊙O的直径AB＝12，P是弦BC上一动点(与点B，C不重合)，∠ABC＝30°，过点P作PD⊥OP交⊙O于点D. 首页 解：如图2，连接OD， ∵OP⊥PD，PD∥AB， ∴∠POB＝90°. ∵⊙O的直径AB＝12， ∴OB＝OD＝6. 在Rt△POB中，∠ABC＝30°， (1)如图2，当PD∥AB时，求PD的长； (2)如图3，当弧DC＝弧AC时，延长AB至点E，使BE＝ AB，连接DE. ①求证：DE是⊙O的切线； 首页 证明：如图3，连接OD交CB于点F，连接BD， ∴∠DBC＝∠ABC＝30°， ∴∠ABD＝60°. ∵OB＝OD， ∴△OBD是等边三角形， ∴OD⊥FB，OB＝BD，∠OBD＝∠ODB＝60°. ∵BE＝ AB， ∴OB＝BE， ∴BD＝BE， ∴BF∥ED， ∴∠ODE＝∠OFB＝90°， 又∵OD是⊙O的半径， ∴DE是⊙O的切线． ∴∠E＝∠BDE＝ ∠OBD＝30°， ∴∠E＝∠ABC， ②求PC的长． 首页 本PPT课件由思而优研发制作，仅限思而优配套教学使用。 未经授权，任何人不得以商业目的进行拷贝、转发、转售， 一经发现，我司将追究侵权者的法律责任。 温馨提示 3．若x＋＝且0<x<1，则x2－＝________． － 类型3　换元法(解方程) 10．在分式方程＋＝5中，设＝y，可得到关于y的整式方程为(　　) 1－ A．2π B．π C．π D．π A．16 B．8＋4 C．4＋8 D．8＋8 ∴AB＝＝＝13. ∵E为AB的中点， ∴DE＝AB＝. ＝ 解：∵点A(2，4)在反比例函数y＝的图象上， ∴4＝，解得m＝8， ∴反比例函数的表达式为y＝. ∵点B(4，n)在反比例函数y＝的图象上， ∴n＝，解得n＝2， ∴点B(4，2)． ∵点A、点B在一次函数y＝kx ＋b的图象上， ∴解得 ∴一次函数的表达式为y＝－x ＋6. ∴CE＝. ∵点A(2，4)，点B(4，2)， ∴S△ABC＝S△BEC－S△AEC ＝·CE·xB－·CE·xA ＝××(xB－xA) ＝， ∵S△ABC＝6， ∴＝6， 解得t＝0或t＝12， ∴点C的坐标为(0，0)或(0，12)． 解得 得解得 ∴抛物线的解析式为y＝(x－1)2－＝x2－x－6. ∴sin 45°＝， ∴PM＝PD. 设点P的坐标为，则点D的坐标为(t，t－6)，且0≤t≤6， ∴PD＝t－6－＝－t2＋t＝－(t－3)2＋. ∵－<0， ∴当t＝3时，PD有最大值是，此时PM最大， ∴PMmax＝PD＝×＝， 当t＝3时，t2－t－6＝×32－×3－6＝－， ∴点P的坐标为， ∴PM的最大值为，此时点P的坐标为. 解：设OB＝OA＝x，则OC＝AC－OA＝10－x， 在△ADC中，∠D＝90°，AC＝10，DC＝8， ∴AD＝＝6. ∵OB∥AD， ∴△COB∽△CAD， ∴＝，即＝， 解得x＝. 故⊙O的半径长为. ∴∠EMN＝∠MNF， ∴∠MNF－∠MNF＝∠AEM－∠NFD， ∴∠MNF＝∠AEM－∠NFD. ∴OD＝OA·cos 30°＝50×＝25(海里)． 在Rt△ODB中，∠DOB＝∠DBO＝45°， ∴OB＝OD＝×25＝25(海里)， ∴轮船乙的速度为海里/小时． 设PE＝x m，则CE＝＝x m， 在Rt△PAE中，tan∠PAE＝＝＝tan 32°≈0.625， ＝. 解：该展开图中可画出最长的线段如图①中的A′C′， 在Rt△A′C′D′中， ∵C′D′＝1，A′D′＝3， ∴A′C′＝＝＝. ∴解得 当以点C为顶点时，AC＝CD″＝＝＝3， 或AC＝CD"′， ∴D″(0，3－3)或D"′(0，3＋3)． ∴综上所述，点D的坐标为(0，0)或(0，－3)或(0，3－3)或(0，3＋3)． 当以AP为对角线时，PC＝AC，如图1， ∴t2－6t＋10＝18， 解得t＝3±， ∴P1(－1，3－)或P2(－1，3＋)． ∵四边形ACPQ是菱形， ∴AP与CQ互相垂直平分， 即AP与CQ的中点重合， 当P1(－1，3－)时， ＝，＝， 解得m＝－4，n＝－， ∴＝，＝， 解得m＝－2，n＝2， ∴Q3(－2，2)； ∴P4(－1，)，P5(－1，－)． ∵四边形ACQP是菱形， ∴AQ与CP互相垂直平分， 即AQ与CP的中点重合， 当P4(－1，)时， 当以CP为对角线时，AP＝AC，如图3， ∴t2＋4＝18， 解得t＝±， ＝，＝， 解得m＝2，n＝3＋， ∴Q4(2，3＋)， 当P5(－1，－)时， ＝，＝， 解得m＝2，n＝3－， ∴Q5(2，3－)， 综上所述，符合条件的点P，Q的坐标为P(－1，3－)，Q(－4，－)或P(－1，3＋)，Q(－4，)或P(－1，1)，Q(－2，2)或P(－1，)，Q(2，3＋)或P(－1，－)，Q(2，3－)． ∴OP＝OB·tan 30°＝6×＝2， 在Rt△POD中， PD＝＝＝2. ∵＝， 解：由①知，OD⊥BC， ∴CF＝FB＝OB·cos 30°＝6×＝3. 在Rt△POD中，OF＝DF， ∴PF＝DO＝3， ∴CP＝CF－PF＝3－3. $$