三重教育2023-2024学年高三上学期12月联考数学试题

姓名: 准考证号: 秘密★启用前 三重教育2023-2024学年第一学期高三年级联考 数学试题 (考试时间120分钟,满分150分) 注意事项: 1.答题前,考生先将自已的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域 内。 2.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效。 3.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案用0.5mm的黑 色笔迹签字笔写在答题卡上。 4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回 第I卷 选择题(共60分) 一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.) 1.已知集合A= xx+3x+2=0,B= xllx+1<1.则AOB= A.1 B.-1 C.1,2 D.-1.-2 2.若复数:三(1+3i)(a-i)为纯虚数,asB.则:的虚部为 A.-10 B.-10i C.10 D. 10i 3.若f(x)= 3e-aer 为奇函数,则a三 (3x+1)(3x-1) A.-3 B.3 C.0 D.1 4.2023年杭州亚运会已圆满落幕,志愿者“小青荷”们让世界看到了新时代中国青年的风 采,早在2021年5月,杭州A公司便响应号召,在全公司范围内组织亚运会志愿者的报名 与培训,经过选拔,最终有3名党员和3名团员共6人脱颖而出,在彩排环节,需从这6人 中选派2人去游泳馆,2人去篮球馆,且要求每个场馆均至少有一位党员,则不同的选派 结果有 A.54种 B.45种 C.36种 D.18种 C.73 A.3 B.2 D.73 2 2 6.已知函数/(x)3ax+x2+x+3在[0,2]上不单调,则a的取值范围是 ..0) B.(-~-)C.(-.-1)D.(-.+) 高三数学试题 第1页(共4页) 7.某建材市场蝶丝销售中心的供货商为A公司与B公司,已知两公司在该中心的供货占比 为2:3,A公司所供骡丝的优品率为0.7,B公司所供骡丝的优品率为0.8.张明在该中心败 得一枚蝶丝,且为优品,那么该蝶丝为A公司所供的概率为 D1 8.已知函数/(x)2sin(ox+)(→>0.(0.-) I的部分图象如图所示,图象与v轴的 交点为0.v3).若g(x)=f(ax)(a>0),且g(x)在(0.n)上 有两个极值点,则a的取值范围是 7 (1 B.(07) -0 #71 712 二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目 要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。) 9.已知函数/(x)=e(x2-3x+1),则 A.y=f(x)的值域为B B.y三f(x)有两个极值点 C.y=/(x)有两个零点 10.已知直线/:y=x+m过抛物线C:y=4x的焦点F,且与抛物线交于A,B两点,则 A.m=1 B.//AB=8 C. AF=2lBF 11.已知数列a.的前n项积为T.,a.=2.T...-2=3T.(neN),则 A.T=3-1 B.a.为递增数列 3-1 C.a.三 3---1 12.已知圆锥的顶点为P.底面圆心为0.AB为底面直径,△APB为直角三角形,AB三2.点C 在底面圆周上(不与A,B重合),则 3 高三数学试题 第2页(共4页) 第II卷 非选择题(共90分) 三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.) 13.已知向量e,e满足e=e=e-e=1,则e.+2e = 14.已知sin(e+)-3(e=(-.0)则eosθ= 15.直线ax+y+a-2=0被圆(x+2){}+=6所截得的弦长的最小值为$ 16.已知函数/(x)=(x-6x+m)(e+e-n)的四个零点是以0为首项的等差数列. 则m+n=_ 四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤。) 17.(本小题满分10分) (1)求a.的通项公式; (2)设数列6.c.)满足b。=log(-a.),c.=a.+b,求数列c.的前n项和T. 18.(本小题满分12分) 的角平分线,且交BC于点D,AD=1. 3,求△ABC的周长; (2)若DC=3BD.求tanB的值. 19.(本小题满分12分) 某连锁餐饮公司为了解顾客的用餐体验,要求各分公司对本地顾客进行了大量的电话 访谈,并邀请顾客对用餐体验评分,分值设定范围为0~100分,其中北京、太原分公司 针对本地顾客的访谈结果及评分进行了统计分析,得到如下评分的频率分布表: 北京分公司顾客用餐体验评分统计 分值 (0.10] 1(40.50] (10.20] (20,30] (30.40] (60.70] (50.60] (80.90] (70.80] (90.100] 区间 0.01 0.2 0.10.15 0.25 短率 0.04 0.05 0.1 0.05 0.05 太原分公司顾客用餐体验评分统计 分值 (30.40] (40.50] (60.70] (70.80] (10.20] (20.301 (50.60] (0.10] (80.90] 区间 (90.100] 频率 0.01 0.01 0.02 0.06 02 0.2 0.25 0.1 0.1 0.05 请根据上述信息,回答下列问题; (1)若两个分公司分别访谈了500位顾客,设评分为70分以上的为评价满意,否则记作 评价不满意,请填写下面的列联表,并根据小概率值a三0.1的x独立性检验,分析评 价满意与否和分公司所在地是否有关联 高三数学试题 第3页(共4页) 评价不满意 评价满意 合计 北京 太原 合计 (2)现太原分公司邀请了2位评价满意和2位评价不满意的本地顾客,北京分公司从大 量的本地受访顾客中随机邀请了3位,这7位顾客受邀参加总公司的试餐活动,活动 后,总公司又从这两个分公司邀请的顾客中各随机邀请了2位顾客作为顾问,设这4位 顾问中原评价为满意的人数为,求的分布列。 附:x2三 n(ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) ,其中n三a+b+c+d 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 . 7.879 20.(本小题满分12分) 如图,在四 锥P-ABCD中,平面PAD1平面ABCD.PA1PD.PA=PD,AD=2AB= 2BC.AB1AD,AB1BC,点0为AD的中点. (1)若点E为CD的中点,求证:B0工PE; 33 (2)设四梭锥P-ABCD的体积为一 2,点M为底面四边形 ABCD内一点(包括四边形边上的点),且直线PM与底面 值的最小值。 21.(本小题满分12分) 交于P,0两点,与y轴交于点G .AB (1)已知过原点且与/平行的直线/与圆C交于点A,B.求证: PQ =2; (2)若圆C的离心率为 2 .G=APF,c0=0F,问u+A是否为定值?若是,求 u+入的值;若不是,请说明理由. 22.(本小题满分12分) (1)求a的取值范围; x 高三数学试题 第4页(共4页)三重教育2023-2024学年第一学期高三年级联考 数学试题参考答案 一、选择题 1. B 2. A 3. B 4. A 5. D 6. B 7. C 8. C 二、选择题 9. BCD 10. BD 11. AD 12. ABD 三、填空题 13. 7 14. 4 + 26 15. 2 16. e + 1 e 或8 + e3 + 1 e3 四、解答题 17.解：（1）由ìí î 3Sn + 1 = 2Sn - 2， 3Sn = 2Sn - 1 - 2 ( )n ≥ 2 ，两式作差，得3an + 1 = 2an( )n ≥ 2 ，则 an + 1 an = 23 ( )n ≥ 2 ，-------------2分 当 n = 1时，3S2 = 2S1 - 2，即3( )a1 + a2 = 2a1 - 2，将 a1 = - 23 代入，解得 a2 = - 49，则 a2 a1 = 23，所以 an + 1 an = 23， n ∈ N*， 所以{ }an 是以- 23为首项， 2 3为公比的等比数列，---------------------------------------------4分 所以an = - 23 × ( )23 n - 1 = -( )23 n. --------------------------------------------------------5分 （2）bn = log 3 2 ( )-an = log 3 2 ( )23 n = -n,cn = an + bn = -( )23 n - n.-----------------------------------7分 故Tn = -( )23 1 - 1 - ( )23 2 - 2 - ( )23 3 - 3 - … - ( )23 n - n = -é ë ê ê ù û ú ú( )23 1 + ( )23 2 + ( )23 3 + … + ( )23 n - ( )1 + 2 + 3 + … + n ------------------------------------8分 = -2 + 2·( )23 n - n2 + n2 = 2·( )23 n - n2 + n + 42 . --------------------------------------------10分 18. 解：（1）设∠BAD = ∠CAD = θ,θ ∈ ( )0，π2 ，则 S△ABC = 12 b sin θ + 1 2 c sin θ = 1 2 bc sin 2θ = 4 3 3 ，即 1 2 ( )b + c sin θ = 1 2 bc sin 2θ = 4 3 3 ，---------------2分 因为 b + c = 163 ，得 1 2 × 16 3 sin θ = 4 3 3 ，所以 sin θ = 32 ，-----------------------------------3分 所以 θ = π3，则 1 2 bc· sin 2π 3 = 4 3 3 ，所以 bc = 16 3 ， -----------------------------------------4分 在△ABC中，由余弦定理，得a2 = b2 + c2 - 2bc cos 2θ = b2 + c2 + bc = ( )b + c 2 - bc = 2089 ， 得a = 4 133 ,-----------------------------------------------------------------------5分 所以△ABC的周长为a + b + c = 16 + 4 133 .----------------------------------------------6分 （2）设∠BAD = ∠CAD = θ, θ ∈ ( )0，π2 ，由   DC = 3   BD，得 b = 3c，--------------------------------7分 又S△ABC = 12 b sin θ + 1 2 c sin θ = 1 2 bc sin 2θ = 4 3 3 ， 所以2c sin θ = 3c2 sin θ cos θ = 4 33 ， ---------------------------------------------------8分 高三数学答案 第1页（共4页） = - 2 3 é ë ê ê ù û ú ú1 - ( )23 n 1 - 23 - n ( )n + 12 解得 tan θ = 3，所以 θ = π3，所以2c ⋅ sin π 3 = 4 3 3 ，解得 c = 4 3.--------------------------------10分 在△ABD中，由正弦定理，得 ADsin B = AB sin ∠ADB ，即 1 sin B = 4 3 sin ( )π3 + B ，-------------------------11分 解得 tan B = 3 35 . -----------------------------------------------------------------12分 19.解：（1）填写列联表如下： 北京 太原 合计 评价满意 100 200 300 评价不满意 400 300 700 合计 500 500 1000 ---------------------------------------------------------------------------------2分 零假设为H0：评价满意与否和分公司所在地相互独立，即两个分公司的评价满意没有差异 . 根据列联表中的数据，经计算得到： χ 2 = 1000 × ( )100 × 300 - 200 × 400 2 300 × 700 × 500 × 500 ≈ 47.619 > 2.706，-------------------------------------4分 根据小概率值α = 0.1的 χ 2独立性检验，有充分证据推断H0不成立，所以认为评价满意与否和分公司所在地有 关联 . -------------------------------------------------------------------------5分 （2）由题意，得 ξ所有可能的取值为0，1，2，3，4. ---------------------------------------------6分 P ( )ξ = 0 = C 22C24 × 0.8 2 = 875；------------------------------------------------------------7分 P ( )ξ = 1 = C 12C12C24 × 0.8 2 + C22C24 × C 12 × 0.8 × 0.2 = 1225；------------------------------------------8分 P ( )ξ = 2 = C 22C24 × 0.8 2 + C12C12C24 × C 12 × 0.8 × 0.2 + C 22C24 × 0.2 2 = 49150；-------------------------------9分 P ( )ξ = 3 = C 12C12C24 × 0.2 2 + C22C24 × C 12 × 0.8 × 0.2 = 225；-----------------------------------------10分 P ( )ξ = 4 = C 22C24 × 0.2 2 = 1150 . -----------------------------------------------------------11分 所以 ξ的分布列如下： ξ P 0 8 75 1 12 25 2 49 150 3 2 25 4 1 150 ---------------------------------------------------------------------------------12分 20.（1）证明：如图，连接OB，OC，OE，OP，AC，因为PA = PD，O为AD的中点，所以PO ⊥ AD， 又平面PAD ⊥平面ABCD,平面PAD ⋂平面ABCD = AD，PO ⊂平面PAD， 所以PO ⊥ 平面ABCD，所以PO ⊥ BO. ------------1分 因为E，O分别为CD，AD的中点，所以OE ∥ AC， 易证四边形ABCO为正方形，所以AC ⊥ BO，则BO ⊥ EO，----3分 又PO ⋂ EO = O，PO，EO ⊂ 平面POE，所以BO ⊥ 平面POE， -------------------------4分 又PE ⊂ 平面POE，所以BO ⊥ PE.--------------------------5分 （2）解：由（1）知PO ⊥平面ABCD，四边形ABCO为正方形，则PO ⊥ OC，OC ⊥ OD，以O为原点，OC，OD，OP所 在直线分别为 x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系 . -------------------------------6分 设OC = OA = OP = a，则 13 · 1 2 ( )a + 2a a2 = 3 3 2 ，解得a = 3，-------------------------------7分 高三数学答案 第2页（共4页） A B C E D P O x y z 因为PO ⊥平面ABCD，所以直线PM与底面ABCD所成的角为∠PMO，则∠PMO = π3， 所以 tan ∠PMO = OP MO = 3，则MO = 1 . 所以点M的轨迹是以O为圆心，1为半径，在底面ABCD内的半圆弧， 则可设M ( )cos α， sin α，0 ( )α ∈ éëêê ùûúú-π2，π2 . -------------------------------------------------8分 由P ( )0，0， 3 ，A ( )0， - 3，0 ，C ( )3，0，0 ，得   PM = ( )cos α， sin α， - 3 ， AC = ( )3， 3，0 ，   AP = ( )0， 3， 3 ， 设平面PAC的法向量为n = ( )x，y，z ， 则 ì í î ï ï n· AC = 0， n· AP = 0，即 ì í î ï ï 3 x + 3 y = 0， 3 y + 3 z = 0，令 x = 1，则y = -1，z = 1, 所以平面PAC的一个法向量为n = ( )1， - 1，1 ，--------------------------------------------9分 设直线PM与平面PAC所成角为β， 则 sin β = |||| cos n，    PM = || n·    PM || n · ||   PM = | | | | cos α - sin α - 3 2 3 = | | | | | | | | 2 cos ( )α + π4 - 3 2 3 ，---------------10分 显然地，当α = -π4 时，sin β = 3 - 2 2 3 = 3 - 6 6 为所求最小值 . -----------------------------12分 21.（1）证明：设直线 l的方程为 x = my - c（c是椭圆的半焦距）， 联立 ì í î ï ïï x = my - c， x2 a2 + y2 b2 = 1,得( )b 2m2 + a2 y2 - 2b2cmy - b4 = 0，---------------------------------------1分 则Δ = 4a2b4( )1 + m2 > 0， 设P ( )x1，y1 ，Q ( )x2，y2 ，则 y1 + y2 = 2b2cmb2m2 + a2，y1y2 = -b4 b2m2 + a2，------------------------------2分 || PQ = 1 + m2 ⋅ || y1 - y2 = 1 + m2 ⋅ 2ab 2 1 + m2 b2m2 + a2 = 2ab2( )1 + m2 b2m2 + a2 .----------------------------3分 由题意知，直线 l′的方程为 x = my， 联立 ì í î ï ïï x = my， x2 a2 + y2 b2 = 1,得( )b 2m2 + a2 y2 = a2b2，则 y = ± ab b2m2 + a2 ， 所以 || AB = 1 + m2 · 2ab b2m2 + a2 ， || AB 2 = 4a2b2( )1 + m2 b2m2 + a2 ，--------------------------------------4分 所以 || AB 2 || PQ = 2a . -----------------------------------------------------------5分 （2）解：当直线 l的斜率为 0时，P，Q分别为椭圆的右端点与左端点，则λ = - a a + c，μ = - a a - c，μ + λ = - 2a2 b2 . ----------------------------------------------------------------------------------6分 当直线 l的斜率不为0时，设直线 l的方程为 x = my - c，则 G ( )0，cm ，-----------------------------7分 设P ( )x1，y1 ，Q ( )x2，y2 ，由（1）知 y1 + y2 = 2b2cmb2m2 + a2，y1y2 = -b4 b2m2 + a2 . 由   GP = λ  PF1，得( )x1，y1 - cm = λ( )-c - x1， - y1 ， 则λ = -1 + c my1 ，同理μ = -1 + c my2 .-----------------------------------------------------9分 高三数学答案 第3页（共4页） 所以μ + λ = -2 + c m ⋅ ( )1y1 + 1y2 = -2 + cm ⋅ y1 + y2y1y2 = -2 + cm ⋅ 2b2cm-b4 = -2 - 2c2b2 = - 2a2b2 . ----------11分 因为椭圆C的离心率为 32 ，即 1 - ( )ba 2 = 32 ，则 ba = 12，所以- 2a2b2 = -8，故μ + λ为定值-8.--------12分 22.解：（1）函数 f ( )x 的定义域为( )0， + ∞ ， f ′( )x = 1 + ln x - x - 2a - 1 = ln x - x - 2a.------------------------------------------------1分 因为 f ( )x 有两个极值点 x1，x2（x1 < x2），所以 f ′( )x = 0有两个不等的正根， 即 ln x = x + 2a有两个不等的正根 . -----------------------------------------------------3分 设直线 y = x + p与 y = ln x的图象相切，易得 p = -1， ----------------------------------------4分 所以2a < -1，解得a < - 12，所以a的取值范围为( )-∞， - 12 . ----------------------------------5分 （2）由（1）知a < - 12，0 < x1 < 1 < x2, ì í î ln x1 = x1 + 2a， ln x2 = x2 + 2a，则 ln x2 - ln x1 = x2 - x1 = ln x2 x1 . ---------------------------------------------7分 设 x2 x1 = t，则 t > 1，所以 x2 - x1 = ln x2x1 = ln t，x2 = tx1，则 ln t = x2 - x1 = ( )t - 1 x1， 得 x1 = ln tt - 1，x2 = tx1 = t ln t t - 1，所以x1 + x2 = ( )t + 1 ln t t - 1 .令g ( )t = ( )t + 1 ln t t - 1 ( )t > 1 ，----------------9分 则g′( )t = t - 2 ln t - 1 t ( )t - 1 2 ( )t > 1 ，令 p ( )t = t - 2 ln t - 1 t ( )t > 1 ，则p′( )t = 1 - 2 t + 1 t2 = ( )t - 1 2 t2 > 0， 所以 p ( )t 在( )1， + ∞ 上单调递增，又 p ( )1 = 0，所以 p ( )t > 0， 则g′( )t > 0，所以g ( )t 在( )1， + ∞ 上单调递增 . --------------------------------------------10分 易 知 g ( )e = e + 1e - 1， g ( )3 = 2 ln 3， 因 为 x1 + x2 ∈ éëêê ù û úúe + 1e - 1，2 ln 3 ， 即 x1 + x2 = g ( )t ∈ [ ]g ( )e ，g ( )3 ， ---------------------------------------------------------------------------------11分 所以 t ∈ [ ]e，3 ，即 x2 x1 的取值范围是[ ]e，3 .------------------------------------------------12分 高三数学答案 第4页（共4页）