精品解析：河北省武安市第三中学等校2024届高三上学期期中联考数学试题

2023～2024学年第一学期高三期中联考 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5．本卷主要考查内容：集合与常用逻辑用语，不等式，函数，三角函数，平面向量，复数，统计概率，立体几何，数列，导数. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合 ，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题知，对集合M，N进行转化，根据补集的概念求出，结合交集的运算求出. 【详解】由题意知，， 所以. 故选：B. 2. 已知i为虚数单位，若复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合复数的运算及复数的模长，即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：B. 3. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据奇函数的定义以及分段函数的函数值即可求解. 【详解】因为是定义在上的奇函数，且, 所以. 故选:B. 4. 在等差数列中，为前n项和，若，则（ ） A. 11 B. 19 C. 25 D. 33 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的性质可得，然后利用等差数列的求和公式即得. 【详解】∵， ∴，即， ∴. 故选：D. 5. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据奇偶性可排除D；取可排除A；利用导数判断时的单调性可排除C，然后可得正确答案. 【详解】的定义域为R. 是偶函数，排除D； 又，排除A； 当时，，， ， 在上单调递增，排除C． 故选：B． 6. 如图所示的三棱锥A-BCD中，令，，，且M，G分别是BC，CD的中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合条件用表示，即可得出结果. 【详解】因为，，， 所以，， 所以， 所以，. 故选：A 7. 一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，投掷这枚骰子两次，A表示事件“第一次向上一面的数字是1”，B表示事件“第二次向上一面的数字是2”，C表示事件“两次向上一面的数字之和是7”，D表示事件“两次向上一面的数字之和是8”，则（ ） A. C与D相互独立 B. A与D相互独立 C. B与D相互独立 D. A与C相互独立 【答案】D 【解析】 【分析】根据事件相互独立的定义判断. 【详解】由题意知， ，所以C与D不相互独立， ，所以A与D不相互独立， ，所以B与D不相互独立， ，所以A与C相互独立， 故选：D 【点睛】方法点睛：判断事件A与B是否相互独立，根据事件相互独立的定义关键看是否成立. 8. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知条件切化弦，整理得出，然后把展开可求出，从而利用两角和的余弦公式可求解. 【详解】由于，且， 则， 整理得， 则， 整理得， 所以. 故选：D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 某产品售后服务中心选取了10个工作日，分别记录了每个工作日接到的客户服务电话的数量（单位：次）： 67 57 37 40 46 62 31 47 31 30 则这组数据的（ ） A. 众数是31 B. 中位数是40 C. 极差是37 D. 分位数是30.5 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据众数、中位数、极差、百分位数的概念求解即可. 【详解】这组数据中31出现了2次，出现次数最多，因此众数是31，A正确； 从小到大排列10个数据分别为30，31，31，37，40，46，47，57，62，67， 第5位和第6位为40和46，因此中位数是，B错误； 最大值为67，最小值为30，因此极差为，C正确； 是整数，则分位数应取第1位与第2位的平均值，即30和31的平均值30.5，D正确. 故选：ACD. 10. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. C. 将曲线向右平移个单位长度后得到的图象关于轴对称 D. 若在区间上单调递增，则 【答案】AD 【解析】 【分析】由函数图像可确定函数最小正周期，判断A；将代入，求出，判断B；根据三角函数的图象的平移变换规律可得平移后图象的解析式，结合正弦函数性质可判断C；利用余弦函数的单调性可判断D. 【详解】由于，故，A正确， 由于，则，故， 即， 而，故，B错误； 由于， 故将曲线向右平移个单位长度后得到的图象， 该图象关于原点对称，不关于轴对称，C错误； 当时，，当时， 由于在上单调递增，在上单调递减， 故在上单调递增，在上单调递减， 故由在区间上单调递增，得，D正确， 故选：AD 11. 如图，在四棱锥中，底面，四边形是边长为1的菱形，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用数量积的定义和运算律，结合图形，即可求解. 【详解】如图所示： 因为底面，所以垂直于平面内的任何一条直线， 因为四边形是边长为1的菱形，且，所以和是等边三角形， A. ，故A错误； B. ，故B正确； C. ，故C错误； D. ，故D正确. 故选：BD. 12. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.对于数列及数列，若，下列说法正确的是（ ） A. 存在数列，使得与都为等比数列 B. 存在数列，使得与都为等差数列 C. 存在数列，使得为等比数列，且为等差数列 D. 存在数列，使得为等差数列，且为等比数列 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用奇偶性得到，然后利用等差等比数列的定义和特殊值的思路判断即可. 【详解】因为为定义在上的奇函数，令，则，，又为奇函数，所以， 所以， 若为等比数列，由，可知公比， 设，则，所以不为定值，且为定值， 设，则，所以也不为定值，即A错误，C正确； 若为等差数列，由，可知公差，所以可取，即， 此时令，则，解得，此时，，，满足为等差数列，即B正确； 令，则，解得，此时，，，，满足为等比数列，即D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知向量，，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量共线的坐标运算求得的值，即可得向量，从而可求. 【详解】解：由，得，解得，则，可得. 故答案为：. 14. 写出同时满足如下三个条件的一个函数解析式______． ①为偶函数；②的定义域为；③的值域为 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据函数的定义域、值域、奇偶性，结合常见函数的性质可得结果. 【详解】由于的定义域为，值域为，故可联想到三角函数， 又因为为偶函数，结合三角函数性质得： 函数可以为、等， 故答案为：（答案不唯一）. 15. 已知正实数，满足，则的最小值为______． 【答案】12 【解析】 【分析】由条件可得，将展开并变形为，利用基本不等式即可求得答案. 【详解】因为正实数，满足， 故，当且仅当时等号成立， 故 ， 当且仅当，即时取等号，符合题意， 故的最小值为12， 故答案为：12 16. 如图，在正四棱台中，，分别是正方形，的中心.若以为球心，为半径的球与平面相切，且是该四棱台的外接球的球心，则该四棱台的体积与其外接球的体积之比为______. 【答案】 【解析】 【分析】设出，，，结合题干条件得到，，从而求出四棱台的体积和外接球的体积，得到比值. 【详解】设，，， 因为以为球心，为半径的球与平面相切，所以， 因为是该四棱台的外接球球心，所以，即， 所以四棱台的体积， 且外接球的体积，则. 故答案为：. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 17. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. （1）若，，求的值； （2）若，求角B，C的大小. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用余弦定理计算作答； （2）根据条件，利用余弦定理求得，进而得答案. 【小问1详解】 根据余弦定理，，，， 则，解得； 【小问2详解】 因为，， 因此得到，则， 即，所以，因此三角形为等腰三角形， 又知道，所以. 18. 已知函数是奇函数，且. （1）求的值； （2）若，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数满足，再代入求解即可； （2）化简可得恒成立，令，再根据指数函数值域与对勾函数性质求解最大值即可. 【小问1详解】 是奇函数， 经检验当时，是奇函数符合题意， 又或（舍）， ； 【小问2详解】 ， 即， 又，故恒成立， 令，因为，故，由对勾函数性质可得在上单调递减， . 19. 已知函数，其中. （1）讨论的单调性； （2）当时，设，分别为的极大值点和极小值点，且点，，若直线在轴上的截距大于，求的取值范围. 【答案】（1）当时，函数在R上单调递增； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减. （2） 【解析】 【分析】（1）求导得，再对分类讨论得解； （2）由（1）求得直线方程，从而利用截距不等关系列式求解即可. 【小问1详解】 因为，所以， 当时，，函数在R上单调递增； 当时，令得，或，则， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增. 综上，当时，函数在R上单调递增； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 由（1）及极值点的概念知，当时，，，且， 则直线：， 令，则， 依题意，，由可化为，解得， 所以的取值范围为. 20. 在数列，中，已知，，且，. （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的前项的和. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用，得到，得到是以8为首项，2为公比的等比数列； （2）在第一问的基础上，先求出，，再根据条件得到是等比数列，首项为4，公比为2，从而求出，利用分组求和和等比数列求和公式求出答案. 【小问1详解】 证明：由题意可知，， 则，且， 所以数列是以8为首项，2为公比的等比数列； 【小问2详解】 由（1）可知，， 所以， 所以， 又， 所以， 又， 即是等比数列，首项为4，公比为2， 所以，即， 所以， 即. 21. 如图，在五面体中，，平面，.已知，，，且. （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）首先利用线线平行，得到线面平行，再利用，即可求证线面垂直. （2）利用空间向量，首先建立合适的坐标系，再分别求出法向量，利用空间向量求二面角的方法即可求解. 【小问1详解】 证明：因为，且平面， 平面，所以平面， 因为平面，平面平面， 所以，又平面，所以平面； 【小问2详解】 如图所示 以为，，轴，建立空间直角坐标系，设，， 又，且，所以，即， 又，所以，所以，即， 所以，， 设平面的法向量为，则 令，则，，即， 设平面与平面的夹角为，且平面的法向量， 所以， 因为，所以. 22. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）当时，若为函数的正零点，证明：. 【答案】（1） 当时，增区间为； 当时，减区间为，增区间为； 当时，减区间为，增区间为； （2）证明如下： 由（1）可知当时，函数的减区间为，增区间为， 可知等价于. 因为，为函数的正零点， 所以，等价于证明， 又由， 令，有， 可得 ， 令，有， 可得函数单调递减，有， 可得当时，. 故有，可得得证. 【解析】 【分析】（1）先得到函数的定义域，求出导函数，然后分三种情况讨论即可求得结果； （2）根据（1）中的结论得到单调区间，将不等式转化为函数之间的关系，即可得到恒成立问题，构造新的函数，再根据导数讨论单调性即可. 【小问1详解】 函数的定义域为， ， ①当即时，， 函数单调递增，增区间为，没有减区间； ②当时，令，解得， 当，则，即时， 可得函数的减区间为，增区间为； ③当，则，即时， 可得函数的减区间为，增区间为； 综上，当时，增区间为； 当时，减区间为，增区间为； 当时，减区间为，增区间为； 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：借助导数讨论函数单调区间的方法： （1）根据函数解析式得到函数的定义域，单调区间均在定义域内讨论； （2）求出函数的导函数，根据导函数的正负来判断原函数的单调性，这个时候注意分情况讨论，大多数时候需要令导函数为零求出极值； （3）本题关键点是利用单调性和零点定义将不等式转化为恒成立问题，然后通过换元构造新的函数，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想和分类讨论思想的应用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023～2024学年第一学期高三期中联考 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5．本卷主要考查内容：集合与常用逻辑用语，不等式，函数，三角函数，平面向量，复数，统计概率，立体几何，数列，导数. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合 ，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知i为虚数单位，若复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 4. 在等差数列中，为前n项和，若，则（ ） A. 11 B. 19 C. 25 D. 33 5. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示的三棱锥A-BCD中，令，，，且M，G分别是BC，CD的中点，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，投掷这枚骰子两次，A表示事件“第一次向上一面的数字是1”，B表示事件“第二次向上一面的数字是2”，C表示事件“两次向上一面的数字之和是7”，D表示事件“两次向上一面的数字之和是8”，则（ ） A. C与D相互独立 B. A与D相互独立 C. B与D相互独立 D. A与C相互独立 8. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 某产品售后服务中心选取了10个工作日，分别记录了每个工作日接到的客户服务电话的数量（单位：次）： 67 57 37 40 46 62 31 47 31 30 则这组数据的（ ） A. 众数是31 B. 中位数是40 C. 极差是37 D. 分位数是30.5 10. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. C. 将曲线向右平移个单位长度后得到的图象关于轴对称 D. 若在区间上单调递增，则 11. 如图，在四棱锥中，底面，四边形是边长为1的菱形，且，，则（ ） A. B. C. D. 12. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.对于数列及数列，若，下列说法正确的是（ ） A. 存在数列，使得与都为等比数列 B. 存在数列，使得与都为等差数列 C. 存在数列，使得为等比数列，且为等差数列 D. 存在数列，使得为等差数列，且为等比数列 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知向量，，若，则______. 14. 写出同时满足如下三个条件的一个函数解析式______． ①为偶函数；②的定义域为；③的值域为 15. 已知正实数，满足，则的最小值为______． 16. 如图，在正四棱台中，，分别是正方形，的中心.若以为球心，为半径的球与平面相切，且是该四棱台的外接球的球心，则该四棱台的体积与其外接球的体积之比为______. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 17. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. （1）若，，求的值； （2）若，求角B，C的大小. 18. 已知函数是奇函数，且. （1）求的值； （2）若，不等式恒成立，求的取值范围. 19. 已知函数，其中. （1）讨论的单调性； （2）当时，设，分别为的极大值点和极小值点，且点，，若直线在轴上的截距大于，求的取值范围. 20. 在数列，中，已知，，且，. （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的前项的和. 21. 如图，在五面体中，，平面，.已知，，，且. （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值的取值范围. 22. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）当时，若为函数的正零点，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $