期末复习考点2全概率公式及应用讲义-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

高二下期末必考点2:全概率公式及应用 一.基本原理 全概率公式:在全概率的实倩问题中我们经常会砫到一些较为复杂的概率计算,这时,我们可以用“化整为零”的思想持它们分解为一些较为容易的情况分别进行为考虑。 一般地,设是一组刪两互后的事件,,且,,则对任意的事件,有. 我们称上面的公式为全概率公式,全概率公式是根率论中最基本的公式之一。显然,应用全概率公式的关键就是将找到完备事件组,下面我们通过具体的例了来分析. 二.典例分析 .某事件的发生具有明显的“条件性” 例1.某企业因技术开级,决定从2023年起实现新的续效方穼.方案起揽后,为了解员工对新绩效方案是否满意,决定危取如下“随机化回答技术”进行问卷调查:一个徒子中装有三个大小相同的小球,其中1个告球,2个白球.企业所有员工从袋子中存放回的随机摸两次球,每次摸出一球.约定“若两次摸到的球的颜色不同,则按方式I回管问卷,否则挍方式II回答问卷”. 方式I:若第一次摸到的市白球,则在问卷中画“。”,否则画“”. 方式II:若你对新绩效方案满意,则在问卷中画“。”,否则画“”. 当作有员工完成问卷调查后,统计画“。”,画“”的比例。用频率估计概率,由所学概率知识即可求得该企业员工对新绩效方案的满意度的估计值.其中满意度. (1) 若该企业某部门有9名员工,用表示其中按方式I回答问卷的人数,求的数学期望; (2) 若该企业的所有问卷调查钟,画“。”,画“”的比例为4:5,试估计该企业员工对新绩效方案的满意度。 解折:(1)每次摸到白球的概率,挨到哭球的概来为,每名员工两次摸到的球的颜色不同的概来,由题意可得:该部门9名员工中按方式I回答问卷的人数,所以的数学期望. (2)记事件为“按方式I回答问卷”,事件为“按方式II回答问卷”,事件为“在问卷中画 "由(1)知.∵,由全概率公式,则,解得,故根据调查问卷估计,该企业员工对新绩效方案的满意度为. 2.某事件的发生仅依赖于前一时刻的结果 设数轴上一个点,它的位置只能位于整点处,在时刻时,位于点,下一个时刻,它将以概率或者,向左或者向右平移一个单位.若记状态表示:在时刻该点位于位置,那么由全概率公式可得: 另一方面,由于,代入上式可得: 进一步,我们假设在与处各有一个吸收壁,当点到达吸收壁时被吸收,不再游走.于是,.上述便是一个典型的马尔科夫过程. 例2.(2023-新高考1卷)甲、乙两人投篮,每次由其中一人投篮,规则如下:若命中则此人继续投篮,若末命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何,甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选,第1次投篮的人是甲、乙的概率各为. (1)求第2次投篮的人是乙的概率; (2)求第次投篮的人是甲的概率; (3)已知:若随机变量服从两点分布,且,则.记前次(即从第1次到第次投篮)中甲投篮的次数为,求. 解析:(1)记“第次投篮的人是甲”为事件,“第次投篮的人是乙”为事件, 所以, (2)设,依题可知,,则 即,构造等比数列,设,解得,则,又,所以是首项为,公比为的等比数列,即. (3)因为,所以当时, ,故. 3.执果索因,贝叶斯公式 设是一组两两互斥的事件,,且,,则对任意事件, 有.在贝叶斯公式中,和分别称为先验概率和后验概率. 例3.了调动大家积极学习党的二十大精神,某市举办了党史知识的竞赛.初赛采用“两轮制”方式进行,要求每个单位派出两个小组,且每个小组都要参加两轮比赛,两轮比赛都通过的小组才具备参与决赛的资格.某单位派出甲、乙两个小组参赛,在初赛中,若甲小组通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是,乙小组通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是,且各个小组所有轮次比赛的结果互不影响. (1)若该单位获得决赛资格的小组个数为,求的数学期望; (2)已知甲、乙两个小组都获得了决赛资格,决赛以抢答题形式进行.假设这两组在决赛 中对每个问题回答正确的概率恰好是各自获得决赛资格的概率.若最后一道题被该单位的某小组抢到,且甲、乙两个小组抢到该题的可能性分别是,该题如果被答对,计算恰好是甲小组答对的概率. 解析:(1)设甲乙通过两轮制的初赛分别为事件则 ,由题意可得,的取值有 ,所以 (2)设表示事件“该单位的某小组对最后一道题回答正确”,表示事件“甲小组抢到最后一道题”,表示事件“乙小组抢到最后一道题”,则有: 则(凌晨讲数学) 该题如果被答对,恰好是甲小组答对即为 点评:本题第二问即考察了全概率公式与贝叶斯公式,后者虽然不做高考要求,但是可以看到,它实际就是条件概率的应用,完全可以现场依据具体情况得出. 三、习题演练 1. 小华在周六和周日的早餐后会从阅读和书法两项活动中选择一项参与, 如果周六早餐后选择阅读, 那么他周日早餐后也选择阅读的概率为 , 如果周六早餐后选择书法, 那么他周日早餐后选择阅读的概率为 , 若小华周六早餐后选择阅读的概率为 , 则他周日早餐后选择阅读的概率为() A. B. C. D. 2. 某药厂用甲、乙、丙三地收购而来的药材加工生产出一种中成药, 这三个地区的供货量分别占 , 且用这三地的药材能生产出优等品的概率分别为 现从该厂产品中任意取出一件产品, 则此产品为优等品的概率为 ( ) A. 0.18 B. 0.21 C. 0.38 D. 0.69 3.设某批产品中,由甲、乙、丙三个车间生产的产品分别占,已知甲、乙车间生产的产品的次品率分别为.现从该批产品中任取一件,若取到的是次品的概率为,则推测丙车间的次品率为() A. B. C. D. 4.长时间玩手机可能影响视力,据调查,某学校学生中,大约有的学生每天玩手机超过,这些人近视率约为,其余学生的近视率约为,现从该校任意调查一名学生,他近视的概率大约是() A. B. C. D. 5.盒中有2个红球,3个黑球,2个白球,从中随机地取出一个球,观察其颜色后放回,并加入同色球1个,再从盒中抽取一球,则第二次抽出的是红球的概率是() A. B. C. D. 6.(多选题)三个地区爆发了流感,这三个地区分别有的人患了流感.假设这三个地区的人口数之比为,则) A.从三个地区中任选一人,此人未患流感的概率大于0.96 B.等可能从三个地区中选取一人,此人患流感的概率为 C.从三个地区中任选一人,此人选自地区且患流感的概率为0.017 D.从三个地区中任选一人,若此人患流感,则此人选自地区的概率为 7.“布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动,在如图所示的试验容器中,容器由三个仓组成,某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外,一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获,此时试验结束.已知该粒子初始位置在1号仓,则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为 . 8.某学校组织学生进行答题比赛,已知共有4道类试题,8道类试题,12道类试题,学生从中任选1道试题作答,学生甲答对这类试题的概率分别为.若学生甲答对了所选试题,则这道试题是类试题的概率为 . 9.已知小明每天步行上学的概率为0.6,骑自行车上学的概率为0.4,且步行上学有0.05的概率迟到,骑自行车上学有0.02的概率迟到.若小明今天上学迟到了,则他今天骑自行车上学的概率为 10.11分制乒兵球比赛规则如下:在一局比赛中,每两球交换发球权,每赢一球得1分,先得11分且至少领先2分者胜,该局比赛结束;当某局比分打成10:10后,每球交换发球权,领先2分者胜,该局比赛结束.现有甲、乙两人进行一场五局三胜、每局11分制的乒兵球比赛,比赛开始前通过抛掷一枚质地均匀的硬币来确定谁先发球.假设甲发球时甲得分的概率为,乙发球时甲得分的概率为,各球的比赛结果相互独立,且各局的比赛结果也相互独立.已知第一局目前比分为. (1)求再打两个球甲新增的得分的分布列和均值; (2)求第一局比赛甲获胜的概率; (3)现用估计每局比赛甲获胜的概率,求该场比赛甲获胜的概率. 11.随着春季学期开学,椰州市市场监管局加强了对学校食堂食品安全管理,助力推广校园文明餐桌行动,培养广大师生文明餐桌新理念,以“小餐桌”带动“大文明”,同时践行绿色发展理念.椰州市某中学食堂每天都会提供两种套餐供学生选择(学生只能选择其中的一种),经过统计分析发现:学生第一天选择套餐的概率为,选择套餐的概率为.而前一天选择了套餐的学生第二天选择套餐的概率为,选择套餐的概率为;前一天选择套餐的学生第二天选择套餐的概率为,选择套餐的概率也是,如此往复.记同学甲第天选择套餐的概率为. (1)求同学甲第二天选择套餐的概率; (2)证明:数列为等比数列; (3)从该校所有学生中随机抽取100名学生统计第二天选择去餐厅就餐的人数,用表示这100名学生中恰有名学生选择去餐厅就餐的概率,求取最大值时对应的的值. 12.在统计学的实际应用中,除了中位数外,经常使用的是${25\%}$分位数(简称为第一四分位数)与${75\%}$分位数(简称为第三四分位数),四分位数应用于统计学的箱型图绘制,是统计学中分位数的一种,即把所有数值由小到大排列,并分成四等份,处于三个分割点的数值就是四分位数,箱型图中“箱体”的下底边对应数据为第一四分位数,上底边对应数据为 第三四分位数,中间的线对应中位数,已知甲、乙两班人数相同,在一次测试中两班成绩箱型图如图所示. (1)由此图估计甲、乙两班平均分较高的班级是哪个?(直接给出结论即可,不用说明理由) (2)若在两班中随机抽取一人,发现他的分数小于128分,则求该同学来自甲班和乙班的概率分别是多少? (3)据统计两班中高于140分共10人,其中甲班6人,乙班4人,从中抽取了3人作学习经验交流,3人中来自乙班的人数为,求的分布列. 学科网(北京)股份有限公司 $$