专题05 全等三角形的判定与性质（含全等模型）（8大题型+优选提升题）-备战2023-2024学年七年级数学下学期期末真题分类汇编（北师大版）

专题05 全等三角形的判定与性质（含全等模型）（8大题型+优选提升题） 三角形的相关概念 1．（22-23七年级下·安徽淮南·期末）已知三角形两边的长分别是4cm和8cm，则此三角形第三边的长可能是（    ） A．2cm B．4cm C．8cm D．12cm 2．（22-23七年级下·四川成都·期末）如图，在中，点，，分别是，，的中点，若的面积为，则的面积为(        )    A． B． C． D． 3．（22-23七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，．是边上的中线，点在边上，且．若，则的大小为 度．    4．（22-23七年级下·重庆·期末）设、、是的三边，化简： ． 5．（21-22七年级下安徽阜阳·期末）如图，在中，为边上的高，点为边上的一点，连接． (1)当为边上的中线时，若，的面积为，求的长； (2)当为的角平分线时，若，，求的度数． 6．（22-23七年级下·贵州黔西·期末）如图，在同一平面内有三个点A，B，C． (1)利用尺规，按下面的要求作图．（要求：不写画法，保留作图痕迹） ①作射线； ②作线段； ③连接，并在线段上作一条线段，使，连接． (2)观察（1）题得到的图形，请直接写出与的大小关系是_______，依据的数学原理是_______． 图形的全等 1．（21-22七年级下·河北石家庄·期末）全等三角形又叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形与镜面合同三角形，假设△ABC和△A1C1B1是全等（合同）三角形，且点A与点A1对应，点B与点B1对应，点C与点C1对应，当沿周界A→B→C→A及A1→B1→C1→A1环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形（如图①所示）；若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形（如图②所示），两个真正合同三角形，都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合；而两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中的一个进行翻折． 下列各组合同三角形中，是镜面合同三角形的是（　　） A． B． C． D． 2．（21-23·七年级下黑龙江哈尔滨·期末）如图，，点和点是对应顶点，点和点是对应顶点，过点作，垂足为点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（21-22七年级下·河南南阳·期末）如图，≌，若，，则的度数为 ． 4．（22-23七年级下·重庆梁平·期末）如图，图中由实线围成的图形与①是全等形的有 ．（填番号） 5．（22-23七年级下·山东菏泽·期末）如图，，点D在边上，相交于点O．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 6．（22-23七年级下·重庆·期末）如图，已知，，，在同一直线上，试探究当时，与的位置关系，并说明理由． 全等三角形的判定 1．（22-23七年级下·广西南宁·期末）如图，，，能直接判断的依据是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级下·山东泰安·期末）如图，，，要根据“”说明，则还需要添加的一个条件是（    ） A． B． C． D． 3、（22-23七年级下·重庆万州·期末）如图，已知平分，添加一个条件后能够运用“”的方法判定，则这个条件是 4．（22-23七年级下·山东烟台·期末）如图，要测池塘两端A，B的距离，小明先在地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接并延长到D，使；连接并延长到E，使，由和全等得到．那么判定其全等的依据是 （用三个字母表示）． 5．（22-23七年级下·贵州铜仁·期末）如图，已知，，请用尺规作图法，在边上求作一点P，使．（保留作图痕迹．不写作法） (1)请按题中要求先作图，并说出你的作图依据是：___________． (2)请直接写出与的数量关系：___________． 6．（22-23七年级下·四川宜宾·期末）小明和小亮准备用所学数学知识测一池塘的长度，经过实地测量，绘制如下图，点在直线l上（点F、C之间的距离为池塘的长度），点A、D在直线l的异侧，且，，测得．    (1)求证：； (2)若，，求池塘的长度． 全等三角形的性质 1．（22-23七年级下·福建福州·期末）如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（22-23七年级下·湖北武汉·期末）如图，要使，下面给出的四组条件中，错误的一组是(　　) A．， B． ， C．， D．， 3．（22-23七年级下·四川成都·期末）如图，点A，C，B，D在同一条直线上，．若，则的度数为 ． 4．（22-23七年级下·吉林辽源·期末）如图，，点是线段上的一点，交于点，，，， ． 5．（22-23七年级下·四川绵阳·期末）如图，在中，是延长线上一点，满足，过点作，且，连接并延长，分别交，于点，． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 6．（22-23七年级下·山东日照·期末）如图，交于一点，，点C在线段上，且，，连接． (1)求证：； (2)若，则的度数？ 倍长中线模型 1．（22-23七年级下·湖北襄阳·期末）在中，，中线，则边的取值范围是(    ) A． B． C． D． 2．（22-23七年级下·重庆·期末）如图，在中，，，是边上的中线，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．（22-23七年级下·山东滨州·期末）已知在中，为边上中线，若，，则的取值范围是 ． 4．（22-23七年级下·河南驻马店·期末）在△ABC中，AD是BC边上的中线，若AB＝3cm，AC＝5cm，则AD的取值范围是 ． 5．（22-23七年级下·江西赣州·期末）安安同学遇到这样一个问题：如图，中，，，是中线，求的取值范围. 宁宁提示她可以延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决.请解答： (1)和全等吗？请说明理由； (2)求出的取值范围. 6．（21-22七年级下·河北保定·期末）佳佳同学遇到这样一个问题：如图，中，，，是中线，求的取值范围．她的做法是：延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．请回答： (1)为什么？写出推理过程； (2)求出的取值范围； (3)如图，是的中线，在上取一点，连结并延长交于点，若，求证：． 垂线模型 1．（22-23七年级下·安徽阜阳·期末）如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，求点的坐标（    ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级下·陕西西安·期末）勾股定理被誉为“几何明珠”．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图所示，把一个边长分别为3，4，5的三角形和三个正方形放置在大长方形中，则该长方形中空白部分的面积为（　　） A．54 B．60 C．100 D．110 3．（22-23七年级下·河南郑州·期末）如图，，以点为直角顶点在第一象限作等腰直角，则点的坐标为    4．（21-22七年级下·安徽合肥·期末）如图，直角坐标系中，的顶点，分别在坐标轴上，且，，若点、的坐标分别为、，则点的坐标为 ．    5．（22-23七年级下·河北石家庄·期末）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题：    (1)如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到________，．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点； (3)如图3，已知四边形和为正方形，的面积为，的面积为，．求出的值． 6．（22-23七年级下·山西大同·期末）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． (1)如图1．已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：． (2)组员小明对图2进行了探究，若，，直线l经过点A．直线l，直线l，垂足分别为点D、E．他发现线段、、之间也存在着一定的数量关系，请你直接写出段、、之间的数量关系， (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题： 如图3，过的边、向外作正方形和正方形（正方形的4条边都相等，4个角都是直角），是边上的高，延长交于点，若，，求的长． 全等三角形综合 1．（22-23七年级下·甘肃张掖·期末）如图，为线段上一动点（不与点、重合），在同侧分别作正三角形和正三角形与交于点与交于点与交于点，连接，以下七个结论： ①；②；③；④；⑤；⑥是等边三角形；⑦点在的平分线上，其中正确的有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．7个 2．（22-23七年级下·陕西西安·期末）如图，已知线段米，射线于点，射线于，点从点向运动，每秒走1米，点从点向运动，每秒走4米，同时从出发，若射线上有一点P，使得和全等，则线段的长度为（    ）米 A．6或60 B．60 C．24或60 D．6 3．（22-23七年级下·四川成都·期末）如图，中，一内角和一外角的平分线交于点D，连接，，则 ， ． 4．（22-23七年级下·北京朝阳·期末）如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点E为线段的中点．如果点在P线段上以3厘米/秒的速度由B点C向点运动，同时，点Q在线段上由点C向点D运动．当点Q的运动速度为 厘米/秒时，能够使与全等． 5．（22-23七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知于点于点交于点E． (1)如图1，求证： (2)如图2，延长交于点F，请直接写出图2中的所有全等三角形． 6．（22-23七年级下·四川成都·期末）在的高、交于点，． (1)如图1，求证：； (2)如图1，求的度数； (3)如图2，延长到点，过点作的垂线交的延长线于点，当时，探究线段、、的数量关系，并证明你的结论． 用尺规作三角形 1．（22-23七年级下·河南开封·期末）如图，已知和一条长度为的线段，作一个以为底角，为腰长的等腰三角形的方法是：①连接；②以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点；③在的两边上截取；④画射线，以点为圆心，的长为半径画弧，在射线上截取，并以点为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点．以上画法正确的顺序是（　　） A．③④①② B．④③②① C．③④②① D．④③①② 2．（22-23七年级下·河北承德·期末）已知线段a，c，，求作：，使，，． 以下是排乱的作图步骤： 正确作图步骤的顺序是（    ） A．①②③④ B．①③②④ C．①③④② D．①②④③ 3．（22-23七年级下·山西晋城·期末）如图，小明在纸上画了一个三角形，不料被墨水污染了一部分，小刚可以画出一个与小明画的一样的（全等的）三角形，则这两个三角形全等的判定依据是 ． 4．（21-22七年级下·湖北武汉·期末）如图是教科书中的一个片段，由画图我们可以得到△，判定这两个三角形全等的依据是 ． （1）画； （2）分别以点，为圆心，线段，长为半径画弧，两弧相交于点； （3）连接线段，． 5．（22-23七年级下·湖南永州·期末）人教版初中数学教科书七年级下册第39−40页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法： 已知：． 求作：，使得． 作法：如图． （1）画； （2）在的同旁画，，，相交于； （3）即为所求作的三角形． 请你根据以上材料完成下列问题： (1)完成下面证明过程（将正确答案填在相应的空上）： 证明：由作图可知，在和中， 所以________． (2)这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是________．（填序号） ①；②；③；④ 6．（22-23七年级下·湖南长沙·期末）人教版初中数学教科书七年级下册第37—38页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法： 已知：． 求作：，使得． 作法：如图． （1）画； （2）在射线上截取，在射线上截取； （3）连接线段，则即为所求作的三角形． 请你根据以上材料完成下列问题： (1)完成下面证明过程（将正确答案填在相应的空上）： 证明：由作图可知，在和中， ∴ (2)这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是______（填序号） ①    ②    ③    ④ 1．（22-23七年级下·湖北武汉·期末）如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 2．（22-23七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，于点E，于点D，，， 则的长是（  ）    A．5 B．6 C．7 D．8 3．（22-23七年级下·贵州黔南·期末）如图，点在同一条直线上，已知，，添加下列条件中的一个，能使的是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，，且，，是上两点，，．若，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 5．（22-23七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）如图，在中，F是高的交点，，，，则线段的长为(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 6．（22-23七年级下·福建厦门·期末）如图，海岸上有两个观测点，点在点的正东方，海岛在观测点正北方. 海岛在观测点所在海岸的同一侧. 如果从观测点看海岛的视角与从观测点看海岛的视角相等，海岛分别到观测点的距离相等，问海岛在观测点的正北方吗? 请说明理由： 7．（22-23七年级下·新疆哈密·期末）如图，中，于点D，于点E，与交于点F，若，，则线段的长度是 ． 8．（22-23七年级下·河北廊坊·期末）如图，，与相交于点C．，．点P从点A出发，沿方向以的速度运动，同时点Q从点D出发，沿方向以的速度运动，当点P回到点A时，P，Q两点同时停止运动． （1）的长为 ； （2）连接，当线段经过点C时，点P的运动时间为 s． 9．（22-23七年级下·贵州毕节·期末）如图，四边形是等腰梯形，上底，过点作，且，连接．若的面积为，则的长为 ．    10．（22-23七年级下·重庆·期末）如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点为的中点．如果点在线段上以2厘米秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．当点的运动速度为 　　厘米秒时，能够使与全等． 11．（22-23七年级下·四川巴中·期末）如图，于点D，于点E，，与交于点O． (1)求证：； (2)若，，求的长． 12．（22-23七年级下·福建福州·期末）（1）如图1，在四边形中，，，，E，F分别是、上的点，，试探究图1中线段、、之间的数量关系． （2）如图2，在四边形中，，，E，F分别是、上的点，，上述结论是否仍然成立，并说明理由．    13．（21-22七年级下·山东济南·期末）（1）模型的发现： 如图1，在中，，，直线l经过点A，且B、C两点在直线l的同侧，直线l，直线l，垂足分别为点D，请直接写出，和的关系． （2）模型的迁移1：位置的改变 如图2，在（1）的条件下，若B，C两点在直线l的异侧，（1）的结论还成立吗？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明，和的关系，并证明． （3）模型的迁移2：角度的改变 如图3，在（1）的条件下，若三个直角都变为了相等的钝角，即，其中，（1）的结论还成立吗？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明，和的关系，并证明． 14．（22-23七年级下·山东威海·期末）（问题情境）（1）如图1，在四边形中，，，．点E，F分别是和上的点，且，试探究线段，，之间的关系．小明同学探究此问题的方法是：延长到G，使，连接．先证明，再证明，进而得出．你认为他的做法______；（填“正确”或“错误”）． （探索延伸）（2）如图2，在四边形中，，，，，点E，F分别是和上的点，且，上题中的结论依然成立吗？请说明理由． （思维提升）（3）小明通过对前面两题的认真思考后得出：如图3，在四边形中，若，，，那么．你认为正确吗？请说明理由． 15．（22-23七年级下·湖南衡阳·期末）如图，在中， ，，点为的中点． (1)如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动． ①若点的运动速度与点的运动速度相等，经过秒后， 与是否全等，请说明理由. ②若点的运动速度与点的运动速度不相等，当点的运动速度为多少时，能够使与全等？ (2)若点以②中的运动速度从点出发，点以原来的运动速度从点出发都逆时针沿三边运动，直接写出经过多少秒后，点与点第一次在的哪一条边上相遇？ ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 全等三角形的判定与性质（含全等模型）（8大题型+优选提升题） 三角形的相关概念 1．（22-23七年级下·安徽淮南·期末）已知三角形两边的长分别是4cm和8cm，则此三角形第三边的长可能是（    ） A．2cm B．4cm C．8cm D．12cm 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系，“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，设三角形的第三边为，即可得到，据此即可求解． 【详解】解：设三角形的第三边为， 则x的取值范围为， 即． 故选：C 2．（22-23七年级下·四川成都·期末）如图，在中，点，，分别是，，的中点，若的面积为，则的面积为(        )    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的面积的求法，关键是找出三角形面积之间的关系． 根据三角形的面积公式得到，三角形的中线将三角形分为面积相等的两部分，据此解答即可． 【详解】∵是中点， ∴， ∵是中点， ∴，， ∴ ， ∴， 故选：C． 3．（22-23七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，．是边上的中线，点在边上，且．若，则的大小为 度．    【答案】20 【分析】本题考查了三角形内角和定理和等腰三角形的性质．根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质求出，同理求出，求出，再求出答案即可． 【详解】解：，， ， ， ， ，是边上的中线， ， ， ， 故答案为：20． 4．（22-23七年级下·重庆·期末）设、、是的三边，化简： ． 【答案】0 【分析】 本题考查了三角形的三边关系及化简绝对值，根据三角形的三边关系得，，再化简绝对值即可求解，熟练掌握三角形的三边关系及化简绝对值是解题的关键． 【详解】解：依题意得：，， ，， ， 故答案为：0． 5．（21-22七年级下安徽阜阳·期末）如图，在中，为边上的高，点为边上的一点，连接． (1)当为边上的中线时，若，的面积为，求的长； (2)当为的角平分线时，若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形的面积，三角形的中线与高等知识，解题的关键是熟练掌握三角形的基本知识． (1)利用三角形的面积公式求出即可解决问题； (2)根据三角形内角和求出和的度数，然后根据角平分线的定义求得的度数，再根据角的和差关系即可求出． 【详解】（1）解：为边上的高，，的面积为， ， 为边上的中线， 点是的中点， ； （2）解：，，为边上的高， ，， ． 为的角平分线， ， ． 6．（22-23七年级下·贵州黔西·期末）如图，在同一平面内有三个点A，B，C． (1)利用尺规，按下面的要求作图．（要求：不写画法，保留作图痕迹） ①作射线； ②作线段； ③连接，并在线段上作一条线段，使，连接． (2)观察（1）题得到的图形，请直接写出与的大小关系是_______，依据的数学原理是_______． 【答案】(1)见解析 (2)；三角形三边关系“两边之和大于第三边”． 【分析】此题考查了三角形三边关系，射线、线段的画法以及作相等的线段，解题的关键是熟练掌握相关基础知识． （1）①根据射线的性质，作出图形即可；②根据线段的性质，作出图形即可；③根据题意，按照要求作出图形即可； （2）根据三角形三边关系，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：由（1）可知三点形成三角形，则， 依据的数学原理是：三角形三边关系“两边之和大于第三边” 图形的全等 1．（21-22七年级下·河北石家庄·期末）全等三角形又叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形与镜面合同三角形，假设△ABC和△A1C1B1是全等（合同）三角形，且点A与点A1对应，点B与点B1对应，点C与点C1对应，当沿周界A→B→C→A及A1→B1→C1→A1环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形（如图①所示）；若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形（如图②所示），两个真正合同三角形，都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合；而两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中的一个进行翻折． 下列各组合同三角形中，是镜面合同三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据镜面合同三角形的定义判断即可． 【详解】根据真正合同三角形的定义可知，选项A，C，D是真正合同三角形，选项B是镜面合同三角形， 故选：B． 【点睛】本题考查几何变换的类型，全等三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 2．（21-23·七年级下黑龙江哈尔滨·期末）如图，，点和点是对应顶点，点和点是对应顶点，过点作，垂足为点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意易得，，然后问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选B． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质及直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质及直角三角形的性质是解题的关键． 3．（21-22七年级下·河南南阳·期末）如图，≌，若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】由全等三角形对应角相等得到，再根据题目已知条件解出，最后根据三角形外角性质解答即可． 【详解】解：≌， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的性质、三角形外角的性质等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 4．（22-23七年级下·重庆梁平·期末）如图，图中由实线围成的图形与①是全等形的有 ．（填番号） 【答案】②③ 【分析】根据全等图形的定义，两个图形必须能够完全重合才行． 【详解】观察图形，发现②③图形可以和①图形完全重合 故答案为：②③． 【点睛】本题考查全等的概念，任何一组图形，要想全等，则这组图形必须能够完全重合． 5．（22-23七年级下·山东菏泽·期末）如图，，点D在边上，相交于点O．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形外角的性质可得，即可求证； （2）根据全等三角形的性质可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 6．（22-23七年级下·重庆·期末）如图，已知，，，在同一直线上，试探究当时，与的位置关系，并说明理由． 【答案】，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质；根据全等三角形的性质可得根据平行线的性质可得，则，进而根据平角的定义，即可得出，即可得证． 【详解】．理由如下： ， ． ， ， ． ＋， ， ． 全等三角形的判定 1．（22-23七年级下·广西南宁·期末）如图，，，能直接判断的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定条件是解题关键．直接根据“”判断两三角形全等即可． 【详解】解：∵，，， ∴． 故选：A． 2．（22-23七年级下·山东泰安·期末）如图，，，要根据“”说明，则还需要添加的一个条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查添加条件证明三角形全等，根据要求利用“”说明，角度给定，且给定一边，只要找到夹角的另一边即可． 【详解】解：根据题意知利用“”证明， ∵，， ∴添加即可． 故选：A． 3、（22-23七年级下·重庆万州·期末）如图，已知平分，添加一个条件后能够运用“”的方法判定，则这个条件是 【答案】/ 【分析】本题考查三角形全等的判定方法（），注意利用判定两个三角形全等时，必须是两边及其夹角对应相等是解题的关键． 由角平分线的性质可得，要运用定理使，由于是公共边，则需添加条件． 【详解】解：∵平分， ∴， 添加时，证明的理由如下： 在与中， ， ∴； 故答案为：． 4．（22-23七年级下·山东烟台·期末）如图，要测池塘两端A，B的距离，小明先在地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接并延长到D，使；连接并延长到E，使，由和全等得到．那么判定其全等的依据是 （用三个字母表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了用证明三角形全等． 【详解】解：根据题意可得：，，且对应边的夹角， ∴由可证明． 故答案为：. 5．（22-23七年级下·贵州铜仁·期末）如图，已知，，请用尺规作图法，在边上求作一点P，使．（保留作图痕迹．不写作法） (1)请按题中要求先作图，并说出你的作图依据是：___________． (2)请直接写出与的数量关系：___________． 【答案】(1)图见详解， (2) 【分析】本题主要考查三角形外角的性质及角的尺规作图，熟练掌握画一个角与已知角相等的尺规作图是解题的关键； （1）以点C为圆心，适当长为半径画弧，交于M、N，然后以点B为圆心，长为半径画弧，交于点E，进而根据点E为圆心，长为半径画弧，最后问题可求解； （2）根据三角形外角的性质可进行求解． 【详解】（1）解：所作图形如图所示： 作图依据为； 故答案为； （2）解：由（1）可知：， ∴； 故答案为． 6．（22-23七年级下·四川宜宾·期末）小明和小亮准备用所学数学知识测一池塘的长度，经过实地测量，绘制如下图，点在直线l上（点F、C之间的距离为池塘的长度），点A、D在直线l的异侧，且，，测得．    (1)求证：； (2)若，，求池塘的长度． 【答案】(1)证明详见解析； (2)44m． 【分析】本题考查全等三角形判定及性质，平行线的性质等． （1）根据题意利用平行线的性质，全等三角形判定即可得到本题答案； （2）根据题意利用第（1）问结论由全等三角形性质即可得到本题答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵在和中， ， ∴； （2）解：由（1）可知：， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴池塘的长为． 全等三角形的性质 1．（22-23七年级下·福建福州·期末）如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题考查了全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．先根据得到，根据“”对①进行判断；根据“”对③进行判断；根据“”对④进行判断；根据全等三角形的判定方法对②进行判断． 【详解】解：∵， ∴，即， 当时， 在和中， ， ∴； 当时，不能判断． 当时， 在和中， ， ∴； 当时， 在和中， ， ∴； 综上分析可知，能使的条件有3个． 故选：C． 2．（22-23七年级下·湖北武汉·期末）如图，要使，下面给出的四组条件中，错误的一组是(　　) A．， B． ， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查全靠等三角形的判定根据全等三角形的判定定理逐项判定即可． 【详解】解：A、∵，，， ∴()，正确，故此选项不符合题意； B、，，，两边以及一边对角对应相等，不能判定，故此选项符合题意； C、∵，，， ∴()，正确，故此选项不符合题意； D、∵，，， ∴()，正确，故此选项不符合题意； 故选：B． 3．（22-23七年级下·四川成都·期末）如图，点A，C，B，D在同一条直线上，．若，则的度数为 ． 【答案】110 【分析】此题主要考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质，三角形外角的性质．根据，可得，再证明，即可． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：110． 4．（22-23七年级下·吉林辽源·期末）如图，，点是线段上的一点，交于点，，，， ． 【答案】2 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，根据平行线的性质得出，进而证明，根据全等三角形的性质得出，根据，即可求解． 【详解】解：∥， ， 在和中， ， ， ． ， ， 故答案为：． 5．（22-23七年级下·四川绵阳·期末）如图，在中，是延长线上一点，满足，过点作，且，连接并延长，分别交，于点，． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是掌握全等三角形的判定和性质． （1）根据证明与全等即可； （2）根据全等三角形的性质解答即可． 【详解】（1）证明：， ， 在与中， ， ； （2）解：， ∴, ， ∴，则， ∵， ． 6．（22-23七年级下·山东日照·期末）如图，交于一点，，点C在线段上，且，，连接． (1)求证：； (2)若，则的度数？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质． （1）根据，得到，由“”可证，可得； （2）由全等三角形的性质可得，，由三角形外角的性质可求解． 【详解】（1）证明：∵， ， 在和中， ， ， ； （2）解：， ，， ． 倍长中线模型 1．（22-23七年级下·湖北襄阳·期末）在中，，中线，则边的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】延长至，使，然后利用边角边证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出的取值范围，即为的取值范围． 【详解】解：如图，延长至，使，    是的中线， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，， ， 即 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边，遇中线，加倍延,构造出全等三角形是解题的关键． 2．（22-23七年级下·重庆·期末）如图，在中，，，是边上的中线，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长到E，使，连接，证明得到，利用三角形的三边关系得到即可求解． 【详解】解：延长到，使，连接， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴即， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，灵活添加辅助线（倍长中线法）构造全等三角形是解答的关键． 3．（22-23七年级下·山东滨州·期末）已知在中，为边上中线，若，，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】画出图形，延长至，使，连接，证明得到，利用三角形的三边关系即可解答． 【详解】解：如图，延长至，使，连接， ∵为边上中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，，， ∴，即， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系，添加辅助线（倍长中线模型）构造全等三角形是解答的关键． 4．（22-23七年级下·河南驻马店·期末）在△ABC中，AD是BC边上的中线，若AB＝3cm，AC＝5cm，则AD的取值范围是 ． 【答案】1＜AD＜4 【分析】连接AD并延长到点E，使DE=DA，连接BE，利用SAS证得△BDE≌△CDA，进而得到BE=CA，利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可求得AE的取值范围，进而求出AD的取值范围． 【详解】如图，连接AD并延长到点E，使DE=DA，连接BE， ∵在△ABC中，AD是BC边上的中线 ∴BD=CD 在△BDE和△CDA中 ∴△BDE≌△CDA（SAS） ∴BE=CA=5 在△ABE中，AB+BE>AE，且AB﹣BE＜AE ∵AB=3，AC=5 ∴2＜AE＜8 ∴1＜AD＜4 故答案为：1＜AD＜4． 【点睛】本题考点涉及三角形全等的判定及性质、三角形的三边关系等知识点，熟练掌握相关性质定理是解题关键. 5．（22-23七年级下·江西赣州·期末）安安同学遇到这样一个问题：如图，中，，，是中线，求的取值范围. 宁宁提示她可以延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决.请解答： (1)和全等吗？请说明理由； (2)求出的取值范围. 【答案】(1)全等，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形的三边关系； （1）根据中线的性质可得，延长到，使，根据证明 ，即可； （2）根据三角形的三边关系，即可求解． 【详解】（1）解：∵是中线， ∴， 延长到，使， 又， ∴ （2）由（1）可知，，， 在中，，， ∴，即， ∴. 6．（21-22七年级下·河北保定·期末）佳佳同学遇到这样一个问题：如图，中，，，是中线，求的取值范围．她的做法是：延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．请回答： (1)为什么？写出推理过程； (2)求出的取值范围； (3)如图，是的中线，在上取一点，连结并延长交于点，若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由“”可证； （2）由全等三角形的性质可得，由三角形的三边关系可求解； （3）延长至，使，连接，由“”可证，可得，，由等腰三角形的性质可得，可得． 【详解】（1）解：∵是中线， ∴， 延长到，使，且， ∴． （2）解：由（1）可知，，， 在中，，， ∴，即， ∴． （3）证明：如图，延长至，使，连接， ∵是的中线， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，中线的性质，等腰三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 垂线模型 1．（22-23七年级下·安徽阜阳·期末）如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，求点的坐标（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意过A和B分别作AD⊥OC于D，BE⊥OC于E，利用已知条件可证明△ADC≌△CEB，再由全等三角形的性质和已知数据即可求出B点的坐标． 【详解】解：过A和B分别作AD⊥OC于D，BE⊥OC于E， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACD+∠CAD=90°∠ACD+∠BCE=90°， ∴∠CAD=∠BCE， 在△ADC和△CEB中， ∴△ADC≌△CEB（AAS）， ∴DC=BE，AD=CE， ∵点C的坐标为（-2，0），点A的坐标为（-6，3）， ∴OC=2，AD=CE=3，OD=6， ∴CD=OD-OC=4，OE=CE-OC=3-2=1， ∴BE=4， ∴则B点的坐标是（1，4）． 故选：D. 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质和判定、坐标与图形特点，本题能根据AAS证明两三角形全等是关键，利用坐标与图形特点根据坐标写出线段的长，反之，能根据线段的长写出B的坐标，注意象限的符号问题． 2．（22-23七年级下·陕西西安·期末）勾股定理被誉为“几何明珠”．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图所示，把一个边长分别为3，4，5的三角形和三个正方形放置在大长方形中，则该长方形中空白部分的面积为（　　） A．54 B．60 C．100 D．110 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，一线三垂直证明全等是突破本题的关键．利用一线三直角证明三角形全等，可得长方形的长11与宽10，计算出长方形的面积后减去三个正方形的面积即可． 【详解】解：如图延长交于M，其他字母标注如图示：根据题意，，，， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 同理可证， ∴， ∴． 空白部分的面积＝长方形面积三个正方形的面积和． 故选：B． 3．（22-23七年级下·河南郑州·期末）如图，，以点为直角顶点在第一象限作等腰直角，则点的坐标为    【答案】 【分析】过点C作CD⊥y轴于点D，由△ABC为等腰直角三角形即可得出∠ABC＝90°、AB＝BC，通过角的计算即可得出∠ABO＝∠BCD，再结合∠CDB＝∠BOA＝90°即可利用AAS证出△ABO≌△BCD，由此即可得出BD、CD的长度，进而可得出点C的坐标． 【详解】解：过点C作CD⊥y轴于点D，如图所示． ∵△ABC为等腰直角三角形， ∴∠ABC＝90°，AB＝BC． ∵CD⊥BD，BO⊥AO， ∴∠CDB＝∠BOA＝90°． ∵∠CBD+∠ABO＝90°，∠CBD+∠BCD＝90°， ∴∠ABO＝∠BCD． 在△ABO和△BCD中， ， ∴△ABO≌△BCD（AAS）， ∴BD＝AO，CD＝BO， ∵A（4，0），B（0，6）， ∴BD＝4，CD＝6， ∴点C的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题结合等腰直角三角形和坐标点综合考查，关键在于辅助线的作法，过C点作垂直于x轴的垂线还是垂直于y轴的垂线是解题关键． 4．（21-22七年级下·安徽合肥·期末）如图，直角坐标系中，的顶点，分别在坐标轴上，且，，若点、的坐标分别为、，则点的坐标为 ．    【答案】 【分析】过作轴于点，由，可得，从而证明，再根据全等三角形的性质即可求出，，通过线段和差与点在第四象限即可求解． 【详解】如图，过作轴于点，   ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴点坐标为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握判定与性质的应用和全等三角形的垂线模型． 5．（22-23七年级下·河北石家庄·期末）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题：    (1)如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到________，．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点； (3)如图3，已知四边形和为正方形，的面积为，的面积为，．求出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）由即可求解； （2）作，利用“K字模型”的结论可得，故可推出，再证即可； （3）作，利用“K字模型”的结论可得，进一步可证，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ 故答案为：； （2）证明：作    由“K字模型”可得： ∴ 即：点G是的中点 （3）解：作，如图：    ∵四边形和四边形均为正方形 ∴ 由“K字模型”可得： 即： ∵ ∴ 【点睛】本题考查了“一线三等角”的全等模型，熟悉模型的构成条件、证明过程及结论是解题关键． 6．（22-23七年级下·山西大同·期末）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． (1)如图1．已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：． (2)组员小明对图2进行了探究，若，，直线l经过点A．直线l，直线l，垂足分别为点D、E．他发现线段、、之间也存在着一定的数量关系，请你直接写出段、、之间的数量关系， (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题： 如图3，过的边、向外作正方形和正方形（正方形的4条边都相等，4个角都是直角），是边上的高，延长交于点，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据直线l，直线l，，可得，利用可证明，根据即可得到； （2）同（1）利用可证明，根据即可得到； （3）过作于，的延长线于，可构造两组一线三直角全等模型，即：，，从而可以得到，，再根据可得，即可确定的长度； 【详解】（1）证明：∵直线l，直线l， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴，， ∴； （2）∵直线l，直线l， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴，， ∴； （3）如图，过作于，的延长线于， ∴ ∵，， ∴ 在和中， ， ∴ ∴，， 同理可得： ∴，， 即：，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，一线三直角全等模型，线段之间的计算，构造合理的辅助线及掌握等腰直角三角形下的一线三直角全等模型是解决本题的关键． 全等三角形综合 1．（22-23七年级下·甘肃张掖·期末）如图，为线段上一动点（不与点、重合），在同侧分别作正三角形和正三角形与交于点与交于点与交于点，连接，以下七个结论： ①；②；③；④；⑤；⑥是等边三角形；⑦点在的平分线上，其中正确的有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．7个 【答案】A 【分析】由和是正三角形，其性质得三边相等，三个角为，平角的定义和角的和差得，边角边证明，其性质得结论①正确；由， 可得，可得 故⑤正确，角边角证明得，其结论③正确；等边三角形的判定得是等边三角形，结论⑥正确；判定，结论②正确；反证法证明命题，结论④错误；利用全等三角形的对应高相等，可证明点C在的平分线上，结论⑦正确． 【详解】解：如图1所示： ∵和是正三角形， ∴，，， 又∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故结论①正确； ∵， ∴， ， ，故⑤正确， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 故③正确， ∴是等边三角形，故⑥正确 ∴， ∴， ∴， 故②正确； 若， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴与是等边三角形相矛盾，假设不成立， 故结论④错误； 过点C分别作，于点M、N两点， 如图2所示： ∵，，， ∴， 又∵在的内部， ∴点C在的平分线上，故结论⑦正确； 综合所述共有6个结论正确． 故选：A． 【点睛】本题综合考查了全等三角的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，平行线的判定，角平分线性质定理的逆定理和假设法证明命题等相关知识，重点掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，难点是用角平分线性质定理的逆定理作辅助线证明一点已知角的角平分线上． 2．（22-23七年级下·陕西西安·期末）如图，已知线段米，射线于点，射线于，点从点向运动，每秒走1米，点从点向运动，每秒走4米，同时从出发，若射线上有一点P，使得和全等，则线段的长度为（    ）米 A．6或60 B．60 C．24或60 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据题意，分类讨论：当；当；根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：根据题意，设运动时间为， ∴，， ①点是中点，时，，， ∵， ∴， ∴； ②时，时，，， ∴，即， 解得，； ③时， ∵点运动的速度大于点的速度，即， ∴此情况不存在， 综上所述，线段的长度为或， 故选：A ． 3．（22-23七年级下·四川成都·期末）如图，中，一内角和一外角的平分线交于点D，连接，，则 ， ． 【答案】 /40度 /70度 【分析】本题考查的三角形的外角的性质，角平分线的判定与性质，关键是掌握三角形的外角等于不相邻两个内角的和，利用和是 和的外角的性质便可求得．过点D作交BA的延长线于F，于点H，于点T，证明，进而可求出的度数． 【详解】解：的平分线与的外角的平分线相交于点， ，， 是的外角， ， ， ， ， ， ， ． 过点D作交BA的延长线于F，于点H，于点T，如下图所示： ∵是的平分线， ∴． 在和中 ， ， ∴． 同理可证， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：；． 4．（22-23七年级下·北京朝阳·期末）如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点E为线段的中点．如果点在P线段上以3厘米/秒的速度由B点C向点运动，同时，点Q在线段上由点C向点D运动．当点Q的运动速度为 厘米/秒时，能够使与全等． 【答案】3或 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练的建立方程求解，清晰的分类讨论思想解决问题是本题的关键．分两种情况讨论，依据全等三角形的对应边相等，即可得到点Q的运动度； 【详解】解：设点P运动的时间为t秒，则，， ∵， ∵点E为线段的中点． ∴， ∴当时，与全等． 此时，， 解得 ∴， 此时，点Q的运动速度为（厘米/秒） 当，时，与全等． 此时 解得 ∴点Q的运动速度为（厘米/秒）． 故答案为3或． 5．（22-23七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知于点于点交于点E． (1)如图1，求证： (2)如图2，延长交于点F，请直接写出图2中的所有全等三角形． 【答案】(1)见解析； (2)，，． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质， 熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键. （1）根据全等三角形的判定和性质即可得到结论； （2）根据全等三角形的判定定理即可得到结论. 【详解】（1）证明: 于点, 于点, ， 在与中， ， ， ； （2）由（1）知, ∴, ∴, ∵, ∴, 在与中, ， ∴, 在与中， ， ∴, 故图中的所有全等三角形有,,. 6．（22-23七年级下·四川成都·期末）在的高、交于点，． (1)如图1，求证：； (2)如图1，求的度数； (3)如图2，延长到点，过点作的垂线交的延长线于点，当时，探究线段、、的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据直角三角形的两个锐角互余及等角的余角相等即可得出结论； （2）证和全等得，从而得为等腰直角三角形，进而可得的度数； （3）在上截取，连接，先证和全等得，，再证，进而可依据“”判定和全等，从而得，由此可得线段、、的数量关系． 此题主要考查了三角形的高，全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质，理解三角形的高，熟练掌握全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质是解决问题的关键，难点是正确地作出辅助线，构造全等三角形． 【详解】（1）证明：的高、交于点，如图1所示： ，， ，， ， （2）解：在和中， ， ， ， 为等腰直角三角形， ； （3）解：、、的数量关系是：，证明如下： 在上截取，连接，如图2所示： 是的高，， ，， 在和中， ， ， ，， 由（2）可知：，即， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ． 用尺规作三角形 1．（22-23七年级下·河南开封·期末）如图，已知和一条长度为的线段，作一个以为底角，为腰长的等腰三角形的方法是：①连接；②以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点；③在的两边上截取；④画射线，以点为圆心，的长为半径画弧，在射线上截取，并以点为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点．以上画法正确的顺序是（　　） A．③④①② B．④③②① C．③④②① D．④③①② 【答案】C 【分析】本题考查了尺规作图和等腰三角形的作图，解决本题的关键是理解等腰三角形的作图过程，根据尺规作等腰三角形的过程逐项判断即可解答． 【详解】解：已知和一条长度为的线段，作一个以为底角，为腰长的等腰三角形的方法是： ③在的两边上截取； ④画射线，以点为圆心，的长为半径画弧，在射线上截取，并以点为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点； ②以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点； ①连接． 即为所求作的三角形． 画法正确的顺序是③④②①， 故选C． 2．（22-23七年级下·河北承德·期末）已知线段a，c，，求作：，使，，． 以下是排乱的作图步骤： 正确作图步骤的顺序是（    ） A．①②③④ B．①③②④ C．①③④② D．①②④③ 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的基本作图，熟练掌握作图的基本步骤是解题的关键．根据基本作图，先作射线并在射线上截取，再作，接着在上截取，最后连接即可． 【详解】解：由作图步骤：先作射线并在射线上截取，再作，接着在上截取，最后连接， 则正确作图步骤的顺序是①③②④， 故选：B． 3．（22-23七年级下·山西晋城·期末）如图，小明在纸上画了一个三角形，不料被墨水污染了一部分，小刚可以画出一个与小明画的一样的（全等的）三角形，则这两个三角形全等的判定依据是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了应用与设计作图，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键． 作出小刚画出的三角形，再利用全等三角形的判定定理得出即可． 【详解】解：已知：线段和，，求作：，使，，． 作法：（1）作； （2）在射线上截取线段； （3）以为顶点，以为一边作，交于点， 就是所求的三角形． 由作图可知：，，， ∴ 故答案为：． 4．（21-22七年级下·湖北武汉·期末）如图是教科书中的一个片段，由画图我们可以得到△，判定这两个三角形全等的依据是 ． （1）画； （2）分别以点，为圆心，线段，长为半径画弧，两弧相交于点； （3）连接线段，． 【答案】 【分析】根据全等三角形的判定方法解决问题即可． 【详解】解：在和△中， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了作图−复杂作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活应用所学知识解决问题． 5．（22-23七年级下·湖南永州·期末）人教版初中数学教科书七年级下册第39−40页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法： 已知：． 求作：，使得． 作法：如图． （1）画； （2）在的同旁画，，，相交于； （3）即为所求作的三角形． 请你根据以上材料完成下列问题： (1)完成下面证明过程（将正确答案填在相应的空上）： 证明：由作图可知，在和中， 所以________． (2)这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是________．（填序号） ①；②；③；④ 【答案】(1)，， (2)② 【分析】本题考查作图应用与设计作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据证明三角形全等即可； （2）由（1）中证明，可得结论． 【详解】（1）解：由作图可知，在和中， ， ． （2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是， 故答案为：②． 6．（22-23七年级下·湖南长沙·期末）人教版初中数学教科书七年级下册第37—38页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法： 已知：． 求作：，使得． 作法：如图． （1）画； （2）在射线上截取，在射线上截取； （3）连接线段，则即为所求作的三角形． 请你根据以上材料完成下列问题： (1)完成下面证明过程（将正确答案填在相应的空上）： 证明：由作图可知，在和中， ∴ (2)这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是______（填序号） ①    ②    ③    ④ 【答案】(1)；； (2)③ 【分析】本题考查了作图－复杂作图，全等三角形的判定等知识： （1）根据作图信息，利用“”证明三角形全等即可； （2）利用（1）中证明可得结论． 【详解】（1）解：由作图可知，在和中， ， ∴， 故答案为：；； （2）解：这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是， 故答案为：③． 1．（22-23七年级下·湖北武汉·期末）如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】 本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线，解题的关键是利用全等的性质将面积进行转化． 将绕点A逆时针旋转至，首先证明点D，E，F三点共线，证明，得到，，再将所求面积转化为进行计算即可． 【详解】 如图，将绕点A逆时针旋转至， ，， 则，， ，即点D，E，F三点共线， ， ， 即， 在和中 ， ， ， ， 五边形的面积为： ， ， ． 故选：D． 2．（22-23七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，于点E，于点D，，， 则的长是（  ）    A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（AAS）和性质（全等三角形的对应边）是解题的关键．根据直角三角形的两锐角互余及角的和差得到，即可证明，可得，，根据，即可解题． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴． 故选：B． 3．（22-23七年级下·贵州黔南·期末）如图，点在同一条直线上，已知，，添加下列条件中的一个，能使的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定逐一判断即可求解，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， 即， 、添加，不能判定，不合题意； 、添加，根据可以判定，符合题意； 、添加，不能判定，不合题意； 、添加，不能判定，不合题意； 故选：． 4．（22-23七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，，且，，是上两点，，．若，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质．正确掌握相关性质内容是解题的关键． 由可得，由，可得，，从而，进而证得，可得，，推出，代入数据即可解答． 【详解】∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴． 故选：B 5．（22-23七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）如图，在中，F是高的交点，，，，则线段的长为(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质等知识；证明三角形全等是解题的关键．先证明，从而利用证明，利用全等三角形对应边相等就可得到结论． 【详解】证明：∵F是高和的交点， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：A． 6．（22-23七年级下·福建厦门·期末）如图，海岸上有两个观测点，点在点的正东方，海岛在观测点正北方. 海岛在观测点所在海岸的同一侧. 如果从观测点看海岛的视角与从观测点看海岛的视角相等，海岛分别到观测点的距离相等，问海岛在观测点的正北方吗? 请说明理由： 【答案】证明得出，即海岛在观测点的正北方 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，证明得出，即可得解，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：，， 海岛分别到观测点的距离相等， ， 在和中， ， ， ， 海岛在观测点的正北方， 故答案为：证明得出，即海岛在观测点的正北方． 7．（22-23七年级下·新疆哈密·期末）如图，中，于点D，于点E，与交于点F，若，，则线段的长度是 ． 【答案】/2厘米 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，直角三角形两个锐角互余等知识，证明，从而得到，再根据，求解即可．掌握判定得到是解题的关键． 【详解】解：∵于点D，于点E， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 故答案是： 8．（22-23七年级下·河北廊坊·期末）如图，，与相交于点C．，．点P从点A出发，沿方向以的速度运动，同时点Q从点D出发，沿方向以的速度运动，当点P回到点A时，P，Q两点同时停止运动． （1）的长为 ； （2）连接，当线段经过点C时，点P的运动时间为 s． 【答案】 8 2或4 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是注意分情况讨论． （1）证，可得答案； （2）当线段经过点C时，证明，推出，分点P沿方向运动和沿方向运动两种情况，分别列式求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， 在和中， ， ， ， （2）当线段经过点C时，如下图所示： 在和中， ， ， ， 当点P沿方向运动时，，， ， ， 解得； 当点P沿方向运动时，，， ， ， 解得； 综上可知，t的值为或， 故答案为：（1）8；（2）2或4． 9．（22-23七年级下·贵州毕节·期末）如图，四边形是等腰梯形，上底，过点作，且，连接．若的面积为，则的长为 ．    【答案】30 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质与判定，等腰梯形的性质等等，过点E作交延长线与F，过点D作于G，过点C作于H，先根据三角形面积公式求出，证明，得到，再证明，得到，进一步证明，则． 【详解】解：如图所示，过点E作交延长线与F，过点D作于G，过点C作于H， ∵的面积为，， ∴， ∴， ∵四边形是等腰梯形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 同理可得， ∴， ∴， 故答案为：30．    10．（22-23七年级下·重庆·期末）如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点为的中点．如果点在线段上以2厘米秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．当点的运动速度为 　　厘米秒时，能够使与全等． 【答案】2或3 【分析】本题考查了全等三角形的判定，解一元一次方程等知识，分两种情况讨论，依据全等三角形的对应边相等，即可得到点Q的运动速度，利用分类讨论思想，由分类情况列方程解决问题是本题的关键． 【详解】解：设点运动的时间为秒，则，， ， 当，时，与全等，此时，，解得， ， 此时，点的运动速度为（厘米秒）， 当，时，与全等，此时，，解得， 点的运动速度为（厘米秒）， 故答案为：2或3． 11．（22-23七年级下·四川巴中·期末）如图，于点D，于点E，，与交于点O． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）根据即可证明； （2）证明，进而即可求解 【详解】（1）证明：∵于点D，于点E ∴ 在与中， ∴（） （2）解：由（1）得， ∴，， ∴，即 又∵， ∴（） ∴， ∴， ∵，， ∴ 12．（22-23七年级下·福建福州·期末）（1）如图1，在四边形中，，，，E，F分别是、上的点，，试探究图1中线段、、之间的数量关系． （2）如图2，在四边形中，，，E，F分别是、上的点，，上述结论是否仍然成立，并说明理由．    【答案】（1） （2）成立，理由见解析 【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理和正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）延长至G，使，由可直接证明，即得出，．结合题意又易证，得出，进而得出； （2）延长到点G，使，连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题． 【详解】（1）证明：延长至G，使，（如图）．    在和中， ， ∴， ∴，． ∵，， ∴， ∴，即， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． （2）解：结论仍然成立； 理由：如图，延长到点G，使，连接．    在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． 13．（21-22七年级下·山东济南·期末）（1）模型的发现： 如图1，在中，，，直线l经过点A，且B、C两点在直线l的同侧，直线l，直线l，垂足分别为点D，请直接写出，和的关系． （2）模型的迁移1：位置的改变 如图2，在（1）的条件下，若B，C两点在直线l的异侧，（1）的结论还成立吗？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明，和的关系，并证明． （3）模型的迁移2：角度的改变 如图3，在（1）的条件下，若三个直角都变为了相等的钝角，即，其中，（1）的结论还成立吗？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明，和的关系，并证明． 【答案】（1）；（2）（1）的结论不成立，，理由见解析；（3）（1）的结论成立，，理由见解析； 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的外角性质、直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）证明≌，根据全等三角形的性质得到，，结合图形得出结论； （2）仿照（1）的方法证明； （3）仿照（1）的方法证明． 【详解】证明：（1），理由如下： ，， ， 在和中， ， ， ，， ； （2）解：（1）的结论不成立，， 证明如下：， ， 直线l， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （3）解：（1）的结论成立， 理由如下：，， ， 在和中， ， ， ，， ． 14．（22-23七年级下·山东威海·期末）（问题情境）（1）如图1，在四边形中，，，．点E，F分别是和上的点，且，试探究线段，，之间的关系．小明同学探究此问题的方法是：延长到G，使，连接．先证明，再证明，进而得出．你认为他的做法______；（填“正确”或“错误”）． （探索延伸）（2）如图2，在四边形中，，，，，点E，F分别是和上的点，且，上题中的结论依然成立吗？请说明理由． （思维提升）（3）小明通过对前面两题的认真思考后得出：如图3，在四边形中，若，，，那么．你认为正确吗？请说明理由． 【答案】（1）正确；（2）成立，见解析；（3）正确，见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，正确做辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）延长到点，使，连接，先证明，可得，再证明，可得，进而得出，即可解题； （2）证明方法同（1）：延长到点，使，连接，先证明，可得，再证明，可得，进而得出即可解题； （3）证明方法同（2）：延长到点，使，连接，先证明，可得，再证明，可得，进而得出即可解题． 【详解】（1）解：如图1，延长到点，使，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：正确； （2）解：上题中的结论依然成立； 如图2，延长到点，使，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在和中，   ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：正确， 如图3，延长到点，使，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵ ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 15．（22-23七年级下·湖南衡阳·期末）如图，在中， ，，点为的中点． (1)如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动． ①若点的运动速度与点的运动速度相等，经过秒后， 与是否全等，请说明理由. ②若点的运动速度与点的运动速度不相等，当点的运动速度为多少时，能够使与全等？ (2)若点以②中的运动速度从点出发，点以原来的运动速度从点出发都逆时针沿三边运动，直接写出经过多少秒后，点与点第一次在的哪一条边上相遇？ 【答案】(1)①与全等；② (2)经过30秒后点与点第一次在的边上相遇经 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形上运动问题. （1）①根据路程等于速度乘以时间，确定，结合已知，得到 ，结合等边对等角原理，证明即可. ②根据前面证明可得，当点的运动速度与点的运动速度不相等时，全等的可能是，设点Q的速度为，运动时间为t，根据全等，构造等式计算即可. （2）设经过秒时，，第一次相遇，根据题意，得，解方程即可. 【详解】（1）①与全等， ∵点的运动速度是， ∴点的运动速度是， ∴运动秒时，， ∵，    ∴， ∵，为的中点， ∴，      ∴. ∵，     ∴， ∵ ∴. ②根据前面证明可得，当点的运动速度与点的运动速度不相等时，全等的可能是，设点Q的速度为，运动时间为t，根据题意，得 ，， 解得，， 解得， 故点Q的速度为，. （2）设经过秒时，，第一次相遇， ∵ 的速度是， 的速度是， ∴， 解得：， 此时点的路程， ∵ ， ∴此时点在上， ∴经过30秒后点与点第一次在的边上相遇． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$