期末复习命题新趋势之整体思想专题2023-2024学年浙教版七年级数学下册

2024年浙教版七年级数学下册期末复习 命题新趋势之整体思想 一、选择题 1．把（x－y）看作一个整体，下面计算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．解二元一次方程组 时，用代入消元法整体消去4x，得到的方程是（　　） A．2y=-2 B．2y=-36 C．12y=-36 D．12y=-2 二、填空题 3．把某个式子看成一个整体，用一个变量取代替它，从而使问题得到简化，这叫整体代换或换元思想，请根据上面的思想解决下面问题：若关于x，y的方程组 的解是 ，则关于x，y的方程组 的解是　 　. 4．阅读感悟：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的式子的值，如以下问题： 已知实数、满足，，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的整式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得整式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用上面的知识解答下列问题： （1）已知、满足方程组，则的值为　 　，的值为　 　； （2）已知方程组的解是，则方程组的解是　 　． 三、计算题 5．材料：解方程组 将①整体代入②，得， 解得， 把代入①，得， 所以 这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请解方程组 6．先阅读材料，然后解方程组． 材料：解方程组：， 由①，得．③ 把③代入②，得，解得． 把代入③，得． 原方程组的解为； 这种方法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请用这种方法解方程组：． 7．利用整体代入法解方程组： ． 8．先阅读材料，后解方程组： 材料：解方程组 时，可由①得：x﹣y=1③，然后再将③代入②得4×1﹣y=5，求得y=﹣1，从而进一步求得： ，这种方法被称为“整体代入法”请用这样的方法解下列方程组： 四、综合题 9．阅读以下材料： 解方程组：，小阳在解决这个问题时，发现了一种新的方法，他把这种方法叫做“整体代入法”，解题过程如下： 解：由①得x+y＝1③，将③代入②得： （1）请你替小阳补全完整的解题过程； （2）请你用这种方法解方程组：. 10．你知道数学中的整体思想吗?解题中，若把注意力和着眼点放在问题的整体上，多方位思考、联想、探究，进行整体思考、整体加减，能使问题迅速获解. 例题：已知x2+xy=4，xy+y2=-1.求代数式x2-y2的值. 解：将两式相减，得(x2+xy)-(xy+y2)=4-(-1)，即x2-y2=5；请用整体思想解答下列问题： （1）在例题的基础上求(x+y)2的值； （2）若关于x、y的二元一次方程组 的解也是二元一次方程x+y=6的解，求k的值. 11．阅读感悟： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数x、y满足 ①， ②，求 和 的值. 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大.其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由 可得 ，由 可得 .这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”. 解决问题： （1）已知二元一次方程组 ，则 　 　； （2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需　 　元. （3）对于实数x、y，定义新运算： ，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知 ， ，那么 　 　. 12．把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫整体代换或换元思想，请根据上面的思想解决下面问题： 若关于x、y的方程组 的解是 ，求关于x，y的方程组 的解. 五、实践探究题 13．在解方程组时，明明采用了一种“整体代换”的解法. 解：将方程②变形为4x+10y+y=5，即2(2x+5y)+y=5.③ 把①代入③，得2×3+y=5，解得y=-1. 把y=-1代入①，得x=4， ∴方程组的解决为 请用“整体代换”法解下列方程组： （1）。 （2） 14．阅读材料： 整体代换是一个重要的数学思想，有着广泛的应用.例如：计算4(a+b)-7(a+b)+(a+b)时可将(a+b)看成一个整体，合并同类项得-2(a+b)，再利用分配律去括号得-2a-2b.同时，我们也知道，代数的基本要义就是用字母表示数，使之更具一般性.所以，在计算a(a+b)时，同样可以利用分配律得 解决问题： （1）请你尝试着把(a-2)或(b-2)看成整体，计算：(a-2)(b-2). （2）如果两个数的乘积等于它们的和的两倍，那么我们称这两个数为“积倍和数对”，即：若ab=2(a+b)，则a，b是一对“积倍和数对”，记为(a，b).例如：∵3×6=2(3+6)，∴3和6是一对“积倍和数对”，记为(3，6). 请你找出所有的a，b均为整数的“积倍和数对” 15．善于思考的小明在解方程组时，采用了一种“整体代换”的思想，解法如下： 解：将方程8x+22y=10变形为2（4x+10y）+2y=10.③ 把方程①代入③，得2×6+2y=10，解得 y=-1. 把y=-1代入①，得x=4， ∴原方程组的解为 请你运用“整体代换”的思想解决下列问题： （1）解方程组 （2）已知x，y，z满足试求 z 的值. 16．阅读感悟： 有些关于方程组的问题，需要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数x，y满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①-②可得，由①+②×2可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： （1）已知二元一次方程组，则　 　，　 　； （2）对于实数x，y，定义新运算：，其中a，b，c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，那么求的值． 17．问题情境：小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题： 解方程组：． 观察发现：如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题． （1）设，，则原方程组可化为　 　，解关于m，n的方程组，得，所以，解方程组，得　 　． （2）探索猜想：运用上述方法解下列方程组：． （3）拓展延伸：已知关于x，y的二元一次方程组的解为，求关于x，y的方程组的解． 18．阅读材料： 已知x2y=3，求2xy(x5y2-3x3y-4x)的值． 分析：考虑到x，y的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑整体思想，将x2y=3整体代入． 解：2xy(x5y2-3x3y-4x) =2x6y3-6x4y2-8x2y =2(x2y)3-6(x2y)2-8x2y =2×33-6×32-8×3 =54-54-24 =-24 你能用上述方法解决以下问题吗？试一试！ （1）已知ab=3，求(2a3b2-3a2b+4a)·(-2b)的值． （2）已知a2+a-1=0，求代数式a3+2a2+2021的值． 19．先阅读材料，再回答问题： 分解因式： 解：设，则原式 再将还原，得到：原式 上述解题中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想，请你用整体思想解决下列问题： （1）分解因式： （2）若为正整数，则为整数的平方，试说明理由. 20．阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程②变形：4x+10y+y=5即2(2x+5y)+y=5，③ 把方程①代人③得：2x3+y=5，∴y=-1． 把y=-1代人①得x=4，∴方程组的解为 请你解决以下问题： （1）模仿小军的“整体代换"法解方程组 （2）已知x，y满足方程组 ①求x2+4y2的值． ②求的值． 答案解析部分 1．【答案】D 2．【答案】B 3．【答案】 4．【答案】（1）-3；5 （2） 5．【答案】 6．【答案】． 7．【答案】解： ， 由①得x﹣3=6y， 把x﹣3y=6y②得12y﹣11=2y， 解得y= ， 把y= 代入x﹣3=6y得x﹣3= ， 解得x= ， 所以原方程组的解为 8．【答案】解：由①得2x﹣3y=2 ③， 把③代入②，得 ， 解得y=4． 从而进一步求得 9．【答案】（1）解：由①得x+y＝1③， 将③代入②得3×1+y＝2， 解得y＝-1， 把y＝-1代入①得， x-1-1＝0， 解得x＝2， 故原方程组的解是 ； （2）解：整理得， 把①代入②得， 2×（-1）+2+6y＝12， 解得y＝2， 把y＝2代入①得， 3x-2＝-1， 解得x＝ ， 故原方程组的解是 . 10．【答案】（1）解：将两式相加，得 ， （2）解：将两式相减，得 ， 故 . 11．【答案】（1）－1 （2）30 （3）－11 12．【答案】解：∵ ， ∴ ， 由题意知 解得 ∴原方程组的解为 13．【答案】（1）解： 将方程②变形为8x-6y-y=18，即2（4x-3y）-y=18.③ 把①代入③，得2×6-y=18，解得y=-6. 把y=-6代入①，得x=-3. ∴方程组的解为 （2）解： 将方程②变形为4（x+3）+2（2y-1）-5（2y-1）=17， 即2[2（2x+3）+（2y-1）]-5（2y-1）=17.③ 把①代入③，得2×11-5（2y-1）=17，解得y=1. 把y=1代入①，得x=2， ∴方程组的解为 14．【答案】（1）解：将(a-2)看成一个整体，原式=（a-2）b-(a-2)×2 =ab-2b-2a+4； 将(b-2)看成一个整体，原式=a(b-2)-2(b-2) =ab-2a-2b+4； （2）解：∵ab=2(a+b)， ∴（a-2）(b-2)=4， ∵a、b都是整数， ∴a-2=1，-1，2，-2，4，-4， b-2=4，-4，2，-2，1，-1， ∴（a，b）=（3，6）；（1，-2）；（4，4）；（0，0）；（6，3）；（-2，1）. 15．【答案】（1）解： 将方程6x-5y=25变形为3（2x-3y）+4y=25.③ 把方程①代入③，得3×7+4y=25，解得y=1. 把Y=代入①，得x=5， ∴原方程组的解为 （2）解： 将方程①变形为：3（x+z+4y）-5z=47，③ 把方程②代入③，得3×19-5z=47，解得z=2. 16．【答案】（1）-4；6 （2）解：由题意得：， ①×3-②×2得：a-b+c=-11． ∴11=a-b+c=﹣11． 17．【答案】（1）； （2）解：设，，则原方程组可化为， 解关于m，n的方程组，得，所以，解方程组，得． （3）解：方程组可化为， 关于x，y的二元一次方程组的解为， ，． 18．【答案】（1）解：∵ab=3， ∴(2a3b2-3a2b+4a)·(-2b) = -2a3b3+6a2b2-8ab=-2(ab)3+6(ab)2-8ab=-2×33+6×32-8×3 =-54+54-24=-24. （2）解： ∵a2+a-1=0， ∴a2+a=1， a3+2a2+2021=a(a2+a)+a2+ 2021=a+a2+ 2021=1+2021=2022. 19．【答案】（1）解：设， 则原式， 将代入还原可得原式； （2）解：原式 令， 为正整数， 是整数， 则原式 ， 为整数， 原式即为整数的平方. 20．【答案】（1）解：将方程②方形为3x+6x-4y=19，即2(3x-2y)+3x=19③， 把方程①代人③得 2×5+3x=19， ∴x=3， 把x=3代入①方程得y=2， ∴方程组得解为； （2）解：①原方程组变形为 ①+②×2得7(x2+4y2)=117， 解得x2+4y2=17， 把x2+4y2=17代入②方程得2×17+xy=36， 解得xy=2， ∴x2+4y2的值为17； ②∵(x+2y)2=x2+4y2+4xy=17+8=25， ∴x+2y=±5， ∴. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$