精品解析：吉林省长春市第五中学2023-2024学年高二下学期第二学程数学试题

数学试卷 一、单选题（共40分） 1. 已知随机变量服从正态分布，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知变量与满足关系，变量与负相关.下列结论正确的是（ ） A. 变量与正相关，变量与正相关 B. 变量与正相关，变量与负相关 C. 变量与负相关，变量与正相关 D. 变量与负相关，变量与负相关 3. 已知小明射箭命中靶心的概率为，且每次射击互不影响，则小明在射击4次后，恰好命中两次的概率是（　　） A. B. C. D. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 从一批含有6件正品，2件次品的产品中一次性抽取3件，设抽取出的3件产品中次品数为X，则（ ） A. B. C. D. 6. 设随机变量的概率分布如下表所示，且，则（ ） 1 2 3 A. B. C. D. 7. 展开式中项的系数为（ ） A. B. C. D. 8. 2020年2月，全国掀起了“停课不停学”的热潮，各地教师通过网络直播､微课推送等多种方式来指导学生线上学习.为了调查学生对网络课程的热爱程度，研究人员随机调查了相同数量的男､女学生，发现有80%的男生喜欢网络课程，有40%的女生不喜欢网络课程，在犯错误的概率大于0.001且不超过0.01的前提下认为是否喜欢网络课程与性别有关，则被调查的男､女学生总数量可能为（    ） 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 A. 130 B. 190 C. 240 D. 250 二、多选题（共20分） 9. 下列说法错误的是（ ） A. 若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越弱 B. 已知随机变量服从正态分布，则其期望 C. 已知随机变量服从正态分布，且，则 D. 已知一组数据的方差是3，则数据的标准差是12 10. 第五届人口发展战略研讨会在南京召开，小张、小赵、小李、小孙、小王为五名志愿者.现有接待、安保、礼仪、服务四项不同的工作可供安排，则下列说法正确的是（     ） A. 若五人每人可任选一项工作，则不同的选法有种 B. 若每项工作至少安排一人，则有240种不同的方案 C. 若安排5人排成一排拍照，小张必须站在小李的左侧，则有60种不同的站法 D. 若安排5人排成一排拍照，小张和小赵必须相邻，且小孙和小李不相邻，则有24种不同的站法 11. 下列说法正确的有（ ） A. 某学校有2023名学生，其中男生1012人，女生1011人，现选派10名学生参加学校组织的活动，记男生的人数为X，则X服从超几何分布 B. 若随机变量X的数学期望，则 C. 若随机变量X的方差，则 D. 随机变量则 12. 若函数(e=2.71828,是自然对数的底数)在的定义域上单调递增,则称函数具有M性质,下列函数中具有M性质的是 A. B. C. D. 三、填空题（共20分） 13. 在对两个变量x、y进行线性回归分析时有下列步骤： ①对所求出的回归方程作出解释； ②收集数据，，2，…，n； ③求线性回归方程； ④求相关系数； ⑤根据所搜集的数据绘制散点图． 如果根据可靠性要求能够得出变量x、y具有线性相关的结论，则正确的操作顺序是______（填序号）． 14. 从标有，，，，的五张卡中，依次抽出张（取后不放回），则在第一次抽到偶数的情况下，第二次抽到奇数的概率为________； 15. 某公司为了解某产品的研发费(单位：万元)对销售量(单位：百件)的影响，收集了该公司以往的5组数据，发现用函数模型(为自然对数的底数)拟合比较合适.令得到经计算，，对应的数据如表所示： 研发费 5 8 12 15 20 4.5 5.2 5.5 5.8 6.5 则___________. 16. 有甲、乙两个加工厂加工同一型号零件，甲厂加工的次品率为，乙厂加工的次品率为，已知甲乙两个加工厂加工的零件数分别占当地市场总数的45%，55%，现从当地市场上任意买一件这种型号的零件，若买到的零件是次品，则该零件是甲厂加工的概率为______． 四、解答题（共70分） 17. 设是等差数列，且． （1）求的通项公式； （2）求 18. 某学校参加某项竞赛仅有一个名额，结合平时训练成绩，甲、乙两名学生进入最后选拔，学校为此设计了如下选拔方案：设计6道题进行测试，若这6道题中，甲能正确解答其中的4道，乙能正确解答每个题目的概率均为，假设甲、乙两名学生解答每道测试题都相互独立、互不影响，现甲、乙从这6道测试题中分别随机抽取3题进行解答 （1）求甲、乙共答对2道题目的概率； （2）设甲答对题数为随机变量X，求X的分布列、数学期望和方差； （3）从数学期望和方差的角度分析，应选拔哪个学生代表学校参加竞赛？ 19. 随着时代的不断发展，社会对高素质人才的需求不断扩大，我国本科毕业生中考研人数也不断攀升，年的考研人数是万人，年考研人数是万人.某省统计了该省其中四所大学年的毕业生人数及考研人数（单位：千人），得到如下表格： A大学 B大学 C大学 D大学 年毕业人数（千人） 年考研人数（千人） （1）已知与具有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程； （2）假设该省对选择考研的大学生每人发放万元的补贴. （i）若该省大学年毕业生人数为千人，估计该省要发放多少万元的补贴？ （ii）若A大学的毕业生中小江、小沈选择考研的概率分别为p、2p－1，该省对小江、小沈两人的考研补贴总金额的期望不超过万元，求p的取值范围. 参考公式：，. 20. 某学校号召学生参加“每天锻炼小时”活动，为了解学生参加活动的情况，统计了全校所有学生在假期每周锻炼的时间，现随机抽取了名同学在某一周参加锻炼的数据，整理如下列联表： 性别 不经常锻炼 经常锻炼 合计 男生 7 女生 16 30 合计 21 注：将一周参加锻炼时间不小于小时的称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”． （1）请完成上面列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生锻炼的经常性有关系； （2）将一周参加锻炼为0小时的称为“极度缺乏锻炼”．在抽取的名同学中有人“极度缺乏锻炼”.以样本频率估计概率.若在全校抽取名同学，设“极度缺乏锻炼”的人数为，求的数学期望和方差； 附：， 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 21. 已知直线和椭圆． （1）证明：与恒有两个交点； （2）若为与的两个交点，过原点且垂直于的直线交于两点，求的最小值． 22. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 一、单选题（共40分） 1. 已知随机变量服从正态分布，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正态密度曲线的对称性可得出，由此可求得结果. 【详解】由于随机变量服从正态分布，则， 因此，. 故选：B. 【点睛】本题考查利用正态密度曲线的对称性求概率，考查计算能力，属于基础题. 2. 已知变量与满足关系，变量与负相关.下列结论正确的是（ ） A. 变量与正相关，变量与正相关 B. 变量与正相关，变量与负相关 C. 变量与负相关，变量与正相关 D. 变量与负相关，变量与负相关 【答案】B 【解析】 【分析】 根据变量间的相关关系直接判断即可. 【详解】解:根据变量与满足关系可知,变量与正相关; 再由变量y与z负相关知,变量与负相关. 故选:B. 【点睛】本题考查了变量间的相关关系,属基础题. 3. 已知小明射箭命中靶心的概率为，且每次射击互不影响，则小明在射击4次后，恰好命中两次的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二项分布的概率即可得解． 【详解】由已知命中的概率为，不命中的概率为，射击4次，命中两次， 故概率. 故选：D. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二项式定理求得展开式的通项公式，从而得解. 【详解】因为展开式的通项公式为， 则，故B正确． 故选：B． 5. 从一批含有6件正品，2件次品的产品中一次性抽取3件，设抽取出的3件产品中次品数为X，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题可得X服从超几何分布，利用概率公式计算． 【详解】由题意知X服从超几何分布，则. 故选：C 6. 设随机变量的概率分布如下表所示，且，则（ ） 1 2 3 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合数学期望的公式及分布列的性质进行求解即可. 【详解】解:依题意得,, 解得, 则. 故选:B 7. 展开式中项的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，由此可求得展开式中含项的系数. 【详解】， 所以，展开式中含项为：，故项的系数为. 故选：B. 8. 2020年2月，全国掀起了“停课不停学”的热潮，各地教师通过网络直播､微课推送等多种方式来指导学生线上学习.为了调查学生对网络课程的热爱程度，研究人员随机调查了相同数量的男､女学生，发现有80%的男生喜欢网络课程，有40%的女生不喜欢网络课程，在犯错误的概率大于0.001且不超过0.01的前提下认为是否喜欢网络课程与性别有关，则被调查的男､女学生总数量可能为（    ） 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 A. 130 B. 190 C. 240 D. 250 【答案】B 【解析】 【分析】设男、女学生的人数都为，可得列联表，由独立性检验算出，结合观测值和选项可得答案. 【详解】依题意，设男、女学生的人数都为，则男、女学生的总人数为，可得列联表如下， 喜欢网络课程 不喜欢网络课程 总计 男生 女生 总计 故， 由题意可得， 所以，结合选项可知，只有B符合题意. 故选：B. 二、多选题（共20分） 9. 下列说法错误的是（ ） A. 若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越弱 B. 已知随机变量服从正态分布，则其期望 C. 已知随机变量服从正态分布，且，则 D. 已知一组数据的方差是3，则数据的标准差是12 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据线性相关系数的概念可判断A，根据正态分布的概念及性质可判断BC，根据方差的性质可判断D. 【详解】对于A，线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越强，故A错误； 对于B，因为X服从正态分布，所以，故B错误 对于C，因为服从正态分布，则其正态分布曲线的对称轴为， 所以， 所以，故C正确； 对于D，根据方差的性质可知的方差为， 故所求标准差为，故D错误. 故选：ABD. 10. 第五届人口发展战略研讨会在南京召开，小张、小赵、小李、小孙、小王为五名志愿者.现有接待、安保、礼仪、服务四项不同的工作可供安排，则下列说法正确的是（     ） A. 若五人每人可任选一项工作，则不同的选法有种 B. 若每项工作至少安排一人，则有240种不同的方案 C. 若安排5人排成一排拍照，小张必须站在小李的左侧，则有60种不同的站法 D. 若安排5人排成一排拍照，小张和小赵必须相邻，且小孙和小李不相邻，则有24种不同的站法 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据分类计数原理和分步计数原理，借助排列、组合依次算出方法数. 【详解】A：因为每人均有四种不同选择，所以五人每人可任选一项工作，有种选法，故错误； B：若每项工作至少安排一人，则有两人完成一项工作，其余三人没人完成一项工作，共有种方案，故正确； C：先选出两个位置安排小张、小李，再安排其余三人，共有种站法，故正确； D ：先将小张和小赵捆绑，再与小王全排列，最后让小孙和小李插空，共有种站法，故正确. 故选：BCD 11. 下列说法正确的有（ ） A. 某学校有2023名学生，其中男生1012人，女生1011人，现选派10名学生参加学校组织的活动，记男生的人数为X，则X服从超几何分布 B. 若随机变量X的数学期望，则 C. 若随机变量X的方差，则 D. 随机变量则 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项由超几何分布的定义可判断； B选项，利用公式可得； C选项，利用公式可得； D选项，利用二项分布和组合数的对称性可得. 【详解】A选项：根据超几何分布的定义，可知A正确； B选项：，故B错误； C选项：，故C正确； D选项：因所以， 根据组合数的对称性可知，，故D错误. 故选：AC 12. 若函数(e=2.71828,是自然对数的底数)在的定义域上单调递增,则称函数具有M性质,下列函数中具有M性质的是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】对于A,令,,则在R上单调递增,故具有M性质,故选A. 【名师点睛】(1)确定函数单调区间的步骤：① 确定函数f(x)的定义域；②求f′(x)；③解不等式f′(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间；④解不等式f′(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间． (2)根据函数单调性确定参数范围的方法：①利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的子集．②转化为不等式的恒成立问题,即转化为“若函数单调递增,则f′(x)≥0；若函数单调递减,则f′(x)≤0”来求解． 三、填空题（共20分） 13. 在对两个变量x、y进行线性回归分析时有下列步骤： ①对所求出的回归方程作出解释； ②收集数据，，2，…，n； ③求线性回归方程； ④求相关系数； ⑤根据所搜集的数据绘制散点图． 如果根据可靠性要求能够得出变量x、y具有线性相关的结论，则正确的操作顺序是______（填序号）． 【答案】②⑤④③① 【解析】 【分析】进行回归分析的基本过程是：收集数据，绘制散点图，判断相关性，如果是线性相关，求出回归方程，并结合回归方程作出解释．据此进行判断本题． 【详解】解：进行线性回归分析一般经历以下几个过程：首先对相关数据进行收集，根据收集的数据作出散点图，根据散点图作出线性相关或非线性相关或不相关的判断，进行相关系数计算从数量角度分析，以确定相关程度大小，这样可以提高回归分析的信度．最后求出回归方程并结合方程进行实际意义说明． 故答案为：②⑤④③①． 14. 从标有，，，，的五张卡中，依次抽出张（取后不放回），则在第一次抽到偶数的情况下，第二次抽到奇数的概率为________； 【答案】 【解析】 【分析】 根据题意，列举出第一次抽到偶数所包含的基本事件；再列举出第一次抽到偶数，第二次抽到奇数所包含的基本事件；基本事件个数比，即为所求概率. 【详解】由题意，从标有，，，，的五张卡中，依次抽出张，第一次抽到偶数所包含的基本事件有，，，，，，，；共个基本事件； 第一次抽到偶数，第二次抽到奇数，所包含的基本事件有，，，，，；共个基本事件， 因此在第一次抽到偶数的情况下，第二次抽到奇数的概率为. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查求古典概型的概率，属于基础题型. 15. 某公司为了解某产品的研发费(单位：万元)对销售量(单位：百件)的影响，收集了该公司以往的5组数据，发现用函数模型(为自然对数的底数)拟合比较合适.令得到经计算，，对应的数据如表所示： 研发费 5 8 12 15 20 4.5 5.2 5.5 5.8 6.5 则___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用回归直线过样本中心点求出的值，从而得到回归方程，再利用得出，的值. 【详解】解：，， 所以，，解得，所以. 又因为，所以， 所以. 故答案为：. 16. 有甲、乙两个加工厂加工同一型号零件，甲厂加工的次品率为，乙厂加工的次品率为，已知甲乙两个加工厂加工的零件数分别占当地市场总数的45%，55%，现从当地市场上任意买一件这种型号的零件，若买到的零件是次品，则该零件是甲厂加工的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据全概率公式及贝叶斯公式计算即可. 【详解】记为事件“零件为甲厂加工”，为事件“零件为乙厂加工”，为事件“买一个零件为次品”，则，． 所以． 所以． 故答案为:． 四、解答题（共70分） 17. 设是等差数列，且． （1）求的通项公式； （2）求 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列，求出，得到的通项公式; （2）根据等比数列求和公式求解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为, 因为, 所以, 解得, 则. 【小问2详解】 . 18. 某学校参加某项竞赛仅有一个名额，结合平时训练成绩，甲、乙两名学生进入最后选拔，学校为此设计了如下选拔方案：设计6道题进行测试，若这6道题中，甲能正确解答其中的4道，乙能正确解答每个题目的概率均为，假设甲、乙两名学生解答每道测试题都相互独立、互不影响，现甲、乙从这6道测试题中分别随机抽取3题进行解答 （1）求甲、乙共答对2道题目的概率； （2）设甲答对题数为随机变量X，求X的分布列、数学期望和方差； （3）从数学期望和方差的角度分析，应选拔哪个学生代表学校参加竞赛？ 【答案】（1） （2）的分布列为： X 1 2 3 P ， （3）应选拔甲学生代表学校参加竞赛 【解析】 【分析】（1）甲、乙两名学生共答对2个问题分为：甲2个乙0个，甲1个乙1个，分别计算概率相加得答案. （2）设学生甲答对的题数为，则的所有可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，从而求出，； （3）设学生乙答对题数为，则所有可能的取值为0，1，2，3，由题意知～B（3，），从而求出，，由=，＜，得到甲代表学校参加竞赛的可能性更大． 【小问1详解】 由题意得甲、乙两名学生共答对2个问题的概率： ． 【小问2详解】 设学生甲答对的题数为，则的所有可能取值为1,2,3． ， ， ． 的分布列为： X 1 2 3 P 所以，． 【小问3详解】 设学生乙答对的题数为，则的所有可能取值为0，1，2，3．则． 所以，． 因为，，即甲、乙答对的题目数一样，但甲较稳定， 所以应选拔甲学生代表学校参加竞赛． 19. 随着时代的不断发展，社会对高素质人才的需求不断扩大，我国本科毕业生中考研人数也不断攀升，年的考研人数是万人，年考研人数是万人.某省统计了该省其中四所大学年的毕业生人数及考研人数（单位：千人），得到如下表格： A大学 B大学 C大学 D大学 年毕业人数（千人） 年考研人数（千人） （1）已知与具有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程； （2）假设该省对选择考研的大学生每人发放万元的补贴. （i）若该省大学年毕业生人数为千人，估计该省要发放多少万元的补贴？ （ii）若A大学的毕业生中小江、小沈选择考研的概率分别为p、2p－1，该省对小江、小沈两人的考研补贴总金额的期望不超过万元，求p的取值范围. 参考公式：，. 【答案】（1） （2）（i）5028万元（ii） 【解析】 【分析】（1）利用题中的数据代入参考公式，即求出线性回归方程； （2）（i）直接将将x=120代入（1）中所求的线性回归方程计算即可； （ii）先求出小江、小沈两人中考研人数的数学期望，再求出考研补贴的总期望，根据题意列出不等式组求解p的范围. 【小问1详解】 由题意得，， 又， ， ， ， 所以， 故得y关于x的线性回归方程为； 【小问2详解】 （i）将x=120代入， 估计该省要发放补贴的总金额为（万元）； （ii）设小江、小沈两人中选择考研的人数为，则的所有可能值为、、， ， ， ， ， ，可得， 又因为，可得， 故. 20. 某学校号召学生参加“每天锻炼小时”活动，为了解学生参加活动的情况，统计了全校所有学生在假期每周锻炼的时间，现随机抽取了名同学在某一周参加锻炼的数据，整理如下列联表： 性别 不经常锻炼 经常锻炼 合计 男生 7 女生 16 30 合计 21 注：将一周参加锻炼时间不小于小时的称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”． （1）请完成上面列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生锻炼的经常性有关系； （2）将一周参加锻炼为0小时的称为“极度缺乏锻炼”．在抽取的名同学中有人“极度缺乏锻炼”.以样本频率估计概率.若在全校抽取名同学，设“极度缺乏锻炼”的人数为，求的数学期望和方差； 附：， 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）表格： 性别 不经常锻炼 经常锻炼 合计 男生 7 23 30 女生 14 16 30 合计 21 39 60 性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系 （2）， 【解析】 【分析】（1）先根据题意完成列联表，代入公式计算，比较其与临界值的大小即可得到结论； （2）依题意可得近似服从二项分布，先求出随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率，结合二项分布期望及方差公式可得结论. 【小问1详解】 根据题意可得列联表如下； 性别 不经常锻炼 经常锻炼 合计 男生 7 23 30 女生 14 16 30 合计 21 39 60 零假设为：性别与锻炼情况独立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性无关； 根据列联表的数据计算可得， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1． 【小问2详解】 因学校总学生数远大于所抽取的学生数，故X近似服从二项分布， 易知随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率， 所以， 故，． 21. 已知直线和椭圆． （1）证明：与恒有两个交点； （2）若为与的两个交点，过原点且垂直于的直线交于两点，求的最小值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）将直线和椭圆进行联立，根据根的判别式可判断交点个数； （2）将直线l和直线CD表示出来，分别与椭圆进行联立，通过弦长公式表示出线段的长，比值化简再用基本不等式求最小值. 【小问1详解】 联立方程消去并化简得，， ，故与恒有两个交点． 【小问2详解】 设，由（1）知， 所以 ． 由题意知直线的方程为， 由,消去得， 所以． 所以 ． 设，则，要求的最小值，则只需考虑的情况， 此时， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为． 【点睛】关键点点睛：本题主要考查直线和圆的位置关系，关键在于通过联立得到韦达定理，再用斜率k表示出弦长公式，比值再化简即可，最小值通过基本不等式来求. 22. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）证明：. 【答案】（1）当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）证明：构建， 则， 由可知， 构建， 因为在上单调递增，则在上单调递增， 且， 可知在上存在唯一零点， 当，则，即； 当，则，即； 可知在上单调递减，在上单调递增， 则， 又因为，则，， 可得， 即，所以. 【解析】 【分析】（1）求导可得，分和两种情况，结合导函数的符号判断原函数单调性； （2）构建，，根据单调性以及零点存在性定理分析的零点和符号，进而可得的单调性和最值，结合零点代换分析证明. 【小问1详解】 由题意可得的定义域为，， 当时，则在上恒成立， 可知在上单调递减； 当时，令，解得；令，解得； 可知在上单调递减，在上单调递增； 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $