精品解析：辽宁省凤城市第一中学2023-2024学年高三下学期期初考试数学试题

凤城一中高三期初考试 数学试卷 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：集合，复数，不等式，函数性质，数列，排列组合，二项式定理，概率统计，导数. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，能正确表示图中阴影部分的集合是（ ） A. B. C. D. 2. 某市2018年至2022年新能源汽车年销量y（单位：千台）与年份代号x的数据如下表： 年份 2019 2020 2021 2022 年份代号x 1 2 3 4 年销量y 15 20 m 35 若根据表中的数据用最小二乘法求得y关于x的经验回归直线方程为，则表中m的值为（ ） A. 25 B. 28 C. 30 D. 32 3. 设复数z在复平面内对应的点位于第一象限，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，为非零实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 某校迎新晩会上有A，B，C，D，E，F共6个节目，为了考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目A，B不相邻，节目D，F必须连在一起，则不同的节目编排方案种数为（ ） A. 60 B. 72 C. 120 D. 144 7. 设等比数列前项和为，若，，则（ ） A. 或9 B. 8或 C. 8或9 D. 或 8. 已知函数的定义域为，当时，，若对，，使得，则正实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知的展开式中的系数为60，则实数a的值可以是（ ） A 4 B. 2 C. D. 10. 下列命题正确的是（ ） A. 对于事件A，B，若，且，，则 B. 若随机变量，，则 C. 相关系数r的绝对值越接近1，两个随机变量的线性相关程度越强 D. 在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越宽表示回归效果越好 11. 已知等差数列的前项和为，公差为，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 当时，取得最小值 12. 有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数的比为，现任取一个零件，记事件“零件为第i台车床加工”（），事件“零件为次品”，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 幂函数图象过点，则函数恒过定点___________. 14. 已知函数，则____________. 15. 已知，，，，则的最小值为________． 16. 已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为，若，且对任意的恒成立，则不等式的解集为________． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 17. 人们曾经相信，艺术家将是最后被AⅠ所取代的职业，但技术的进步已经将这一信念敲出了裂痕，这可能是AⅠ第一次引起人类的恐慌，由noval AⅠ，DALL－E2等软件创作出来的给画作品风格各异，乍看之下，已与人类绘画作品无异，AⅠ会取代人类画师吗？某机构随机对60人进行了一次调查，统计发现认为会取代的有42人，30岁以下认为不会取代的有12人，占30岁以下调查人数的． （1）根据以上数据完成如下2×2列联表： 年龄 理解情况 总计 会取代 不会取代 30岁以下 12 30岁及以上 总计 42 60 （2）依据小概率值的独立性检验，能否认为年龄与理解情况有关？并说明原因． 0.10 0.05 0.010 0005 0001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式：，其中． 18. 已知数列的前n项和为，满足． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列中的最大项和最小项． 19. （1）试比较与的大小； （2）解关于的不等式． 20. 航天事业是国家综合国力的重要标志，带动着一批新兴产业和新兴学科的发展．2022~2023学年全国青少年航天创新大赛设航天创意设计、太空探测、航天科学探究与创新三个竞赛单元及载人航天主题专项赛．某校为了激发学生对航天科技的兴趣，点燃学生的航天梦，举行了一次航天创新知识竞赛选拔赛，从中抽取了10名学生的竞赛成绩，得到如下表格： 序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩（分） 38 41 44 51 54 56 58 64 74 80 记这10名学生竞赛成绩的平均分与方差分别为，．经计算，． （1）求与； （2）规定竞赛成绩不低于60分为优秀，从这10名学生中任取3名，记竞赛成绩优秀的人数为X，求X的分布列； （3）经统计，航天创新知识选拔赛成绩服从正态分布，用，的值分别作为，的近似值，若科创中心计划从全市抽查100名学生进行测试，记这100名学生的测试成绩恰好落在区间的人数为Y，求Y的均值． 附：若，则，，． 21. 已知二次函数满足，且. （1）求的解析式； （2）当时，不等式恒成立；求实数的取值范围； （3）设，求的最大值. 22. 已知函数. （1）求函数的最小值； （2）求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 凤城一中高三期初考试 数学试卷 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：集合，复数，不等式，函数性质，数列，排列组合，二项式定理，概率统计，导数. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，能正确表示图中阴影部分的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得集合，结合题意及集合的运算，即可求解. 【详解】由题意，集合， 根据图中阴影部分表示集合中元素除去集合中的元素，即为. 故选：B. 2. 某市2018年至2022年新能源汽车年销量y（单位：千台）与年份代号x的数据如下表： 年份 2019 2020 2021 2022 年份代号x 1 2 3 4 年销量y 15 20 m 35 若根据表中的数据用最小二乘法求得y关于x的经验回归直线方程为，则表中m的值为（ ） A. 25 B. 28 C. 30 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】根据线性回归直线方程经过样本中心，即可代入求解. 【详解】由已知得，回归直线方程为过样本点中心， ∴，即， ∴． 故选：C． 3. 设复数z在复平面内对应的点位于第一象限，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的定义和共轭以及模的求法即可求解. 【详解】由题意设， 由， 得， 因为， 所以， 解得， 所以， 所以． 故选:A． 4. 已知，为非零实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】由，即成立，故充分性成立； 取，，则成立，但不成立，故必要性不成立. 因此，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 5. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性排除AB，再由特殊值排除D即可得解. 【详解】因为的定义域为，关于原点对称， 所以，即函数为奇函数，排除AB， 当时，，排除D. 故选：C 6. 某校迎新晩会上有A，B，C，D，E，F共6个节目，为了考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目A，B不相邻，节目D，F必须连在一起，则不同的节目编排方案种数为（ ） A. 60 B. 72 C. 120 D. 144 【答案】D 【解析】 【分析】排列问题中相邻元素捆绑法，不相邻元素插空法. 【详解】先将两个节目D，F捆绑成一个元素，与节目C，E进行全排列，再将节目A，B插入四个空档中， 所以共有种不同的结果. 故选：D． 7. 设等比数列的前项和为，若，，则（ ） A. 或9 B. 8或 C. 8或9 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列基本量的计算即可求解公比，进而可求解. 【详解】依题意，，因为，，所以， 故，即，即， 所以或或（舍去），所以或. 故选：B 8. 已知函数的定义域为，当时，，若对，，使得，则正实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】转化为，结合分段函数和一次函数性质，求解即可. 【详解】对，，使得，， 当时，， 当时，，， 由得， 又，在上为增函数，，，， 的取值范围为 故选：C． 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知的展开式中的系数为60，则实数a的值可以是（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用二项式展开式的通项计算即可. 【详解】二项式的展开式通项公式为， 由题意，解得，所以，即，解得. 故选：BC 10. 下列命题正确的是（ ） A 对于事件A，B，若，且，，则 B. 若随机变量，，则 C. 相关系数r的绝对值越接近1，两个随机变量的线性相关程度越强 D. 在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越宽表示回归效果越好 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，根据事件之间的关系，可得概率计算，结合条件概率的计算公式，可得答案；对于B，根据正态分布的性质，利用其对称性，可得答案；对于C，根据相关系数的性质，可得答案；对于D，根据残差图的性质，可得答案. 【详解】对于A，由，则，故，故A正确； 对于B，由随机变量，则随机变量满足的正态分布曲线关于直线对称， 故，， ，故B错误； 对于C，根据相关系数的性质，可得C正确； 对于D，根据残差图的性质，可知宽度越窄表示回归效果越好，故D错误. 故选：AC. 11. 已知等差数列的前项和为，公差为，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 当时，取得最小值 【答案】ACD 【解析】 【分析】先判断出，，，再对四个选项一一判断： 对于A、B选项，由，即可判断；对于C，利用，即可判断；对于D，先判断出数列{an}为递增数列，再由当时，，当时，，即可判断. 【详解】因为，所以，，． 对于A、B选项，因为，，所以，故选项A正确，选项B错误； 对于C，因为，所以，故选项C正确； 对于D，因为，，可知，，所以等差数列{an}为递增数列， 当时，，当时，，所以当时，取得最小值，故D选项正确． 故选：ACD． 12. 有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数的比为，现任取一个零件，记事件“零件为第i台车床加工”（），事件“零件为次品”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】AB选项，根据题意可得到，，判断AB；C选项，根据全概率公式进行求解；D选项，根据贝叶斯公式进行计算. 【详解】AB选项，事件“零件为第i台车床加工”（ ），事件“零件为次品”， 则，，， ，，，故A正确，B错误； C选项， ，故C正确； D选项，，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 幂函数的图象过点，则函数恒过定点___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数过点求出，再由对数函数的性质求出所过定点. 【详解】因为幂函数的图象过点， 所以，解得， 即，当时，， 所以函数恒过定点. 故答案为： 14 已知函数，则____________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据分段函数解析式计算可得. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 15. 已知，，，，则最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由已知可得，结合基本不等式求最小值，再求的最小值. 【详解】因为，， 所以，又，， 所以，当且仅当时取等号． 所以，当且仅当时取等号． 所以的最小值为. 故答案为：. 16. 已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为，若，且对任意的恒成立，则不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】由已知构造函数，并得出函数在上单调递减，再求解不等式即可. 【详解】令，则在上恒成立， 所以在上单调递减. 又，即， 又，即， 所以，解得， 所以不等式的解集为． 故答案为：. 【点睛】方法点睛：构造函数是解决抽象不等式的基本方法，根据题设的条件，并借助初等函数的导数公式和导数的基本运算法则，相应地构造出辅助函数.通过进一步研究辅助函数的有关性质，给予巧妙的解答.利用导数构造函数时，不仅要牢记两个函数u(x)和v(x)的积、商的导数公式的特点，还需要牢记常用函数的导数的特征. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 17. 人们曾经相信，艺术家将是最后被AⅠ所取代的职业，但技术的进步已经将这一信念敲出了裂痕，这可能是AⅠ第一次引起人类的恐慌，由noval AⅠ，DALL－E2等软件创作出来的给画作品风格各异，乍看之下，已与人类绘画作品无异，AⅠ会取代人类画师吗？某机构随机对60人进行了一次调查，统计发现认为会取代的有42人，30岁以下认为不会取代的有12人，占30岁以下调查人数的． （1）根据以上数据完成如下2×2列联表： 年龄 理解情况 总计 会取代 不会取代 30岁以下 12 30岁及以上 总计 42 60 （2）依据小概率值的独立性检验，能否认为年龄与理解情况有关？并说明原因． 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式：，其中． 【答案】（1）列联表见解析 （2）年龄与理解情况无关，此推断犯错误的概率不大于0.010；理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据题设中的数据即可求解； （2）代入卡方公式求出值与表对比即可求解. 【小问1详解】 完成2×2列联表如下： 年龄 理解情况 总计 会取代 不会取代 30岁以下 18 12 30 30岁及以上 24 16 30 总计 42 18 60 【小问2详解】设为：年龄与理解情况相互独立，即年龄与理解情况无关， 由题意，， 所以根据小概率的独立性检验，我们推断成立． 即认为年龄与理解情况无关，此推断犯错误的概率不大于0.010． 18. 已知数列的前n项和为，满足． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列中的最大项和最小项． 【答案】（1） （2）最大项为，最小项为 【解析】 【分析】（1）根据题干已知条件并结合公式，即可计算出数列的通项公式； （2）先根据第（1）题得到的数列的通项公式即可发现数列是单调递增的等差数列，并进一步分析各项与0的大小关系，进一步分析出数列单调性，即可推导出数列中的最大项和最小项. 【小问1详解】 由题意，当时，， 当时，， 当时，也满足上式， 【小问2详解】 由（1）可知，， 则数列是单调递增的等差数列， 当，即时，， 当，即时，， 而 所以当时，，且数列单调递减，即； 当时，，且数列单调递减，即， 数列中的最大项为，最小项为. 19. （1）试比较与的大小； （2）解关于的不等式． 【答案】（1）； （2）见解析. 【解析】 【分析】（1），，比较分母大小即可得到两者大小； （2）因式分解得，分，和讨论即可. 【详解】（1），， ， ，. （2）, . 当时,无解; 当时,,解集为; 当时,,解集为, 综上所述,当时,解集为; 当时,解集为； 当时,解集为. 20. 航天事业是国家综合国力的重要标志，带动着一批新兴产业和新兴学科的发展．2022~2023学年全国青少年航天创新大赛设航天创意设计、太空探测、航天科学探究与创新三个竞赛单元及载人航天主题专项赛．某校为了激发学生对航天科技的兴趣，点燃学生的航天梦，举行了一次航天创新知识竞赛选拔赛，从中抽取了10名学生的竞赛成绩，得到如下表格： 序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩（分） 38 41 44 51 54 56 58 64 74 80 记这10名学生竞赛成绩的平均分与方差分别为，．经计算，． （1）求与； （2）规定竞赛成绩不低于60分为优秀，从这10名学生中任取3名，记竞赛成绩优秀的人数为X，求X的分布列； （3）经统计，航天创新知识选拔赛成绩服从正态分布，用，的值分别作为，的近似值，若科创中心计划从全市抽查100名学生进行测试，记这100名学生的测试成绩恰好落在区间的人数为Y，求Y的均值． 附：若，则，，． 【答案】（1）， （2）分布列见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由公式即可求解， （2）根据超几何分布的概率公式，即可求解概率，进而可得分布列， （3）根据正态分布的性质，结合区间的概率以及二项分布的期望公式即可求解. 【小问1详解】 ，； 【小问2详解】 竞赛成绩“优秀”的学生有3人，则X的可能取值为0，1，2，3， 则，， ，． 则X的分布列为： X 0 1 2 3 P 【小问3详解】由题意，，，记抽查学生的测试成绩为， 则， ∴这100名学生的测试成绩恰好落在区间的入数为， ∴． 21. 已知二次函数满足，且. （1）求的解析式； （2）当时，不等式恒成立；求实数的取值范围； （3）设，求的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设，再根据结合系数的关系求解即可； （2）化简可得，再根据在区间上的单调性求最小值即可； （3）求得，再根据对称轴与区间中点的位置关系求最大值分析即可 【小问1详解】 由于是二次函数，可设，恒成立， 恒成立， ， 又， ； 小问2详解】 当时，恒成立， 即恒成立， 令，当时，单调递减，. 所以； 【小问3详解】 ，，对称轴为， ①当，即时， ； ②当，即时， ， 综上所述 22. 已知函数. （1）求函数的最小值； （2）求证：. 【答案】（1）0 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出导函数，再构造函数判断的正负确定单调性，极值，从而得最小值； （2）引入新函数，求导函数，由的单调性（再用导数判断）结合零点存在定理得存在零点，也是的最小值点，同时得出的性质，然后求出，再根据的范围证明（注意引入新函数）. 【小问1详解】 因为函数，所以， 记，， 所以在上单调递增，且， 所以当时，，即，所以在单调递减； 当时，，即，所以在单调递增，且， 所以. 【小问2详解】 要证， 只需证明：对于恒成立， 令，则， 当时，令， 则，在上单调递增， 即在上为增函数， 又因为，， 所以存在使得，由， 得即即即， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 令，则， 所以在上单调递增，所以， 所以，所以， 即. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤 （1）作差或变形； （2）构造新的函数； （3）利用导数研究的单调性或最值； （4）根据单调性及最值，得到所证不等式. 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$