精品解析：河北省秦皇岛市卢龙县2023-2024学年高二下学期5月考试数学试题

高二数学考试 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册和集合与常用逻辑用语. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，其导函数为，集合，，若，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知由样本数据组成的一个样本，变量具有线性相关关系，其经验回归方程为，并计算出变量之间的相关系数为，则经验回归直线经过（ ） A. 第一､二､三象限 B. 第二､三､四象限 C. 第一､二､四象限 D. 第一､三､四象限 6. 有8名志愿者参加周六、周日的公益活动，每名志愿者只参加其中一天.这8人中甲、乙、丙三人精通日语，丁、戊两人精通英语，公益活动每天需要4名志愿者，且每天至少需要一名精通日语和一名精通英语的志愿者，则分配方法的总数为（ ） A. 32 B. 36 C. 48 D. 56 7. 已知函数，则“有极值”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 一次知识竞赛中，共有五道题，参赛人从中抽出三道题回答，每题的分值如下： 分值 10 20 20 20 30 答对该试题可得相应的分值，答错不得分，得分不低于60分可以获奖.已知参赛人甲答对题的概率为，答对题的概率均为，答对E题的概率为，则甲能获奖的概率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则下列说法正确的是（ ） A. 的展开式中奇数项的二项式系数之和为 B. C. D. 除以10的余数为9 10. 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列，且传输相互独立.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送0时，收到1的概率为0.1，收到0的概率为0.9；发送1时，收到0的概率为0.3，收到1的概率为0.7.下列说法正确的是（ ） A. 假设发送信号0和1是等可能的，收到0的概率为0.6 B. 假设发送信号0和1是等可能的，收到11的概率为0.16 C. 若发送的信号为111，则收到的信号中恰有两个1的概率为0.147 D. 假设发送信号0和1是等可能的，已知收到的信号是11，则发送的信号也是11的概率为 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 存在，使得在上单调递减 B. 对任意，在上单调递增 C. 对任意，在上恒成立 D. 存在，使得在上恒成立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设随机变量，若，则______，______. 13. 用4种不同颜色的颜料给图中五个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，有公共边的两个区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法共有______种. 14. 已知函数在上连续且存在导函数，对任意实数满足，当时，.若，则的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为了解人们对环保的认知程度，某市为不同年龄和不同职业的人举办了一次环保知识竞赛，满分100分.随机抽取的8人的得分为84，78，81，84，85，84，85，91. （1）计算样本平均数和样本方差； （2）若这次环保知识竞赛的得分X服从正态分布，其中和的估计值分别为样本平均数和样本方差，若按照15.87%，68.26%，13.59%，2.28%的比例将参赛者的竞赛成绩从低分到高分依次划分为参与奖、二等奖、一等奖、特等奖四个等级，试确定各等级的分数线.（结果保留两位小数）（参考数据） 附：若随机变量X服从正态分布，则，，. 16. 某生产企业对原有的生产线进行技术升级，在技术升级前后，分别从其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作了如下列联表： 合格品 不合格品 合计 升级前 120 80 200 升级后 150 50 200 合计 270 130 400 （1）根据上表，依据小概率值的独立性检验，能否认为产品的合格率与技术是否升级有关？ （2）在抽取的所有合格品中，按升级前后合格品的比例进行分层随机抽样，抽取9件产品，然后从这9件产品中随机抽取4件，记其中属于升级前生产的有件，属于升级后生产的有件，求的概率. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若，恒成立，求的取值范围. 18. 在活动中，初始的袋子中有5个除颜色外其余都相同的小球，其中3个白球，2个红球.每次随机抽取一个小球后放回.规则如下：若抽到白球，放回后把袋中的一个白球替换为红球；若抽到红球，则把该红球放回袋中.记经过次抽取后，袋中红球的个数为. （1）求的分布列与期望； （2）证明为等比数列，并求关于的表达式. 19. 若函数存在零点，函数存在零点，使得，则称与互为亲密函数. （1）判断函数与是否为亲密函数，并说明理由； （2）若与互为亲密函数，求的取值范围. 附：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学考试 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册和集合与常用逻辑用语. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式求出集合、，再进行交集运算即可. 【详解】依题意得，，则. 故选：D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据命题的否定的定义写出结论即可． 【详解】命题“，”的否定是“，”. 故选：C. 3. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由导数的几何意义求出切线斜率，利用点斜式求解切线方程即可. 【详解】，，则所求切线切点坐标为， ，有，则所求切线斜率为， 所求的切线方程为，即. 故选：B 4. 已知函数，其导函数为，集合，，若，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意，分别求解集合，由，对参数分类讨论后求并集即得. 【详解】，解得，故. 又， 当时，；当时，；当时，； 因，故得或或 解得或或，即a的取值范围为. 故选：A. 5. 已知由样本数据组成的一个样本，变量具有线性相关关系，其经验回归方程为，并计算出变量之间的相关系数为，则经验回归直线经过（ ） A. 第一､二､三象限 B. 第二､三､四象限 C. 第一､二､四象限 D. 第一､三､四象限 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知负相关，已知条件求得样本中心点，然后根据经验回归直线经过样本点中心即可得出结果. 【详解】由相关系数为，知负相关，所以. 又，求得样本中心点为， 由于在经验回归直线上，且点在第三象限， 所以经验回归直线经过第二､三､四象限. 故选：B. 6. 有8名志愿者参加周六、周日的公益活动，每名志愿者只参加其中一天.这8人中甲、乙、丙三人精通日语，丁、戊两人精通英语，公益活动每天需要4名志愿者，且每天至少需要一名精通日语和一名精通英语的志愿者，则分配方法的总数为（ ） A. 32 B. 36 C. 48 D. 56 【答案】B 【解析】 【分析】按周六分配到的精通日语的人数分类，结合组合计数列式计算即得. 【详解】周六分配一名精通日语的志愿者有种不同方法， 周六分配两名精通日语的志愿者有种不同方法， 所以分配方法的总数为36. 故选：B 7. 已知函数，则“有极值”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】求出导函数，再求出有极值时的取值范围，利用充分条件和必要条件的定义即可判断. 【详解】，若有极值，则有两个不相等的实数根， ，解得； 反之，时，有两个不相等的实数根，有极值. 所以“有极值”是“”的充要条件. 故选：C. 8. 一次知识竞赛中，共有五道题，参赛人从中抽出三道题回答，每题的分值如下： 分值 10 20 20 20 30 答对该试题可得相应的分值，答错不得分，得分不低于60分可以获奖.已知参赛人甲答对题的概率为，答对题的概率均为，答对E题的概率为，则甲能获奖的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据得分不低于60分可得甲选择试题的类型有3种，就各种情况分别计算相应的概率后可得正确的选项. 【详解】若从，，中只选择了一题，则甲能获奖的概率； 若从，，中选择了两题，则甲能获奖的概率； 若从，，中选择了三题，则甲能获奖的概率. 故甲能获奖的概率. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则下列说法正确的是（ ） A. 的展开式中奇数项的二项式系数之和为 B. C. D. 除以10的余数为9 【答案】BC 【解析】 【分析】由二项展开式二项式系数之和的性质判断A；利用赋值法判断B；利用展开式通项公式判断C；利用构造二项式的展开式来解决整除和余数问题判断D. 【详解】的展开式中奇数项的二项式系数之和为，故A错误； 令，可得，令，， 则，故B正确； ，故C正确； ，故除以10的余数为1，故D错误. 故选：BC. 10. 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列，且传输相互独立.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送0时，收到1的概率为0.1，收到0的概率为0.9；发送1时，收到0的概率为0.3，收到1的概率为0.7.下列说法正确的是（ ） A. 假设发送信号0和1是等可能的，收到0的概率为0.6 B. 假设发送信号0和1是等可能的，收到11的概率为0.16 C. 若发送的信号为111，则收到的信号中恰有两个1的概率为0.147 D. 假设发送信号0和1是等可能的，已知收到的信号是11，则发送的信号也是11的概率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由全概率公式、条件概率公式计算即可. 【详解】对于A，收到0的概率为，故A正确； 对于B，收到1的概率为， 所以收到11的概率为，故B正确； 对于C，若发送的信号为111，则收到的信号中恰有两个1的概率为，故C错误； 对于D，设收到的信号是11为事件，发送的信号是11为事件，则，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 存在，使得在上单调递减 B. 对任意，在上单调递增 C. 对任意，在上恒成立 D. 存在，使得在上恒成立 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用导数判断单调性，结合构造函数，逐项判断即得. 【详解】，因为，所以不存在，使得在上单调递减，故A错误； ，因为，，所以，即，故B正确； 当，时，， 设，，则， 所以在上单调递增，所以，即，故C正确； 当时，令， 则，令， 则，又， 所以在上单调递减，在上单调递增，即，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设随机变量，若，则______，______. 【答案】 ①. ②. 5 【解析】 【分析】由二项分布概率公式性质有，求得，再根据二项分布的数学期望公式，求得，最后根据求值即可. 【详解】， 则，因为，所以， 故，. 故答案为：；. 13. 用4种不同颜色的颜料给图中五个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，有公共边的两个区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法共有______种. 【答案】72 【解析】 【分析】先对1，2，3三个区域涂色，再讨论1和5区域是否同色，结合排列数分析求解. 【详解】先对1，2，3三个区域涂色，有种涂法， 当1和5区域同色时，有种涂法； 当1和5区域不同色时，有种涂法； 综上所述：共有种涂法. 故答案为：72. 14. 已知函数在上连续且存在导函数，对任意实数满足，当时，.若，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】首先变形等式，并构造函数，并判断函数的对称性和单调性，将不等式变形为，利用函数的性质，即可求解不等式. 【详解】由，可得. 令，则，，所以的图象关于直线对称. 当时，，所以， 又在上连续，所以在上单调递增，且在上单调递减， 由，可得，即， 所以，解得. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据条件构造函数,利用函数的性质，求解不等式. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为了解人们对环保的认知程度，某市为不同年龄和不同职业的人举办了一次环保知识竞赛，满分100分.随机抽取的8人的得分为84，78，81，84，85，84，85，91. （1）计算样本平均数和样本方差； （2）若这次环保知识竞赛的得分X服从正态分布，其中和的估计值分别为样本平均数和样本方差，若按照15.87%，68.26%，13.59%，2.28%的比例将参赛者的竞赛成绩从低分到高分依次划分为参与奖、二等奖、一等奖、特等奖四个等级，试确定各等级的分数线.（结果保留两位小数）（参考数据） 附：若随机变量X服从正态分布，则，，. 【答案】（1）； （2）分数小于80.54的为参与奖，分数大于或等于80.54且小于87.46的为二等奖，分数大于或等于87.46且小于90.92的为一等奖，分数大于或等于90.92的为特等奖. 【解析】 【分析】（1）根据题意，由平均数的计算公式和方差的计算公式，准确计算，即可求解； （2）根据题意，得到该市所有参赛者的成绩，设竞赛成绩达到及以上为特等奖，成绩达到但小于为一等奖，成绩达到但小于为二等奖，成绩未达到为参与奖，结合正态分布曲线的对称性质，分别求得的值，即可得到结论. 【小问1详解】 根据题意，由平均数的计算公式和方差的计算公式得： 数据的平均数为， 数据的方差为. 【小问2详解】 该市所有参赛者的成绩近似服从正态分布， 设竞赛成绩达到及以上为特等奖，成绩达到但小于为一等奖， 成绩达到但小于为二等奖，成绩未达到为参与奖， 则，，，. 因为，所以. 因为， 所以， 因为，所以. 综上可得，分数小于80.54的为参与奖，分数大于或等于80.54且小于87.46的为二等奖，分数大于或等于87.46且小于90.92的为一等奖，分数大于或等于90.92的为特等奖. 16. 某生产企业对原有的生产线进行技术升级，在技术升级前后，分别从其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作了如下列联表： 合格品 不合格品 合计 升级前 120 80 200 升级后 150 50 200 合计 270 130 400 （1）根据上表，依据小概率值的独立性检验，能否认为产品的合格率与技术是否升级有关？ （2）在抽取的所有合格品中，按升级前后合格品的比例进行分层随机抽样，抽取9件产品，然后从这9件产品中随机抽取4件，记其中属于升级前生产的有件，属于升级后生产的有件，求的概率. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）有关 （2） 【解析】 【分析】（1）根据表格数据计算卡方，与临界值比较即可判断； （2）根据分层抽样得抽取的9件中属于升级前生产的和升级后生产的件数，确定的取值，求出对应的概率，即可求解. 【小问1详解】 零假设为：产品的合格率与技术是否升级无关. ， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为产品的合格率与技术是否升级有关. 【小问2详解】 由题意，升级前后合格品的比例为4:5，故抽取的9件中有4件属于升级前生产的， 有5件属于升级后生产的. 包括和两种情况： 当，时，， 当，时，， 则的概率. 17. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若，恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意首先求导数，然后利用分类讨论法，分别对和的情况讨论的符号，从而即可判断函数的单调性； （2）恒成立等价于；当时，无最大值，当时，，进而令，则，由导数判断单调性且由解不等式可得的取值范围. 【小问1详解】 由题意知函数的定义域为，. 当时，恒成立，在上单调递减； 当时，由，得， 由，得. 所以在上单调递增，在上单调递减， 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 由（1）知，当时，时，， 则不一定成立，故不满足题意. 当时，. 令，则，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 而 所以时，，且. 所以的解集为， 所以， 即，故的取值范围为. 18. 在活动中，初始的袋子中有5个除颜色外其余都相同的小球，其中3个白球，2个红球.每次随机抽取一个小球后放回.规则如下：若抽到白球，放回后把袋中的一个白球替换为红球；若抽到红球，则把该红球放回袋中.记经过次抽取后，袋中红球的个数为. （1）求的分布列与期望； （2）证明为等比数列，并求关于的表达式. 【答案】（1）分布列见解析， （2）证明见解析， 【解析】 【分析】（1）由的可能取值，计算相应的概率，列出分布列，利用公式计算期望； （2）由第次取出来的球的颜色，讨论红球的个数和相应的概率，得与的关系式，通过构造证明为等比数列，利用等比数列的通项求关于的表达式. 【小问1详解】 的可能取值为2，3，4. ， ， ， 则的分布列为 2 3 4 故. 【小问2详解】 ①若第次取出来的是红球，由于每次红球和白球的总个数是5， 则这种情况发生的概率是，此时红球的个数为； ②若第次取出来的是白球，则这种情况发生的概率是， 此时红球的个数为. 故， ， 则，所以是公比为的等比数列. 故， 即. 19. 若函数存在零点，函数存在零点，使得，则称与互为亲密函数. （1）判断函数与是否为亲密函数，并说明理由； （2）若与互为亲密函数，求的取值范围. 附：. 【答案】（1）与互为亲密函数，理由如下， 记是函数的零点，是函数的零点. 因为在上单调递增，且，， 所以. 因为，所以当时，. 又，，解得；，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增. 由，因为，， 所以， 所以，故与互为亲密函数 （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数判断函数单调性，结合零点存在定理判断零点所在区间，由定义证明亲密函数； （2）利用导数求出的零点为1，所以在上有解，则时，有，通过换元构造函数，利用导数求值域，得的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，解得，解得， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以，故有唯一的零点1， 因为与互为亲密函数， 所以在上有解. 由，可得. 因为，所以，令，则，设， ，时，；时，， 则在上单调递减，在上单调递增， ，，，则， 故的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $