精品解析：2024年山东省济南市长清区中考数学二模试卷

2024年山东省济南市长清区中考数学二模试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 如图所示，该圆柱体的左视图是（ ） A. B. C. D. 2. 2024年“热辣滚烫”的清明小长假落下帷幕，济南再次登上周边游热门目的地城市单，期间共接待旅客1420000人次，1420000这个数用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 如图，，直线分别交，于点E，F，平分，交 于点 G．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 有理数，在数轴上的表示如图所示，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 6. 代数式化简的结果为（ ）． A. B. C. D. 7. 若反比例函数的图象经过点，则该函数图象一定经过（ ） A. B. C. D. 8. 小明珍藏了四枚由国家邮政局发行的《京剧生角》特种邮票，上面分别绘有《将相和》中的蔺相如、《四进士》中的宋士杰、《群英会》中的周瑜、《白蛇传》中的许仙，这些邮票除图案外，质地、规格完全相同．元旦之际，他想把心爱的邮票送给好朋友小亮两枚，于是将这些邮票背面朝上，让小亮随机抽取，小亮抽到的邮票正好是“蔺相如”和“周瑜”的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点，作直线交，于点D，E，连接．下列说法错误的是（ ） A. 直线是的垂直平分线 B. C. D. 10. 已知函数（a为常数），当时，y随x的增大而增大，，是该函数图象上的两点，对任意的和，，总满足，则实数a的取值范围是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 分解因式：_____． 12. 一个袋子中装有4个黑球和个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到白球的概率为，则白球的个数为_______． 13. 已知a为整数，若，则______． 14. 已知关于的一元二次方程的一个根是，则的值是_____． 15. 如图，半径为的扇形中，，是上一点，，，垂足分别为，，若，则图中阴影部分面积为____． 16. 如图，在正方形中，是的中点，是边上一动点，将沿翻折得，连接，在左侧有一点，使得为等腰直角三角形，且，连接．若正方形的边长为2，则的最小值为____． 三.解答题（本大题共10小题，共86分） 17. 计算：． 18. 解不等式组，并写出它的所有整数解． 19. 如图，在中，点E、F分别在、上，且，、相交于点O，求证：． 20. 速滑运动受到许多年轻人的喜爱，如图，四边形是某速滑场馆建造的滑台，已知，滑台的高为6米，且坡面的坡度为，为了提高安全性，决定降低坡度，改造后的新坡面的坡度．（参考数据：，，） （1）求新坡面的长； （2）原坡面底部的正前方10米处（米）是护墙，为保证安全，体育管理部门规定，坡面底部至少距护墙7米，请问新的设计方案是否符合规定，试说明理由． 21. 2024年3月5日上午，国务院总理李强代表国务院在十四届全国人大二次会议上作政府工作报告，提到“深化全民阅读活动”，某校为了解全校学生每周的课外阅读时间情况，随机调查了部分学生每周课外阅读的时间，根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和频数分布直方图． 组别 每周阅读时间t/min 频数 频率 第一组 4 0.1 第二组 7 0.175 第三组 a 0.35 第四组 9 0.225 第五组 6 0.15 请根据图表中的信息解答下列问题： （1）频数分布表中的______； （2）补全频数分布直方图； （3）被调查的这些学生每周课外阅读时间的中位数落在第______组； （4）若该校共有1800名学生，试估计该校学生每周课外阅读时间不少于120min的学生人数． 22. 已知：如图，是的直径，是弦，是的切线，C为切点，于点 D．求证： （1）； （2）若的半径为3，，求． 23. 长清某学校为备战体育中考，计划购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多元，已知用元购进的足球和用元购进的篮球数量相等． （1）篮球和足球的单价各是多少元？ （2）已知篮球进价为每个元，足球进价为每个元，若商场售出足球的数量比篮球数量的倍少个，且获利超过元，问篮球最少要卖多少个？ 24. 定义：如图1，在平面直角坐标系中，点是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点分别作轴、轴的垂线，若由点、原点、两个垂足、线为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点是平面直角坐标系中的“美好点”，即． （1）【尝试初探】： 点______ “美好点”（填“是”或“不是”）； （2）【深入探究】： 若“美好点”在双曲线（，且为常数）上，求的值； （3）【拓展延伸】： 在（2）的条件下，在双曲线上，求的值． 25. 如图，已知抛物线，与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）如图1，点P是第一象限内抛物线上一动点，连接、、，设点P的横坐标为t．当t为何值时，是以点为直角顶点的直角三角形； （3）如图2，过抛物线顶点作轴于，若是轴上一动点，是线段上一点，若，请求出实数的取值范围． 26. 如图①，和都是等腰直角三角形，，当点在线段上，点在线段上时，我们很容易得到，不需证明． （1）如图②，将绕点逆时针旋转，连接和，此时是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由； （2）如图③，当绕点逆时针旋转，使得点恰好落在的延长线上，连接．若，，求线段的长； （3）若为中点，连接，，，当绕点逆时针旋转时，最大值为，最小值为，则的值为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年山东省济南市长清区中考数学二模试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 如图所示，该圆柱体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆柱体的左视图是圆形解答即可． 【详解】从左面看是圆形， ∴该圆柱体的左视图是圆形． 故选：C． 【点睛】本题考查物体的三视图．在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉． 2. 2024年“热辣滚烫”的清明小长假落下帷幕，济南再次登上周边游热门目的地城市单，期间共接待旅客1420000人次，1420000这个数用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：． 故选：A． 3. 如图，，直线分别交，于点E，F，平分，交 于点 G．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质及角平分线有关计算，根据平分，得到，结合得到，即可得到答案； 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 4. 有理数，在数轴上的表示如图所示，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了数轴，绝对值的性质，有理数的乘法法则，有理数的加法法则，有理数的大小比较法则，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由数轴可得，，，再根据绝对值性质，有理数的乘法法则，有理数的加法法则，有理数的大小比较法则即可解答． 【详解】解：由数轴可知, ，，， ∴，，， 故选：． 5. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形，熟练掌握中心对称图形和轴对称图形定义是解题的关键解题． 根据中心对称图形是图形旋转后能与原图形重合，轴对称图形有对称轴，沿折叠后对称轴两旁的部分互相重合的定义即可选出正确选项． 【详解】、此图形旋转后不能与原图形重合，故此图形不是中心对称图形，有对称轴，是轴对称图形，故此选项错误． 、此图形旋转后能与原图形重合，故此图形是中心对称图形，没有对称轴，不是轴对称图形，故此选项错误． 、此图形旋转后能与原图形重合，故此图形是中心对称图形，没有对称轴，不是轴对称图形，故此选项错误． 、此图形旋转后能与原图形重合，故此图形是中心对称图形，有对称轴，是轴对称图形，故此选项正确． 故选． 6. 代数式化简的结果为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式乘法，约分，熟练掌握分式乘法法则是解题的关键． 先将每一个分式分子因式分解，再约分，然后根据分式乘法法则计算即可． 【详解】解： ． 故选：B． 7. 若反比例函数的图象经过点，则该函数图象一定经过（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将代入即可求出k的值，再根据，将各坐标代入计算即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， A、，不合题意； B、，不合题意； C、，不合题意； D、，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数． 8. 小明珍藏了四枚由国家邮政局发行的《京剧生角》特种邮票，上面分别绘有《将相和》中的蔺相如、《四进士》中的宋士杰、《群英会》中的周瑜、《白蛇传》中的许仙，这些邮票除图案外，质地、规格完全相同．元旦之际，他想把心爱的邮票送给好朋友小亮两枚，于是将这些邮票背面朝上，让小亮随机抽取，小亮抽到的邮票正好是“蔺相如”和“周瑜”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查列表法和树状图求概率，熟练掌握列表法是解题的关键．根据列表法把所有情况列举出来即可． 【详解】解： 蔺相如 宋士杰 周瑜 许仙 蔺相如 宋士杰和蔺相如 周瑜和蔺相如 许仙和蔺相如 宋士杰 蔺相如和宋士杰 周瑜和宋士杰 许仙和宋士杰 周瑜 蔺相如和周瑜 宋士杰和周瑜 许仙和周瑜 许仙 蔺相如和许仙 宋士杰和许仙 周瑜和许仙 一共有种情况，符合条件的是两种， 故． 故选A． 9. 如图，在中，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点，作直线交，于点D，E，连接．下列说法错误的是（ ） A. 直线是的垂直平分线 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线是的垂直平分线、平行线分线段成比例、三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质等知识，分别进行判断即可． 【详解】解：A．由作图过程可知，直线是的垂直平分线，故选项正确，不符合题意； B．由作图过程可知，直线是的垂直平分线， ∴点E是的中点，， 在中，， ∴， ∴， 即点D是的中点， ∴， 故选项正确，不符合题意； C．∵点D是的中点，点E是的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选项正确，不符合题意； D．∵， ∴， ∴， ∴， 故选项错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、垂直平分线的性质、三角形中位线定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理是解题的关键． 10. 已知函数（a为常数），当时，y随x的增大而增大，，是该函数图象上的两点，对任意的和，，总满足，则实数a的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，二次函数最值问题，以及不等式性质，弄清楚二次函数的增减性与二次函数的最值何时取到是解题基础．由时，y随x的增大而增大，可得，即；又由二次函数的增减性可知，时，，时，；根据，建立不等式求解，即可解题． 【详解】解：由题意，抛物线开口向上， 当时，y随x的增大而增大， 对称轴直线，即． 抛物线上的点离对称轴越远就越大， 又，即，， ，总满足，， ， 当时，， 当时，． ， ， 解得，， ． 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 分解因式：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的因式分解，掌握完全平方公式是解题关键． 该二次三项式符合完全平方公式的形式，通过观察系数和常数项即可直接分解． 【详解】解：已知，其结构符合完全平方公式：， 其中： ，即； ，即； 中间项； 直接套用完全平方公式分解得：． 故答案为：． 12. 一个袋子中装有4个黑球和个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到白球的概率为，则白球的个数为_______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查利用概率求个数，根据白球概率求出黑球概率，黑球共有4个，就可以求出球的总数，再减去黑球个数即可解答，熟练掌握简单概率公式是解决问题的关键． 【详解】解：∵摇匀后随机摸出一个，摸到白球的概率为， ∴摸到黑球的概率为， ∵袋子中有4个黑球和个白球， ∴由简单概率公式可得，解得， ∴白球有6个， 故答案为：6． 13. 已知a为整数，若，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，利用夹逼法得出，进而得出答案． 【详解】解：∵，且， ∴． 故答案为：3． 14. 已知关于的一元二次方程的一个根是，则的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的一个根是，将代入原方程得到关于的一元一次方程进而即可解答．本题考查了一元二次方程的根，一元一次方程的解，理解一元二次方程的根是解题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根是， ∴将代入方程得：， 解得：， 故答案为：． 15. 如图，半径为的扇形中，，是上一点，，，垂足分别为，，若，则图中阴影部分面积为____． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据垂直的定义及正方形的判定可知四边形是正方形，再利用正方形的性质及扇形的面积公式即可解答．本题考查了垂直的定义，正方形的判定与性质，扇形的面积公式，全等三角形的判定与性质，掌握正方形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：连接，如图所示， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵扇形的半径为， ∴． 故答案为：． 16. 如图，在正方形中，是的中点，是边上一动点，将沿翻折得，连接，在左侧有一点，使得为等腰直角三角形，且，连接．若正方形的边长为2，则的最小值为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，合理作出辅助线是解题的关键． 构造等腰直角三角形，即可证明，得到，再证明，得到，，求出，最后根据即可得到的最小值． 【详解】解：连接，过作，取，连接，，过作， ∵，， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵正方形中，是的中点，正方形的边长为， ∴，， ∵将沿翻折得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴（ASA）， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∴当、、三点共线时有最小值，最小值为， 故答案为：． 三.解答题（本大题共10小题，共86分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据有理数的乘方，负指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的性质，进行计算即可求解． 【详解】解： 18. 解不等式组，并写出它的所有整数解． 【答案】不等式组的解集为，原不等式所有整数解为4，5，6 【解析】 【分析】本题考查了解不等式组以及求不等式组的整数解，掌握解不等式组的方法是解题的关键．分别求两个不等式的解集，再找不等式组的解集，即可得到整数解． 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， ∴原不等式所有整数解为4，5，6． 19. 如图，在中，点E、F分别在、上，且，、相交于点O，求证：． 【答案】 证明：∵ 四边形是平行四边形 ∴ ∴ 在和中 ∴ ∴ 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质得到边平行且相等的关系，进而推出三角形全等，从而证明线段相等．本题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形对边平行以及全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】略 20. 速滑运动受到许多年轻人的喜爱，如图，四边形是某速滑场馆建造的滑台，已知，滑台的高为6米，且坡面的坡度为，为了提高安全性，决定降低坡度，改造后的新坡面的坡度．（参考数据：，，） （1）求新坡面的长； （2）原坡面底部的正前方10米处（米）是护墙，为保证安全，体育管理部门规定，坡面底部至少距护墙7米，请问新的设计方案是否符合规定，试说明理由． 【答案】（1）新坡面的长10米 （2） 此次改造符合规定，理由如下： ∵坡面的坡度为1:1， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴（米）， ∵， ∴此次改造符合规定． 【解析】 【分析】（1）过C点作于H点，证明四边形是矩形，即有，根据，即可作答； （2）根据坡面的坡度为，可得，利用勾股定理，即有，即可得，问题随之得解． 【小问1详解】 过C点作于H点，如图， 根据题意有：，， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵新坡面的坡度，， ∴（米）， 答：新坡面的长10米； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，明确题意，理解坡度的含义是解答本题的关键． 21. 2024年3月5日上午，国务院总理李强代表国务院在十四届全国人大二次会议上作政府工作报告，提到“深化全民阅读活动”，某校为了解全校学生每周的课外阅读时间情况，随机调查了部分学生每周课外阅读的时间，根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和频数分布直方图． 组别 每周阅读时间t/min 频数 频率 第一组 4 0.1 第二组 7 0.175 第三组 a 0.35 第四组 9 0.225 第五组 6 0.15 请根据图表中的信息解答下列问题： （1）频数分布表中的______； （2）补全频数分布直方图； （3）被调查的这些学生每周课外阅读时间的中位数落在第______组； （4）若该校共有1800名学生，试估计该校学生每周课外阅读时间不少于120min的学生人数． 【答案】（1）14 （2） 补全频数分布直方图： （3）三 （4）估计该校学生每周课外阅读时间不少于120min的学生有675人 【解析】 【分析】此题考查频数分布表和频数分布直方图，正确理解图表是解题的关键： （1）根据的人数除以频率得出总人数，乘以的频率得到a的值； （2）根据a的值补图即可； （3）根据中位数的定义及平均数的计算公式分别解答； （4）用总人数1800乘以抽样调查的该部分的频率即可得出． 【小问1详解】 本次共随机调查了学生：（人）， ， 故答案为：14； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 被调查的这些学生每周课外阅读时间的中位数落在第三组， 故答案为：三； 【小问4详解】 （人）， 答：估计该校学生每周课外阅读时间不少于120min的学生有675人． 22. 已知：如图，是的直径，是弦，是的切线，C为切点，于点 D．求证： （1）； （2）若的半径为3，，求． 【答案】（1） 连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由切线的性质及圆周角定理得出，则可得出结论； （2）证明，得出，由勾股定理求出，则可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 在中， ， ∴在中，． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数的定义；根据圆的有关定理得出角之间的关系是解决问题的关键． 23. 长清某学校为备战体育中考，计划购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多元，已知用元购进的足球和用元购进的篮球数量相等． （1）篮球和足球的单价各是多少元？ （2）已知篮球进价为每个元，足球进价为每个元，若商场售出足球的数量比篮球数量的倍少个，且获利超过元，问篮球最少要卖多少个？ 【答案】（1）篮球的单价是元，足球的单价是元 （2）篮球最少要卖个 【解析】 【分析】（）设足球的单价是元，则篮球的单价是元，根据题意列分式方程即可； （）设篮球要卖个，则足球要卖个，根据题意列一元一次不等式即可． 【小问1详解】 解：设足球的单价是元，则篮球的单价是元，根据题意可得， ， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：篮球的单价是元，足球的单价是元； 【小问2详解】 解：设篮球要卖个，则足球要卖个，根据题意可得， ， 解得：， ∵为正整数， ∴的最小值为， 答：篮球最少要卖个． 【点睛】本题考查了分式方程与实际问题，一元一次不等式与实际问题，审清题意找出数量关系是解题的关键． 24. 定义：如图1，在平面直角坐标系中，点是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点分别作轴、轴的垂线，若由点、原点、两个垂足、线为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点是平面直角坐标系中的“美好点”，即． （1）【尝试初探】： 点______ “美好点”（填“是”或“不是”）； （2）【深入探究】： 若“美好点”在双曲线（，且为常数）上，求的值； （3）【拓展延伸】： 在（2）的条件下，在双曲线上，求的值． 【答案】（1）不是 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积等知识点，理解“美好点”的含义是解题的关键． （1）验证矩形的周长与面积的数值是否相等即可； （2）根据美好点求出，再将点代入双曲线方程求解即可； （3）根据反比例函数式子求出，再用待定系数法求解析式，求出它与轴的交点，利用三角形的面积公式运算即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴点不是“美好点”， 【小问2详解】 解：①∵是“美好点”， ∴， 解得：， ∴， 将代入双曲线（，且为常数），得； 【小问3详解】 解：∵， ∴双曲线的解析式是：． ∵在双曲线上， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为：，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 令直线与轴交于点， 当时，， 解得：， ∴， 画出图如图所示： ∴． 25. 如图，已知抛物线，与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）如图1，点P是第一象限内抛物线上一动点，连接、、，设点P的横坐标为t．当t为何值时，是以点为直角顶点的直角三角形； （3）如图2，过抛物线顶点作轴于，若是轴上一动点，是线段上一点，若，请求出实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）m的变化范围为 【解析】 【分析】（1）把点和点代入，得到，解方程即可； （2）表示出三边平方，，，，当时，则，可得，解方程即可； （3）当在左侧时，证明，得到，即，即可求解；当在右侧时，同理可解． 【小问1详解】 解：抛物线，与轴交于点和点，代入得： ，解得：， ； 【小问2详解】 解：可得， 当时，， ∴点， ∴， ， 当时， ∴， ∴， 解得：或（舍） ； 【小问3详解】 解：由（1）知，， ，，， 过作于点，则， 如图2.1，当在左侧时， ， ∴， ∴， ∵ ∴， ， 设，则， ， 即， 关于的方程有解，， 得且； 当与重合时，； 如图2.2，当在右侧时，中，，，即， 作交轴于点，则， ， ， 即为点时，， ， 综上，的变化范围为：． 【点睛】此题考查了待定系数法求函数的解析式、相似三角形的判定与性质、勾股定理，以及等腰直角三角形的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用． 26. 如图①，和都是等腰直角三角形，，当点在线段上，点在线段上时，我们很容易得到，不需证明． （1）如图②，将绕点逆时针旋转，连接和，此时是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由； （2）如图③，当绕点逆时针旋转，使得点恰好落在的延长线上，连接．若，，求线段的长； （3）若为中点，连接，，，当绕点逆时针旋转时，最大值为，最小值为，则的值为______． 【答案】（1） 解：依然成立，理由如下： ∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∵将绕点逆时针旋转， ∴， ∴， ∴． （2） （3） 【解析】 【分析】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，两点之间线段最短、二次根式的计算等知识，证明是解题的关键． （1）利用，证明，得． （2）证明，得，则，再利用勾股定理可得答案． （3）连接连接、，先根据勾股定理和直角三角形的性质求得，当绕点逆时针旋转时，点在以为圆心，为半径的圆上运动，所以当点在直线上时，有最大和最小值，由图可得的最大值为，最小值为，即． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ ∴ 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：如图，连接、， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴点在以为圆心，为半径的圆上运动， ∴当点在直线上时，有最大值和最小值， ∴由图可得的最大值为，最小值为， ∴， 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $