2023-2024学年人教版七年级数学下册期末培优专题复习专题十七 一元一次不等式组

2023-2024年人教版七年级下期末培优专题复习 专题十七 一元一次不等式组 （知识点精讲+易错点点拨+专题检测卷） 1、 知识点精讲 知识点1 一元一次不等式组 把关于同一个未知数的几个一元一次不等式联立起来，就组成了一元一次不等式组. 名师点拨 一元一次不等式组满足的三个条件 （1） 组成不等式组的每一个不等式都是一元一次不等式。 （2） 不等式组中只含有一个未知数。 （3） 不等式组中不等式的个数至少是2个. 知识点2 一元一次不等式组的解集 （1）几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集； （2）当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集； 名师点拨 确定不等式组解集的两种方法 1. 数轴法：先把不等式组中的每一个不等式的解集在数轴上表示出来，找出它们的公共部分，就得到了不等式组的解集，若无公共部分则不等式组无解。 2. 口诀法：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找。 知识点3 一元一次不等式组的解法 解不等式组的步骤： （1）分别求出不等式组中各个不等式的解集； （2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。 名师点拨 不等式解集在数轴上的表示方法：含≥或≤，用实心圆点，含＞或＜用空心圆圈： x＞a 大大取大 x＜b 小小取小 b<x<a 大小小大取中间 无解 大大小小无处找 知识点4、一元一次不等式的应用 不等式的应用 （1）认真审题.找出题中的已知条件和所求问题，以及题中的相等关系和不等关系； （2）设未知数.要用含未知数的代数式表示相关量； （3）根据题目中的不等关系例如出不等式； （4）解不等式求出未知数的取值（或范围）； （5）检验是否符合实际情况，写出答案. 知识点5、一元一次不等式组的应用 一元一次不等式组的实际应用： 分析数量关系，设未知数，根据不等关系列出相应不等式(组)，解不等式(组)，作答； 2.基本过程：这一过程可简单表述为：问题不等式(组)解答 名师点拨 利用一元一次不等式组解决实际问题一般过程是： ①阅读，弄清问题背景和基本要求； ②分析，寻找问题的数量关系，找到与其相关的知识； ③建模，由分析得出的相关知识建立不等式(组)模型； ④解题，求解上述建立的不等式，结合实际确定解集 2、 易错点点拨 易错点1 一元一次不等式组概念 例1-1．下列不等式组为一元一次不等式组的是( ) A. B. C. D. 易错点拨 判断一个不等式组是否一元一次不等式组，需要根据一元一次不等式组定义去识别。 变式训练1 1．下列不等式组中,是一元一次不等式组的是( ) A. B. C. D. 2．下列不等式组： 其中一元一次不等式组的个数是（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 易错点2 一元一次不等式组的解集 例2-1 .不等式组的解集是 ． 易错点拨 分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分．不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解．首先分别计算出两个不等式的解集，再确定不等式组的解集． 变式训练2 1．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 2．试写出一个由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组，使它的解集是-1＜x≤2，这个不等式组是_____． 3．不等式组的解集是_____． 易错点3 一元一次不等式组的解法 例3-1．解不等式组：． 易错点拨 求一元一次不等式组的解集可以采用“分开解、集中判”的方法，即先求出不等式组中每一个不等式的解集，然后取解集的公共部分。 变式训练3 1．解不等式组：． 2．解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】，整数解为0，1，2 3．解不等式组把它的解集表示在数轴上，并求出这个不等式组的整数解． 易错点4一元一次不等式的应用 例4-1．某校开展以感恩为主题的有奖征文活动，并到文教商店购买甲、乙两种笔记本作为奖品．若买甲种笔记本20本，乙种笔记本10本，需用110元，且买甲种笔记本30本比买乙种笔记本20本少花10元． （1）求甲、乙两种笔记本的单价各是多少元； （2）若该学校决定购买甲、乙两种笔记本共80本，总费用不超过300元，那么该中学最多可以购买乙种笔记本多少本？ 易错点拨 读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程组求解是解题关键． 变式训练4 1．某企业前年按可回收垃圾处理费15元/吨、不可回收垃圾处理费25元/吨的收费标准，共支付两种垃圾处理费5000元，从去年元月起，收费标准上调为：可回收垃圾处理费30元/吨，不可回收垃圾处理费100元/吨．若该企业去年产生的这两种垃圾数量与前年相比没有变化，但调价后就要多支付处理费9000元． （1）该企业前年产生的可回收垃圾和不可回收垃圾各多少吨？ （2）该企业计划今年将上述两种垃圾处理总量减少到200吨，且可回收垃圾不少于不可回收垃圾处理量的3倍，则今年该企业至少有多少吨可回收垃圾？ 2．卡塔尔世界杯期间，某商店特购进世界杯吉祥物“拉伊卜”摆件和挂件共90个进行销售．已知“拉伊卜”摆件的进价为40元/个，“拉伊卜”挂件的进价为25元/个． （1）若购进“拉伊卜”摆件和挂件共花费了2850元，请分别求出购进“拉伊卜”摆件和挂件的数量； （2）该商店计划将“拉伊卜”摆件售价定为50元/个，“拉伊卜”挂件售价定为30元/个，若购进的90个“拉伊卜”摆件和挂件全部售完，且至少盈利725元，求购进的“拉伊卜”挂件不能超过多少个？ 3．甲、乙两个工程队计划修建一条长15千米的乡村公路，已知甲工程队每天比乙工程队每天多修路0.5千米，乙工程队单独完成修路任务所需天数是甲工程队单独完成修路任务所需天数的1.5倍． （1）求甲、乙两个工程队每天各修路多少千米？ （2）若甲工程队每天的修路费用为0.5万元，乙工程队每天的修路费用为0.4万元，要使两个工程队修路总费用不超过5.2万元，甲工程队至少修路多少天？ 易错点5 一元一次不等式组的应用 例5-1．某汽车租赁公司要购买轿车和面包车共10辆，已知轿车每辆7万元，面包车每辆4万元，其中轿车至少要购买3辆，且公司可投入的购车款不超过55万元． （1）符合公司要求的购买方案有几种？请说明理由． （2）如果每辆轿车的日租金为200元，每辆面包车的日租金为110元，假设新购买的这10辆车每日都可租出，要使这10辆车的日租金不低于1500元，那么该租赁公司应选择以上哪种购买方案？ 易错点拨 列不等式组解决实际问题时，注意挖掘题目中的隐含条件，找出符合题意的解集。 变式训练5 1．某商场计划用7.8万元从同一供应商处购进A，B两种商品，供应商负责运输．已知A种商品的进价为120元/件，B种商品的进价为100元/件．如果售价定为：A种商品135元/件，B种商品120元/件，那么销售完后可获得利润1.2万元． （1）该商场计划购进A，B两种商品各多少件？ （2）供应商计划租用甲、乙两种货车共16辆，一次性将A，B两种商品运送到商场，已知甲种货车可装A种商品30件和B种商品12件，乙种货车可装A种商品20件和B种商品30件，试通过计算帮助供应商设计几种运输用车方案？ 2．为解决中小学大班额问题，东营市各县区今年将改扩建部分中小学，某县计划对A、B两类学校进行改扩建，根据预算，改扩建2所A类学校和3所B类学校共需资金7800万元，改扩建3所A类学校和1所B类学校共需资金5400万元. （1）改扩建1所A类学校和1所B类学校所需资金分别是多少万元？ （2）该县计划改扩建A、B两类学校共10所，改扩建资金由国家财政和地方财政共同承担，若国家财政拨付资金不超过11800万元，地方财政投入资金不少于4000万元，其中地方财政投入到A、B两类学校改扩建资金分别为每所300万元和500万元，请问共有哪几种改扩建方案？ 3．为拓宽学生视野，引导学生主动适应社会，促进书本知识和生活经验的深度融合，我市某中学决定组织部分班级去赤壁开展研学旅行活动，在参加此次活动的师生中，若每位老师带17个学生，还剩12个学生没人带；若每位老师带18个学生，就有一位老师少带4个学生．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示． 甲种客车 乙种客车 载客量/（人/辆） 30 42 租金/（元/辆） 300 400 学校计划此次研学旅行活动的租车总费用不超过3100元，为了安全，每辆客车上至少要有2名老师． （1）参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人？ （2）既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆客车上至少要有2名老师，可知租用客车总数为　 　辆； （3）你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由． 4．“感受生命律动聆听花开声音”，鲁能巴蜀中学生物组老师组织初二年级同学开展“开心农场”活动．生物组老师准备去市场购买辣椒种子和樱桃萝卜种子，计划用 492 元购买两种种子共 72 袋． 已知辣椒种子的售价为每袋 6 元，樱桃萝卜种子的售价为每袋 8 元． （1）求计划购买辣椒种子和樱桃萝卜种子各多少袋？ （2）生物组老师去市场购买种子时，发现市场正在进行促销， 辣椒种子的售价每袋下降了 5a 元，樱桃萝卜种子的售价每袋打八折．老师决定按原计划数量购买辣椒种子，而樱桃萝卜种子比原计划多购买了50a 袋，这样实际使用的经费比原计划经费节省了至少 15 元．求 a 的最大值． 三、专题检测卷 一、选择题(共10题，每小题3分，共30分) 1．下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（　　） A. B. C. D. 2．已知关于x的不等式组的解集中有且仅有3个整数，则a的取值范围是（　　） A. -3＜a≤-2 B. -3＜a＜-2 C. -3≤a＜-2 D. -3≤a≤-2 3．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 4．不等式组的最小整数解是（　　） A. 5． B. 0． C. -1． D. -2． 5．目前，我国已获批上市4款自主研发的新冠疫苗．某生物制药公司计划生产制造A、B两种疫苗共40万支，已知生产每支A疫苗需甲种原料8mg,乙种原料5mg；生产每支B疫苗需甲种原料4mg,乙种原料9mg.公司现有甲种原料4kg,乙种原料3kg,设计划生产A疫苗x支，下列符合题意的不等式组是（　　） A. B. C. D. 6．某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克10元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克14元，售价每千克18元，该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，准备投入资金不少于1180元，要求利润也不少于500元，设购买甲种蔬菜x千克（x为整数），则有（　　）不同的购买方案． A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种 7．若关于x的不等式组的解集为x＞3，则a的取值范围是（　　） A. a＞3 B. a＜3 C. a≥3 D. a≤3 8．关于x的方程3（k﹣2﹣x）＝3﹣5x的解为非负数，且关于x的不等式组无解，则符合条件的整数k的值的和为（　 　） A. 5 B. 2 C. 4 D. 6 9．商店为了对某种商品促销，将定价为3元/件的商品，以下列方式优惠销售：若购买不超过5件，按原价付款：若一次性购买5件以上，超过部分打七折．现有36元钱，最多可以购买该商品的件数是（　　） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 10．斑马线前“车让人”，反映了城市的文明程度，但行人一般都会在红灯亮起前通过马路．某人行横道全长24米，小明以1.2m/s的速度过该人行横道，行至处时，9秒倒计时灯亮了．小明要在红灯亮起前通过马路，他的速度至少要提高到原来的（　　） A. 1.1倍 B. 1.4倍 C. 1.5倍 D. 1.6倍 二、填空题(共5题，每小题3分，共15分) 11．解不等式组的解集是_______． 12．有甲、乙、丙三个同学在一起讨论一个一元一次不等式组，他们各说出该不等式组的一个性质： 甲：它的所有的解为非负数； 乙：其中一个不等式的解集为x≤8； 丙：其中一个不等式在解的过程中需要改变不等号的方向． 请试着写出符合上述条件的一个不等式组 _____． 13．若关于x的不等式组恰好有三个整数解，则a的取值范围是 _____． 14．某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品50件．生产一件A产品需要甲种原料9千克，乙种原料3千克；生产一件B产品，需要甲种原料4千克，乙种原料10千克．设生产x件A种产品，x应满足的不等式组是：_____． 15．新学期开始，某出版社计划出版销售A、B、C三种书籍，每种书箱均是整数本出售．第一个星期，该出版社三种书籍的售价均为整数，且C种书籍的售价是其余两种书籍售价之和的3倍，同时C种书籍的售价小于39元且不低于27元，三种书籍第一个星期内售出数量之比为3：2：1．第二个星期由于纸张价格迅速上涨，人工成本也在增加，该出版社决定把部分书籍涨价销售，其中A种书籍售价不变，B种书籍的售价比第一周售价增加1倍，C种书籍售价比第一周售价上升了．且第二个星期内，A种和C种书籍销量之比是4：5，B种书籍比第一个星期的销量减少20%．出版社结算发现，第一个星期三种书籍的总销售额比第二个星期A、C两种书籍的总销售额多517元，第一个星期三种书籍的总销售量与第二个星期三种书籍的总销售量之差不低于87本且小于115本，则这两个星期C种书籍的总销售额是 _____． 三、解答题(共8题，共75分) 16．（10分）解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来： (1) (2) 17．（6分）已知两个语句： ①式子2x-1的值在1（含1）与3（含3）之间； ②式子2x-1的值不小于1且不大于3． 请回答以下问题： 18．（8分）不等式组． （1）解此不等式组； （2）若m是此不等式组的最大整数解，求1+m+m2+…+m2020的值． 19．（9分）开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品，小芳用18元钱买了1支钢笔和3本笔记本；小亮用31元买了同样的钢笔2支和笔记本5本． （1）求每支钢笔和每本笔记本的价格； （2）校运会后，班主任拿出200元学校奖励基金交给班长，购买上述价格的钢笔和笔记本共48件作为奖品，奖给校运会中表现突出的同学，要求笔记本数不少于钢笔数，共有多少种购买方案？请你一一写出． 20．（9分）某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如下表： A B 进价（元/件） 1200 1000 售价（元/件） 1380 1200 （1）该商场购进A、B两种商品各多少件； （2）商场第二次以原进价购进A、B两种商品．购进B种商品的件数不变，而购进A种商品的件数是第一次的2倍，A种商品按原售价出售，而B种商品打折销售．若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于81600元，B种商品最低售价为每件多少元？ 21．（9分）若一个不等式（组）A有解且解集为a＜x＜b（a＜b），则称为A的解集中点值，若A的解集中点值是不等式（组）B的解（即中点值满足不等式组），则称不等式（组）B对于不等式（组）A中点包含． （1）已知关于x的不等式组A：，以及不等式B：-1＜x≤5，请判断不等式B对于不等式组A是否中点包含，并写出判断过程； （2）已知关于x的不等式组C：和不等式组D：，若D对于不等式组C中点包含，求m的取值范围． （3）关于x的不等式组E：（n＜m）和不等式组F：，若不等式组F对于不等式组E中点包含，且所有符合要求的整数m之和为9，求n的取值范围． 22．（11分）某工厂现有甲种原料3600kg,乙种原料2410kg,计划利用这两种原料生产A，B两种产品共500件，产品每月均能全部售出．已知生产一件A产品需要甲原料9kg和乙原料3kg；生产一件B种产品需甲种原料4kg和乙种原料8kg. （1）设生产x件A种产品，写出x应满足的不等式组． （2）问一共有几种符合要求的生产方案？并列举出来． （3）若有两种销售定价方案，第一种定价方案可使A产品每件获得利润1.15万元，B产品每件获得利润1.25万元；第二种定价方案可使A和B产品每件都获得利润1.2万元；在上述生产方案中哪种定价方案盈利最多？（请用数据说明） 23．（12分）某电信公司最近开发A、B两种型号的手机，一经营手机专卖店销售A、B两种型号的手机，上周销售1部A型3部B型的手机，销售额为8400元．本周销售2部A型1部B型的手机，销售额为5800元． （1）求每部A型和每部B型手机销售价格各是多少元？ （2）如果某单位拟向该店购买A、B两种型号的手机共6部，发给职工联系业务，购手机费用不少于11200元且不多于11600元，问有哪几种购买方案？ （3）在（2）中哪种方案费用更省？最少费用是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024年人教版七年级下期末培优专题复习 专题十七 一元一次不等式组（解析版） （知识点精讲+易错点点拨+专题检测卷） 1、 知识点精讲 知识点1 一元一次不等式组 把关于同一个未知数的几个一元一次不等式联立起来，就组成了一元一次不等式组. 名师点拨 一元一次不等式组满足的三个条件 （1） 组成不等式组的每一个不等式都是一元一次不等式。 （2） 不等式组中只含有一个未知数。 （3） 不等式组中不等式的个数至少是2个. 知识点2 一元一次不等式组的解集 （1）几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集； （2）当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集； 名师点拨 确定不等式组解集的两种方法 1. 数轴法：先把不等式组中的每一个不等式的解集在数轴上表示出来，找出它们的公共部分，就得到了不等式组的解集，若无公共部分则不等式组无解。 2. 口诀法：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找。 知识点3 一元一次不等式组的解法 解不等式组的步骤： （1）分别求出不等式组中各个不等式的解集； （2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。 名师点拨 不等式解集在数轴上的表示方法：含≥或≤，用实心圆点，含＞或＜用空心圆圈： x＞a 大大取大 x＜b 小小取小 b<x<a 大小小大取中间 无解 大大小小无处找 知识点4、一元一次不等式的应用 不等式的应用 （1）认真审题.找出题中的已知条件和所求问题，以及题中的相等关系和不等关系； （2）设未知数.要用含未知数的代数式表示相关量； （3）根据题目中的不等关系例如出不等式； （4）解不等式求出未知数的取值（或范围）； （5）检验是否符合实际情况，写出答案. 知识点5、一元一次不等式组的应用 一元一次不等式组的实际应用： 分析数量关系，设未知数，根据不等关系列出相应不等式(组)，解不等式(组)，作答； 2.基本过程：这一过程可简单表述为：问题不等式(组)解答 名师点拨 利用一元一次不等式组解决实际问题一般过程是： ①阅读，弄清问题背景和基本要求； ②分析，寻找问题的数量关系，找到与其相关的知识； ③建模，由分析得出的相关知识建立不等式(组)模型； ④解题，求解上述建立的不等式，结合实际确定解集 2、 易错点点拨 易错点1 一元一次不等式组概念 例1-1．下列不等式组为一元一次不等式组的是( ) A. B. C. D. 易错点拨 判断一个不等式组是否一元一次不等式组，需要根据一元一次不等式组定义去识别。 答案：A 解析：A、是一元一次不等式组，故本选项符合题意； B、是二元一次不等式组，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； C、是一元二次不等式组，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； D、是二元一次不等式组，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； 故选：A. 变式训练1 1．下列不等式组中,是一元一次不等式组的是( ) A. B. C. D. 答案：A 解析：A.是一元一次不等式组; B.含有两个未知数,不是一元一次不等式组; C.未知数的最高次数是2,不是一元一次不等式组; D.不是整式,不是一元一次不等式组. 故选A. 2．下列不等式组： 其中一元一次不等式组的个数是（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 答案：B 解析：根据一元一次不等式组的定义，①②④是一元一次不等式组;③中未知数的最高次数是2,⑤含有两个未知数，所以③⑤都不是一元一次不等式组.故有①②④三个一元一次不等式组.故选B. 易错点2 一元一次不等式组的解集 例2-1 .不等式组的解集是 ． 易错点拨 分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分．不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解．首先分别计算出两个不等式的解集，再确定不等式组的解集． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分．不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解．首先分别计算出两个不等式的解集，再确定不等式组的解集． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式的解集为：， 故答案为： 变式训练2 1．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】先求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出不等式组的解集即可． 解：， 解不等式①，得x＞1， 解不等式②，得x≤2， 所以不等式组的解集是1＜x≤2， 在数轴上表示不等式组的解集为： ， 故选：B． 2．试写出一个由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组，使它的解集是-1＜x≤2，这个不等式组是_____． 【答案】等 【解析】本题为开放性题，按照口诀大小小大中间找列不等式组即可．如：根据“大小小大中间找”可知只要写2个一元一次不等式x≤a,x＞b,其中a＞b即可． 解：根据解集-1＜x≤2，构造的不等式为． 答案不唯一． 3．不等式组的解集是_____． 【答案】-＜x≤4 【解析】根据解一元一次不等式组的方法可以解答本题． 解：， 由不等式①，得 x≤4， 由不等式②，得 x＞， 故原不等式组的解集为：， 故答案为：． 易错点3 一元一次不等式组的解法 例3-1．解不等式组：． 易错点拨 求一元一次不等式组的解集可以采用“分开解、集中判”的方法，即先求出不等式组中每一个不等式的解集，然后取解集的公共部分。 【解析】解各不等式后求的它们解集的公共部分即可． 解：解第一个不等式可得x＜5， 解第二个不等式可得x＜2， 故原不等式组的解集为：x＜2． 变式训练3 1．解不等式组：． 【答案】 【解析】分别求出各个不等式的解，再取各个解集的公共部分，即可． 解：解得：， 解得：， ∴不等式组的解集为． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组的基本步骤，是解题的关键． 2．解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】，整数解为0，1，2 【解析】分别求解两个不等式，再写出解集，最后求出满足条件的整数解即可． 解：解不等式①，得， 解不等式②，得， 在同一条数轴上表示不等式①②的解集， 原不等式组的解集是， ∴整数解为0，1，2． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组的方法和步骤，以及写出不等式组解集的口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”． 3．解不等式组把它的解集表示在数轴上，并求出这个不等式组的整数解． 【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 解：解不等式x-4＜3（x-2），得x＞1， 解不等式+1＞x,得x＜4， 表示在数轴上如下： 则不等式组的解集为1＜x＜4， ∴这个不等式组的整数解是 2，3． 易错点4一元一次不等式的应用 例4-1．某校开展以感恩为主题的有奖征文活动，并到文教商店购买甲、乙两种笔记本作为奖品．若买甲种笔记本20本，乙种笔记本10本，需用110元，且买甲种笔记本30本比买乙种笔记本20本少花10元． （1）求甲、乙两种笔记本的单价各是多少元； （2）若该学校决定购买甲、乙两种笔记本共80本，总费用不超过300元，那么该中学最多可以购买乙种笔记本多少本？ 易错点拨 读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程组求解是解题关键． 【解析】（1）设甲种笔记本的单价为x元，乙种笔记本的单价为y元，利用总价=单价×数量，结合“若买甲种笔记本20本，乙种笔记本10本，需用110元，且买甲种笔记本30本比买乙种笔记本20本少花10元”，即可得出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设可以购买乙种笔记本m本，则购买甲种笔记本（80-m）本，利用总价=单价×数量，结合总费用不超过300元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论． 解：（1）设甲种笔记本的单价为x元，乙种笔记本的单价为y元， 依题意得：， 解得：． 答：甲种笔记本的单价为3元，乙种笔记本的单价为5元． （2）设可以购买乙种笔记本m本，则购买甲种笔记本（80-m）本， 依题意得：3（80-m）+5m≤300， 解得：m≤30． 答：该中学最多可以购买乙种笔记本30本． 变式训练4 1．某企业前年按可回收垃圾处理费15元/吨、不可回收垃圾处理费25元/吨的收费标准，共支付两种垃圾处理费5000元，从去年元月起，收费标准上调为：可回收垃圾处理费30元/吨，不可回收垃圾处理费100元/吨．若该企业去年产生的这两种垃圾数量与前年相比没有变化，但调价后就要多支付处理费9000元． （1）该企业前年产生的可回收垃圾和不可回收垃圾各多少吨？ （2）该企业计划今年将上述两种垃圾处理总量减少到200吨，且可回收垃圾不少于不可回收垃圾处理量的3倍，则今年该企业至少有多少吨可回收垃圾？ 【解析】（1）设该企业前年产生x吨可回收垃圾，y吨不可回收垃圾，根据总费用=每吨垃圾的处理费×垃圾的吨数结合前年和去年的垃圾处理费，即可得出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设今年该企业有m吨可回收垃圾，则今年该企业有（200-m）吨不可回收垃圾，根据可回收垃圾不少于不可回收垃圾处理量的3倍，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论． 解：（1）设该企业前年产生x吨可回收垃圾，y吨不可回收垃圾， 根据题意得：， 解得：． 答：该企业前年产生200吨可回收垃圾，80吨不可回收垃圾． （2）设今年该企业有m吨可回收垃圾，则今年该企业有（200-m）吨不可回收垃圾， 根据题意得：m≥3（200-m）， 解得：m≥150． 答：今年该企业至少有150吨可回收垃圾． 2．卡塔尔世界杯期间，某商店特购进世界杯吉祥物“拉伊卜”摆件和挂件共90个进行销售．已知“拉伊卜”摆件的进价为40元/个，“拉伊卜”挂件的进价为25元/个． （1）若购进“拉伊卜”摆件和挂件共花费了2850元，请分别求出购进“拉伊卜”摆件和挂件的数量； （2）该商店计划将“拉伊卜”摆件售价定为50元/个，“拉伊卜”挂件售价定为30元/个，若购进的90个“拉伊卜”摆件和挂件全部售完，且至少盈利725元，求购进的“拉伊卜”挂件不能超过多少个？ 【解析】（1）设购进“拉伊卜”摆件x个，“拉伊卜”挂件y个，根据题意列方程组解题即可； （2）设购进“拉伊卜”挂件m个，利用不等式解题即可． 解：（1）设购进“拉伊卜”摆件x个，“拉伊卜”挂件y个， 依题意得：， 解得：， 答：购进“拉伊卜”摆件40个，“拉伊卜”挂件50个． （2）设购进“拉伊卜”挂件m个，则购进“拉伊卜”摆件（90-m）个， 佽题意得：（30-25）m+（50-40）（90-m）≥725， 解得：m≤35． 答：购进的“拉伊卜”挂件不能超过35个． 3．甲、乙两个工程队计划修建一条长15千米的乡村公路，已知甲工程队每天比乙工程队每天多修路0.5千米，乙工程队单独完成修路任务所需天数是甲工程队单独完成修路任务所需天数的1.5倍． （1）求甲、乙两个工程队每天各修路多少千米？ （2）若甲工程队每天的修路费用为0.5万元，乙工程队每天的修路费用为0.4万元，要使两个工程队修路总费用不超过5.2万元，甲工程队至少修路多少天？ 【解析】（1）可设甲每天修路x千米，则乙每天修路（x-0.5）千米，则可表示出修路所用的时间，可列分式方程，求解即可； （2）设甲修路a天，则可表示出乙修路的天数，从而可表示出两个工程队修路的总费用，由题意可列不等式，求解即可． 解： （1）设甲每天修路x千米，则乙每天修路（x-0.5）千米， 根据题意，可列方程：1.5×=， 解得x=1.5， 经检验x=1.5是原方程的解，且x-0.5=1， 答：甲每天修路1.5千米，则乙每天修路1千米； （2）设甲修路a天，则乙需要修（15-1.5a）千米， ∴乙需要修路=15-1.5a（天）， 由题意可得0.5a+0.4（15-1.5a）≤5.2， 解得a≥8， 答：甲工程队至少修路8天． 易错点5 一元一次不等式组的应用 例5-1．某汽车租赁公司要购买轿车和面包车共10辆，已知轿车每辆7万元，面包车每辆4万元，其中轿车至少要购买3辆，且公司可投入的购车款不超过55万元． （1）符合公司要求的购买方案有几种？请说明理由． （2）如果每辆轿车的日租金为200元，每辆面包车的日租金为110元，假设新购买的这10辆车每日都可租出，要使这10辆车的日租金不低于1500元，那么该租赁公司应选择以上哪种购买方案？ 易错点拨 列不等式组解决实际问题时，注意挖掘题目中的隐含条件，找出符合题意的解集。 【答案】（1）购车方案有三种：①轿车3辆，面包车7辆；②轿车4辆，面包车6辆；③轿车5辆，面包车5辆 （2）应选择方案三轿车5辆，面包车5辆． 【解析】（1）设购买轿车辆，购买面包车辆，利用轿车至少要购买3辆，且投入的购车款不超过55万元列一元一次不等式组，解此不等式组的整数解即可； （2）利用总租金=每辆车的租金数量，即可解答． 【小问1详解】 解：设购买轿车辆，购买面包车辆， 则， 解得． 又∵， ∴． ∴购车方案有三种：①轿车3辆，面包车7辆； ②轿车4辆，面包车6辆； ③轿车5辆，面包车5辆． 【小问2详解】 方案一的日租金：3×200+7×110-1370（元）， 方案二的日租金：4×200+6×110=1460（元）， 方案三的日租金：5×200+5×110=1550（元）， ∴为保证日租金不低于1500元，该租赁公司应选择方案三轿车5辆，面包车5辆． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用、求一元一次不等式组的整数解，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 变式训练5 1．某商场计划用7.8万元从同一供应商处购进A，B两种商品，供应商负责运输．已知A种商品的进价为120元/件，B种商品的进价为100元/件．如果售价定为：A种商品135元/件，B种商品120元/件，那么销售完后可获得利润1.2万元． （1）该商场计划购进A，B两种商品各多少件？ （2）供应商计划租用甲、乙两种货车共16辆，一次性将A，B两种商品运送到商场，已知甲种货车可装A种商品30件和B种商品12件，乙种货车可装A种商品20件和B种商品30件，试通过计算帮助供应商设计几种运输用车方案？ 【答案】（1）购进A种商品400件，B种商品300件；（2）有3种用车方案：① A种车8辆，B种车8辆；② A种车9辆，B种车7辆；③A种车10辆，B种车6辆 【解析】（1）设购进A种商品件，B种商品件，根据总价78000元和利润12000元即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租甲种货车辆，则租乙种货车（）辆，由要一次性将A、B两种商品运往某城市，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为整数，即可找出各租车方案． 解：（1）设购进A种商品件，B种商品件， 根据题意得： 解得：， 所以购进A种商品400件，B种商品300件； （2）设租用甲种货车辆，则租用乙种货车（16﹣）辆， 则，解得， 故有3种用车方案： ① A种车8辆，B种车8辆； ② A种车9辆，B种车7辆； ③A种车10辆，B种车6辆． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 2．为解决中小学大班额问题，东营市各县区今年将改扩建部分中小学，某县计划对A、B两类学校进行改扩建，根据预算，改扩建2所A类学校和3所B类学校共需资金7800万元，改扩建3所A类学校和1所B类学校共需资金5400万元. （1）改扩建1所A类学校和1所B类学校所需资金分别是多少万元？ （2）该县计划改扩建A、B两类学校共10所，改扩建资金由国家财政和地方财政共同承担，若国家财政拨付资金不超过11800万元，地方财政投入资金不少于4000万元，其中地方财政投入到A、B两类学校改扩建资金分别为每所300万元和500万元，请问共有哪几种改扩建方案？ 【答案】（1）1200万元、1800万元；（2）共有3种方案：方案一：改扩建A类学校3所，B类学校7所；方案二：改扩建A类学校4所，B类学校6所；方案三：改扩建A类学校5所，B类学校5所． 【解析】（1）可根据“改扩建2所A类学校和3所B类学校共需资金7800万元，改扩建3所A类学校和1所B类学校共需资金5400万元”，列出方程组求出答案； （2）要根据“国家财政拨付资金不超过11800万元；地方财政投入资金不少于4000万元”来列出不等式组，判断出不同的改造方案． （1）设改扩建一所A类和一所B类学校所需资金分别为x万元和y万元 由题意得， 解得， 答：改扩建一所A类学校和一所B类学校所需资金分别为1200万元和1800万元． （2）设今年改扩建A类学校a所，则改扩建B类学校（10﹣a）所， 由题意得：， 解得， ∴3≤a≤5， ∵a取整数， ∴a=3，4，5． 即共有3种方案： 方案一：改扩建A类学校3所，B类学校7所； 方案二：改扩建A类学校4所，B类学校6所； 方案三：改扩建A类学校5所，B类学校5所． 3．为拓宽学生视野，引导学生主动适应社会，促进书本知识和生活经验的深度融合，我市某中学决定组织部分班级去赤壁开展研学旅行活动，在参加此次活动的师生中，若每位老师带17个学生，还剩12个学生没人带；若每位老师带18个学生，就有一位老师少带4个学生．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示． 甲种客车 乙种客车 载客量/（人/辆） 30 42 租金/（元/辆） 300 400 学校计划此次研学旅行活动的租车总费用不超过3100元，为了安全，每辆客车上至少要有2名老师． （1）参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人？ （2）既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆客车上至少要有2名老师，可知租用客车总数为　 　辆； （3）你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由． 【答案】（1）老师有16名，学生有284名；（2）8；（3）共有3种租车方案，最节省费用的租车方案是：租用甲种客车3辆，乙种客车5辆． 【解析】（1）设老师有x名，学生有y名，根据等量关系：若每位老师带17个学生，还剩12个学生没人带；若每位老师带18个学生，就有一位老师少带4个学生，列出二元一次方程组，解出即可； （2）由（1）中得出的教师人数可以确定出最多需要几辆汽车，再根据总人数以及汽车最多的是42座的可以确定出汽车总数不能小于=（取整为8）辆，由此即可求出； （3）设租用x辆乙种客车，则甲种客车数为：（8﹣x）辆，由题意得出400x+300（8﹣x）≤3100，得出x取值范围，分析得出即可． （1）设老师有x名，学生有y名， 依题意，列方程组为， 解得：， 答：老师有16名，学生有284名； （2）∵每辆客车上至少要有2名老师， ∴汽车总数不能大于8辆； 又要保证300名师生有车坐，汽车总数不能小于=（取整为8）辆， 综合起来可知汽车总数为8辆， 故答案为8； （3）设租用x辆乙种客车，则甲种客车数为：（8﹣x）辆， ∵车总费用不超过3100元， ∴400x+300（8﹣x）≤3100， 解得：x≤7， 为使300名师生都有座， ∴42x+30（8﹣x）≥300， 解得：x≥5， ∴5≤x≤7（x为整数）， ∴共有3种租车方案： 方案一：租用甲种客车3辆，乙种客车5辆，租车费用为3002900元； 方案二：租用甲种客车2辆，乙种客车6辆，租车费用为3003000元； 方案三：租用甲种客车1辆，乙种客车7辆，租车费用为3003100元； 故最节省费用的租车方案是：租用甲种客车3辆，乙种客车5辆． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，弄清题意找准等量关系列出方程组、找准不等关系列出不等式组是解题的关键. 4．“感受生命律动聆听花开声音”，鲁能巴蜀中学生物组老师组织初二年级同学开展“开心农场”活动．生物组老师准备去市场购买辣椒种子和樱桃萝卜种子，计划用 492 元购买两种种子共 72 袋． 已知辣椒种子的售价为每袋 6 元，樱桃萝卜种子的售价为每袋 8 元． （1）求计划购买辣椒种子和樱桃萝卜种子各多少袋？ （2）生物组老师去市场购买种子时，发现市场正在进行促销， 辣椒种子的售价每袋下降了 5a 元，樱桃萝卜种子的售价每袋打八折．老师决定按原计划数量购买辣椒种子，而樱桃萝卜种子比原计划多购买了50a 袋，这样实际使用的经费比原计划经费节省了至少 15 元．求 a 的最大值． 【答案】（1）计划购买辣椒种子42袋，购买樱桃萝卜种子30袋 （2） 【解析】（1）设计划购买辣椒种子x袋，则购买樱桃萝卜种子（72-x）袋，根据“用492元购买两种种子共72袋”，列方程求解即可； （2）设实际使用经费y元，则y=42（6-5a）+（30+50a）（8×0.8）元，由“实际使用的经费比原计划经费节省了至少15元”可得不等式，求解即可． 【小问1详解】 解：设计划购买辣椒种子x袋，则购买樱桃萝卜种子（72-x）袋， 根据题意得： 6x+8（72-x）=492 解得x=42 72-x=30， 答：计划购买辣椒种子42袋，购买樱桃萝卜种子30袋． 【小问2详解】 解：设实际使用经费y元，则： y=42（6-5a）+（30+50a）（8×0.8）=（110a+444）元 根据题意得：492-y≥15 即492-(110a+444）≥15 解得a≤， 当a= 时，a最大， ∴a的最大值是 ． 【点睛】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式的应用，理解题意列方程或不等式是解题的关键． 三、专题检测卷 一、选择题(共10题，每小题3分，共30分) 1．下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】根据一元一次不等式组的定义判定则可． 解：A选项是一元一次不等式组； B选项中有2个未知数； C选项中是一元二次不等式； D选项中含有分式，不属于一元一次不等式的范围． 故选：A． 2．已知关于x的不等式组的解集中有且仅有3个整数，则a的取值范围是（　　） A. -3＜a≤-2 B. -3＜a＜-2 C. -3≤a＜-2 D. -3≤a≤-2 【答案】C 【解析】解不等式组得出a＜x＜1，根据关于x的不等式组的解集中有且仅有3个整数，知这3个整数只能是-2，-1，0，据此可得答案． 解：解不等式组得：a＜x＜1， ∵不等式组的解集中有且仅有3个整数， ∴这3个整数只能是-2，-1，0， ∴-3≤a＜-2． 故选C． 3．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 解：由2（x+1）≥3x得：x≤2， 由x+1＜2x+4得：x＞-3， 则不等式组的解集为-3＜x≤2， 故选：D． 4．不等式组的最小整数解是（　　） A. 5． B. 0． C. -1． D. -2． 【答案】C 【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 解：解不等式x+3＞1，得：x＞-2， 解不等式x-1＜4，得：x＜5， 故不等式组的解集为：-2＜x＜5， 则该不等式组的最小整数解为：-1， 故选：C． 5．目前，我国已获批上市4款自主研发的新冠疫苗．某生物制药公司计划生产制造A、B两种疫苗共40万支，已知生产每支A疫苗需甲种原料8mg,乙种原料5mg；生产每支B疫苗需甲种原料4mg,乙种原料9mg.公司现有甲种原料4kg,乙种原料3kg,设计划生产A疫苗x支，下列符合题意的不等式组是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据生产每支A疫苗需甲种原料8mg,乙种原料5mg；生产每支B疫苗需甲种原料4mg,乙种原料9mg.公司现有甲种原料4kg,乙种原料3kg,可以列出相应的不等式组，从而可以解答本题． 解：由题意可得， ， 故选：C． 6．某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克10元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克14元，售价每千克18元，该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，准备投入资金不少于1180元，要求利润也不少于500元，设购买甲种蔬菜x千克（x为整数），则有（　　）不同的购买方案． A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种 【答案】D 【解析】设购买甲种蔬菜x千克，则购买乙种蔬菜（100-x）千克，利用总价=单价×数量及总利润=每千克的销售利润×销售蔬菜，结合“投入资金不少于1180元，且利润不少于500元”，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再结合x为整数，即可得出购买方案的个数． 解：设购买甲种蔬菜x千克，则购买乙种蔬菜（100-x）千克， 依题意得：， 解得：50≤x≤55， 又∵x为整数， ∴x可以为50，51，52，53，54，55， ∴共有6种不同的购买方案， 故选：D． 7．若关于x的不等式组的解集为x＞3，则a的取值范围是（　　） A. a＞3 B. a＜3 C. a≥3 D. a≤3 【答案】D 【解析】用含a的式子表示出不等式的解，结合条件进行求解即可． 解：， 解不等式①得：x＞3， 解不等式②得：x＞a, ∵不等式组的解集是x＞3， ∴a≤3． 故选：D． 8．关于x的方程3（k﹣2﹣x）＝3﹣5x的解为非负数，且关于x的不等式组无解，则符合条件的整数k的值的和为（　 　） A. 5 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】先求出方程的解与不等式组的解集，再根据题目中的要求求出相应的k的值即可解答本题． 详解】解：解方程3(k﹣2﹣x)＝3﹣5x，得：3k-6-3x=3-5x， 整理得到：2x=9-3k， 解得：， ∵其解为非负数， ∴，解得， 解不等式， 解①得：， 解②得：， ∵不等式组无解， ∴， ∴k的取值范围为：， ∴符合条件的整数k为：0、1、2、3，其和为6， 故选：D． 【点睛】本题考查一元一次方程的解、一元一次不等式组的整数解，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 9．商店为了对某种商品促销，将定价为3元/件的商品，以下列方式优惠销售：若购买不超过5件，按原价付款：若一次性购买5件以上，超过部分打七折．现有36元钱，最多可以购买该商品的件数是（　　） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 【答案】D 【解析】设可以购买该商品x件，根据总价=3×5+3×0.7×超过5件的数量，结合总价不超过36元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论． 解：设可以购买该商品x件， 依题意得：3×5+3×0.7（x-5）≤36， 解得：x≤15． 故选：D． 10．斑马线前“车让人”，反映了城市的文明程度，但行人一般都会在红灯亮起前通过马路．某人行横道全长24米，小明以1.2m/s的速度过该人行横道，行至处时，9秒倒计时灯亮了．小明要在红灯亮起前通过马路，他的速度至少要提高到原来的（　　） A. 1.1倍 B. 1.4倍 C. 1.5倍 D. 1.6倍 【答案】C 【解析】根据题意表示出行驶的路程≥24×（1-），进而得出答案． 解：设他的速度要提高到原来的x倍，根据题意可得： 9×1.2x≥24×（1-）， 解得：x≥， ∵≈1.48， ∴他的速度至少要提高到原来的1.5倍． 故选：C． 二、填空题(共5题，每小题3分，共15分) 11．解不等式组的解集是_______． 【答案】x>2 【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 解：解不等式 得：x＞-3， 解不等式x-2＞0，得：x＞2， 则不等式组的解集为x＞2， 故答案为：x＞2． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 12．有甲、乙、丙三个同学在一起讨论一个一元一次不等式组，他们各说出该不等式组的一个性质： 甲：它的所有的解为非负数； 乙：其中一个不等式的解集为x≤8； 丙：其中一个不等式在解的过程中需要改变不等号的方向． 请试着写出符合上述条件的一个不等式组 _____． 【答案】（答案不唯一） 【解析】由于一元一次不等式组的解集为非负数，所以其中一个不等式的解集必为x≥0，由于一个不等式在解的过程中需要改变不等号的方向，所以其中一个不等式中x的系数为负数，根据这两个条件写出符合条件的一元一次不等式组即可． 解：∵一元一次不等式组的解集为非负数， ∴其中一个不等式的解集必为x≥0， ∵一个不等式在解的过程中需要改变不等号的方向， ∴其中一个不等式中x的系数为负数， ∴符合条件的一元一次不等式组可以为：（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 13．若关于x的不等式组恰好有三个整数解，则a的取值范围是 _____． 【答案】2＜a≤3 【解析】首先熟练解得每个不等式，再根据它恰有三个整数解，分析出它的整数解，进而求得实数a的取值范围． 解：不等式组整理得， ∵关于x的不等式组恰好有三个整数解， ∴整数解只能是0，1，2， ∴2＜a≤3． 故答案为2＜a≤3． 14．某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品50件．生产一件A产品需要甲种原料9千克，乙种原料3千克；生产一件B产品，需要甲种原料4千克，乙种原料10千克．设生产x件A种产品，x应满足的不等式组是：_____． 【答案】 【解析】设生产x件A种产品，则生产B产品（50-x）件，共需要甲种原料[9x+4（50-x）]千克，乙种原料[3x+10（50-x）]千克，根据题意就可以建立不等式组． 解：设生产x件A种产品，则生产B产品（50-x）件，共需要甲种原料[9x+4（50-x）]千克，乙种原料[3x+10（50-x）]千克， 由题意，得， 故答案为：． 15．新学期开始，某出版社计划出版销售A、B、C三种书籍，每种书箱均是整数本出售．第一个星期，该出版社三种书籍的售价均为整数，且C种书籍的售价是其余两种书籍售价之和的3倍，同时C种书籍的售价小于39元且不低于27元，三种书籍第一个星期内售出数量之比为3：2：1．第二个星期由于纸张价格迅速上涨，人工成本也在增加，该出版社决定把部分书籍涨价销售，其中A种书籍售价不变，B种书籍的售价比第一周售价增加1倍，C种书籍售价比第一周售价上升了．且第二个星期内，A种和C种书籍销量之比是4：5，B种书籍比第一个星期的销量减少20%．出版社结算发现，第一个星期三种书籍的总销售额比第二个星期A、C两种书籍的总销售额多517元，第一个星期三种书籍的总销售量与第二个星期三种书籍的总销售量之差不低于87本且小于115本，则这两个星期C种书籍的总销售额是 _____． 【答案】2025 【解析】首先利用第一周的数据表示出售价与销量的关系，再利用第二周的数据分别表示出售价，销量的范围，最后利用不等式确定值即可求解． 解：设第一周A书籍售价为x,销量为a1，B书籍售价为y,销量为b1，C书籍售价为z,销量为c1，则： ， ∴， 设第二周A书籍售价为x,销量为a2，B书籍售价为2y,销量为b2，C书籍售价为z,销量为c2，则： ， ∴a2+b2+c2=c2+c1， ∵a1x+b1y+c1z-（a2x+c2z）=517， 又∵a1x+b1y+c1z=3c1x+2c1y+3c1（x+y）=c1（6x+5y）， a2x+c2z=c2x+c2•3（x+y）=c2（6x+5y）， ∴（c1-c2）（6x+5y）=517， 由x+y＜13可得： y＜13-x, ∵y＞0， ∴13-x＞y＞0， ∴0＜x＜13， ∵6x+5y=5（x+y）+x, ∴45＜6x+5y＜78， ∵517=11×47，45＜6x+5y＜78， ∴， ∴y=， ∵x,y都是正整数， ∴或， ∵9≤x+y＜13， ∴x=2，y=7，z=3（x+y）=27， ∵87≤|（a1+b1+c1）-（a2+b2+c2）|＜115， a1+b1+c1=6c1，a2+b2+c2=c2+c1，c1-c2=11， ∴（a1+b1+c1）-（a2+b2+c2）=+c2（c2≥0）， ∴≤c2＜， ∵c1-c2=11， ∴c2是5的倍数， ∴或或（不符合题意，舍去）， ∵a2+b2+c2=＞0且为整数， ∴仅有满足， ∴c1z+c2z=35×27+×30×27=2025． 故答案为：2025． 三、解答题(共8题，共75分) 16．（10分）解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来： (1) (2) 【答案】(1) x>15 ;(2)不等式组无解. 【解析】（1）先去分母，再去括号得到4x+4＜5x-5-6，然后移项后合并，再把x的系数化为1得到x＞15，最后用数轴表示解集； （2）先分别解两个不等式得到x≥7和x＜2，再利用大大小小找不到确定不等式组的解集，然后利用数轴表示解集． 解：（1）去分母得4（x+1）＜5（x-1）-6， 去括号得4x+4＜5x-5-6， 移项得4x-5x＜-5-6-4， 合并得-x＜-15， 系数化为1得x＞15， 用数轴表示为： （2）， 解①得x≥7， 解②得x＜2， 所以不等式组无解， 用数轴表示为： 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．也考查了在数轴上表示不等式的解集． 17．（6分）已知两个语句： ①式子2x-1的值在1（含1）与3（含3）之间； ②式子2x-1的值不小于1且不大于3． 请回答以下问题： （1）两个语句表达的意思是否一样（不用说明理由）？ （2）把两个语句分别用数学式子表示出来． 【解析】（1）注意分析“在1（含1）与3（含3）之间”及“不小于1且不大于3”的意思即可； （2）根据题意可得不等式组． 解：（1）一样； （2）①式子2x-1的值在1（含1）与3（含3）之间可得1≤2x-1≤3； ②式子2x-1的值不小于1且不大于3可得． 18．（8分）不等式组． （1）解此不等式组； （2）若m是此不等式组的最大整数解，求1+m+m2+…+m2020的值． 【解析】（1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集； （2）先得出m的值，再代入求解即可． 解：（1）由2（1-x）＜x+8，得：x＞-2， 由＜，得：x＜0， 则不等式组的解集为-2＜x＜0； （2）∵m是此不等式组的最大整数解， ∴m=-1， 则原式=1-1+1-1+…+1 =1． 19．（9分）开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品，小芳用18元钱买了1支钢笔和3本笔记本；小亮用31元买了同样的钢笔2支和笔记本5本． （1）求每支钢笔和每本笔记本的价格； （2）校运会后，班主任拿出200元学校奖励基金交给班长，购买上述价格的钢笔和笔记本共48件作为奖品，奖给校运会中表现突出的同学，要求笔记本数不少于钢笔数，共有多少种购买方案？请你一一写出． 【解析】（1）用二元一次方程组解决问题的关键是找到两个合适的等量关系．本问中两个等量关系是：1支钢笔的价钱+3本笔记本的价钱=18，2支钢笔的价钱+5本笔记本的价钱=31，根据这两个等量关系可以列出方程组． （2）本问可以列出一元一次不等式组解决．用笔记本本数=48-钢笔支数代入下列不等关系，购买钢笔钱数+购买笔记本钱数≤200，笔记本数≥钢笔数，可以列出一元一次不等式组，求出其解集，再根据笔记本数，钢笔数必须是整数，确定购买方案． 解：（1）设每支钢笔x元，每本笔记本y元． 依题意得：， 解得：， 答：每支钢笔3元，每本笔记本5元． （2）设买a支钢笔，则买笔记本（48-a）本， 依题意得：， 解得：20≤a≤24， ∴一共有5种方案． 方案一：购买钢笔20支，则购买笔记本28本； 方案二：购买钢笔21支，则购买笔记本27本； 方案三：购买钢笔22支，则购买笔记本26本； 方案四：购买钢笔23支，则购买笔记本25本； 方案五：购买钢笔24支，则购买笔记本24本． 20．（9分）某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如下表： A B 进价（元/件） 1200 1000 售价（元/件） 1380 1200 （1）该商场购进A、B两种商品各多少件； （2）商场第二次以原进价购进A、B两种商品．购进B种商品的件数不变，而购进A种商品的件数是第一次的2倍，A种商品按原售价出售，而B种商品打折销售．若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于81600元，B种商品最低售价为每件多少元？ 【解析】（1）设购进A种商品x件，B种商品y件，列出不等式方程组可求解． （2）由（1）得A商品购进数量，再求出B商品的售价． 解：（1）设购进A种商品x件，B种商品y件， 根据题意得 化简得，解之得． 答：该商场购进A、B两种商品分别为200件和120件． （2）由于第二次A商品购进400件，获利为 （1380-1200）×400=72000（元） 从而B商品售完获利应不少于81600-72000=9600（元） 设B商品每件售价为z元，则 120（z-1000）≥9600 解之得z≥1080 所以B种商品最低售价为每件1080元． 21．（9分）若一个不等式（组）A有解且解集为a＜x＜b（a＜b），则称为A的解集中点值，若A的解集中点值是不等式（组）B的解（即中点值满足不等式组），则称不等式（组）B对于不等式（组）A中点包含． （1）已知关于x的不等式组A：，以及不等式B：-1＜x≤5，请判断不等式B对于不等式组A是否中点包含，并写出判断过程； （2）已知关于x的不等式组C：和不等式组D：，若D对于不等式组C中点包含，求m的取值范围． （3）关于x的不等式组E：（n＜m）和不等式组F：，若不等式组F对于不等式组E中点包含，且所有符合要求的整数m之和为9，求n的取值范围． 【解析】（1）先求不等式组A的解集，然后求得A的中点值，最后判断； （2）先求不等式组C的解集和不等式组D的解集，然后后求得C的中点值，最后根据定义求得m的取值范围； （3）先求不等式组E和F的解集，再求E得中点值，然后根据定义得到m和n不等式，最后通过m的条件求出n的取值范围． 解：（1）不等式B对于不等式组A中点包含，判断过程如下： 解不等式组A：，得4＜x＜6， ∴A的中点值为x=5， ∵x=5在-1＜x≤5范围内， ∴不等式B对于不等式组A中点包含； （2）∵D对于不等式组C中点包含， ∴不等式组C和不等式组D有解， 解不等式组C：，得， 不等式组D：，得， ∴， 解得：m＞-4， ∴当m＞-4时，不等式组C的解集为m-3＜x＜3m+5，不等式组D的解集为m-4＜x＜， ∴C的中点值为=2m+1， ∵D对于不等式组C中点包含， ∴m-4＜2m+1＜， 解得：-5＜m＜10， 又∵m＞-4， ∴-4＜m＜10． （3）解不等式组E得，2n＜x＜2m,解不等式组F得，， ∴E的中点值为n+m, ∵不等式组F对于不等式组E中点包含， ∴， 解得：n＜m＜5， ∵所有符合要求的整数m之和为9， ∴整数m可取2、3、4，或整数m可取-1、0、1、2、3、4， ∴1≤n＜2或-2≤n＜-1． 22．（11分）某工厂现有甲种原料3600kg,乙种原料2410kg,计划利用这两种原料生产A，B两种产品共500件，产品每月均能全部售出．已知生产一件A产品需要甲原料9kg和乙原料3kg；生产一件B种产品需甲种原料4kg和乙种原料8kg. （1）设生产x件A种产品，写出x应满足的不等式组． （2）问一共有几种符合要求的生产方案？并列举出来． （3）若有两种销售定价方案，第一种定价方案可使A产品每件获得利润1.15万元，B产品每件获得利润1.25万元；第二种定价方案可使A和B产品每件都获得利润1.2万元；在上述生产方案中哪种定价方案盈利最多？（请用数据说明） 【解析】（1）关系式为：A种产品需要甲种原料数量+B种产品需要甲种原料数量≤3600；A种产品需要乙种原料数量+B种产品需要乙种原料数量≤2410，把相关数值代入即可； （2）解（1）得到的不等式，得到关于x的范围，根据整数解可得相应方案； （3）分别求出两种情形下的利润即可判断； 解：（1）由题意． （2）解第一个不等式得：x≤320， 解第二个不等式得：x≥318， ∴318≤x≤320， ∵x为正整数， ∴x=318、319、320， 500-318=182， 500-319=181， 500-320=180， ∴符合的生产方案为①生产A产品318件，B产品182件； ②生产A产品319件，B产品181件； ③生产A产品320件，B产品180件； （3）第一种定价方案下：①的利润为318×1.15+182×1.25=593.2（万元）， ②的利润为：319×1.15+181×1.25=593.1（万元） ③的利润为320×1.15+180×1.25=593（万元） 第二种定价方案下：①②③的利润均为500×1.2=600（万元）， 综上所述，第二种定价方案的利润比较多． 23．（12分）某电信公司最近开发A、B两种型号的手机，一经营手机专卖店销售A、B两种型号的手机，上周销售1部A型3部B型的手机，销售额为8400元．本周销售2部A型1部B型的手机，销售额为5800元． （1）求每部A型和每部B型手机销售价格各是多少元？ （2）如果某单位拟向该店购买A、B两种型号的手机共6部，发给职工联系业务，购手机费用不少于11200元且不多于11600元，问有哪几种购买方案？ （3）在（2）中哪种方案费用更省？最少费用是多少？ 【解析】（1）设A型手机每部售价x元，B型手机每部售价y元，利用“销售1部A型3部B型的手机，销售额为8400元．销售2部A型1部B型的手机，销售额为5800元”可列二元一次方程组，然后解方程组即可； （2）设购买A型手机a部，则购买B型手机（6-a）部，利用“购手机费用不少于11200元且不多于11600元”列不等式组，然后求出不等式组的正整数解即可得到购买方案； （3）分别计算出（2）中各方案所需的费用，然后比较大小即可． 解：（1）设A型手机每部售价x元，B型手机每部售价y元， 根据题意得，解得， 答：A型手机每部售价1800元，B型手机每部售价2200元； （2）设购买A型手机a部，则购买B型手机（6-a）部， 根据题意得11200≤1800a+2200（6-a）≤11600 解得4≤a≤5 因为a为整数， 所以a=4或5， 所以有两种购买方案，即方案①：购买A型手机4部，购买B型手机2部；方案②：购买A型手机5部，购买B型手机1部； （3）按方案①购买所需费用为：1800×4+2200×2=11600（元） 按方案②购买所需费用为：1800×5+2200=11200（元）， 因此，按方案②购买更省，最少费用是11200元． 学科网（北京）股份有限公司 $$