复习01 平面向量的概念、线性运算与基本定理（七大考点）-2024年高二数学暑假复习与预习手册（人教A版2019）

复习01平面向量的概念、线性运算与基本定理 一、向量的有关概念 名称 定义 表示方法 注意事项 向量 既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或模) 向量或； 模或 平面向量是自由向量 零向量 长度等于0的向量，方向是任意的 记作 零向量的方向是任意的 单位向量 长度等于1个单位的向量 常用表示 非零向量的单位向量是 平行向量 方向相同或相反的非零向量 与共线可记为 与任一向量平行或共线 平行向量又叫共线向量 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 的相反向量为 二、向量的线性运算 向量运算 定　义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 （1）交换律： （2）结合律： 减法 减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量 数乘 求实数与向量的积的运算 （1）； （2）当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时， ； ； 三、共线向量定理 向量与b共线的充要条件是存在唯一一个实数，使得 四、平面向量的基本定理 如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使. 其中，不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. 五、平面向量的坐标运算 1.向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设，则 2.向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. ②设，则 3.平面向量共线的坐标表示 设则 考点01 平面向量的基本概念 【例1】（多选）下列关于平面向量的说法正确的是（    ） A．若，是共线的单位向量，则 B．若，是相反向量，则 C．若，则向量，共线 D．若，则点，，，必在同一条直线上 【例2】设都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（    ） A． B． C． D．且 【变式1-1】（多选）下列说法中正确的是（    ） A．零向量与任一向量平行 B．方向相反的两个非零向量不一定共线 C．单位向量是模为的向量 D．方向相反的两个非零向量必不相等 【变式1-2】（多选）下列命题正确的是（    ） A．若与都是单位向量，则 B．方向为南偏西的向量与北偏东的向量是共线向量 C．若与是平行向量，则 D．若用有向线段表示的向量与不相等，则点与不重合 【变式1-3】（多选）如图，在单位圆中，向量是（   ）    A．有相同起点的向量 B．单位向量 C．模相等的向量 D．相等的向量 考点02 平面向量的线性运算 【方法点拨】（1）直接法:结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中，结合向量的三角形法则或平行四边形法则及向量共线定理用已知向量表示未知向量； （2）方程法: 当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则或平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程 【例3】如图所示，在中，为BC边上的三等分点，若，，为AD中点，则（    ） A． B． C． D． 【例4】如图，E，F分别为平行四边形ABCD边AD的两个三等分点，分别连接BE，CF，并延长交于点O，连接OA，OD，则（    ）    A． B． C． D． 【变式2-1】在中，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，在△ABC中，点E是线段AB的中点，点D是线段BC上靠近B的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（多选）如图，在四边形ABCD中，为BC边上一点，且为AE的中点，则（     ） A． B． C． D． 考点03 向量共线定理及其应用 【方法点拨】（1）当时,与同向;当时, 与反向(). （2）点共线的充要条件是存在唯一实数，使得 【例5】已知平面向量，不共线，，，若A，B，C三点共线，则实数等于（   ） A． B． C． D． 【例6】已知，，或是平面上两个不共线的向量，且， ，． (1)若，方向相反，求k的值； (2)若A，C，D三点共线，求k的值． 【变式3-1】设为平面向量，则“存在实数，使得”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-2】设是平面内两个不共线的向量，， ，，．若三点共线，则的最小值是 ． 【变式3-3】如图，在直角梯形中，，，，与交于点. (1)用和表示，； (2)设，求的值. 考点04 向量共线性质的推论 【方法点拨】设是平面内的任意一点，点共线的充要条件是存在唯一实数使得 【例7】在平行四边形中，为的中点，，与交于点，若，，则（    ） A． B． C． D． 【例8】如图，在正方形中，,和相交于点G，且F为上一点（不包括端点），若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．15 【变式4-1】如图，已知点是的重心，过点作直线分别与，两边交于，两点，设，，则的最小值为（    ）    A．9 B．4 C．3 D． 【变式4-2】设M为内一点，且，则与的面积之比为 ． 【变式4-3】如图，中，，D是AC的中点，，AB与DE交于点M． (1)用表示﹔ (2)设，求的值； 考点05 平面向量的基本定理 【方法点拨】（1）两个向量能否作为一组基底,关键是看这两个向量是否共线.若共线,则不能作基底,反之,则可作基底；（2）一个平面的基底一旦确定,那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一线性表示出来. 【例9】设、是不共线的两个非零向量，则下列四组向量不能作为基底的是（    ） A．和 B．与 C．与 D．与 【例10】在中，点，分别在边，上，且，，是，的交点．设，． (1)用，表示，； (2)求的值． 【变式5-1】如图，中，点为边的中点，点在边上，且，以为一组基底，则（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，在平行四边形ABCD中，，．CE与DF交于点O．设，，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】在长方形中，E为边DC的中点，F为边BC上一点，且，设，. (1)试用基底，表示，，； (2)若G为长方形所在平面内一点，且，求证：三点不能构成三角形. 考点06 平面向量的坐标运算 【方法点拨】（1）若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行； （2）若已知有向线段两端点的坐标,则必须先求出向量的坐标,然后再进行向量的坐标运算； （3）向量的线性坐标运算可类比数的运算进行. 【例11】已知点，向量，，点是线段靠近的三等分点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D．或   【例12】如图，在直角梯形中，，，，为的中点，若，则的值（    ） A． B． C．2 D． 【变式6-1】已知，，点分所成的比为，则与的值分别为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】已知点为平面内不同的四点，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】已知，，，，． (1)若点D在第一、三象限的角平分线上，求的值； (2)若点D为线段BC的一个三等分点，求D的坐标． 考点07 共线向量的坐标公式 【方法点拨】利用向量共线的坐标表达式直接求解. 【例13】已知向量，，若向量，共线且，则的最大值为（   ） A．6 B．4 C．8 D．3 【例14】已知，． (1)若，，且A、B、C三点共线，求m的值． (2)当k为何值时，与共线； 【变式7-1】下列各组向量是平行向量的有 ．(填序号) ①；②； ③；       ④. 【变式7-2】已知为坐标原点，向量，，，若，，三点共线，且，求实数，的值． 【变式7-3】在直角坐标系中，向量，，，，其中，，. (1)若 ，，三点共线，求实数的值； (2)若四边形为菱形，求的值. 一、单选题 1．下列说法正确的是（    ） A．若，则与共线 B．若与是平行向量，则 C．若，则 D．共线向量方向必相同 2．在中，，.若，则（    ） A． B． C． D． 3．在平行四边形中，，，对角线与交于点O，则的坐标为（  ） A． B． C． D． 4．在 中，点满足与交于点，若，则（    ） A． B． C． D． 5．在中，点满足，点在射线AD（不含点A）上移动，若则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．庄严美丽的国旗和国徽上的五角星，是革命和光明的象征．正五角星是一个非常有趣、优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系（在如图所示的正五角星中，多边形为正五边形，）．则（    ） A． B． C． D． 7．已知向量满足，且，则的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 8．下列四个说法：①若，则；②若，则或；③若，则；④若，，则．其中错误的是 （填序号）． 9．已知，点是内一点且，则的面积为 . 10．已知向量，，，若B，C，D三点共线，则 ． 11．如图所示，向量与的夹角为，向量与的夹角为，，，若，（，），则 ．    四、】题 12．如图，点是中BC边的中点，. (1)若点是的重心，试用表示; (2)若点是的重心，求. 13．在中，点分别在边和边上，且，，交于点，设．    (1)若，求实数； (2)试用表示； (3)点在边上，且满足三点共线，试确定点的位置． 14．如图，在平行四边形中，，，，，相交于点O，M为BO中点.设向量，. (1)用，表示； (2)以A为坐标原点AD所在直线为轴建立平面直角坐标系，求点的坐标. 15．已知平面上的点，，，点C满足，连接DC并延长至点E，使，求点E的坐标． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 复习01平面向量的概念、线性运算与基本定理 一、向量的有关概念 名称 定义 表示方法 注意事项 向量 既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或模) 向量或； 模或 平面向量是自由向量 零向量 长度等于0的向量，方向是任意的 记作 零向量的方向是任意的 单位向量 长度等于1个单位的向量 常用表示 非零向量的单位向量是 平行向量 方向相同或相反的非零向量 与共线可记为 与任一向量平行或共线 平行向量又叫共线向量 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 的相反向量为 二、向量的线性运算 向量运算 定　义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 （1）交换律： （2）结合律： 减法 减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量 数乘 求实数与向量的积的运算 （1）； （2）当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时， ； ； 三、共线向量定理 向量与b共线的充要条件是存在唯一一个实数，使得 四、平面向量的基本定理 如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使. 其中，不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. 五、平面向量的坐标运算 1.向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设，则 2.向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. ②设，则 3.平面向量共线的坐标表示 设则 考点01 平面向量的基本概念 【例1】（多选）下列关于平面向量的说法正确的是（    ） A．若，是共线的单位向量，则 B．若，是相反向量，则 C．若，则向量，共线 D．若，则点，，，必在同一条直线上 【答案】BC 【详解】对于A，，是共线的单位向量，则或，A错误； 对于B，若，是相反向量，则，B正确； 对于C，，即，则向量，共线，C正确 对于D，，点，，，可以不在同一直线上，D错误. 故选：BC 【例2】设都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（    ） A． B． C． D．且 【答案】C 【详解】由向量都是非零向量，且， 因为和分别表示与和同向的单位向量，所以向量与同向， 结合选项，可得成立的充分条件为. 故选：C. 【变式1-1】（多选）下列说法中正确的是（    ） A．零向量与任一向量平行 B．方向相反的两个非零向量不一定共线 C．单位向量是模为的向量 D．方向相反的两个非零向量必不相等 【答案】ACD 【详解】解：对于A，零向量的方向是任意的，零向量与任一向量平行，故A项正确； 对于B，根据共线向量的定义，可知方向相反的两个非零向量一定共线，故B项错误； 对于C，根据单位向量的定义，可知C项正确； 对于D，方向相同且模相等的两个向量相等，因此方向相反的两个非零向量一定不相等，D项正确． 故选：ACD． 【变式1-2】（多选）下列命题正确的是（    ） A．若与都是单位向量，则 B．方向为南偏西的向量与北偏东的向量是共线向量 C．若与是平行向量，则 D．若用有向线段表示的向量与不相等，则点与不重合 【答案】BD 【详解】对于选项A，若与都是单位向量，则，但与可以方向不同，故选项A错误， 对于选项B，因为方向为南偏西的向量与北偏东的向量方向相反，所以选项B正确， 对于选项C，若与是平行向量，但当或与方向相反，不满足，所以选项C错误， 对于选项D，由向量的几何表示知，选项D正确， 故选：BD. 【变式1-3】（多选）如图，在单位圆中，向量是（   ）    A．有相同起点的向量 B．单位向量 C．模相等的向量 D．相等的向量 【答案】BC 【详解】A：由图可知，的起点为O，的起点为A，故A错误； B：由，知都为单位向量，故B正确； C：，故C正确； D：方向不同，，所以不为相等向量，故D错误. 故选：B 考点02 平面向量的线性运算 【方法点拨】（1）直接法:结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中，结合向量的三角形法则或平行四边形法则及向量共线定理用已知向量表示未知向量； （2）方程法: 当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则或平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程 【例3】如图所示，在中，为BC边上的三等分点，若，，为AD中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 故选：A 【例4】如图，E，F分别为平行四边形ABCD边AD的两个三等分点，分别连接BE，CF，并延长交于点O，连接OA，OD，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知，， 由，得，所以， 在中，， 即， 即，整理得. 故选：C 【变式2-1】在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图， 因为，所以， 又，所以， 所以. 故选：D. 【变式2-2】如图，在△ABC中，点E是线段AB的中点，点D是线段BC上靠近B的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】． 故选：B． 【变式2-3】（多选）如图，在四边形ABCD中，为BC边上一点，且为AE的中点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】由， 由向量加法的三角形法则得 ， 又F为AE的中点，则，故A正确； ，故B正确； ，故D正确； ，故C错误. 故选：ABD 考点03 向量共线定理及其应用 【方法点拨】（1）当时,与同向;当时, 与反向(). （2）点共线的充要条件是存在唯一实数，使得 【例5】已知平面向量，不共线，，，若A，B，C三点共线，则实数等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】若A，B，C三点共线，则， 则存在唯一实数，使得， 即，解得或. 故选：D． 【例6】已知，，或是平面上两个不共线的向量，且， ，． (1)若，方向相反，求k的值； (2)若A，C，D三点共线，求k的值． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由，方向相反，则存在负数使得， 所以， 所以，解得或(舍去)， 故k的值为． （2）由A，C，D三点共线，则存在使得， 又， 所以， 所以，解得或， 故k的值为或． 【变式3-1】设为平面向量，则“存在实数，使得”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】若存在实数，使得，则有， ，若，则， 故“存在实数，使得”不是“”的充分条件； 若，则有，若，， 满足题意，但此时不存在实数，使得， 故“存在实数，使得”是“”的不必要条件； 即“存在实数，使得”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 【变式3-2】设是平面内两个不共线的向量，， ，，．若三点共线，则的最小值是 ． 【答案】8 【详解】， ,若三点共线， 设，即，是平面内两个不共线的向量，，解得，， 则， 当且仅当，即时，取等号，故最小值为8. 故答案为：8. 【变式3-3】如图，在直角梯形中，，，，与交于点. (1)用和表示，； (2)设，求的值. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）因为，所以； 因为，所以 . （2）设，则， 由（1）知，因为，所以， 则，解得. 考点04 向量共线性质的推论 【方法点拨】设是平面内的任意一点，点共线的充要条件是存在唯一实数使得 【例7】在平行四边形中，为的中点，，与交于点，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为在上，为的中点， 设， 因为，，三点共线，所以， 因为、不共线， 所以，解得， 所以． 故选：B． 【例8】如图，在正方形中，,和相交于点G，且F为上一点（不包括端点），若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．15 【答案】B 【详解】由题可设， 则由题意得， 因为、、三点共线，故， 所以， 所以， 又、、三点共线，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为. 故选：B. 【变式4-1】如图，已知点是的重心，过点作直线分别与，两边交于，两点，设，，则的最小值为（    ）    A．9 B．4 C．3 D． 【答案】C 【详解】由点是的重心，，， 故， 由、、三点共线，故， 则， 当且仅当，即，时，等号成立. 故选：C. 【变式4-2】设M为内一点，且，则与的面积之比为 ． 【答案】/0.25 【详解】在取中点， 则， 可知点为的中点， 可得，即， 所以与的面积之比为. 故答案为：. 【变式4-3】如图，中，，D是AC的中点，，AB与DE交于点M． (1)用表示﹔ (2)设，求的值； 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）依题意，. （2）依题意， ，而三点共线，则， 所以. 考点05 平面向量的基本定理 【方法点拨】（1）两个向量能否作为一组基底,关键是看这两个向量是否共线.若共线,则不能作基底,反之,则可作基底；（2）一个平面的基底一旦确定,那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一线性表示出来. 【例9】设、是不共线的两个非零向量，则下列四组向量不能作为基底的是（    ） A．和 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【详解】、是不共线的两个非零向量， 对于A，和中，，和不共线，可作基底，A不是； 对于B，与中，，与不共线，可作基底，B不是； 对于C，与中，，与共线，不能作基底，C是； 对于D，与中，，与不共线，可作基底，D不是. 故选：C 【例10】在中，点，分别在边，上，且，，是，的交点．设，． (1)用，表示，； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）因为，所以是的中点， 则. 因为，所以， 则. （2）因为，所以. 因为，，三点共线，所以 . 因为，，三点共线，所以， 则解得. 故. 【变式5-1】如图，中，点为边的中点，点在边上，且，以为一组基底，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由图形可知：. 故选：C. 【变式5-2】如图，在平行四边形ABCD中，，．CE与DF交于点O．设，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】连接，， 三点共线，可设，则， ； 三点共线，可设，则， ； ，解得：， ，即. 故选：A. 【变式5-3】在长方形中，E为边DC的中点，F为边BC上一点，且，设，. (1)试用基底，表示，，； (2)若G为长方形所在平面内一点，且，求证：三点不能构成三角形. 【答案】(1)，， (2)证明见解析 【详解】（1） ； ； . （2）， ， 又与有公共端点，三点共线， 三点不能构成三角形. 考点06 平面向量的坐标运算 【方法点拨】（1）若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行； （2）若已知有向线段两端点的坐标,则必须先求出向量的坐标,然后再进行向量的坐标运算； （3）向量的线性坐标运算可类比数的运算进行. 【例11】已知点，向量，，点是线段靠近的三等分点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D．或   【答案】B 【详解】由已知，， 则， 点是线段靠近的三等分点， 则， 且， 则， 即， 故选：B. 【例12】如图，在直角梯形中，，，，为的中点，若，则的值（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系： 则， 所以， 因为， 所以， 则，解得， 所以， 故选：B 【变式6-1】已知，，点分所成的比为，则与的值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵，，， ∴，， ∵分所成的比为，∴，即， ∴有，解得. 故选：D. 【变式6-2】已知点为平面内不同的四点，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，可知， 即，即， . 故选：A 【变式6-3】已知，，，，． (1)若点D在第一、三象限的角平分线上，求的值； (2)若点D为线段BC的一个三等分点，求D的坐标． 【答案】(1) (2)和 【详解】（1）由点D在第一、三象限的角平分线上，设， 则， 又， 所以， 即，解得； （2）设线段BC的三等分点为，如图，    则设， 则 由，即， 解得，即， 由，即， 解得，即, 所以线段BC的三等分点为和. 考点07 共线向量的坐标公式 【方法点拨】利用向量共线的坐标表达式直接求解. 【例13】已知向量，，若向量，共线且，则的最大值为（   ） A．6 B．4 C．8 D．3 【答案】A 【详解】因为向量共线，所以，解得， 又，所以，，当且仅当时，等号成立. 故选：A. 【例14】已知，． (1)若，，且A、B、C三点共线，求m的值． (2)当k为何值时，与共线； 【答案】(1) (2) 【详解】（1），， ∵A、B、C三点共线， ∴，即． （2）∵，， ∴，， 又与共线， ∴，即. 【变式7-1】下列各组向量是平行向量的有 ．(填序号) ①；②； ③；       ④. 【答案】① 【详解】对于①，因为，所以； 对于②，因为，所以不平行； 对于③，因为，所以不平行； 对于④，因为，所以不平行. 故答案为：①. 【变式7-2】已知为坐标原点，向量，，，若，，三点共线，且，求实数，的值． 【答案】或 【详解】因为向量，，， 所以，, 因为，，三点共线， 所以平行， 所以，即， 将代入中，得或. 【变式7-3】在直角坐标系中，向量，，，，其中，，. (1)若 ，，三点共线，求实数的值； (2)若四边形为菱形，求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由已知得，， 因为 ，，三点共线，共线， 所以； （2）,, 由四边形为菱形得，即， 即①， 由菱形得, 将代入①，解得， 所以. 一、单选题 1．下列说法正确的是（    ） A．若，则与共线 B．若与是平行向量，则 C．若，则 D．共线向量方向必相同 【答案】A 【详解】对于A，相等向量必是共线向量，A正确； 对于B，与是平行向量，如为非零向量，而，显然，B错误； 对于C，模相等的两个向量，它们的方向不一定相同，即不一定成立，C错误； 对于D，共线向量的方向可以相反，D错误. 故选：A 2．在中，，.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，， 所以， 又因为， 所以， 所以，， 所以，，，，只有选项C正确； 故选：C． 3．在平行四边形中，，，对角线与交于点O，则的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为在平行四边形ABCD中，，，对角线与交于点O，所以． 故选：B. 4．在 中，点满足与交于点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】法一: 因为 在上，故，所以存在唯一实数，使得，又，故为的中点， 所以 ，所以; 同理存在，使得， 又 ， 所以 ，所以，所以，所以，所以. 故选： C. 法二: 不妨设 为等腰直角三角形，其中，以为原点，所在 直线为轴，建立平面直角坐标系，如图， ， 则直线 的方程分别为， 联立解得， 由， 得 ，解得，则. 故选： C. 5．在中，点满足，点在射线AD（不含点A）上移动，若则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由点在射线（不含点）上，设，又，    则，于是， 因此， 所以的取值范围是.   故选：B 二、多选题 6．庄严美丽的国旗和国徽上的五角星，是革命和光明的象征．正五角星是一个非常有趣、优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系（在如图所示的正五角星中，多边形为正五边形，）．则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：AD 7．已知向量满足，且，则的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】设为坐标原点， 则由可知三点共线，且在之间， 选项A：，，与不平行，选项A错误； 选项B：，，与平行，且在之间，选项B正确； 选项C：，，与平行，且在之间，选项C正确； 选项D：，，与平行，但不在之间，选项D错误. 故选：BC. 三、填空题 8．下列四个说法：①若，则；②若，则或；③若，则；④若，，则．其中错误的是 （填序号）． 【答案】②③④ 【详解】由零向量的定义可知，①正确； 时，不知道两个向量的方向，不能得到或，②错误； 两个向量共线，与模是否相等无关，③错误； 当时，满足，，但不能得到，④错误. 故答案为：②③④ 9．已知，点是内一点且，则的面积为 . 【答案】/ 【详解】取的中点， 因为，所以，故， 即，所以点为的中点， 所以 故答案为：. 10．已知向量，，，若B，C，D三点共线，则 ． 【答案】 【详解】由题意可得：， 若B，C，D三点共线，可知， 则，解得. 故答案为：. 11．如图所示，向量与的夹角为，向量与的夹角为，，，若，（，），则 ．    【答案】/ 【详解】以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，垂直于OB且向上的方向为y轴建立平面直角坐标系， 则．设，， 于是，， 且，． 由，得， ∴解得∴． 故答案为：.    四、解答题 12．如图，点是中BC边的中点，. (1)若点是的重心，试用表示; (2)若点是的重心，求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为点是中BC边的中点，点是的重心， 所以. （2）因为点是的重心且是BC边的中点，所以， 又，所以， 所以. 13．在中，点分别在边和边上，且，，交于点，设．    (1)若，求实数； (2)试用表示； (3)点在边上，且满足三点共线，试确定点的位置． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解:在中，由，可得，且， 因为，则， 又因为三点共线，可得，解得. （2）解：由（1）中，， 因为， 当时，可得. （3）解：设，所以， 因为，又因为三点共线，所以， 所以，解得，所以满足， 14．如图，在平行四边形中，，，，，相交于点O，M为BO中点.设向量，. (1)用，表示； (2)以A为坐标原点AD所在直线为轴建立平面直角坐标系，求点的坐标. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由四边形ABCD是平行四边形，BD，AC相交于点O 所以， 因为M为BO中点，所以. （2）依题意，建立直角坐标系，如图， 因为，，， 所以，，，即， 则，， 所以. 故点的坐标为. 15．已知平面上的点，，，点C满足，连接DC并延长至点E，使，求点E的坐标． 【答案】 【详解】设，由，得， 即，解得，即， 设，由，得，即 即，解得，即， 故答案为： 2 学科网（北京）股份有限公司 $$