9.1.2分层抽样课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第九章 统计 9.1 随机抽样 9.1.2 分层抽样 一 二 三 学习目标 掌握分层抽样的概念 掌握各层样本量的比例分配方法 掌握分层随机抽样的样本均值和样本方差 学习目标 1. 简单随机抽样的概念: 简单随机抽样的特点: 2. 简单随机抽样的常用方法： ③机会均等抽样. ①总体个数有限； ②逐个进行抽取； ①抽签法； ②随机数表法. 设一个总体含有有限个个体，并记其个体数为N．如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的机会相等，就称这样的抽样为简单随机抽样. 3. 总体均值与样本均值 用样本的平均数估计总体的平均数 复习回顾 新知探究 问题1 在树人中学高一年级的712名学生中，男生有326名，女生有386名. 能否利用这个辅助信息改进简单随机抽样方法，减少“极端”样本的出现，从而提高对整个年级平均身高的估计效果呢？ 性别是影响身高的其中一个主要因素. 高中男生的身高普遍高于女生的身高，而相同性别的身高差异相对较小. 我们可利用性别和身高的这种关系，把高一年级学生分成男生和女生两个身高有明显差异的群体，对两个群体分别进行简单随机抽样，然后汇总作为总体的一个样本。 按照性别变量 高一年级的学生 男生 女生 男生样本 女生样本 抽样 抽样 总样本 子总体1 子总体2 总体 新课导入 示例 在高一年级的712名学生中. 现欲了解全体高一年级学生的平均身高,要从中抽取一个容量为50的样本,可以采取简单随机抽样的方式. 思考： （1）抽样调查最核心的问题是什么？ （2）会不会出现样本中50个个体大部分来自高个子或矮个子的情形？ （3）为什么会出现这种“极端样本”？ （4）如何避免这种“极端样本”？ 样本的代表性 会 抽样结果的随机性个体差异较大 分组抽样，减少组内差距 能否利用总体中的一些额外信息对抽样方法进行改进呢？ 新知探究 问题2 对男生、女生分别进行简单随机抽样，样本量在男生、女生中应分别分配？ 为了使样本的结构与总体的分布相近,人数多的群体应多抽一些,人数少的群体应少抽一些. 即可按男生、女生在全体学生中所占的比例进行分配： 追问 每个学生被抽到的可能性（概率）相等吗？ 无论是男生还是女生，每个学生抽到的概率都相等. 均为 当总样本量为50时，我们就可以计算出从男生、女生分别应抽取的人数为 男生 173.0 174.0 166.0 172.0 170.0 165.0 165.0 168.0 164.0 173.0 172.0 173.0 175.0 168.0 170.0 172.0 176.0 175.0 168.0 173.0 167.0 170.0 175.0 女生 163.0 164.0 161.0 157.0 162.0 165.0 158.0 155.0 164.0 162.5 154.0 154.0 164.0 149.0 159.0 161.0 170.0 171.0 155.0 148.0 172.0 162.5 158.0 155.5 157.0 163.0 172.0 新知探究 我们按上述方法抽取了一个容量为50的样本，其观测数据(单位：)如下： 男生身高的样本平均数为170.6 男生身高的总体平均数约为170.6 估计 女生身高的样本平均数为160.6 女生身高的总体平均数约为160.6 估计 根据男生、女生身高的样本平均数以及它们各自的人数，可以估计总体平均数为 所以树人中学高一年级学生的平均身高大约在165.2cm左右. 概念生成 分层随机抽样 一般地，按 变量把总体划分成若干个 ，每个个体 一个子总体，在每个子总体中独立地进行 ，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为 ，这样的抽样方法称为分层随机抽样. 每一个子总体称为层，在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为 . 一个或多个 子总体 属于且仅属于 简单随机抽样 总样本 比例分配 每一层抽取的样本数= ×总样本量 该层个体数 总体个体数 =抽样比例 ×该层个体数 典例解析 例 某单位有职工500人，其中不到35岁的有125人，35岁至49岁的有280人，50岁及以上的有95人.为了了解该单位的职工与身体状态有关的某项指标，要从中抽取100名职工作为样本，若职工年龄与这项指标有关，应该怎样抽取？ 解：用分层随机抽样的方法来抽取样本，步骤如下: 第一步：分层.按年龄将500名职工分成三层，即不到35岁的职工，35岁至49岁的职工和50岁及以上的职工. 第二步：计算抽样比. 样本容量与总体容量的比为 = 第三步：确定分别从三类人员中抽取的人数， 从在不到35岁的职工中抽取 （人）， 从在35岁至49岁的职工中抽取 （人）， 从在50岁及以上的职工中抽取 （人）； 第四步：在各层中用简单随机抽样方法依次抽取25人、56人、19人 第五步：把抽取的个体组合在一起，组成样本量为100的样本 . 归纳小结 分层随机抽样的步骤： 分层 按某种特征将总体分成若干互不交叉的层 计算 抽样比 抽样比 定数 按抽样比确定每层抽取的个体数 抽样 各层分别按简单随机抽样的方法抽取样本 汇总 综合各层抽样，组成样本 注意：当总体是由差异明显的几个部分组成时, 往往选用分层随机抽样的方法. 新知探究 问题3 在简单随机抽样中如何估计总体平均数？ 用样本平均数估计总体平均数 那么在分层随机抽样中，还能用样本平均数估计总体平均数吗？ 先来了解一下在分层随机抽样中，总体平均书和样本平均数是如何表示的 在分层随机抽样中，如果层数分别为2层， 第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n. 第1层总体的各个个体的变量值为：X1，X2，…，XM； 第1层样本的各个个体的变量值为：x1，x2，…，xm； 第2层总体的各个个体的变量值为：Y1，Y2，…，YN； 第2层样本的各个个体的变量值为：y1，y2，…，yn. 新知探究 总体平均数 样本平均数 第1层 第2层 总体 由于用第1层的样本平均数可以估计第1层的总体平均数， 用第2层的样本平均数可以估计第2层的总体平均数， 因此我们可以用: 估计总体平均数 新知探究 在比例分配的分层随机抽样中： 可得 因此，在比例分配的分层随机抽样中，我们可以直接用样本平均数估计总体平均数 问题4 与考察简单随机抽样估计效果类似,小明也想通过多次抽样考察一下分层随机抽样的估计效果.他用比例分配的分层随机抽样方法，从高一年级的学生中抽取了10个样本量为50的样本,计算出样本平均数如下表所示,与上一小节P179的“探究”中相同样本量的简单随机抽样的结果比较,小明有了一个重要的发现.你是否也有所发现? 新知探究 抽样序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 男生样本的平均数 170.0 170.7 169.8 171.7 172.7 171.9 171.6 170.6 172.6 170.9 女生样本的平均数 162.2 160.3 159.7 158.1 161.1 158.4 159.7 160.0 160.6 160.2 总样本的平均数 165.8 165.1 164.3 164.3 166.4 164.6 165.2 164.9 166.1 165.1 我们把分层随机抽样的平均数与上一小节样本量为50的简单随机抽样的平均数用下图形进行表示,其中粉红线表示整个年级学生身高的平均数. 新知探究 1. 分层抽样的样本平均的围绕总体平均数波动，与简单随机抽样的结果相比分层抽样并没有明显优于简单随机抽样。 2. 相对而言，分层抽样的样本平均数波动幅度更均匀，简单随机抽样的样本平均数有的偏离总体平均数的幅度比较大的极端数据。 3. 分层随机抽样的结果并不是每一次都优于简单随机抽样。 简单随机抽样 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 165.2 162.8 164.4 164.4 165.6 164.8 165.3 164.3 165.7 165 分层随机抽样 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 165.8 165.1 164.3 164.3 166.4 164.6 165.2 164.9 166.1 165.1 实际值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 165 165 165 165 165 165 165 165 165 165 实际上，在个体之间差异较大的情形下, 只要选取的分层变量合适，使得各层间差异明显、层内差异不大, 分层随机抽样的效果一般会好于简单随机抽样，也好于很多其他抽样方法. 分层随机抽样的组织实施也比简单随机抽样方便, 而且除了能得到总体的估计外，还能得到每层的估计. 选择抽样方法的规律： (1)当总体的个体数和样本量都较小时，可采用抽签法. (2)当总体的个体数较大，样本量较小时，可采用随机数法. (3)当总体按一个或多个变量可划分为若干个层时，采用分层随机抽样. 新知讲解 巩固练习 课本P184 证明： 巩固练习 课本P184 解：这种说法有道理. 因为一个好的抽样方法，一般随着样本量的增加，抽样调查结果会越来越接近于普查的结果. 因此，只要根据误差控制范围的要求取相应的样本量进行调查,就可以节省人力、物力和财力. 2. 有人说:“如果抽样方法设计得好，用样本进行视力调查与对24300名学生进行视力普查的结果差不多，而且对于想要掌握学生视力状况的教育部门来说，节省了人力、物力和财力，抽样调查更可取.”你认为这种说法有道理吗?为什么? 3. 高二年级有男生490人，女生510人，张华按男生、女生进行分层,通过分层随机抽样的方法,得到男生、女生的平均身高分别为170.2 cm和160. 8 cm. (1) 如果张华在各层中按比例分配样本,总样本量为100，那么在男生、女生中分别抽取了多少名?在这种情况下，请估计高二年级全体学生的平均身高. (2) 如果张华从男生、女生中抽取的样本量分别为30和70，那么在这种情况下，如何估计高二年级全体学生的平均身高更合理? 巩固练习 课本P184 简单随机抽样和分层随机抽样异同： 简单随机抽样 分层随机抽样 方法 要点 共同点 不同 点 相互 联系 适用 范围 认知升华 随机→“搅拌均匀”→抽取 分层→比例→抽取 ①抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等 ②每次抽出个体后不再放回，即不放回抽样 从总体中逐个随机抽取 将总体分成不交叉的若干层， 各层中按比例抽取 各层的抽样可采用简单随机抽样 总体中的个体总数较少 总体由差异明显的几个部分组成 $$