专题02 圆锥曲线（考题猜想，易错、好题精选15个考点60题专练）-2023-2024学年高二数学下学期期末考点大串讲（沪教版2020选修）

专题02 圆锥曲线（考题猜想，易错、好题精选15个考点60题专练） 圆的标准方程 圆的一般方程 圆的切线方程 直线与圆相交的性质 直线与圆的位置关系  圆与圆的位置关系及其判定 圆方程的综合应用 椭圆的标准方程实数大小比较 椭圆的性质 抛物线的性质 双曲线的标准方程 双曲线的性质 曲线与方程 直线与圆锥曲线的综合 圆锥曲线的综合 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 一．圆的标准方程（共2小题） 1．（2024春•宝山区校级期中）已知点，，以线段为直径的圆的标准方程为 　　． 2．（2024春•黄浦区校级期中）已知圆经过点和，且圆心在直线上，求圆的方程． 二．圆的一般方程（共2小题） 3．（2024•青浦区校级模拟）已知圆恒过定点，，则直线的方程为 　　． 4．（2024春•徐汇区校级月考）若，满足，则所有可能的值组成的集合是 　　． 三．圆的切线方程（共2小题） 5．（2024春•浦东新区校级期中）圆在点处的切线方程为　　． 6．（2024春•松江区校级期中）已知圆，为过的圆的切线，为上任一点，过作圆的切线，则切线长的最小值是 　　． 四．直线与圆相交的性质（共2小题） 7．（2024春•嘉定区校级月考）直线被圆所截得的弦长等于，则　　． 8．（2024春•长宁区校级月考）在平面直角坐标系中，为坐标原点，以为圆心的圆与直线相切． （Ⅰ）求圆的方程； （Ⅱ）直线与圆交于，两点，在圆上是否存在一点，使得四边形为菱形，若存在，求出此时直线的斜率；若不存在，说明理由． 五．直线与圆的位置关系（共6小题） 9．（2024春•徐汇区校级期中）若直线与圆没有公共点，则实数的取值范围是　　 A． B．或 C．或 D． 10．（2024春•黄浦区校级月考）已知圆的方程为，点，是圆内一点，设以为中点的弦所在的直线为，方程为的直线为，则　　 A．，且与圆相交 B．，且与圆相离 C．，且与圆相交 D．，且与圆相离 11．（2024春•浦东新区校级期中）若直线与曲线恰有一个公共点，则的取值范围为　　． 12．（2024春•徐汇区校级期中）已知实数，满足，则的取值范围是 　　． 13．（2024春•徐汇区校级期中）已知点在圆上运动，若对任意点，在直线上均存在两点，，使得恒成立，则线段长度的最小值是 　　． 14．（2024春•黄浦区校级期中）已知圆，直线． （1）当为何值时，直线与圆相切； （2）当直线与圆相交于，两点，且时，求直线的方程． 六．圆与圆的位置关系及其判定（共2小题） 15．（2024春•松江区校级月考）已知圆与圆内切，则　　． 16．（2024•浦东新区二模）已知圆，圆，若两圆相交，则实数的取值范围为 　　． 七．圆方程的综合应用（共2小题） 17．（2024春•静安区校级月考）在平面直角坐标系中，若曲线与直线有且只有一个公共点，则实数　　． 18．（2024春•浦东新区校级月考）关于的实系数方程和有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则的取值范围是 　　． 八．椭圆的标准方程（共4小题） 19．（2024春•徐汇区校级月考）长轴的长是4，焦距是2，中心在原点的椭圆的标准方程是 　　． 20．（2024春•黄浦区校级月考）若椭圆的长轴长是短轴长的2倍，它的一个焦点是，则椭圆的标准方程为 　　． 21．（2024春•杨浦区校级月考）椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，椭圆短轴的一个顶点与两焦点、组成的三角形的周长为且，则椭圆的方程是　　． 22．（2023春•杨浦区校级期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，短轴两个端点为、，且四边形是边长为2的正方形． （1）求椭圆的方程； （2）若、分别是椭圆长轴的左、右端点，动点满足，连接，交椭圆于点．证明：为定值． （3）在（2）的条件下，试问轴上是否存异于点的定点，使得以为直径的圆恒过直线、的交点，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 九．椭圆的性质（共10小题） 23．（2024春•黄浦区校级月考）设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点的距离之和为　　． 24．（2024春•静安区校级月考）椭圆的一个焦点是，那么　　． 25．（2024春•徐汇区校级期中）方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是　 　． 26．（2024春•虹口区校级期中）已知椭圆经过直角三角形的直角顶点，且以另外两个顶点作为的焦点，则的离心率的最小值为 　　． 27．（2024春•黄浦区校级期中）已知椭圆的长轴在轴上，若焦距为4，则　 　． 28．（2024春•松江区校级月考）已知、分别为椭圆的左、右焦点，若直线上存在点，使△为等腰三角形，则椭圆离心率的范围是　　． 29．（2024春•黄浦区校级期中）已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为．与的离心率之积为，则的渐近线方程为　　． 30．（2024春•静安区校级月考）如图，已知点为椭圆在第一象限内的任意一点，过椭圆的右顶点和上顶点分别作与轴和轴的平行线交于，过引、的平行线交于，交于，交于、，矩形的面积是，三角形的面积是，则　　． 31．（2024春•虹口区校级期中）已知是曲线上的动点，则的取值范围是 　　． 32．（2024春•松江区校级月考）已知椭圆，，分别是椭圆短轴的上下两个端点，是椭圆的左焦点，是椭圆上异于点，的点，若△的边长为4的等边三角形． （1）写出椭圆的标准方程； （2）当直线的一个方向向量是时，求以为直径的圆的标准方程； （3）设点满足：，，求证：△与△的面积之比为定值． 一十．抛物线的性质（共4小题） 33．（2024春•松江区校级月考）抛物线的焦点坐标是　　． 34．（2024•浦东新区校级模拟）已知是抛物线上的一点，为抛物线的焦点，为坐标原点．当时，，则　　． 35．（2024春•杨浦区校级期中）若抛物线的弦被点平分，则此弦所在直线的斜率为 　　． 36．（2023春•浦东新区校级期中）如图，弯曲的河流是近似的抛物线，公路恰好是的准线，上的点到的距离最近，且为0.4千米，城镇位于点的北偏东处，千米，现要在河岸边的某处修建一座码头，并修建两条公路，一条连接城镇，一条垂直连接公路，以便建立水陆交通网． （1）建立适当的坐标系，求抛物线的方程； （2）为了降低修路成本，必须使修建的两条公路总长最小，请给出修建方案（作出图形，在图中标出此时码头的位置），并求公路总长的最小值（精确到0.001千米） 一十一．双曲线的标准方程（共2小题） 37．（2024春•静安区校级期中）对于双曲线和，给出下列四个结论： （1）离心率相等；（2）渐近线相同；（3）没有公共点；（4）焦距相等，其中正确的结论是　　 A．（1）（2）（4） B．（1）（3）（4） C．（2）（3）（4） D．（2）（4） 38．（2024春•浦东新区校级期中）已知双曲线一条渐近线方程为，且过点，则双曲线的标准方程是 　　． 一十二．双曲线的性质（共11小题） 39．（2024春•闵行区校级月考）已知点是双曲线右支上一点，、分别为双曲线的左、右焦点，为△的内心，若成立，则的值为　　 A． B． C． D． 40．（2024春•闵行区校级月考）双曲线的两条渐近线所成锐角的大小等于 　　． 41．（2024春•长宁区校级月考）与双曲线有共同的渐近线，且经过点，的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是　　． 42．（2024春•虹口区校级期中）某研究性学习小组发现，由双曲线的两渐近线所成的角可求离心率的大小，联想到反比例函数的图象也是双曲线，据此可进一步推断双曲线的离心率　　． 43．（2024春•松江区校级期中）已知点为双曲线右支上的一点，，分别为双曲线的左、右焦点，点为△的内心，若成立，则的值为　　． 44．（2024春•普陀区校级期中）已知双曲线，其双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的方程为　 　． 45．（2023春•黄浦区校级月考）双曲线绕坐标原点旋转适当角度可以成为函数的图象，关于此函数有如下四个命题： ①是奇函数； ②的图象过点或； ③的值域是； ④函数有两个零点； 则其中所有真命题的序号为　 　． 46．（2024春•金山区校级月考）已知，分别是双曲线的左、右焦点，过点且垂直轴的直线与交于，两点，且，若圆与的一条渐近线交于，两点，则　　． 47．（2024春•宝山区校级期中）已知双曲线的方程为，其左、右焦点分别是，，点坐标为，双曲线上的，，满足，则　　． 48．（2024春•浦东新区校级月考）（1）从等轴双曲线上任一点分别作两渐近线的平行线，得矩形（如图），求证：矩形的面积为定值． （2）请将上述命题推广到更一般的情形，写出相应的结论． 49．（2024春•普陀区校级期中）已知双曲线． （1）求与双曲线有相同焦点，且过点的双曲线的标准方程； （2）直线分别交双曲线的两条渐近线于、两点．当时，求实数的值． 一十三．曲线与方程（共2小题） 50．（2024春•松江区校级期中）在平面上，若曲线具有如下性质：存在点，使得对于任意点，都有使得．则称这条曲线为“自相关曲线”．判断下列两个命题的真假　　 ①所有椭圆都是“自相关曲线”． ②存在是“自相关曲线”的双曲线． A．①假命题；②真命题 B．①真命题；②假命题 C．①真命题；②真命题 D．①假命题；②假命题 51．（2024春•黄浦区校级期中）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图）．给出下列三个结论： ①曲线恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线上存在有点到原点的距离超过； ③曲线所围成的“心形”区域的面积大于3． 其中，所有正确结论的序号是　　 A．① B．①②③ C．①② D．①③ 一十四．直线与圆锥曲线的综合（共7小题） 52．（2024春•静安区校级月考）若直线和圆没有公共点，则过点的直线与椭圆的公共点个数为　　 A．0 B．1 C．2 D．需根据，的取值来确定 53．（2024春•黄浦区校级期中）直线与曲线的公共点个数为　　． 54．（2024春•松江区校级期中）已知抛物线的焦点在直线上． （1）求抛物线的方程； （2）设直线经过点，且与抛物线有且只有一个公共点，求直线的方程． 55．（2023春•浦东新区校级期中）如图，已知半圆与轴交于、两点，与轴交于点，半椭圆的上焦点为，并且是面积为的等边三角形，将由、构成的曲线，记为“”． （1）求实数、的值； （2）直线与曲线交于、两点，在曲线上再取两点、、分别在直线两侧），使得这四个点形成的四边形的面积最大，求此最大面积； （3）设点，，是曲线上任意一点，求的最小值． 56．（2024春•浦东新区期中）已知椭圆，抛物线若直线与曲线交于点、，直线与曲线分别交于点、．当时，则称直线是曲线与的“等弦线”． （1）求椭圆的离心率； （2）直线同时满足以下两个条件：①直线经过原点②直线是与的“等弦线”．请求出的方程； （3）已知点，，，证明：过点存在与的“等弦线”． 57．（2023春•浦东新区校级期末）已知椭圆的离心率为，直线与以原点为圆心、以椭圆的短半轴长为半径的圆相切． （Ⅰ）求椭圆的方程． （Ⅱ）设椭圆的左焦点为，右焦点为，直线过点，且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于点，线段的垂直平分线交于点，求点的轨迹的方程； （Ⅲ）若、为椭圆的两条相互垂直的弦，垂足为右焦点，求四边形的面积的最小值． 58．（2023春•静安区校级期中）在平面直角坐标系中，点到两点，的距离之和等于4，设点的轨迹为． （Ⅰ）写出的方程； （Ⅱ）设直线与交于，两点．为何值时？此时的值是多少？． 一十五．圆锥曲线的综合（共2小题） 59．（2024春•浦东新区校级月考）已知椭圆，双曲线．若双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆与双曲线的离心率之积为 　　． 60．（2024春•徐汇区校级月考）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，点是两曲线的一个公共点，且，若双曲线为等轴双曲线，则椭圆的离心率为 　　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 圆锥曲线（考题猜想，易错、好题精选15个考点60题专练） 圆的标准方程 圆的一般方程 圆的切线方程 直线与圆相交的性质 直线与圆的位置关系  圆与圆的位置关系及其判定 圆方程的综合应用 椭圆的标准方程实数大小比较 椭圆的性质 抛物线的性质 双曲线的标准方程 双曲线的性质 曲线与方程 直线与圆锥曲线的综合 圆锥曲线的综合 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 一．圆的标准方程（共2小题） 1．（2024春•宝山区校级期中）已知点，，以线段为直径的圆的标准方程为 　　． 【分析】根据题意，先算出的中点坐标与，然后根据圆的标准方程求出答案． 【解答】解：由点，，可得的中点为，，即． 由两点间的距离公式，得， 可得线段为直径的圆的半径，其标准方程为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查两点间的距离公式、线段的中点坐标公式、圆的标准方程等知识，考查了计算能力，属于基础题． 2．（2024春•黄浦区校级期中）已知圆经过点和，且圆心在直线上，求圆的方程． 【分析】根据题意，设圆的方程为，由、两点在圆上建立关于、的方程组，解出、的值即可得出所求圆的方程． 【解答】解：设圆的方程为， 圆心在直线上，得， 可得圆的方程为， 圆经过点和 ， 解得，， 因此，所求圆的方程为． 【点评】本题给出圆的圆心在定直线上，在圆经过两个定点的情况下求圆的方程．着重考查了圆的标准方程及其应用的知识，属于中档题． 二．圆的一般方程（共2小题） 3．（2024•青浦区校级模拟）已知圆恒过定点，，则直线的方程为 　　． 【分析】根据题意将圆方程整理，可得，利用圆系方程得出：圆经过圆与直线的交点，进而可得直线的方程． 【解答】解：圆，可化为， 由此可得：圆是经过圆与直线的交点的一个圆， 因此，直线就是直线，即直线的方程为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查圆的方程及其性质、直线与圆的位置关系等知识，属于基础题． 4．（2024春•徐汇区校级月考）若，满足，则所有可能的值组成的集合是 　，　． 【分析】将化为圆的标准方程，设，可得，即该直线与圆有交点，借助点到直线距离公式计算即可得． 【解答】解：可化为：， 则该方程为圆心为，半径为5的圆， 设，即有， 由题知，该直线与圆有交点， 即，可得． 故答案为：，． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，属于中档题． 三．圆的切线方程（共2小题） 5．（2024春•浦东新区校级期中）圆在点处的切线方程为　　． 【分析】求出圆的圆心坐标，求出切点与圆心连线的斜率，然后求出切线的斜率，解出切线方程． 【解答】解：圆的圆心坐标是， 所以切点与圆心连线的斜率：， 所以切线的斜率为：， 切线方程为：， 即． 故答案为：． 【点评】本题是基础题，考查圆的切线方程的求法，求出切线的斜率解题的关键，考查计算能力． 6．（2024春•松江区校级期中）已知圆，为过的圆的切线，为上任一点，过作圆的切线，则切线长的最小值是 　　． 【分析】由题意和点斜式方程求出直线的方程，再由切线长的求法计算即可求得． 【解答】解：由题可得，在圆上，所以直线的斜率为，所以直线的斜率为， 所以的方程为，即， 又因为到的距离， 所以切线长的最小值是． 故答案为：． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系和点到直线的距离，直线方程的求法，属于中档题． 四．直线与圆相交的性质（共2小题） 7．（2024春•嘉定区校级月考）直线被圆所截得的弦长等于，则　　． 【分析】由条件利用弦长公式求得弦心距，再利用点到直线的距离公式求得，解方程求得的值． 【解答】解：由于圆的半径为，弦长等于，故弦心距． 再根据点到直线的距离公式可得，求得， 故答案为：． 【点评】本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于基础题． 8．（2024春•长宁区校级月考）在平面直角坐标系中，为坐标原点，以为圆心的圆与直线相切． （Ⅰ）求圆的方程； （Ⅱ）直线与圆交于，两点，在圆上是否存在一点，使得四边形为菱形，若存在，求出此时直线的斜率；若不存在，说明理由． 【分析】（Ⅰ）设圆的半径为，由圆心为原点，根据已知直线与圆相切，得到圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离，即为圆的半径，由圆心和半径写出圆的标准方程即可； （Ⅱ）在圆上存在一点，使得四边形为菱形．理由为： 法1：由直线与圆相交，得到圆心到直线的距离小于圆的半径，利用关于的不等式，求出不等式的解集得到的范围，假设存在点，使得四边形为菱形，利用菱形的性质得到对角线与垂直且平分，可得出圆心到直线的距离等于的一半，即为半径的一半，根据半径求出的值，列出关于的方程，求出方程的解得到的值，代入范围中检验，满足条件，故存在点，使得四边形为菱形； 法2：记与交于点，，由菱形的对角线互相垂直，根据直线的斜率为不为，利用两直线垂直时斜率的乘积为求出直线的斜率，确定出直线的方程，将直线的方程与直线方程联立组成方程组，求出方程组的解表示出与，确定出的坐标，将的坐标代入圆的方程中，得到关于的方程，求出方程的解得到的值，经检验满足条件，故存在点，使得四边形为菱形． 【解答】（本小题共13分） 解：（Ⅰ）设圆的半径为，圆心为， 直线与圆相切， ，（3分） 则圆的方程为；（5分） （Ⅱ）在圆上存在一点，使得四边形为菱形，理由为： 法直线与圆相交于，两点， 圆心到直线的距离， 解得：或，（7分） 假设存在点，使得四边形为菱形，（8分） 则与互相垂直且平分，（9分） 圆心到直线的距离，（10分） 即，整理得：，（11分） 解得：，经验证满足条件，（12分） 则存在点，使得四边形为菱形；（13分） 法2：记与交于点，， 直线斜率为，显然， 直线方程为，（7分） 将直线与直线联立得： ， 解得：， 点坐标为，，（9分） 又点在圆上，将坐标代入圆方程得：， 解得：，（11分） 解得：，经验证满足条件，（12分） 则存在点，使得四边形为菱形．（13分） 【点评】此题考查了直线与圆相交的性质，直线与圆的位置关系，以及圆的标准方程，涉及的知识有：点到直线的距离公式，两直线的交点问题，菱形的性质，以及两直线垂直时斜率满足的关系，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径；当直线与圆相交时，圆心到直线的距离小于圆的半径；当直线与圆相离时，圆心到直线的距离大于圆的半径． 五．直线与圆的位置关系（共6小题） 9．（2024春•徐汇区校级期中）若直线与圆没有公共点，则实数的取值范围是　　 A． B．或 C．或 D． 【分析】此圆的圆心为，因为直线和圆没有公共点，所以根据圆心到直线的距离大于半径即可求解． 【解答】解：圆的圆心为．，半径为2， 圆心到直线的距离： 所以或． 故选：． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系的判断．利用圆心到直线的距离大于半径是关键． 10．（2024春•黄浦区校级月考）已知圆的方程为，点，是圆内一点，设以为中点的弦所在的直线为，方程为的直线为，则　　 A．，且与圆相交 B．，且与圆相离 C．，且与圆相交 D．，且与圆相离 【分析】先计算出直线的斜率，由，可得出直线的斜率，再由点斜式可得出直线的方程，由点在圆内得出，据此可判断直线、是平行关系，再利用点到直线的距离可计算出圆心到直线的距离，并与作大小比较，即可得出直线与圆的位置关系． 【解答】解：直线的斜率为，由垂径定理可知，，所以，直线的方程为，即， 由于点是圆内一点，则，所以，， 圆心到直线的距离为，因此，直线与圆相离， 故选：． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，解决本题的关键在于求出相应的直线方程，考查计算能力与推理能力，属于中等题． 11．（2024春•浦东新区校级期中）若直线与曲线恰有一个公共点，则的取值范围为　，　． 【分析】曲线即，表示以为圆心，以2为半径的一个半圆，由圆心到直线的距离等于半径2，解得，．当直线过点时，直线与曲线有两个公共点，此时，结合图象可得的范围． 【解答】解：如图所示：曲线即， 表示以为圆心，以2为半径的一个半圆， 由圆心到直线的距离等于半径2，可得， ，． 当直线过点时，直线与曲线有两个公共点，此时 结合图象可得或． 故答案为：， 【点评】本题的考点是直线与圆的位置关系，主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，体现了数形结合的数学思想，属于中档题． 12．（2024春•徐汇区校级期中）已知实数，满足，则的取值范围是 　，　． 【分析】作出函数的图象，利用几何意义，利用直线和圆的位置关系，结合数形结合即可得到结论． 【解答】解：由得，，则函数对应的曲线为圆心为，半径为2的下半圆， 由的几何意义，为圆上的点到定点的斜率， 由图象知的斜率最小，此时．的斜率， 当直线与半圆在第四象限相切时，斜率取得最大值（此时， 设直线为，即， 则圆心到直线的距离， 解得或（舍， 所以的取值范围是，． 故答案为：，． 【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用以及直线斜率的计算，利用数形结合是解决本题的关键． 13．（2024春•徐汇区校级期中）已知点在圆上运动，若对任意点，在直线上均存在两点，，使得恒成立，则线段长度的最小值是 　　． 【分析】由恒成立可知，始终在以为直径的圆内或圆上，求出点到直线的距离即为线段长度的最小值． 【解答】解：如图， 由题可知，圆心为点，半径为， 若直线上存在两点，，使得恒成立， 则始终在以为直径的圆内或圆上，点到直线的距离为， 所以长度的最小值为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属于中档题． 14．（2024春•黄浦区校级期中）已知圆，直线． （1）当为何值时，直线与圆相切； （2）当直线与圆相交于，两点，且时，求直线的方程． 【分析】（1）若直线与圆相切，则有，即可求出； （2）过圆心作，则根据题意和圆的性质，，即可求直线的方程． 【解答】解：将圆的方程配方得标准方程为，则此圆的圆心为，半径为2． （1）若直线与圆相切， 则有， ；（6分） （2）过圆心作，则根据题意和圆的性质， ，或7． 故所求直线方程为或．（12分） 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于中档题． 六．圆与圆的位置关系及其判定（共2小题） 15．（2024春•松江区校级月考）已知圆与圆内切，则　　． 【分析】利用两圆内切，则圆心距等于半径之差的绝对值，列出方程求解． 【解答】解：与圆内切， 圆心分别为，，半径，， 因为两圆内切，所以， 解得． 故答案为：． 【点评】本题考查两圆的位置关系和判定方法，属于中档题． 16．（2024•浦东新区二模）已知圆，圆，若两圆相交，则实数的取值范围为 　　． 【分析】由已知结合两圆位置关系的条件建立关于的不等式，即可分别求解． 【解答】解：因为圆可化为，圆心，半径为1， 圆可化为，圆心，半径为3，， 若两圆相交，则，即． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了两圆位置关系的应用，属于基础题． 七．圆方程的综合应用（共2小题） 17．（2024春•静安区校级月考）在平面直角坐标系中，若曲线与直线有且只有一个公共点，则实数　2　． 【分析】由曲线方程可知：曲线为以原点为圆心，2为半径的半圆轴右侧），从而根据曲线与直线有且只有一个公共点，可求实数的值． 【解答】解：由题意，曲线为以原点为圆心，2为半径的半圆轴右侧） 与直线轴）有且只有一个公共点 故答案为2 【点评】本题以圆为载体，考查直线与圆的位置关系，关键是利用圆的特殊性． 18．（2024春•浦东新区校级月考）关于的实系数方程和有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则的取值范围是 　　． 【分析】解出方程，可得其对应的点，，对于方程，讨论其△，进一步分析计算即可． 【解答】解：因为的解为 ， 设所对应的两点分别为，， 则，， 设的解所对应的两点分别为，， 记为，，，， 当△，即时，因为，关于轴对称， 且，，关于轴对称，显然四点共圆； 当△，即或时， 此时，，，，且， 故此圆的圆心为，半径， 又圆心到的距离， 解得， 综上：， 故答案为：． 【点评】本题主要考查圆的方程的综合应用，属于中档题． 八．椭圆的标准方程（共4小题） 19．（2024春•徐汇区校级月考）长轴的长是4，焦距是2，中心在原点的椭圆的标准方程是 　或　． 【分析】根据长轴长求出，根据焦距求出，再根据椭圆的定义求出，即可写出椭圆的标准方程． 【解答】解：因为长轴的长是，，焦距是，解得， 所以， 所以椭圆的标准方程是或． 故答案为：或． 【点评】本题考查了椭圆的标准方程应用问题，是基础题． 20．（2024春•黄浦区校级月考）若椭圆的长轴长是短轴长的2倍，它的一个焦点是，则椭圆的标准方程为 　　． 【分析】根据题意列方程组求出椭圆的半长轴和半短轴即可． 【解答】解：设椭圆的标准方程为， ， 解得，， 所以椭圆的标准方程为． 故答案为：． 【点评】本题考查了椭圆的标准方程应用问题，是基础题． 21．（2024春•杨浦区校级月考）椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，椭圆短轴的一个顶点与两焦点、组成的三角形的周长为且，则椭圆的方程是　或　． 【分析】先结合椭圆图形，通过直角三角形△推出，的关系，利用周长得到第二个关系，求出，然后求出，求出椭圆的方程． 【解答】解：设长轴为，焦距为， 则在△中，由得：， 所以△的周长为：， ，， 则椭圆的方程是或． 故答案为：或． 【点评】本题主要考查考察查了椭圆的标准方程的求法，关键是求出，的值，易错点是没有判断焦点位置． 22．（2023春•杨浦区校级期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，短轴两个端点为、，且四边形是边长为2的正方形． （1）求椭圆的方程； （2）若、分别是椭圆长轴的左、右端点，动点满足，连接，交椭圆于点．证明：为定值． （3）在（2）的条件下，试问轴上是否存异于点的定点，使得以为直径的圆恒过直线、的交点，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由题意知，，，由此可知椭圆方程为． （2）设，，，，直线，代入椭圆方程，得，然后利用根与系数的关系能够推导出为定值． （3）设存在满足条件，则．，再由，由此可知存在满足条件． 【解答】解：（1），，，； 椭圆方程为（4分） （2），，设，，， 直线，代入椭圆方程， 得（6分） ，，，（8分） （定值）（10分） （3）设存在满足条件，则， 若以为直径的圆恒过，的交点，则（11分） （12分） 则由，从而得 存在满足条件（14分） 【点评】本题考查直线和椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答． 九．椭圆的性质（共10小题） 23．（2024春•黄浦区校级月考）设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点的距离之和为　　． 【分析】由椭圆方程求得长半轴长，再由椭圆定义得答案． 【解答】解：由椭圆，得，即， 又是椭圆上的动点， 由椭圆定义可得，到该椭圆的两个焦点的距离之和为． 故答案为：． 【点评】本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查椭圆定义的应用，是基础题． 24．（2024春•静安区校级月考）椭圆的一个焦点是，那么　　． 【分析】先将椭圆方程转化为标准方程，由“一个焦点是”得到焦点的轴上，从而确定，，再由“”建立的方程求解． 【解答】解：方程可化为． 焦点在轴上， ，， 又，， 解得：． 故答案为： 【点评】本题主要考查椭圆的标准方程及性质，在研究和应用性质时必须将方程转化为标准方程再解题． 25．（2024春•徐汇区校级期中）方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是　　． 【分析】方程表示焦点在轴的椭圆，可得、的分母均为正数，且的分母较大，由此建立关于的不等式，解之即得的取值范围． 【解答】解：方程表示焦点在轴上的椭圆， ， ． 故答案为：． 【点评】本题给出椭圆的焦点在轴上，求参数的范围．着重考查了椭圆的标准方程与简单性质等知识，属于基础题． 26．（2024春•虹口区校级期中）已知椭圆经过直角三角形的直角顶点，且以另外两个顶点作为的焦点，则的离心率的最小值为 　　． 【分析】由椭圆和圆的性质可得，结合，，和离心率公式，可得所求最小值． 【解答】解：由题意可得直角三角形的直角顶点在以原点为圆心，半焦距为半径的圆上， 且，即有， 可得，即，即的最小值为． 故答案为：． 【点评】本题考查椭圆的性质，以及圆的性质，考查转化思想和运算能力，属于基础题． 27．（2024春•黄浦区校级期中）已知椭圆的长轴在轴上，若焦距为4，则　8　． 【分析】根据条件可得，，，由焦距为4，即．即可得到的值． 【解答】解：由椭圆的长轴在轴上， 则，，． 由焦距为4，即，即有． 即有，解得． 故答案为：8 【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查椭圆中的参数，，的关系，属于基础题． 28．（2024春•松江区校级月考）已知、分别为椭圆的左、右焦点，若直线上存在点，使△为等腰三角形，则椭圆离心率的范围是　　． 【分析】由已知，，可得的中点的坐标，求出斜率，利用，可得，由此可得结论． 【解答】解：由已知，，得的中点的坐标为，， ，， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查椭圆的离心率的计算，考查学生分析解决问题的能力，确定的中点的坐标是解答该题的关键，是中档题． 29．（2024春•黄浦区校级期中）已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为．与的离心率之积为，则的渐近线方程为　　． 【分析】椭圆的方程为，离心率．双曲线的方程为，离心率．利用与的离心率之积为，即可得出． 【解答】解：椭圆的方程为，离心率． 双曲线的方程为，离心率． 与的离心率之积为， ． ，解得． 的渐近线方程为． 故答案为：． 【点评】本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 30．（2024春•静安区校级月考）如图，已知点为椭圆在第一象限内的任意一点，过椭圆的右顶点和上顶点分别作与轴和轴的平行线交于，过引、的平行线交于，交于，交于、，矩形的面积是，三角形的面积是，则　1　． 【分析】根据椭圆方程设，得到、关于的式子，从而得到矩形的面积关于的式子．根据点坐标和三角形相似的知识，分别算出、坐标关于的式子，从而得到、关于的式子，算出的面积关于的式子，将的式子与式子加以对比，即可得到的值． 【解答】解：根据椭圆方程，设， 是椭圆第一象限内的点，， 由此可得：，， 矩形的面积． 设， 轴，，可得， 因此，． 同理，求得 的面积 由此可得，，即得 故答案为：1 【点评】本题给出由椭圆生成的矩形的面积和的面积，求的值．着重考查了椭圆的标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题． 31．（2024春•虹口区校级期中）已知是曲线上的动点，则的取值范围是 　，　． 【分析】设，又，把问题转化为求与的夹角求解． 【解答】解：设，又， ， 是曲线上的动点， 当位于曲线与轴左半轴交点时，（取不到）， 当为与曲线交点时，． ， 则的取值范围是，． 故答案为：，． 【点评】本题考查椭圆的性质，考查平面向量的应用，考查化归与转化思想，是中档题． 32．（2024春•松江区校级月考）已知椭圆，，分别是椭圆短轴的上下两个端点，是椭圆的左焦点，是椭圆上异于点，的点，若△的边长为4的等边三角形． （1）写出椭圆的标准方程； （2）当直线的一个方向向量是时，求以为直径的圆的标准方程； （3）设点满足：，，求证：△与△的面积之比为定值． 【分析】（1）由△是边长为4的等边三角形得，进一步求得，则椭圆方程可求； （2）由直线的一个方向向量是，可得直线所在直线的斜率，得到直线的方程，由椭圆方程联立，求得点坐标，得到的中点坐标，再求出，可得以为直径的圆的半径，则以为直径的圆的标准方程可求； （3）方法一、设，，，求出直线的斜率，进一步得到直线的斜率，得到直线的方程，同理求得直线的方程，联立两直线方程求得的横坐标，再结合，在椭圆上可得 与 的关系，由求解； 方法二、设直线，的斜率为，，得直线的方程为．结合，可得直线的方程为，把与椭圆方程联立可得，再由，在椭圆上，得到，从而得到，得．结合，可得直线的方程为．与线的方程联立求得．再由求解． 【解答】（1）解：如图，由△的边长为4的等边三角形，得，且． 椭圆的标准方程为； （2）解：直线的一个方向向量是， 直线所在直线的斜率，则直线的方程为， 联立，得， 解得，． 则的中点坐标为，． 则以为直径的圆的半径． 以为直径的圆的标准方程为； （3）证明：方法一、设，，，． 直线的斜率为，由，得直线的斜率为． 于是直线的方程为：． 同理，的方程为：． 联立两直线方程，消去，得． ，在椭圆上， ，从而． ， ． 方法二、设直线，的斜率为，，则直线的方程为． 由，直线的方程为， 将代入，得， 是椭圆上异于点，的点，，从而． ，在椭圆上， ，从而． ，得． ，直线的方程为． 联立，解得，即． ． 【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题． 一十．抛物线的性质（共4小题） 33．（2024春•松江区校级月考）抛物线的焦点坐标是　　． 【分析】根据抛物线的标准方程，再利用抛物线的焦点坐标为，求出物线的焦点坐标． 【解答】解：抛物线，即， ，， 焦点坐标是， 故答案为：． 【点评】本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用，抛物线的焦点坐标为，属基础题． 34．（2024•浦东新区校级模拟）已知是抛物线上的一点，为抛物线的焦点，为坐标原点．当时，，则　　． 【分析】由已知结合抛物线的定义可求得，再根据余弦定理求解． 【解答】解：过作准线的垂线，过作的垂线，垂足分别为，． 由题意， 点到准线的距离为：， 解得，则，． 故答案为：． 【点评】本题考查抛物线的几何性质，考查化归与转化思想，是中档题． 35．（2024春•杨浦区校级期中）若抛物线的弦被点平分，则此弦所在直线的斜率为 　1　． 【分析】设直线与抛物线相交于点，，，，分别代入代入抛物线方程，利用“点差法”、中点坐标公式、斜率计算公式即可得出． 【解答】解：设直线与抛物线相交于点，，，， 代入抛物线方程可得：，， 相减可得：， 又，， ，解得． 故答案为：1． 【点评】本题考查了抛物线的方程、“点差法”、中点坐标公式、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 36．（2023春•浦东新区校级期中）如图，弯曲的河流是近似的抛物线，公路恰好是的准线，上的点到的距离最近，且为0.4千米，城镇位于点的北偏东处，千米，现要在河岸边的某处修建一座码头，并修建两条公路，一条连接城镇，一条垂直连接公路，以便建立水陆交通网． （1）建立适当的坐标系，求抛物线的方程； （2）为了降低修路成本，必须使修建的两条公路总长最小，请给出修建方案（作出图形，在图中标出此时码头的位置），并求公路总长的最小值（精确到0.001千米） 【分析】先建立坐标系，求出抛物线方程，利用抛物线的定义知，公路总长，从而使问题得解． 【解答】解：（1）过点作准线的垂线，垂足为，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系（2分） 由题意得，（4分） 所以，抛物线（6分） （2）设抛物线的焦点为由题意得，（8分） 根据抛物线的定义知，公路总长（12分） 当为线段与抛物线的交点时，公路总长最小， 最小值为9.806千米（16分） 【点评】本题以实际问题为载体，主要考查抛物线的标准方程及运用，属于中档题． 一十一．双曲线的标准方程（共2小题） 37．（2024春•静安区校级期中）对于双曲线和，给出下列四个结论： （1）离心率相等；（2）渐近线相同；（3）没有公共点；（4）焦距相等，其中正确的结论是　　 A．（1）（2）（4） B．（1）（3）（4） C．（2）（3）（4） D．（2）（4） 【分析】利用方程，分别计算离心率、渐近线、焦距，即可得出结论． 【解答】解：由题意，双曲线，， （1）离心率分别为，；（2）渐近线相同，为；（3）没有公共点；（4）焦距相等，为10， 故选：． 【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础． 38．（2024春•浦东新区校级期中）已知双曲线一条渐近线方程为，且过点，则双曲线的标准方程是 　　． 【分析】根据双曲线的性质列出关于，的方程组，解出，的值即可． 【解答】解：双曲线一条渐近线方程为，且过点， ， 解得， 双曲线的标准方程为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程，考查了双曲线的性质，属于基础题． 一十二．双曲线的性质（共11小题） 39．（2024春•闵行区校级月考）已知点是双曲线右支上一点，、分别为双曲线的左、右焦点，为△的内心，若成立，则的值为　　 A． B． C． D． 【分析】设△的内切圆半径为，由，，用△的边长和表示出等式中的三角形的面积，解此等式求出． 【解答】解：设△的内切圆半径为，由双曲线的定义得，， ，，， 由题意得，，故， 故选：． 【点评】本题考查双曲线的定义和简单性质，利用待定系数法求出参数的值，属于基础题． 40．（2024春•闵行区校级月考）双曲线的两条渐近线所成锐角的大小等于 　　． 【分析】由双曲线方程求得其渐近线方程，得到两渐近线的倾斜角，则答案可求． 【解答】解：由双曲线，得，， 双曲线的两条渐近线方程分别为，， 可得两条渐近线所成锐角的大小等于． 故答案为：． 【点评】本题考查双曲线的几何性质，是基础题． 41．（2024春•长宁区校级月考）与双曲线有共同的渐近线，且经过点，的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是　2　． 【分析】先设双曲线方程为，再将点代入双曲线方程，解得，从而确定双曲线方程的焦点坐标为，一条渐近线方程，故可求． 【解答】解：设双曲线方程为，将点代入双曲线方程，解得， 从而所求双曲线方程的焦点坐标为，一条渐近线方程为，所以焦点到一条渐近线的距离是2， 故答案为2． 【点评】本题主要考查双曲线的标准方程及几何性质，关键是共渐近线双曲线方程的假设及点到直线距离公式的运用． 42．（2024春•虹口区校级期中）某研究性学习小组发现，由双曲线的两渐近线所成的角可求离心率的大小，联想到反比例函数的图象也是双曲线，据此可进一步推断双曲线的离心率　　． 【分析】由等轴双曲线的离心率直接得答案． 【解答】解：双曲线的两条渐近线为，， 两条渐近线互相垂直，则双曲线为等轴双曲线， 其离心率为． 故答案为：． 【点评】本题考查双曲线的几何性质，明确等轴双曲线的离心率为是关键，是基础题． 43．（2024春•松江区校级期中）已知点为双曲线右支上的一点，，分别为双曲线的左、右焦点，点为△的内心，若成立，则的值为　　． 【分析】设△的内切圆半径为，由，，用△的边长和表示出等式中的三角形的面积，解此等式求出． 【解答】解：双曲线的，，， 设△的内切圆半径为， 由双曲线的定义得，， ，， ， 由得， ， 故， 故答案为：． 【点评】本题考查双曲线的定义和简单性质，利用待定系数法求出参数的值是关键，考查方程思想和运算能力，属于基础题． 44．（2024春•普陀区校级期中）已知双曲线，其双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的方程为　　． 【分析】由抛物线的焦点为：，可得所求的双曲线，根据可求的值，从而可得双曲线的方程为． 【解答】解：抛物线的焦点为：， 所求的双曲线的右焦点为，，故 根据双曲线的定义可知， 则双曲线的方程为： 故答案为：． 【点评】本题以抛物线的焦点的求解为切入点，主要考查了双曲线的方程的求解，比较基础． 45．（2023春•黄浦区校级月考）双曲线绕坐标原点旋转适当角度可以成为函数的图象，关于此函数有如下四个命题： ①是奇函数； ②的图象过点或； ③的值域是； ④函数有两个零点； 则其中所有真命题的序号为　①②　． 【分析】求出双曲线的对称中心和顶点坐标和渐近线方程，画出的图象（位于一三象限），对选项一一判断，由对称性可得的图象在二四象限的情况，即可得到答案． 【解答】解：双曲线关于坐标原点对称， 可得旋转后得到的函数的图象关于原点对称， 即有为奇函数，故①对； 由双曲线的顶点为，，渐近线方程为， 可得的图象的渐近线为和， 图象关于直线对称， 可得的图象过点，或， 由对称性可得的图象按逆时针旋转位于一三象限； 按顺时针旋转位于二四象限； 故②对； 的图象按逆时针旋转位于一三象限， 由图象可得顶点为点，或， 不是极值点，则的值域不是； 的图象按顺时针旋转位于二四象限， 由对称性可得的值域也不是． 故③不对； 当的图象位于一三象限时，的图象与直线有两个交点， 函数有两个零点； 当的图象位于二四象限时，的图象与直线没有交点， 函数没有零点． 故④错． 故答案为：①②． 【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查函数的奇偶性和对称性、值域的求法，考查运算能力，属于难题． 46．（2024春•金山区校级月考）已知，分别是双曲线的左、右焦点，过点且垂直轴的直线与交于，两点，且，若圆与的一条渐近线交于，两点，则　　． 【分析】令，求得，解直角三角形可得双曲线的渐近线方程，再由直线和圆相交的弦长公式，计算可得所求弦长． 【解答】解：设， 令，可得，即有， 可得， 解得，即有， 所以渐近线方程为， 由对称性，不妨取进行计算， 由圆心到直线的距离， 可得弦长． 故答案为：． 【点评】本题考查双曲线的方程和性质，以及直线和圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题． 47．（2024春•宝山区校级期中）已知双曲线的方程为，其左、右焦点分别是，，点坐标为，双曲线上的，，满足，则　　． 【分析】由题意画出图形，证明为△的内切圆的圆心，进一步求解得答案． 【解答】解：如图， 双曲线的实半轴长，连接，， 设△的内切圆为，圆与三角形三边分别切于，，， 连接，，，由， 得，即，也就是， 可得，即圆心的横坐标为4， 由，得， 则，即在的角平分线上，则与重合， 可得圆的半径． ． 故答案为：． 【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查平面向量在圆锥曲线问题中的应用，考查运算求解能力，是中档题． 48．（2024春•浦东新区校级月考）（1）从等轴双曲线上任一点分别作两渐近线的平行线，得矩形（如图），求证：矩形的面积为定值． （2）请将上述命题推广到更一般的情形，写出相应的结论． 【分析】（1）利用双曲线的渐近线方程及点在双曲线上，再利用点到直线的距离公式及矩形的面积公式即可求解； （2）利用双曲线的渐近线方程及直线的点斜式方程，直线与渐近线方程联立，求出交点坐标，再利用点到直线的距离公式及三角形的面积公式即可求解． 【解答】（1）证明：双曲线的两条渐近线方程为， 设，是双曲线上任一点，则． 且， ，即矩形面积为定值； （2）解：对于更一般的双曲线， 点为双曲线上任意一点， 过点分别作双曲线两条渐近线的平行线、与渐近线的交点分别是和， 则四边形的面积为定值，如图所示： 理由如下； 设点，，双曲线的渐近线方程为， 则直线的方程为， 由，得， 即点， 直线的方程为，即， 点到直线的距离为 ，又， （定值）． 【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查推理论证能力与运算求解能力，是中档题． 49．（2024春•普陀区校级期中）已知双曲线． （1）求与双曲线有相同焦点，且过点的双曲线的标准方程； （2）直线分别交双曲线的两条渐近线于、两点．当时，求实数的值． 【分析】（1）先确定双曲线的焦点坐标，根据双曲线与双曲线有相同焦点，且过点，建立方程组，从而可求双曲线的标准方程； （2）直线方程与双曲线的两条渐近线联立，求出、两点的坐标用坐标，利用数量积，即可求得实数的值． 【解答】解：（1）双曲线， 焦点坐标为，，， 设双曲线的标准方程为， 双曲线与双曲线有相同焦点，且过点 ，解得 双曲线的标准方程为 （2）双曲线的两条渐近线为， 由，可得，， 由，可得，，， 【点评】本题考查双曲线的标准方程与几何性质，考查直线与双曲线的位置关系，考查向量的数量积，联立方程组是关键． 一十三．曲线与方程（共2小题） 50．（2024春•松江区校级期中）在平面上，若曲线具有如下性质：存在点，使得对于任意点，都有使得．则称这条曲线为“自相关曲线”．判断下列两个命题的真假　　 ①所有椭圆都是“自相关曲线”． ②存在是“自相关曲线”的双曲线． A．①假命题；②真命题 B．①真命题；②假命题 C．①真命题；②真命题 D．①假命题；②假命题 【分析】由新定义求解曲线上任一点到定点距离的取值范围，当任意，都有时，曲线满足定义，结合椭圆与双曲线的性质判断． 【解答】解：对于①，不妨设椭圆方程为，， 则椭圆上一点到距离为， 当时，对称轴，可得，， 总存在使得，此时满足题意，故任意椭圆都是“自相关曲线”，故①正确， 对于②，对于给定的双曲线和点，显然存在最小值， 而横坐标趋近于无穷大时，趋近于无穷大，，， 故不满足题意，不存在双曲线是“自相关曲线”，故②错误． 故选：． 【点评】本题考查曲线与方程的关系，关键在于新定义的理解，转化为求曲线上任一点到定点距离的取值范围，再结合椭圆与双曲线的性质判断即可，属于中档题． 51．（2024春•黄浦区校级期中）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图）．给出下列三个结论： ①曲线恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线上存在有点到原点的距离超过； ③曲线所围成的“心形”区域的面积大于3． 其中，所有正确结论的序号是　　 A．① B．①②③ C．①② D．①③ 【分析】先根据图像的对称性找出整点，再判断是否还有其他的整点在曲线上；找出曲线上离原点距离最大的点的区域，再由基本不等式得到最大值不超过；在心形区域内找到一个内接多边形，该多边形的面积等于3，从而判断出“心形”区域的面积大于3． 【解答】解：对于①，将换成，方程不变，所以图形关于轴对称， 当时，，即曲线经过，， 当时，方程变为， 由△解得， 所以只能取整数解1， 当时，方程变为， 解得或，即曲线经过，， 由对称性得曲线还经过，， 故曲线一共经过6个整点，，，，，，，故①正确； 对于②，当时，由得， 当且仅当时，等号成立， 所以，所以， 即曲线上轴右边的点到原点的距离不超过， 由对称性可得曲线上任意一点到原点的距离不超过，故②错误； 对于③，如图， 在轴上方图形面积大于矩形面积， 在轴下方图形面积大于等腰直角三角形面积， 因此曲线所围成的“心形”区域的面积大于，故③正确． 故选：． 【点评】本题主要考查曲线与方程，属于中档题． 一十四．直线与圆锥曲线的综合（共7小题） 52．（2024春•静安区校级月考）若直线和圆没有公共点，则过点的直线与椭圆的公共点个数为　　 A．0 B．1 C．2 D．需根据，的取值来确定 【分析】根据直线和圆没有公共点，可推断点是以原点为圆心，2为半径的圆内的点，根据圆的方程和椭圆方程可知圆内切于椭圆，进而可知点是椭圆内的点，进而判断可得答案． 【解答】解：因为直线和圆没有公共点， 所以原点到直线的距离， 所以， 所以点是在以原点为圆心，2为半径的圆内的点． 椭圆的长半轴 3，短半轴为 2 圆内切于椭圆 点是椭圆内的点 过点的一条直线与椭圆的公共点数为2． 故选：． 【点评】本题主要考查了直线与圆、直线与圆锥曲线的关系，以及点到直线的距离公式，解题的关键是确定点是椭圆内的点． 53．（2024春•黄浦区校级期中）直线与曲线的公共点个数为　3　． 【分析】分大于等于0，和小于0两种情况去绝对值符号，可得当时，曲线为焦点在轴上的双曲线，当时，曲线为焦点在轴上的椭圆，在同一坐标系中作出直线与曲线的图象，就可找到交点个数． 【解答】解：当时，曲线的方程为 当时，曲线的方程为， 曲线的图象为右图， 在同一坐标系中作出直线的图象， 可得直线与曲线交点个数为3个． 故答案为3 【点评】本题主要考查图象法求直线与曲线交点个数，关键是去绝对值符号，化简曲线方程． 54．（2024春•松江区校级期中）已知抛物线的焦点在直线上． （1）求抛物线的方程； （2）设直线经过点，且与抛物线有且只有一个公共点，求直线的方程． 【分析】（1）先确定抛物线的焦点坐标，即可求得抛物线的方程； （2）考虑斜率是否存在，利用判别式为0，即可求得结论． 【解答】解：（1）由抛物线方程，知其焦点在轴正半轴上， 在直线中，令，得焦点坐标为，所以，即， 故抛物线的方程是． （2）直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由方程组消去，得， 因为直线与抛物线有且只有一个公共点，所以△，解得或． 此时直线的方程为或； 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，直线与抛物线有且只有一个公共点． 综上，可得当直线的方程为，或时，直线与抛物线有且只有一个公共点． 【点评】本题考查抛物线的标准方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题． 55．（2023春•浦东新区校级期中）如图，已知半圆与轴交于、两点，与轴交于点，半椭圆的上焦点为，并且是面积为的等边三角形，将由、构成的曲线，记为“”． （1）求实数、的值； （2）直线与曲线交于、两点，在曲线上再取两点、、分别在直线两侧），使得这四个点形成的四边形的面积最大，求此最大面积； （3）设点，，是曲线上任意一点，求的最小值． 【分析】（1）根据等边的面积公式列方程求出，再计算； （2）分别求出点、的坐标，计算，求出点、到直线的最大距离，计算四边形的面积最大值； （3）讨论的取值范围，写出的表达式，从而求出的解析式． 【解答】解：（1）如图1所示， 由等边的面积为，所以， 解得，所以， 又，解得，即； （2）如图2所示， 设点在半圆上，且在第三象限内，在半椭圆上，且在第一象限内， 由，解得，， 由，解得，； 所以； 设在半圆上，且在第二象限，，到直线的距离为， ， ，到直线的最大距离为1， 所以四边形的面积最大值为 ； （3）如图3所示， 显然时，， 时，； 当在曲线内部时，曲线上一点满足取得最小值， 设，其中，， 则； 当，即时，； 当时，； 综上知，． 【点评】本题考查了直线与圆锥曲线方程的综合应用问题，也考查了运算求解能力与思维能力，是难题． 56．（2024春•浦东新区期中）已知椭圆，抛物线若直线与曲线交于点、，直线与曲线分别交于点、．当时，则称直线是曲线与的“等弦线”． （1）求椭圆的离心率； （2）直线同时满足以下两个条件：①直线经过原点②直线是与的“等弦线”．请求出的方程； （3）已知点，，，证明：过点存在与的“等弦线”． 【分析】（1）根据椭圆性质，求出离心率的值． （2）讨论①直线方程斜率不存在时，②直线方程斜率存在时，设斜率为，写出直线方程，与抛物线方程联立，与椭圆方程联立，利用弦长公式求出、，令，求解即可． （3）讨论①直线为时，②设直线方程为时，与抛物线方程联立，与椭圆方程联立，利用弦长公式求出、，由，得出等式，将联立结果代入，化简求解，即可证明命题成立． 【解答】解：（1）根据椭圆性质知，，，所以离心率为． （2）①直线方程斜率不存在时，直线与抛物线有且仅有1公共点，显然不合题意． ②直线方程斜率存在时，斜率设为，直线方程为．联立方程，消去可得，解得，． 联立方程，消去可得，解得，． 当时，即，等价于，代代入联立结果得，解得，（舍去），即． 综上所述，直线方程为． （3）证明：①直线为 时，与抛物线有且仅有一个交点，不合题意，舍去． ②设直线方程为，联立方程，消去可得，当△时，． 由根与系数的关系可得，，所以， 联立方程，消去可得， 此时必有两个交点，由根与系数的关系可得，， 所以． 如果存在等弦线使得，等价于，化简可得， 将联立结果代入可得， 换元，令，代入上式可得． 由于，化简得到． 题目等弦线存在性证明，等价于证明：对任意，在 上有解． 令，则， 令，由于且， 所以对任意，有，即； 由于， 所以． 根据零点存在定理，一定存在，使得． 综上所述，对任意，在上有解，命题得证． 【点评】本题考查了直线与圆锥曲线的综合应用问题，也考查了逻辑推理与运算求解能力，是难题． 57．（2023春•浦东新区校级期末）已知椭圆的离心率为，直线与以原点为圆心、以椭圆的短半轴长为半径的圆相切． （Ⅰ）求椭圆的方程． （Ⅱ）设椭圆的左焦点为，右焦点为，直线过点，且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于点，线段的垂直平分线交于点，求点的轨迹的方程； （Ⅲ）若、为椭圆的两条相互垂直的弦，垂足为右焦点，求四边形的面积的最小值． 【分析】（Ⅰ）由题设条件知，再由直线与圆相切，知，由此可求出椭圆的方程． （Ⅱ）由，知动点到定直线的距离等于它到定点的距离，由此可求出点的轨迹的方程． （Ⅲ）当直线的斜率存在且不为零时，设直线的斜率为，，，，，则直线的方程为，联立及得．然后利用根与系数的关系结合题设条件进行求解． 【解答】解：（Ⅰ），， 直线与圆相切 ，，，， 椭圆的方程是（3分） （Ⅱ）， 动点到定直线的距离等于它到定点的距离， 动点的轨迹是以为准线，为焦点的抛物线 点的轨迹的方程为（6分） （Ⅲ）当直线的斜率存在且不为零时，设直线的斜率为， ，，，，则直线的方程为 联立及得 所以， ．（8分） 由于直线的斜率为，用代换上式中的可得 ， 四边形的面积为（10分） 由 所以，当时，即时取等号．（11分） 易知，当直线的斜率不存在或斜率为零时，四边形的面积 综上可得，四边形面积的最小值为（12分） 【点评】本题考查圆锥曲线和直线的位置关系和综合应用，解题时要认真审题，注意韦达定理的合理运用． 58．（2023春•静安区校级期中）在平面直角坐标系中，点到两点，的距离之和等于4，设点的轨迹为． （Ⅰ）写出的方程； （Ⅱ）设直线与交于，两点．为何值时？此时的值是多少？． 【分析】（Ⅰ）设，由椭圆定义可知，点的轨迹是椭圆．从而写出其方程即可； （Ⅱ）设，，，，其坐标满足，将直线的方程代入椭圆的方程，消去得到关于的一元二次方程，再结合根与系数的关系及向量垂直的条件，求出值即可，最后通牒利用弦长公式即可求得此时的值，从而解决问题． 【解答】解： （Ⅰ）设，由椭圆定义可知，点的轨迹是以为焦点， 长半轴为2的椭圆．它的短半轴， 故曲线的方程为．（4分） （Ⅱ）设，，，，其坐标满足 消去并整理得， 故．（6分） ，即．而， 于是． 所以时，，故．（8分） 当时，，．， 而， 所以．（12分） 【点评】本小题主要考查平面向量，椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力． 一十五．圆锥曲线的综合（共2小题） 59．（2024春•浦东新区校级月考）已知椭圆，双曲线．若双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆与双曲线的离心率之积为 　　． 【分析】利用已知条件求出正六边形的顶点坐标，运用椭圆的定义和离心率公式，求出椭圆的离心率；利用渐近线的斜率求解双曲线的离心率即可． 【解答】解：不妨设，，可设椭圆的焦点坐标，， 正六边形的一个顶点，， 由，即， 解得椭圆的； 双曲线的渐近线的斜率为，即， 可得双曲线的离心率为． 即有椭圆与双曲线的离心率之积为． 故答案为：． 【点评】本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力． 60．（2024春•徐汇区校级月考）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，点是两曲线的一个公共点，且，若双曲线为等轴双曲线，则椭圆的离心率为 　　． 【分析】利用椭圆、双曲线的定义和余弦定理推得，再根据的值，可求出的值． 【解答】解：设，，且在第一象限， 由椭圆和双曲线的定义可得，， 解得，，在△中，， 由余弦定理可得， 所以，可得，即， 双曲线为等轴双曲线，， 可得， 故答案为：． 【点评】本题考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质，以及三角形的余弦定理，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$