精品解析：江苏省南通市海安市西片联盟2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

八年级数学学习评估 卷面分值：150分 答卷时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 在下列图象中， 是 的函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 在下列四组数中，属于勾股数的是（ ） A. 0.3，0.4，0.5 B. 9，40，41 C. 2，3，4 D. 1，， 4. 已知是整数，正整数n的最小值为（ ） A. 12 B. 4 C. 3 D. 2 5. 下列条件中，能判定四边形是矩形的是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线互相平分且垂直 C. 对角线互相平分且相等 D. 对角线互相垂直且相等 6. 若点，都在直线上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 若顺次连接四边形 各边的中点所得四边形是矩形，则四边形 一定是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形 B. 对角线相等的四边形 C. 对角线互相平分的四边形 D. 对角线互相垂直且平分的四边形 8. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图1）拼成的一个大正方形（如图2）．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若，大正方形的面积为25，则图2中的长为（　　） A. 3 B. 4 C. D. 9. 如图1，在菱形 中，动点P从点B出发，沿折线B→C→D→B运动，设点P经过的路程为x，的面积为y.把y看作x的函数，函数的图象如图2所示，则图2中的a等于（ ） A. 25 B. 20 C. 12 D. 10. 已知过点的直线不经过第四象限，设，则S的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，11－12每小题3分，13－18每小题4分，共30分） 11. 函数y＝中，自变量x的取值范围是________． 12. 一条直线y＝kx＋b与直线y＝－2x＋3平行，且经过点P(2，4)，则该直线的表达式是______． 13. 若 的周长为6，则以 三边的中点为顶点的三角形的周长等于______． 14. 如图，在中， 平分交 于点E，若，则 的周长是______． 15. 如图，学校需要测量旗杆的高度．同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段．同学们首先测量了多出的这段绳子长度为，然后将这根绳子拉直，当绳子的另一端和地面接触时，绳子与旗杆的底端距离恰好为，利用勾股定理求出旗杆的高度约为__________ ． 16. 如图，矩形 中，，，折叠长方形的一边 ，使点D落在 边的点F处，则的长为______． 17. 在平面直角坐标系中，线段 的两个端点坐标分别为．若正比例函数的图象与线段 有公共点，则m的取值范围是______． 18. 如图，E为正方形ABCD中BC边上的一点，且AB=3BE=6，M、N分别为边CD、AB上的动点，且始终保持MN⊥AE，则AM+NE的最小值为______． 三、解答题（本大题共8小题，共90分） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 为了强化实践育人，有效开展劳动教育和综合实践活动，我市某中学现有一块四边形的空地 ，如图所示，学校决定开发该空地作为学生劳动实践基地．经学校课外实践活动小组测量得到：，，，，．根据你所学过的知识，解决下列问题： （1）四边形 的面积； （2）点D到 的距离． 21. 如图，直线与x轴、y轴分别相交于点E、F．点E的坐标为，点A的坐标为．点是第二象限内的直线上的一个动点． （1）求k的值； （2）当点P运动过程中，试写出的面积S与x的函数关系式； （3）当的面积是时，求此时P点的坐标． 22. 如图，在等腰 中，，平分，过点A作交的延长线于D，连接，过点D作交的延长线于E． （1）判断四边形 的形状，并说明理由； （2）若，求 的长． 23. 已知与x成正比例，当时，． （1）求y关于x的函数关系式； （2）请在图中画出该函数的图象； （3）已知，P为（2）中图象上的动点，Q是y轴上的动点，连接，则的最小值小为______． 24. 为增强学生体质，让学生享受阳光体育大课间活动，某学校准备采购甲、乙两种跳绳供学生使用．经询价，现有一家商场对甲种跳绳的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种跳绳按25元/根的价格出售，设该学校购买甲种跳绳x根，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示． （1）求出y与x之间的函数关系式； （2）若该学校计划一次性购买甲，乙两种跳绳共100根，且甲种跳绳不少于40根，但又不超过60根，如何分配甲，乙两种跳绳的购买量，才能使该校付款总金额w最少？ 25. 四边形 为正方形， 为对角线 上一点，连接 ，过点 作，交射线 于点 ，以 ，为邻边作矩形，连接． （1）如图，当点 在线段 上时， ①求证：矩形是正方形； ②若，，求正方形的边长． （2）当线段 与正方形 的某条边的夹角是时，请直接写出的度数． 26. 【探索发现】如图1，等腰直角三角形ABC中，，，过点A作交于点D，过点B作交于点E，易得，我们称这种全等模型为“k型全等”．（不需要证明） 【迁移应用】如图2，在直角坐标系中，直线分别与y轴，x轴交于点A、B， （1）直接写出______，______； （2）在第二象限构造等腰直角 ，使得，则点E的坐标为______； （3）如图3，将直线绕点A顺时针旋转45°得到，求的函数表达式； 【拓展应用】如图4，直线分别交x轴和y轴于A，B两点，点C在直线AB上，且点C坐标为，点E坐标为，连接CE，点P为直线AB上一点，满足，请直接写出点P的坐标：______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学学习评估 卷面分值：150分 答卷时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．利用二次根式的加减法的法则，二次根式的除法的法则，二次根式的化简的法则对各项进行运算即可． 【详解】解：A、，与2不属于同类二次根式，不能运算，故A不符合题意； B、，故B符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：B． 2. 在下列图象中， 是 的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数的概念，熟练掌握函数定义中对于 的每一个值， 都有唯一的值与它对应是解题的关键．根据函数的定义判断即可． 【详解】解：根据函数的定义：对于 的每一个值， 都有唯一的值与它对应， 所以：A，B，C的图象都不能表示 是 的函数，D的图象能表示 是 的函数， 故选：D． 3. 在下列四组数中，属于勾股数的是（ ） A. 0.3，0.4，0.5 B. 9，40，41 C. 2，3，4 D. 1，， 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股数的定义：满足的三个正整数，成为勾股数，据此可判断． 【详解】A．、、，不是正整数，所以不是勾股数，选项错误； B．、、，是正整数，且满足，是勾股数，选项正确； C．2、3、4，是正整数，但，所以不是勾股数，选项正确； D． 、、，不是正整数，所以不是勾股数，选项错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股数的判定方法，解题关键是要看这组数是否为正整数，且满足最小两个数的平方和等于最大数的平法． 4. 已知是整数，正整数n的最小值为（ ） A. 12 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式性质的化简，掌握二次根式性质是解题的关键 ． 【详解】解：∵， ∴当时，是整数， ∴正整数n的最小值为3，   故选：  ． 5. 下列条件中，能判定四边形是矩形的是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线互相平分且垂直 C. 对角线互相平分且相等 D. 对角线互相垂直且相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定条件，解题的关键在于能够熟练掌握矩形的判定条件． 根据矩形的判定即可得到结论． 【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A选项不能判定四边形是矩形； B、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故B选项不能判定四边形是矩形； C、对角线相互平分且相等的四边形是矩形，故C选项能判定四边形是矩形； D、对角线互相垂直且相等的四边形不一定是矩形，故D选项不能判定四边形是矩形； 故选：C． 6. 若点，都在直线上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数的增减性进行求解即可． 【详解】解：∵一次函数解析式为，， ∴y随x增大而减小， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数的增减性，熟知对于一次函数 （k为常数， ），当时，y随x增大而增大；当 时，y随x增大而减小是解题的关键． 7. 若顺次连接四边形 各边的中点所得四边形是矩形，则四边形 一定是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形 B. 对角线相等的四边形 C. 对角线互相平分的四边形 D. 对角线互相垂直且平分的四边形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查中点四边形，三角形的中位线定理．根据中点四边形为矩形，得到四边形的对角线互相垂直，即可得出结果． 【详解】解：如图：分别为的中点，四边形为矩形， 则：， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴四边形 一定是对角线互相垂直的四边形； 故选A． 8. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图1）拼成的一个大正方形（如图2）．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若，大正方形的面积为25，则图2中的长为（　　） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由图形2可知，中间四边形的边长为的小正方形，由大正方形的面积由四个全等的直角三角形加中间小正方形的面积得出，再结合即可得出的值，再根据勾股定理即可求出的长． 【详解】解：由图形2可知，中间四边形的边长为的小正方形， ∵大正方形的面积为25， ∴， 又∵大正方形的面积由四个全等的直角三角形加中间小正方形的面积， ∴， ∴， ∴， ∴（负值已舍）， 即图2中小正方形的边长为3， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，勾股定理的应用，正确得出大正方形的面积是解题的关键． 9. 如图1，在菱形 中，动点P从点B出发，沿折线B→C→D→B运动，设点P经过的路程为x，的面积为y.把y看作x的函数，函数的图象如图2所示，则图2中的a等于（ ） A. 25 B. 20 C. 12 D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接AC交BD于O，根据图②求出菱形的边长为5，对角线BD为8，根据菱形的对角线互相垂直平分求出BO，再利用勾股定理列式求出CO，然后求出AC的长，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求出菱形的面积，a为点P在CD上时△ABP的面积，等于菱形的面积的一半，从而得解． 【详解】 如图，连接AC交BD于O， 由图②可知，BC=CD=5，BD=18-10=8， ∴BO=BD=×8=4， 在Rt△BOC中，CO==3， AC=2CO=6， 所以，菱形的面积=AC•BD=×6×8=24， 当点P在CD上运动时，△ABP的面积不变，为a， 所以，a=×24=12． 故选：C． 【点睛】考核知识点：动点与函数图象．理解菱形基本性质，从函数图象获取信息是解决问题关键． 10. 已知过点的直线不经过第四象限，设，则S的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，解一元一次不等式组，以及不等式的性质．掌握一次函数中，当，时函数的图象不经过第四象限是解题的关键． 根据一次函数图象与系数的关系可得，，将点代入，得到，即．由，得出不等式组，解不等式组求出a的范围，再根据不等式的性质即可求出S的取值范围． 【详解】 过点的直线不经过第四象限， ，，， ， ，解得：， ， ， ， 即S的取值范围为：， 故选B． 二、填空题（本大题共8小题，11－12每小题3分，13－18每小题4分，共30分） 11. 函数y＝中，自变量x的取值范围是________． 【答案】x≤1 【解析】 【详解】分析：根据二次根式有意义的条件解答即可. 详解： ∵二次根式有意义，被开方数为非负数， ∴1 -x≥0， 解得x≤1. 故答案为x≤1. 点睛：本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义，被开方数为非负数是解题的关键. 12. 一条直线y＝kx＋b与直线y＝－2x＋3平行，且经过点P(2，4)，则该直线的表达式是______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据两直线平行斜率相等求出k的值，然后把点P代入求解即可． 【详解】解：因为一条直线y＝kx＋b与直线y＝－2x＋3平行，则有k=-2，把点P(2，4)代入解析式得：，解得b=8，故解析式为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查待定系数法求解一次函数解析式，关键是根据两直线平行斜率相等这个结论进行求解即可． 13. 若 的周长为6，则以 三边的中点为顶点的三角形的周长等于______． 【答案】3 【解析】 【分析】点D、E、F分别是的中点则，根据 的周长为6，即可得 的周长 ． 【详解】解：如图所示，点D、E、F分别是的中点， ∴， ∵ 的周长为6， ∴ 的周长为：， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了三角形的中位线，解题的关键是理解题意，掌握三角形的中位线． 14. 如图，在中， 平分交 于点E，若，则 的周长是______． 【答案】32 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、等角对等边、角平分线的定义等知识点，掌握平行四边形的性质成为解题的关键． 根据平行四边形的性质、角平分线的定义可得，再根据等角对等边可得，进而求得，最后求周长即可． 【详解】解：∵四边形 是平行四边形， ∴， ， ∵ 平分， ∴， ， ∴， ∴平行四边形 的周长为． 故答案为：32． 15. 如图，学校需要测量旗杆的高度．同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段．同学们首先测量了多出的这段绳子长度为，然后将这根绳子拉直，当绳子的另一端和地面接触时，绳子与旗杆的底端距离恰好为，利用勾股定理求出旗杆的高度约为__________ ． 【答案】旗杆的高度为12米 【解析】 【分析】设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为（x+1）米，根据旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，利用勾股定理列出方程，解之即可求得旗杆的高度． 【详解】解：设旗杆的高度AC为x米，则绳子AB的长度为（x+1）米， 在Rt△ABC中，根据勾股定理可得：x2+52=（x+1）2， 解得，x=12． 答：旗杆的高度为12米． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理列方程是解题的关键 16. 如图，矩形 中，，，折叠长方形的一边 ，使点D落在 边的点F处，则的长为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质和矩形的性质，由矩形的性质和折叠的性质得出，，求出，在中，根据勾股定理列出方程，解方程即可．其中根据已知设出未知数，用代数法解决几何问题是解答本题的关键． 【详解】解：∵四边形 为矩形， ∴， 由翻折的性质可知． 设，则． 在中，由勾股定理可得， ∴，在中，， ∴，解得 ， ∴． 故答案为：3． 17. 在平面直角坐标系中，线段 的两个端点坐标分别为．若正比例函数的图象与线段 有公共点，则m的取值范围是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查一次函数与几何图形的综合应用，求出函数分别过两点时的的值，即可得出结果． 【详解】解：当过点时，则：， ∴； 当过点时，则：， ∵正比例函数的图象与线段 有公共点， ∴或； 故答案为：或． 18. 如图，E为正方形ABCD中BC边上的一点，且AB=3BE=6，M、N分别为边CD、AB上的动点，且始终保持MN⊥AE，则AM+NE的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点E作EF∥MN，过点M作MF∥EN交EF于点F，证得当A、M、F三点在同一直线上时，AM+NE有最小值，即为AF的长，过点M作MG⊥AB于点G，证明Rt△ABE≌Rt△MGN，得到△AEF是等腰直角三角形，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：过点E作EF∥MN，过点M作MF∥EN交EF于点F，连接AF，如图： 则四边形MNEF为平行四边形， ∴MN=EF，MF=NE，MN∥EF， ∴AM+NE=AM+ MFAF， ∴当A、M、F三点在同一直线上时，AM+NE有最小值，即为AF的长， 过点M作MG⊥AB于点G，MN与AE相交于点O，如图： ∵四边形ABCD是正方形，MN⊥AE， ∴∠AON=∠B=90°，AB=BC=MG， ∴∠1+∠3=∠2+∠3=90°， ∴∠1=∠2， ∴Rt△ABE≌Rt△MGN， ∴AE=MN， ∵MN=EF，MN∥EF， ∴AE=MN=EF，AE⊥EF， ∴△AEF是等腰直角三角形， ∵AB=3BE=6， ∴BE=2， 由勾股定理得AE=， ∴AF=， 即AM+NE的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理的应用等，正确的确定当A、M、F三点在同一直线上时，AM+NE有最小值，即为AF的长是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共90分） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）先化简，再算加减即可； （2）先算完全平方，二次根式的除法，再算加减即可． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ． ． 20. 为了强化实践育人，有效开展劳动教育和综合实践活动，我市某中学现有一块四边形的空地 ，如图所示，学校决定开发该空地作为学生劳动实践基地．经学校课外实践活动小组测量得到：，，，，．根据你所学过的知识，解决下列问题： （1）四边形 的面积； （2）点D到 的距离． 【答案】（1）四边形 的面积为 （2）点D到 的距离 为 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理是解本题的关键． （1）连接 ，在中，利用勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理判断得到，最后利用即可解答． （2）过点D作于点E，利用等面积法计算即可． 【小问1详解】 解：连结 ， 在中，∵，， ∴ 在 中，∵， ∴ ∴ 是直角三角形，且 ∴ 答：四边形 的面积为． 【小问2详解】 过点D作于点E ∵ ∴； 答：点D到 的距离 为． 21. 如图，直线与x轴、y轴分别相交于点E、F．点E的坐标为，点A的坐标为．点是第二象限内的直线上的一个动点． （1）求k的值； （2）当点P运动过程中，试写出的面积S与x的函数关系式； （3）当的面积是时，求此时P点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数解析式，一元一次方程的应用．熟练掌握一次函数解析式，一元一次方程的应用是解题的关键． （1）将代入，得，计算求解即可； （2）由（1）得：直线的解析式为，则，，根据，计算求解即可； （3）当时，则，解得，，进而可P点的坐标． 【小问1详解】 将代入，得， 解得，； 【小问2详解】 解：由（1）得：直线的解析式为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：当时，则， 解得，， ∴， ∴P点的坐标为． 22. 如图，在等腰 中，，平分，过点A作交的延长线于D，连接，过点D作交 的延长线于E． （1）判断四边形 的形状，并说明理由； （2）若，求 的长． 【答案】（1） 四边形 是菱形， 理由：∵，平分， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴四边形 是平行四边形， ∵， ∴四边形 是菱形； （2） 的长为 【解析】 【分析】本题考查了菱形的证明、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟记定理内容是解题关键． （1）证得，可得四边形 是平行四边形，即可进一步求证； （2）由题意得是等边三角形，根据即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵平分， ∴， ∵四边形 是菱形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴4， 23. 已知与x成正比例，当时，． （1）求y关于x的函数关系式； （2）请在图中画出该函数的图象； （3）已知，P为（2）中图象上的动点，Q是y轴上的动点，连接，则的最小值小为______． 【答案】（1） （2）见解析 （3）4 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、画一次函数图象、一次函数图象的性质、一次函数与几何的综合等知识点，求得函数解析式成为解题的关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）先求出函数图像与x、y轴的交点坐标，然后过两点作直线即可； （3）作点A关于原点的对称点，作于点，交 轴于点 ，此时取得最小值，最小值为，然后利用勾股定理和等积法即可解答． 【小问1详解】 解：设，把时、代入得：，解得． ，即． 【小问2详解】 解：把代入得：， 把 代入得：，解得， 函数图象过点， 函数图象，如图所示： 【小问3详解】 解：如图：作点A关于原点的对称点，作于点，交 轴于点 ，此时取得最小值，最小值为， 如图：连接， ∵点，，，， ∴， ∵， ∴，解得：． 故答案为：4． 24. 为增强学生体质，让学生享受阳光体育大课间活动，某学校准备采购甲、乙两种跳绳供学生使用．经询价，现有一家商场对甲种跳绳的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种跳绳按25元/根的价格出售，设该学校购买甲种跳绳x根，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示． （1）求出y与x之间的函数关系式； （2）若该学校计划一次性购买甲，乙两种跳绳共100根，且甲种跳绳不少于40根，但又不超过60根，如何分配甲，乙两种跳绳的购买量，才能使该校付款总金额w最少？ 【答案】（1） （2）甲种跳绳40根、乙种跳绳60根 【解析】 【分析】本题考查一函数的应用，掌握待定系数法求函数表达式的方法及一次函数的增减性是解题的关键． （1）利用待定系数法求解，并写成分段函数的形式即可； （2）设购买甲种跳绳m根，则购买乙种跳绳根，根据题意，得，根据m的取值范围分别将（1）中得到的函数关系式代入，根据一次函数的增减性和m的取值范围，分别确定当m取何值时w的值最小，求出最小值及对应的的值，比较两个w的最小值，取w最小值中较小的那个对应的m及值即可． 【小问1详解】 当时，设y与x之间的函数关系式为（为常数，且）． 将坐标代入， 得， 解得， ； 当时，设y与x之间的函数关系式为（为常数，且）． 将坐标和代入， 得， 解得， ． 综上，y与x之间的函数关系式为． 【小问2详解】 设购买甲种跳绳m根，则购买乙种跳绳根， 根据题意，得． 当时，， ， 随m的减小而减小， ， 当时，w取最小值，，此时购买乙种跳绳（根）； 当时，， ， 随m的增大而减小， ， 当时，w取最小值，，此时购买乙种跳绳（根）． ， 购买甲种跳绳40根、乙种跳绳60根才能使该校付款总金额w最少． 25. 四边形 为正方形， 为对角线 上一点，连接 ，过点 作，交射线 于点 ，以 ，为邻边作矩形，连接． （1）如图，当点 在线段 上时， ①求证：矩形是正方形； ②若，，求正方形的边长． （2）当线段 与正方形 的某条边的夹角是时，请直接写出的度数． 【答案】（1）①见解析；②正方形的边长为 （2）或 【解析】 【分析】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质和判定，矩形的性质，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质等，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）①过点 作于点 ，过点 作于点，根据正方形的性质和矩形的性质易证，进一步可得，即可得证； ②过点 作于点，易证，可得，根据已知条件可得的长，进一步可得 的长； （2）分情况讨论：当，当时，根据正方形的性质以及三角形的内角和定理即可求出的度数． 【小问1详解】 ①证明：如图，作于 ，于，得矩形， ， 点 是正方形 对角线上的点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是矩形， 矩形是正方形； ②解： 正方形和正方形 ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ． ， ， 连接， ， ． 正方形的边长为； 【小问2详解】 解：分情况讨论： 当， ， ， ， ， ； 当时，如图所示： ， ， ， ， ， 综上，或． 26. 【探索发现】如图1，等腰直角三角形ABC中，，，过点A作交于点D，过点B作交于点E，易得，我们称这种全等模型为“k型全等”．（不需要证明） 【迁移应用】如图2，在直角坐标系中，直线分别与y轴，x轴交于点A、B， （1）直接写出______，______； （2）在第二象限构造等腰直角 ，使得，则点E的坐标为______； （3）如图3，将直线绕点A顺时针旋转45°得到，求的函数表达式； 【拓展应用】如图4，直线分别交x轴和y轴于A，B两点，点C在直线AB上，且点C坐标为，点E坐标为，连接CE，点P为直线AB上一点，满足，请直接写出点P的坐标：______． 【答案】【迁移应用】（1），；（2）；（3）；【拓展应用】或 【解析】 【分析】迁移应用：（1）求得，，即可求解； （2）过点C作轴交于点F，证明，据此即可求解； （3）过点B作交直线于点C，过点C作轴交于点D，证明，求得，利用待定系数法即可求解； 拓展应用：分当点P在射线上和点P在射线上时，两种情况讨论，利用“k型全等”和待定系数法即可求解． 【详解】解：【迁移应用】，对于， 令，则；令 ，则； ∴，， （1）∵，， ∴，； 故答案为：，； （2）过点C作轴交于点F， ∵， ∴由K型全等模型可得， ∴，，则， ∴点E的坐标为； 故答案为：； （3）过点B作交直线于点C，过点C作轴交于点D， ∵， ∴，由K型全等模型可得， ∵与x轴的交点，， ∴，， ∴， 设直线的解析式为 ， ∴，解得， ∴； 【拓展应用】解：点的坐标：或， ①如图，当点P在射线上时，过点C作交直线于点F， ∵， ∴， 过C作x轴垂线l，分别过F，E作，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 即F点坐标为， 设直线的解析式为 ， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立，解得， ∴； ②当点P在射线上时，过点C作交直线于点H，过点H作轴交于K，过点H作轴，过点C作交于G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，， ∴， ∴，联立方程组， 解得， ∴， 综合上所述，点P坐标为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $