专题03 相交线与平行线（含平行模型）（10大题型+优选提升题）-备战2023-2024学年七年级数学下学期期末真题分类汇编（北师大版）

专题03 相交线与平行线（含平行模型）（10大题型+优选提升题） 与余角、补角有关的计算 1．（22-23七年级下·云南楚雄·期末）若和互为余角， 与互补，则等于(　　) A． B． C． D． 2．（22-23七年级下·湖南衡阳·期末）如图，已知，，点在同一条直线上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23七年级下·云南玉溪·期末）如图，于点，经过点，， ． 4．（22-23七年级下·河南郑州·期末）如图，将一副三角尺按照以下方式摆放．已知，则 ． 5．（21-22七年级下·四川成都·期末）已知：点为直线上一点，过点作射线，． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，过点作射线，使，作的平分线，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，作射线，若与互余，请画出图形，并求的度数． 6．（22-23七年级下·河南开封·期末）如图，直线与相交于，，分别是，的平分线． (1)写出的补角； (2)若，求和的度数； (3)试问射线与之间有什么特殊的位置关系？为什么？ 垂线相关概念 1．（22-23七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，三条直线相交于点O，且，若平分．的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（22-23七年级下·云南迪庆·期末）如图所示，直线，相交于点，于点，且，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 3．（22-23七年级下·山东济南·阶段练习）如图，直线、相交于点，平分，于点．若，则下列说法：①；②；③．其中正确的是 （填序号）． 4．（22-23七年级下·江西吉安·期末）如图，已知A，O，B三点共线，平分，，过点在的内部作射线，若射线与图中射线所成的角为直角时，则的度数为 ． 5．（22-23七年级下·安徽六安·期末）如图，直线与交于点，已知和位于的两侧，且，平分，若，求的度数． 6．（22-23七年级下·四川自贡·期末）如图，直线，相交于点O，，垂足为O．若，求和的度数． 对顶角 1．（22-23七年级下·河南郑州·期末）如图，直线与相交于点，，平分，若，则的度数是(    ) A． B． C． D． 2．（22-23七年级下·重庆南川·期末）如图，直线相交于点，若射线平分，射线平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23七年级下·安徽阜阳·期末）如图，直线与相交于点，，则 ． 4．（22-23七年级下·海南海口·期末）如图，直线相交于点O，平分，若，则等于 度． 5．（22-23七年级下·四川绵阳·期末）如图，直线相交于点O，平分，平分． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 6．（22-23七年级下·江西上饶·期末）如图，直线相交于点平分．    (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 邻补角 1．（22-23七年级下·云南昆明·期末）如图，是直线上一点，，平分，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级下·四川成都·期末）已知与互为邻补角，且．平分，射线使，当时，则的度数为（本题中所有角都是指大于且小于的角）（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 3．（22-23七年级下·重庆·期末）如图，直线、相交于点，平分，若，则 ． 4．（22-23七年级下·广东东莞·期末）如图，直线、相交于点O，，平分，若，则的度数为 ． 5．（22-23七年级下四川成都·期末）如图，直线，相交于点O，把分成两部分． (1)的对顶角为__________，的邻补角为__________； (2)若，且，求的度数． 6．（22-23七年级下·广东清远·期末）如图，已知点O为直线上一点，，平分 (1)若，则＿＿＿°； (2)若求的度数（用含n的代数式表示）； (3)在（2）题的基础上，如图2，在的内部作射线，使平分求的度数 同位角、内错角、同旁内角 1．（22-23七年级下·福建厦门·期末）如图，和的位置关系是（    ） A．对顶角 B．同位角 C．内错角 D．同旁内角 2．（22-23七年级下·山东济宁·期末）如图，下列说法正确的是（   ） ①和是同位角；②和是同位角；③和是同旁内角；④和是内错角    A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 3．（22-23七年级下·河南洛阳·期末）如图，给出下列结论：①与是同旁内角；②与是同位角；③与是内错角；④与是同位角；⑤与是对顶角．其中说法正确的是 ．（填序号）    4．（21-22七年级下·广西梧州·期末）如图，直线和被第三条直线所截，与成内错角的是 ． 5．（22-23七年级下·甘肃武威·期末）如图，直线与的边相交． (1)写出图中的同位角、内错角和同旁内角． (2)如果，那么与相等吗？与互补吗？为什么？ 6．（22-23七年级下·宁夏银川·期末）如图，把一根筷子一端放在水里，一端露出水面，筷子变弯了？其实没有，这是光的折射现象，光从空气中射入水中，光的传播方向发生了改变． (1)请指出的同旁内角与的内错角； (2)若测得，，从水面上看斜插入水中的筷子，水下部分向上折弯了多少度？请说明理由． 平行公理 1．（22-23七年级下·四川成都·期末）下面推理正确的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（22-23七年级下·四川眉山·期末）已知直线a，b，c是同一平面内的三条不同直线，下面四个结论： ①若则；②若则；③若则；④若且与相交，则与相交，其中，结论正确的是（　） A．①② B．③④ C．①②③ D．②③④ 3．（21-22七年级下·安徽宿州·期末）已知直线a、b、c，满足，，那么直线b、c的位置关系是 ． 4．（2021七年级下·四川成都·期末）小军在一张纸上画一条直线，再画这条直线的平行线，然后依次画前一条直线的平行线，当他画到第十条直线时，第十条直线与第一条直线的位置关系是 ． 5．（22-23七年级下·福建泉州·期末）如图，在方格纸中，点是的边上的一点，点，，都在格点上． (1)过点画直线，交于点； (2)过点画的垂线，交于点； (3)在（2）的前提下，点到直线的距离是哪条线段的长度? （直接写出答案，不必说明理由） 6．（22-23七年级下·山东临沂·期末）如图，由相同的小正方形组成的网格线的交点叫格点，格点P是的边上的一点（请利用网格作图，保留作图痕迹）． (1)过点P画的垂线m，交于点C；过点B画的平行线，交直线m于点D；过点P画的平行线． (2)线段______的长度是点O到的距离； (3) 的理由是______． (4)______（位置关系），理由是______． 平行线的判定与性质 1．（22-23七年级下·河南周口·期末）如图，，直线分别交于点，平分，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（21-22七年级下·广东河源·期末）如图，直线 分别交 ，于点，，平分，，若 ，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（22-23七年级下·湖南衡阳·期末）如图，直线，将三角板按如图方式放置，直角顶点在上，若，则 ． 4．（22-23七年级下·辽宁营口·期末）一副三角板按如图所示方式叠放，两三角板的斜边互相平行，则∠等于 ．    5．（21-22七年级下·广西百色·期末）如图，与交于点，，，求的度数．请完成下列解答过程： 解：因为与交于点， 所以，依据是________； 因为，     所以_______，依据是________； 所以． 6．（22-23七年级下·河南鹤壁·期末）如图，，的平分线交的平分线于点E，交于点F，，求的度数.    根据平行线的判定与性质求角度 1．（22-23七年级下·四川凉山·期末）如图，，平分交于点．若，则的大小为（　　） A． B． C． D． 2．（22-23七年级下·河北保定·期末）我市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面l平行，，，当为（    ）度时，． A．15 B．65 C．70 D．115 3．（22-23七年级下·甘肃白银·期末）如图，，直线分别交于点E、F，平分∠AEF，，则的度数为 ． 4．（22-23七年级下·四川成都·期末）将一个含有角的直角三角板如图所示放置，其中一个角的顶点落在直线上，含角的顶点落在直线上．若，，则的度数为 ． 5．（22-23七年级下·福建厦门·期末）如图，直线，直线交a，b于点A，B，的平分线交直线b于点C．若，求的度数． 6．（22-23七年级下·四川达州·期末）如图，已知直线，，它的顶点O在上，两边分别与、相交于点P，点Q，射线始终在的内部．    (1)求的度数； (2)直接写出与的数量关系：______． (3)若的度数为α，且，其余条件不变，则与的数量关系为______．（用含α的式子表示） 题型09 平行模型 1．（22-23七年级下·山西大同·期末）如图，直线，点A，B分别在直线a，b上，连接．D是直线a，b之间的一个动点，过点D作交直线b于点C，连接．若，则的度数不可能为（　　） A． B． C． D． 2．（22-23七年级下·安徽蚌埠·期末）如图，已知，若按图中规律，则（    ） A． B． C． D． 3．（22-23七年级下·四川成都·期末）如图，则图中，，，的数量关系是 ． 4．（22-23七年级下·陕西西安·期末）如图，，点为与之间两点，，若，，则的度数为 ． 5．（22-23七年级下·宁夏银川·期末）（1）如图1，已知直线且分别交、于点A、B，分别交、于点C、D，点P在线段上，连接、，试确定之间的数量关系，并说明理由； （2）在图2中，小刀的刀片是上下平行的，刀柄外形是一个直角梯形（下面挖去一个小的半圆），求的度数．      6．（22-23七年级下·山东东营·期末）如图，将一直角三角板放在两条平行线之间，可以求两角之和或两角之差．    (1)在图甲中，容易求得．则在图乙中，可以求得的度数为______； (2)在图丙中，请问，的数量关系式是什么？并说明理由； (3)在图丁中，请问，的数量关系式是什么？并说明理由． 题型10 尺规作角 1．（22-23七年级下·吉林·期末）用直尺和圆规作的过程中，弧③是（   ） A．以为圆心，以长为半径画弧 B．以为圆心，以长为半径画弧 C．以为圆心，以长为半径画弧 D．以为圆心，以长为半径画弧 2．（22-23七年级下·河北邢台·期末）老师设置了一个问题，让同学们体验“经过已知角一边上的点，做一个角等于已知角”的作法． 问题：如图，用尺规过的边上一点（图1）作（图2）． 作图步骤已打乱，请同学们寻找出正确的排序． ①以点为圆心，的长为半径作弧，交于点； ②以点为圆心，小于的长为半径作弧，分别交于点； ③以点为圆心，的长为半径作弧，与已画的弧交于点； ④作射线． 下列排序正确的是（    ） A．①②③④ B．④③①② C．③②④① D．②①③④ 3、（22-23七年级下·四川成都·期末）如图，，以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点C、D，画射线，以点为圆心，为半径画弧交于点，以点为圆心，长为半径依次画弧，分别交前弧于点E、F、G，画射线，反向延长，画出的角平分线，则为 ．（用含的代数式表示） 4．（22-23七年级下·河北沧州·期末）下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：直线和直线外一点； 求作：直线，使得直线经过点且． 作法： （1）在直线上任取一点； （2）连接并延长； （3）以为圆心，以任意长为半径画弧，分别交直线和线段于点，点； （4）以为圆心，以为半径画弧，交线段于点； （5）以为圆心，以为半径画弧，与上一圆弧交于点； （6）作直线，即为直线． 所以，直线即为所求．    这样作图的依据是 ． 5．（22-23七年级下·安徽合肥·期末）如图，已知线段a和，请利用尺规，按下列步骤作图（保留作图痕迹，不写作法） (1)作，使； (2)在边上确定点D，使． 6．（22-23七年级下·山东青岛·期末）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：，点为的边上一点． 求作：直线，使． 1．（22-23七年级下·湖北孝感·期末）已知的余角是，的补角是，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 2．（22-23七年级下·河南周口·期末）如图，，直线分别交于点，平分，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．（22-23七年级下·贵州毕节·期末）一把直尺按如图所示摆放，，且，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 4．（21-22七年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，，F为上一点，，且平分，过点F作于点G，且，则下列结论： ①； ②； ③平分； ④平分． 其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（22-23七年级下·天津河北·期末）如图，直线，交于点，，，平分．给出下列结论，其中正确的结论是（    ） ①当时，；        ②平分； ③与相等的角有3个；④． A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 6．（22-23七年级下·广东肇庆·期末）如图，将三个同样的直角三角尺的直角顶点重合放置，那么的度数为 ． 7．（22-23七年级下·山西吕梁·期末）如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数为 8．（22-23七年级下·河南南阳·期末）如图，点O为直线上一点，过点O作射线，使．将直角三角板绕点O旋转一周，当直线与直线互相垂直时，的度数是 ．    9．（22-23七年级下·湖南衡阳·期末）如图，，，若，则 度． 10．（22-23七年级下·山东菏泽·期末）如图所示，已知，直线分别交于E、F两点，平分，交于点G．若，则 度． 11．（22-23七年级下·河南信阳·期末）如图，直线相交于点，，平分． (1)若，求的度数； (2)若比大，求的度数． 12．（21-22七年级下·广西贵港·期末）如图，直线，与a，b分别相交于点A，B，且，交直线b于点C． (1)若，求的度数； (2)若，求直线a与b的距离． 13．（22-23七年级下·河南新乡·期末）在综合与实践课上，老师让同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知两直线，，且，直角三角尺中，，． (1)【操作发现】 如图（1），当三角尺的顶点B在直线b上时，若，则 °； (2)【探索证明】 如图（2），当三角尺的顶点C在直线b上时，请写出∠1与∠2间的数量关系，并说明理由； (3)【拓展应用】 如图（3），把三角尺的顶点B放在直线上且保持不动，旋转三角尺，点A始终在直线（D为直线上一点）的上方，若存在，请直接写出射线与直线a所夹锐角的度数． 14．（22-23七年级下·河南南阳·期末）课题学习：平行线问题中的转化思想． 【阅读理解】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”．与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”中，且都分布在“第三条直线”的两旁．当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”，这体现了转化思想．有这样一道典型问题： 例题：如图1．已知，点E在直线、之间，探究与、之间的关系． 解：过点E作． ，， ， ，， ， ． 【学以致用】 (1)如图1，当，时，_______； (2)①如图2，已知，若，，求出的度数． ②如图3，在①的条件下，若、分别平分和，求的度数． 15．（22-23七年级下·广东汕头·期末）在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线和一块含角的直角三角尺（，）”为主题开展数学活动． (1)如图1，若三角尺的角的顶点G放在上，若，求的度数； (2)如图2，小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在和上，请你探索并说明与间的数量关系； (3)如图3，小亮把三角尺的直角顶点F放在上，角的顶点E落在上，请你探索并说明与间的数量关系． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 相交线与平行线（含平行模型）（10大题型+优选提升题） 与余角、补角有关的计算 1．（22-23七年级下·云南楚雄·期末）若和互为余角， 与互补，则等于(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 本题主要考查余角和补角，先根据与互补以及的度数求出的度数，然后根据和互为余角即可求出的度数． 【详解】解：与互补，， ， 和互为余角， ． 故选：C． 2．（22-23七年级下·湖南衡阳·期末）如图，已知，，点在同一条直线上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了余角和补角的知识，属于基础题，关键是掌握互余的两角之和为，互补的两角之和为．首先根据余角的概念求出，然后根据邻补角互补求解即可． 【详解】∵，， ∴， ∵点在同一条直线上， ∴， ∴． 故选：B． 3．（22-23七年级下·云南玉溪·期末）如图，于点，经过点，， ． 【答案】/40度 【分析】本题考查了垂直的定义，以及平角等于．根据垂直的定义求出，然后根据平角等于列式计算即可得解． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 4．（22-23七年级下·河南郑州·期末）如图，将一副三角尺按照以下方式摆放．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了互为余角的定义和度分秒的换算，观察图形，根据已知条件可得，然后列出算式求，进行计算即可． 【详解】解：由题意可知：， ， ， 故答案为：． 5．（21-22七年级下·四川成都·期末）已知：点为直线上一点，过点作射线，． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，过点作射线，使，作的平分线，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，作射线，若与互余，请画出图形，并求的度数． 【答案】(1) (2) (3)图见解析，或 【分析】本题考查了余角和补角，角平分线的定义，数形结合根据射线的位置分类讨论是解题关键． （1）根据平角的定义计算求值即可； （2）根据余角的定义可得，根据角平分线的定义可得，再计算角度和即可； （3）由余角的定义可得，分射线在内部、射线在外部两种情况，分别计算角的差、和即可． 【详解】（1）解：∵ ∴； （2）解：由（1）得， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴； （3）解：由（2）得， ∵与互余， ∴， ∴， ①当射线在内部时，如图，   ； ②当射线在外部时，如图，   ． 综上所述，的度数为或． 6．（22-23七年级下·河南开封·期末）如图，直线与相交于，，分别是，的平分线． (1)写出的补角； (2)若，求和的度数； (3)试问射线与之间有什么特殊的位置关系？为什么？ 【答案】(1)，， (2)； (3)射线与互相垂直，见解析 【分析】本题考查了角平分线、补角、垂线的定义以及角的计算，属于基础题型，比较简单． （1）根据互补的定义确定的补角； （2）先根据角平分线的定义得出的度数，再由邻补角定义可得；先根据邻补角定义可得，再由角平分线的定义得出的度数； （3）运用平角的定义和角平分线的定义，证明是，得直线的位置关系． 【详解】（1）解：， 的补角为：，，． （2）是的平分线， ，； ， ； ， ； 又是的平分线， ． （3）射线与互相垂直．理由如下： ，分别是，的平分线， ． ． 即射线、的位置关系是垂直． 垂线相关概念 1．（22-23七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，三条直线相交于点O，且，若平分．的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角相等，角平分线，垂线等知识．熟练掌握对顶角相等，角平分线，明确角度之间的数量关系是解题的关键． 由题意知，，由平分，可得，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 2．（22-23七年级下·云南迪庆·期末）如图所示，直线，相交于点，于点，且，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂线，对顶角、邻补角，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．根据垂直定义可得，然后利用平角定义进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A 3．（22-23七年级下·山东济南·阶段练习）如图，直线、相交于点，平分，于点．若，则下列说法：①；②；③．其中正确的是 （填序号）． 【答案】①②③ 【分析】此题主要考查角平分线的性质和等角转换，熟练运用，即可解题．①根据角平分线的性质，得出，然后根据对顶角相等，得出，进而得出；②根据，，得出，从而求出结果；③由，求出结果即可． 【详解】解：① ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴，符合题意； ②∵，， ∴， ∴；符合题意； ③∵， ∴，符合题意； 综上分析可知，正确的是①②③． 故答案为：①②③． 4．（22-23七年级下·江西吉安·期末）如图，已知A，O，B三点共线，平分，，过点在的内部作射线，若射线与图中射线所成的角为直角时，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查垂直、角平分线的性质和分类讨论思想，分和，分别求得即可． 【详解】解：当，如图，    ∵，， ∴； 当，如图，    ∵， ∴， ∵平分， ∴， 则； 综上所述，为或． 5．（22-23七年级下·安徽六安·期末）如图，直线与交于点，已知和位于的两侧，且，平分，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了垂线，角平分线的定义和对顶角的性质，解题的关键是掌握角的和差计算和角平分线的定义． 根据，得，所以，再根据平分，得，根据对顶角的性质得． 【详解】解：， ， ， ， 平分， ， ． 6．（22-23七年级下·四川自贡·期末）如图，直线，相交于点O，，垂足为O．若，求和的度数． 【答案】， 【分析】本题主要考查了垂直的性质，对顶角相等以及邻补角的定义，根据，求得度数，然后由对顶角相等的性质，邻补角定义分别求，的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 对顶角 1．（22-23七年级下·河南郑州·期末）如图，直线与相交于点，，平分，若，则的度数是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是对顶角相等以及垂直的定义，根据对顶角相等求出，根据角平分线的定义求出，根据余角的概念计算即可． 【详解】解：， ， 平分， ， ， ． 故选：B． 2．（22-23七年级下·重庆南川·期末）如图，直线相交于点，若射线平分，射线平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质和平角的定义，对顶角的性质等知识，根据角平分线的性质可得，再根据平角的定义可得，根据对顶角的性质即可求解． 【详解】解：射线平分， ， 射线平分， ， ， ， ， ， . 故选：B． 3．（22-23七年级下·安徽阜阳·期末）如图，直线与相交于点，，则 ． 【答案】/36度 【分析】此题考查了角度和差，平角的定义和对顶角相等，解题的关键是熟练掌握角度和差的运算及正确理解对顶角相等． 【详解】∵，， ∴，， ∴， 故答案为：． 4．（22-23七年级下·海南海口·期末）如图，直线相交于点O，平分，若，则等于 度． 【答案】 【分析】本题考查了垂线，角平分线的定义，对顶角、邻补角，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．先根据对顶角相等可得，然后利用角平分线的定义可得，再根据垂直定义可得，从而利用平角定义求出，最后利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（22-23七年级下·四川绵阳·期末）如图，直线相交于点O，平分，平分． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了几何图形中的角度计算，对顶角相等，角平分线的定义，采用数形结合的思想，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． （1）由角平分线定义得到，即可得到答案； （2）由平角定义得到，由对顶角的性质得到，而，即可求出的度数． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 6．（22-23七年级下·江西上饶·期末）如图，直线相交于点平分．    (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角平分线的定义，邻补角的定义，对顶角的定义． （1）由角平分线的定义可求出，再根据对顶角相等即可求解； （2）设，则，根据，可列出关于x的方程，解出x的值，即可求出的大小，再根据（1）同理即可求出的大小． 【详解】（1）解：平分， ， ； （2）解：设，则， 根据题意得， 解得：， ， ， ． 邻补角 1．（22-23七年级下·云南昆明·期末）如图，是直线上一点，，平分，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有关角平分线的角度计算，根据，平分得到，结合邻补角互补即可得到答案； 【详解】解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 2．（22-23七年级下·四川成都·期末）已知与互为邻补角，且．平分，射线使，当时，则的度数为（本题中所有角都是指大于且小于的角）（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了角度之间的和差关系，解题的关键是掌握角平分线的定义，邻补角的定义． 先根据题意得出，则，再进行分类讨论：①当再内部时，②当再外部时． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∵与互为邻补角， ∴， ①当再内部时， ∵，， ∴， 解得：， ∴； ②当再外部时， ∵， ∴， ∴； 综上：的度数为或， 故选：A． 3．（22-23七年级下·重庆·期末）如图，直线、相交于点，平分，若，则 ． 【答案】/40度 【分析】 此题主要考查了角平分线的定义，邻补角的定义．首先根据邻补角的定义得，再根据角平分线的定义即可求出的度数． 【详解】 解：直线、相交于点， ， ， ， 平分， ． 故答案为：． 4．（22-23七年级下·广东东莞·期末）如图，直线、相交于点O，，平分，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角的和差计算，补角的性质，由，，可求得，再由补角的性质可求得，再由平分，即可求得，问题随之得解． 【详解】解：，， ，， ， 平分， ， ， 故答案为：． 5．（22-23七年级下四川成都·期末）如图，直线，相交于点O，把分成两部分． (1)的对顶角为__________，的邻补角为__________； (2)若，且，求的度数． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查对顶角，邻补角以及角的运算： （1）根据对顶角，邻补角的概念求解即可； （2）求得根据求得，从而求出． 【详解】（1）解：的对顶角为，的邻补角为， 故答案为：， （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 6．（22-23七年级下·广东清远·期末）如图，已知点O为直线上一点，，平分 (1)若，则＿＿＿°； (2)若求的度数（用含n的代数式表示）； (3)在（2）题的基础上，如图2，在的内部作射线，使平分求的度数 【答案】(1)66 (2) (3)的度数为50° 【分析】本题考查了角平分线的定义，邻补角的定义，一元一次方程的解法，根据图形确定所求角和已知各角的关系是解此题的关键． （1）根据即可； （2）先根据，求出的度数，再根据角平分线的定义及邻补角的定义即可； （3）先表示出的度数，再列方程解方程即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ 故答案为：66； （2）解：∵ ∵平分， ∴， ∴ （3）解：∵， ∵平分， ∴， ∵ ∴， 解得：， ∴ 故的度数为． 同位角、内错角、同旁内角 1．（22-23七年级下·福建厦门·期末）如图，和的位置关系是（    ） A．对顶角 B．同位角 C．内错角 D．同旁内角 【答案】B 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的辨析，根据同位角、内错角、同旁内角的定义逐项判断即可求解． 【详解】解：如图，和的位置关系是同位角． 故选：B 2．（22-23七年级下·山东济宁·期末）如图，下列说法正确的是（   ） ①和是同位角；②和是同位角；③和是同旁内角；④和是内错角    A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 【答案】C 【分析】根据同位角，内错角及同旁内角的定义进行判断即可． 【详解】解：两条直线，被第三条直线所截，在截线的同旁，且在被截两直线，的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角，则和是同位角，和不是同位角，那么正确，错误； 两条直线，被第三条直线所截，在截线的同旁，且在被截两直线，之间的角，我们把这样的两个角称为同旁内角，则和是同旁内角，那么正确； 两条直线，被第三条直线所截，在截线的两侧，且在被截两直线，之间的角，我们把这样的两个角称为内错角，则和不是内错角，那么错误； 综上，正确的为， 故选：C． 【点睛】本题考查同位角，内错角及同旁内角的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键． 3．（22-23七年级下·河南洛阳·期末）如图，给出下列结论：①与是同旁内角；②与是同位角；③与是内错角；④与是同位角；⑤与是对顶角．其中说法正确的是 ．（填序号）    【答案】①②⑤ 【分析】根据角的性质判断即可. 【详解】解：与是同旁内角，①说法正确； 与是同位角，②说法正确； 与不是内错角，③说法错误； 与不是同位角，④说法错误； 与是对顶角，⑤说法正确； 故答案为：①②⑤. 【点睛】本题主要考查角的性质，属于考试中常考的题型. 4．（21-22七年级下·广西梧州·期末）如图，直线和被第三条直线所截，与成内错角的是 ． 【答案】 【分析】根据内错角的定义即可求解， 当一条直线与另外两条直线相交时，处在两条直线之间的角一共有四个． 这时，称其中位于直线异侧的一对角互为内错角，或者说其中的一个角是另一个的内错角． 【详解】解：与成内错角的是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了内错角的定义，掌握 “三线八角”是解题的关键． 5．（22-23七年级下·甘肃武威·期末）如图，直线与的边相交． (1)写出图中的同位角、内错角和同旁内角． (2)如果，那么与相等吗？与互补吗？为什么？ 【答案】(1)与是同位角；与是内错角；与是同旁内角 (2)与相等，与互补，理由见解析 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义以及对顶角相等、邻补角互补，熟练掌握有关定义和性质是解决问题的关键． （1）由同位角、内错角、同旁内角的定义容易得出结论； （2）由对顶角相等和邻补角互补等量代换即可得出结论． 【详解】（1）解：与是同位角；与是内错角；与是同旁内角； （2）解：如果，那么与相等，与互补． 理由如下： ∵，，， ，． 6．（22-23七年级下·宁夏银川·期末）如图，把一根筷子一端放在水里，一端露出水面，筷子变弯了？其实没有，这是光的折射现象，光从空气中射入水中，光的传播方向发生了改变． (1)请指出的同旁内角与的内错角； (2)若测得，，从水面上看斜插入水中的筷子，水下部分向上折弯了多少度？请说明理由． 【答案】(1)的同旁内角是，，；的内错角是，； (2)水下部分向上折弯了30度，理由见解析 【分析】本题考查同旁内角，内错角，角的计算，关键是掌握同旁内角，内错角的定义，邻补角的性质． （1）两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，由此即可得到答案； （2）由邻补角的性质求出的度数，由，即可得到答案． 【详解】（1）解：的同旁内角是，，； 的内错角是，； （2）解：， ， ， 水下部分向上折弯了30度． 平行公理 1．（22-23七年级下·四川成都·期末）下面推理正确的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查了平行公理的推论，根据“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”逐项判断即可，掌握平行公理的推论是解题关键． 【详解】解：A、，都和平行，应该推出的是，而非，故错误，不符合题意； B、，与不同的直线平行，无法推出两者也平行，故错误，不符合题意； C、，都和平行，根据“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”可推出是，故正确，符合题意； D、，与不同的直线平行，无法推出两者也平行，故错误，不符合题意； 故选：C． 2．（22-23七年级下·四川眉山·期末）已知直线a，b，c是同一平面内的三条不同直线，下面四个结论： ①若则；②若则；③若则；④若且与相交，则与相交，其中，结论正确的是（　） A．①② B．③④ C．①②③ D．②③④ 【答案】A 【分析】根据平行公理及其推论：在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行进行分析即可求解． 【详解】①根据“同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”判定：若则；故说法正确； ②若则，故说法正确； ③根据“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”判定：若则；说法错误； ④若且与相交，则与不一定相交，故说法错误 故正确的有：①② 故选：A 【点睛】本题主要考查平行公理及其推论，解题的关键是熟练掌握同一平面内两直线的位置关系． 3．（21-22七年级下·安徽宿州·期末）已知直线a、b、c，满足，，那么直线b、c的位置关系是 ． 【答案】/ 【分析】如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，根据平行公理的推论解答即可． 【详解】解∵，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行公理，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．平行公理的推论可以看作是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用． 4．（2021七年级下·四川成都·期末）小军在一张纸上画一条直线，再画这条直线的平行线，然后依次画前一条直线的平行线，当他画到第十条直线时，第十条直线与第一条直线的位置关系是 ． 【答案】平行 【分析】根据平行线的推论：平行于同一直线的两条直线互相平行，进行解答即可． 【详解】解：小军在一张纸上画一条直线，再画这条直线的平行线， 然后依次画前一条直线的平行线，当他画到第十条直线时， 第十条直线与第一条直线的位置关系是：平行， 故答案为：平行． 【点睛】本题考查了平行线的推论，熟知平行于同一直线的两条直线互相平行是解本题的关键． 5．（22-23七年级下·福建泉州·期末）如图，在方格纸中，点是的边上的一点，点，，都在格点上． (1)过点画直线，交于点； (2)过点画的垂线，交于点； (3)在（2）的前提下，点到直线的距离是哪条线段的长度? （直接写出答案，不必说明理由） 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【分析】本题考查了平行线的定义，垂线段最短以及点到直线的距离的定义等知识， （1）取网格点C，连接作直线过点N、C即可作答； （2）取网格点D，连接作直线过点P、D即可作答； （3）依据点到直线的距离的定义作答即可． 【详解】（1）作图如下： 即为所作； （2）作图如下： 即为所作； （3）点到直线的距离是线段的长度． 6．（22-23七年级下·山东临沂·期末）如图，由相同的小正方形组成的网格线的交点叫格点，格点P是的边上的一点（请利用网格作图，保留作图痕迹）． (1)过点P画的垂线m，交于点C；过点B画的平行线，交直线m于点D；过点P画的平行线． (2)线段______的长度是点O到的距离； (3) 的理由是______． (4)______（位置关系），理由是______． 【答案】(1)见解析 (2) (3)垂线段最短 (4)，平行于同一直线的两直线平行 【分析】（1）取格点M，过点P、M作直线m；利用格线互相平行，作直线、即可； （2）根据点到直线的距离定义解答； （3）根据垂线段最短解答； （4）根据平行公理的推论解答． 【详解】（1）解：如图所示，直线m、、，点C即为所求， （2）解：∵于P， ∴线段的长度是点O到的距离； （3）解：根据垂线段最短得， ∴的理由是垂线段最短； （4）解：∵，， ∴． 根据平行公理的推论：平行于同一直线的两直线平行． 【点睛】本题考查利用网格作图，点到直线的距离，平行公理的推论，垂线段最短，解题的关键是掌握点到直线的距离定义：从直线外一点作直线的垂线，这点与垂足间的线段长度叫到点直线的距离，垂线段最短，平行公理的推论． 平行线的判定与性质 1．（22-23七年级下·河南周口·期末）如图，，直线分别交于点，平分，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质，由角平分线的定义得出，再由平行线的性质得出． 【详解】解：平分，， ， ，， ， 故选：C． 2．（21-22七年级下·广东河源·期末）如图，直线 分别交 ，于点，，平分，，若 ，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线，平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．先根据平行线的性质求出，再根据角平分线的定义得出，最后根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 3．（22-23七年级下·湖南衡阳·期末）如图，直线，将三角板按如图方式放置，直角顶点在上，若，则 ． 【答案】/50度 【分析】本题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等．根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图所示：   ， ∵， ∴． 故答案为：． 4．（22-23七年级下·辽宁营口·期末）一副三角板按如图所示方式叠放，两三角板的斜边互相平行，则∠等于 ．    【答案】/105度 【分析】本题考查三角板中角度的计算，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键． 【详解】过点E作， 如图，由题可知，， 又∵两三角板的斜边互相平行， ∴， ∴， ∴， 度答案为：．    5．（21-22七年级下·广西百色·期末）如图，与交于点，，，求的度数．请完成下列解答过程： 解：因为与交于点， 所以，依据是________； 因为，     所以_______，依据是________； 所以． 【答案】对顶角相等；；两直线平行，同旁内角互补． 【分析】本题考查平行线的性质，对顶角的性质， 由对顶角的性质得到，由平行线的性质得到，即可求出的度数．解题的关键是掌握两直线平行，同旁内角互补；对顶角相等． 【详解】解：因为与交于点， 所以，依据是对顶角相等， 因为， 所以，依据是两直线平行，同旁内角互补， 所以． 故答案为：对顶角相等；；两直线平行，同旁内角互补． 6．（22-23七年级下·河南鹤壁·期末）如图，，的平分线交的平分线于点E，交于点F，，求的度数.    【答案】 【分析】此题考查了平行线的性质，角平分线的定义，正确理解平行线的性质是解题的关键；先根据平行线的性质得到，，利用角平分线得到，由此得到的度数． 【详解】解：∵， ∴，， ∵分别平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 根据平行线的判定与性质求角度 1．（22-23七年级下·四川凉山·期末）如图，，平分交于点．若，则的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行线的性质得出，根据角平分线的性质以及平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 故选B． 2．（22-23七年级下·河北保定·期末）我市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面l平行，，，当为（    ）度时，． A．15 B．65 C．70 D．115 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键；由题意易得， 则有，然后问题可求解． 【详解】解：当为70度时，，理由如下： ∵，都与地面l平行， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴； 故选C． 3．（22-23七年级下·甘肃白银·期末）如图，，直线分别交于点E、F，平分∠AEF，，则的度数为 ． 【答案】/100度 【分析】本题考查的是平行线的性质及角平分线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．先根据角平分线的性质得出，再根据平行线的性质得出，由平角的性质即可得出结论． 【详解】解：∵平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为： 4．（22-23七年级下·四川成都·期末）将一个含有角的直角三角板如图所示放置，其中一个角的顶点落在直线上，含角的顶点落在直线上．若，，则的度数为 ． 【答案】100° 【分析】本题考查平行线的性质，根据得到，根据求出即可得到答案； 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（22-23七年级下·福建厦门·期末）如图，直线，直线交a，b于点A，B，的平分线交直线b于点C．若，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，邻补角的计算，解题的关键是根据平行线的性质，求出．根据，得出，根据平分，得出，即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 6．（22-23七年级下·四川达州·期末）如图，已知直线，，它的顶点O在上，两边分别与、相交于点P，点Q，射线始终在的内部．    (1)求的度数； (2)直接写出与的数量关系：______． (3)若的度数为α，且，其余条件不变，则与的数量关系为______．（用含α的式子表示） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由，利用两直线平行内错角相等可证得，，再根据即可求出结论； （2）由,可得，再根据（1）中的度数即可得到的度数； （3）利用两直线平行内错角相等可证得，，再根据由等量代换得，再由（2）即可得到的度数． 【详解】（1）解：， ，， ， ， ； （2）， ， ， ； （3）， ，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，利用了等量代换的思想，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 题型09 平行模型 1．（22-23七年级下·山西大同·期末）如图，直线，点A，B分别在直线a，b上，连接．D是直线a，b之间的一个动点，过点D作交直线b于点C，连接．若，则的度数不可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，先由平行线的性质得到，再证明，进而由平行线的性质推出，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点D作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵D是直线a，b之间的一个动点， ∴， ∴， ∴四个选项中只有A选项符合题意， 故选：A． 2．（22-23七年级下·安徽蚌埠·期末）如图，已知，若按图中规律，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质．根据题意，由图1可得，后面的图的规律是角的和为角的个数减1个，具体见详解． 【详解】解：如下图 如图1， ； 如图2，过点作 即； 如图3，作 同理可得 同理得； 如图，根据上面的推理规律可得 ． 故选：C． 3．（22-23七年级下·四川成都·期末）如图，则图中，，，的数量关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．过点作，过点作，则，，再由可知，故，据此可得出结论． 【详解】解：如图，过点作，过点作，则，， ， ， ， ， 即． 故答案为：． 4．（22-23七年级下·陕西西安·期末）如图，，点为与之间两点，，若，，则的度数为 ． 【答案】/16度 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质．分别过点E，F作，可得，从而得到，，即可求解． 【详解】解：如图，分别过点E，F作， ∵， ∴， ∴，， ∵，即， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 5．（22-23七年级下·宁夏银川·期末）（1）如图1，已知直线且分别交、于点A、B，分别交、于点C、D，点P在线段上，连接、，试确定之间的数量关系，并说明理由； （2）在图2中，小刀的刀片是上下平行的，刀柄外形是一个直角梯形（下面挖去一个小的半圆），求的度数．      【答案】（1），理由见解析；（2） 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键． （1）如图所示，过点P作，则，根据平行线的性质可得 ，再由可得； （2）过点M作，则，根据平行线的性质可得． 【详解】解：（1），理由如下： 如图所示，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴；    （2）如图所示，过点M作， ∵， ∴， ∴，， ∴． ∴的度数是．    6．（22-23七年级下·山东东营·期末）如图，将一直角三角板放在两条平行线之间，可以求两角之和或两角之差．    (1)在图甲中，容易求得．则在图乙中，可以求得的度数为______； (2)在图丙中，请问，的数量关系式是什么？并说明理由； (3)在图丁中，请问，的数量关系式是什么？并说明理由． 【答案】(1) (2)，详见解析 (3)，详见解析 【分析】（1）根据平角的性质可得，，由此即可求解； （2）如图所示：过三角板的直角顶点作的平行线，根据平行线的性质可得，，由此即可求解； （3）如图所示，过点作，根据平行线的性质可得，，，由此即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，    ∵，，且， ∴， ∴图乙中的度数为， 故答案为：． （2）解：，理由如下： 如图所示：过三角板的直角顶点作的平行线，    ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴． （3）解：，理由如下：    如图所示，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，三角板的相关计算，掌握两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；直角三角形中角度的数量关系等知识是解题的关键． 题型10 尺规作角 1．（22-23七年级下·吉林·期末）用直尺和圆规作的过程中，弧③是（   ） A．以为圆心，以长为半径画弧 B．以为圆心，以长为半径画弧 C．以为圆心，以长为半径画弧 D．以为圆心，以长为半径画弧 【答案】D 【分析】本题主要考查了尺规作图—作一个角等于已知角，熟练掌握作图过程是解题关键．根据作一个角等于已知角的步骤分析判断即可． 【详解】解：用直尺和圆规作的过程中，弧③是以为圆心，以长为半径画弧． 故选：D． 2．（22-23七年级下·河北邢台·期末）老师设置了一个问题，让同学们体验“经过已知角一边上的点，做一个角等于已知角”的作法． 问题：如图，用尺规过的边上一点（图1）作（图2）． 作图步骤已打乱，请同学们寻找出正确的排序． ①以点为圆心，的长为半径作弧，交于点； ②以点为圆心，小于的长为半径作弧，分别交于点； ③以点为圆心，的长为半径作弧，与已画的弧交于点； ④作射线． 下列排序正确的是（    ） A．①②③④ B．④③①② C．③②④① D．②①③④ 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是简单的尺规作图，掌握利用尺规作一个角等于已知角的方法是解题关键． 直接根据利用尺规作图的方法，作一个角等于已知角的作图顺序即可得出正确的排列顺序． 【详解】解：正确的排序是： ②以点为圆心，小于的长为半径作弧，分别交于点； ①以点为圆心，的长为半径作弧，交于点； ③以点为圆心，的长为半径作弧，与已画的弧交于点； ④作射线． 故选：D． 3、（22-23七年级下·四川成都·期末）如图，，以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点C、D，画射线，以点为圆心，为半径画弧交于点，以点为圆心，长为半径依次画弧，分别交前弧于点E、F、G，画射线，反向延长，画出的角平分线，则为 ．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，角平分线的性质，以及角的运算，根据题意可知，推出，根据角平分线的性质，即可得到． 【详解】解：由题可知，， ， 为的角平分线， ， 故答案为：． 4．（22-23七年级下·河北沧州·期末）下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：直线和直线外一点； 求作：直线，使得直线经过点且． 作法： （1）在直线上任取一点； （2）连接并延长； （3）以为圆心，以任意长为半径画弧，分别交直线和线段于点，点； （4）以为圆心，以为半径画弧，交线段于点； （5）以为圆心，以为半径画弧，与上一圆弧交于点； （6）作直线，即为直线． 所以，直线即为所求．    这样作图的依据是 ． 【答案】内错角相等，两直线平行 【分析】根据作一个角等于已知角的方法可知，再利用平行线的判定即可解答． 【详解】解：由作法可知， ∴， 依据是：内错角相等，两直线平行， 故答案为：内错角相等，两直线平行． 【点睛】本题考查了尺规作图法—做一个角等于已知角，平行线的判定，掌握平行线的判定是解题的关键． 5．（22-23七年级下·安徽合肥·期末）如图，已知线段a和，请利用尺规，按下列步骤作图（保留作图痕迹，不写作法） (1)作，使； (2)在边上确定点D，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． （1）利用基本作图作； （2）在射线上截取即可． 【详解】（1）解：如图，为所作； ； （2）解：如图，点为所作． 6．（22-23七年级下·山东青岛·期末）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：，点为的边上一点． 求作：直线，使． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定，尺规作图—作与已知角相等的角，以O为圆心，任意长为半径画弧分别交于F、E，再以P为圆心，以的长为半径画弧交于D，接着以D为圆心，以的长为半径画弧交圆P于C，作直线，则直线即为所求． 【详解】解：如图所示，以O为圆心，任意长为半径画弧分别交于F、E，再以P为圆心，以的长为半径画弧交于D，接着以D为圆心，以的长为半径画弧交圆P于C，作直线，则直线即为所求． 1．（22-23七年级下·湖北孝感·期末）已知的余角是，的补角是，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了余角与补角的定义，根据余角与补角的定义求得和是解题的关键． 先根据余角与补角的定义求得和，然后再比较即可解答． 【详解】解：∵的余角是，的补角是， ∴，， ∴． 故选C． 2．（22-23七年级下·河南周口·期末）如图，，直线分别交于点，平分，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质，由角平分线的定义得出，再由平行线的性质得出． 【详解】解：平分，， ， ，， ， 故选：C． 3．（22-23七年级下·贵州毕节·期末）一把直尺按如图所示摆放，，且，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据题意可得：，从而利用平行线的性质可得，然后再利用平行线的性质可得，即可解答． 【详解】解：如图：    由题意得：， 故选：A． 4．（21-22七年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，，F为上一点，，且平分，过点F作于点G，且，则下列结论： ①； ②； ③平分； ④平分． 其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】此题考查了角平分线的定义和平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质；延长，交于I，根据角平分线的定义和平行线的性质即可解答； 【详解】解：延长，交于I． ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ∴①错误；②正确， ∵平分， ， ， ， 可见，的值未必为，未必为，只要和为即可， ∴③，④不一定正确． 故选：． 5．（22-23七年级下·天津河北·期末）如图，直线，交于点，，，平分．给出下列结论，其中正确的结论是（    ） ①当时，；        ②平分； ③与相等的角有3个；④． A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据同角的余角相等可得，再根据余角以及角平分线的意义即可判断①；根据角平分线的定义，无法证明为的角平分线，即可判断②；根据角平分线的定义，可得，由对顶角相等得出，利用同角的余角相等可得，即可判断③；根据平角的定义以及，即可判断④． 【详解】 解：①， ， ∴， ， ， 当时，， ∴， ∵平分， ∴， 故①正确； ②不能证明， 无法证明为的角平分线，故②错误； ③平分， ． 直线，交于点， ． ， ， 与相等的角有三个，故③正确； ④， ， ，故④正确； 所以正确的结论有①③④． 故选：C． 【点睛】本题考查了垂线，余角、对顶角以及角平分线的性质，注意结合图形，发现角与角之间的关系，难度适中． 6．（22-23七年级下·广东肇庆·期末）如图，将三个同样的直角三角尺的直角顶点重合放置，那么的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了余角和补角，角度的计算，正确理解这一关系是解决本题的关键． 根据，利用正方形的角都是直角，即可求得和的度数从而求解． 【详解】解：∵， ， 又∵， ∴， 故答案为：． 7．（22-23七年级下·山西吕梁·期末）如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数为 【答案】/110度 【分析】本题考查了平行线的性质，垂直的意义；分别过点D、E作的平行线，则可得，利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图，分别过点D、E作的平行线， ∵，， ∴， ∴，， ∴，； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 8．（22-23七年级下·河南南阳·期末）如图，点O为直线上一点，过点O作射线，使．将直角三角板绕点O旋转一周，当直线与直线互相垂直时，的度数是 ．    【答案】或 【分析】本题考查了垂直的定义，角的和差计算，分在直线的右侧和在直线的左侧两种情况求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 当在直线的右侧时，如图，    ∵， ∴， ∴． 当在直线的左侧时，如图，    ∵， ∴， ∴． 故答案为：或． 9．（22-23七年级下·湖南衡阳·期末）如图，，，若，则 度． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，解题的关键是掌握等腰三角形的性质和平行线的性质．根据平行线的性质可得，根据得到，进而可求出，然后由，可得，最后根据三角形的内角和，即可求解． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 10．（22-23七年级下·山东菏泽·期末）如图所示，已知，直线分别交于E、F两点，平分，交于点G．若，则 度． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，对顶角的性质，根据对顶角相等，可得，根据两直线平行、同旁内角互补，可得，根据角平分线的定义可得，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：116． 11．（22-23七年级下·河南信阳·期末）如图，直线相交于点，，平分． (1)若，求的度数； (2)若比大，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）由对顶角相等可得，由垂直可得，即可得，再根据角平分线的定义可得，利用角的和差关系即可求解； （）由可得，解方程求出，得到，再利用邻补角的定义即可求解； 本题考查了对顶角的性质，垂直的定义，角平分线的定义，一元一次方程的应用，邻补角的定义，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：∵直线相交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∴； （2）解：设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 12．（21-22七年级下·广西贵港·期末）如图，直线，与a，b分别相交于点A，B，且，交直线b于点C． (1)若，求的度数； (2)若，求直线a与b的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平行线的性质，垂直的意义计算即可； （2）根据直角三角形的面积公式，平行线件的距离计算即可，本题考查了平行线的性质，平行线间的距离，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】（1）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）如图，过点A作于点D， ∵，， ∴， 解得， 即直线a与b的距离为． 13．（22-23七年级下·河南新乡·期末）在综合与实践课上，老师让同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知两直线，，且，直角三角尺中，，． (1)【操作发现】 如图（1），当三角尺的顶点B在直线b上时，若，则 °； (2)【探索证明】 如图（2），当三角尺的顶点C在直线b上时，请写出∠1与∠2间的数量关系，并说明理由； (3)【拓展应用】 如图（3），把三角尺的顶点B放在直线上且保持不动，旋转三角尺，点A始终在直线（D为直线上一点）的上方，若存在，请直接写出射线与直线a所夹锐角的度数． 【答案】(1)35 (2)，理由见解析 (3)或 【分析】（1）过点作直线，先证，从而得，，则，再根据，可求出的度数； （2）先求出，由（1）可知，再由平角的定义得，据此可得与间的数量关系； （3）依题意可分为以下两种情况：①当在直线的上方时，先求出，设，则，由平角的定义得，即由此求出，进而得，然后根据平行线的性质可求出的度数；②当在直线的下方时，同理得，设，则，进而得，由平角的定义得，即，由此解出，进而得，然后根据平行线的性质可求出的度数；综上所述可得射线与直线所夹锐角的度数． 此题主要考查了平行线的性质，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键． 【详解】（1）解：过点作，如图1所示： 直线， ， ，， ， ， ，， ， 故答案为：35． （2）解：与间的数量关系是：，理由如下： 如图2所示： ，， ， 由（1）可知：， ， ， ， ， 即， （3）解：依题意有以下两种情况： ①当在直线的上方时，如图3所示： ，， ， 设， 则， 点在直线上且保持不动， ， ， 解得：， ， 直线， ， ， ②当在直线的下方时，如图4所示： 同理得：， 设， 则， ， 点在直线上且保持不动， ， ， 解得：， ， 直线， ， ， 综上所述：射线与直线所夹锐角的度数为或． 14．（22-23七年级下·河南南阳·期末）课题学习：平行线问题中的转化思想． 【阅读理解】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”．与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”中，且都分布在“第三条直线”的两旁．当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”，这体现了转化思想．有这样一道典型问题： 例题：如图1．已知，点E在直线、之间，探究与、之间的关系． 解：过点E作． ，， ， ，， ， ． 【学以致用】 (1)如图1，当，时，_______； (2)①如图2，已知，若，，求出的度数． ②如图3，在①的条件下，若、分别平分和，求的度数． 【答案】(1) (2)①；②． 【分析】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是过拐点，构造平行线． （1）根据，计算即可； （2）①过点E作，根据平行线的判定和性质，进行求解即可；②先利用角平分线的定义求出，的度数，进而利用（1）中的结论，进行计算即可． 【详解】（1）解：由题可知， ，， ； 故答案为：． （2）①过点E作，如图：   ，， ， ，， 又，， ， ， ． ②，平分， ， ，平分， ， 由（1）可知：． 15．（22-23七年级下·广东汕头·期末）在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线和一块含角的直角三角尺（，）”为主题开展数学活动． (1)如图1，若三角尺的角的顶点G放在上，若，求的度数； (2)如图2，小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在和上，请你探索并说明与间的数量关系； (3)如图3，小亮把三角尺的直角顶点F放在上，角的顶点E落在上，请你探索并说明与间的数量关系． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，角的和差； （1）由平行线的性质得，再由，，建立方程即可求解； （2）过点F作，结合已知得，从而有，，则； （3）由平行得，即，即可得与间的数量关系． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， 解得； （2）解：，理由如下： 如图，过点F作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴； （3）解：．理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$