专题01 平面直角坐标系中的直线（考题猜想，易错、好题精选10个考点40题专练）-2023-2024学年高二数学下学期期末考点大串讲（沪教版2020选修）

专题01 平面直角坐标系中的直线（考题猜想，易错、好题精选10个考点40题专练） 直线的倾斜角 直线的斜率 直线的点斜式方程 直线的截距式方程 直线的一般式方程与直线的性质  直线的一般式方程与直线的平行关系 直线的一般式方程与直线的垂直关系 与直线关于点、直线对称的直线方程 点到直线的距离公式 两条平行直线间的距离 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 一．直线的倾斜角（共4小题） 1．（2024春•浦东新区校级月考）已知直线的方程为，则直线的倾斜角为　　 A． B． C． D． 2．（2024春•松江区校级期中）直线的倾斜角大小是 　　． 3．（2023春•普陀区校级期末）已知直线经过点．直线的倾斜角是 　　． 4．（2024春•浦东新区校级月考）已知直线过点，． （1）若直线的倾斜角为，求实数的值； （2）若直线的倾斜角为钝角，求实数的取值范围． 二．直线的斜率（共3小题） 5．（2023春•黄浦区校级期中）过，的直线的斜率为 　　． 6．（2023春•浦东新区校级期中）已知两点，，直线过点，若直线与线段相交，则直线的斜率取值范围是　　 A． B． C． D． 7．（2023春•闵行区校级月考）在平面直角坐标系中，把横、纵坐标均为有理数的点称为有理点．若为无理数，则在过点的所有直线中　　 A．有无穷多条直线，每条直线上至少存在两个有理点 B．恰有条直线，每条直线上至少存在两个有理点 C．有且仅有一条直线至少过两个有理点 D．每条直线至多过一个有理点 三．直线的点斜式方程（共2小题） 8．（2024春•黄浦区校级期中）直线过，且的一个法向量，则直线的点法向式方程为 　　． 9．（2023春•浦东新区校级期中）过点，且一个法向量为的直线的点法式方程是 　　． 四．直线的截距式方程（共4小题） 10．（2023春•徐汇区校级期中）已知直线在轴上的截距为3，在轴上的截距为，则的方程　 　． 11．（2024春•浦东新区校级月考）直线在轴上的截距为 　　． 12．（2023春•浦东新区校级期中）设直线的方程为，． （1）若在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程； （2）若与两坐标轴围成的三角形的面积为1，求的值． 13．（2024春•静安区校级月考）设直线的方程为． （1）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程； （2）若，直线与、轴分别交于、两点，求面积取最值时，直线的方程． 五．直线的一般式方程与直线的性质（共6小题） 14．（2024春•虹口区校级期中）直线过点，法向量，则的一般式方程为 　　． 15．（2024春•静安区校级期中）已知直线在轴上的截距为1，且的一个法向量是，则直线的方程是 　　． 16．（2024春•徐汇区校级月考）菱形的顶点，的坐标分别为，，边所在直线过点． （Ⅰ）求，边所在直线的方程； （Ⅱ）求对角线所在直线的方程． 17．（2024春•浦东新区期中）已知中，，． （1）若，求边上的高所在直线的一般式方程； （2）若点为边的中点，求边所在直线的一般式方程． 18．（2024春•静安区校级期中）数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、垂心、重心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知的顶点，，若其欧拉线的方程为， （1）求三角形外心的坐标； （2）求顶点的坐标． 19．（2024春•浦东新区校级月考）已知直线过点． （1）若直线在轴上的截距是在轴上的截距的3倍，求直线的方程； （2）若直线与两坐标轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，当的面积最小时，求直线的方程． 六．直线的一般式方程与直线的平行关系（共5小题） 20．（2024春•徐汇区校级期中）直线，，则“”是“”的　　 A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 21．（2023秋•徐汇区校级月考）经过两直线与的交点，且平行于直线的直线方程为：　 　． 22．（2023春•普陀区校级期末）过点且平行于直线的直线方程为　　． 23．（2023春•徐汇区校级期中）已知直线与平行，则实数的值为 　　． 24．（2023春•宝山区期末）已知直线，． （1）若，求实数的值； （2）若直线在两个坐标轴上的截距相等，求实数的值． 七．直线的一般式方程与直线的垂直关系（共5小题） 25．（2023春•长宁区校级期中）“两条直线的斜率乘积为”是“两条直线互相垂直”的　　条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 26．（2023春•黄浦区校级月考）已知直线的斜率不存在，且，则直线的斜率为 　　． 27．（2024春•宝山区校级期中）（1）求过点且与直线平行的直线的方程； （2）求与直线垂直，且与两坐标轴围成的面积为的直线方程． 28．（2024春•浦东新区校级月考）已知两点和． （1）记点关于轴的对称点为，求直线的方程； （2）求线段的垂直平分线的方程． 29．（2024春•浦东新区校级月考）已知直线，直线． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值． 八．与直线关于点、直线对称的直线方程（共3小题） 30．（2023春•杨浦区校级期中）直线关于点对称的直线的一般式方程为 　　． 31．（2023春•宝山区校级期中）直线关于直线对称的直线方程是　 　． 32．（2024春•静安区校级月考）与直线关于点对称的直线方程是　　． 九．点到直线的距离公式（共6小题） 33．（2023春•浦东新区校级期中）若原点到直线距离为4，则的值是 　　． 34．（2024春•黄浦区校级期中）已知点在直线上，则的最小值为　　． 35．（2024春•浦东新区校级期中）点到直线的距离是 　　． 36．（2023春•徐汇区校级期中）若实数满足，则点到直线的距离的取值范围是 　　． 37．（2024春•闵行区校级月考）根据下列条件，分别求直线的方程． （1）直线经过点，且与直线的夹角等于； （2）经过与的交点，且点到直线的距离为3． 38．（2024春•黄浦区校级期中）已知，，三点． （1）求边上中线所在直线的方程； （2）求的面积． 一十．两条平行直线间的距离（共2小题） 39．（2024春•崇明区校级期中）直线与直线之间的距离为 　　． 40．（2023秋•宝山区校级期末）已知，直线，直线． （1）若，求与之间的距离； （2）若与的夹角大小为，求直线的方程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 平面直角坐标系中的直线（考题猜想，易错、好题精选10个考点40题专练） 直线的倾斜角 直线的斜率 直线的点斜式方程 直线的截距式方程 直线的一般式方程与直线的性质  直线的一般式方程与直线的平行关系 直线的一般式方程与直线的垂直关系 与直线关于点、直线对称的直线方程 点到直线的距离公式 两条平行直线间的距离 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 一．直线的倾斜角（共4小题） 1．（2024春•浦东新区校级月考）已知直线的方程为，则直线的倾斜角为　　 A． B． C． D． 【分析】由直线的方程求出斜率，再由斜率的值及倾斜角的范围求出倾斜角的值． 【解答】解：直线的方程为，斜率为1，又倾斜角，，． 故选：． 【点评】本题主要考查直线的倾斜角和斜率的关系，求出直线的斜率，是解题的关键，属于基础题． 2．（2024春•松江区校级期中）直线的倾斜角大小是 　　． 【分析】由题意，利用直线的斜率和倾斜角的定义，得出结论． 【解答】解：直线的斜率为， 它的倾斜角为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查直线的斜率和倾斜角，属于基础题． 3．（2023春•普陀区校级期末）已知直线经过点．直线的倾斜角是 　　． 【分析】由题意，利用直线的斜率的定义和公式，求出直线的倾斜角． 【解答】解：直线经过点，设直线的倾斜角是，，， ， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查直线的斜率的定义和公式，属于基础题． 4．（2024春•浦东新区校级月考）已知直线过点，． （1）若直线的倾斜角为，求实数的值； （2）若直线的倾斜角为钝角，求实数的取值范围． 【分析】（1）根据斜率公式和斜率为倾斜角的正切值可得． （2）倾斜角为钝角时，斜率小于0，再利用斜率公式可得． 【解答】解：（1）由题意得，得． （2）由题意得，得， 故实数的取值范围为 【点评】本题主要考查直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题． 二．直线的斜率（共3小题） 5．（2023春•黄浦区校级期中）过，的直线的斜率为 　1　． 【分析】由题意，利用直线的斜率公式，计算求得结果． 【解答】解：过，的直线的斜率为． 故答案为：1． 【点评】本题主要考查直线的斜率公式，属于基础题． 6．（2023春•浦东新区校级期中）已知两点，，直线过点，若直线与线段相交，则直线的斜率取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】由题意，根据直线的斜率公式，求出直线、的斜率，可得直线的斜率取值范围． 【解答】解：如图所示： 由于直线与线段相交， 故有或， 求得，， 可得直线的斜率取值范围是， 故选：． 【点评】本题主要考查直线的斜率公式，属于基础题． 7．（2023春•闵行区校级月考）在平面直角坐标系中，把横、纵坐标均为有理数的点称为有理点．若为无理数，则在过点的所有直线中　　 A．有无穷多条直线，每条直线上至少存在两个有理点 B．恰有条直线，每条直线上至少存在两个有理点 C．有且仅有一条直线至少过两个有理点 D．每条直线至多过一个有理点 【分析】根据题意，假设一条直线上存在两个有理点，由此推断满足条件的直线有多少即可． 【解答】解：设一条直线上存在两个有理点，，，， 由于也在此直线上， 所以，当时，有为无理数，与假设矛盾，此时该直线不存在有理点； 当时，直线的斜率存在，且有， 又为无理数，而为有理数， 所以只能是，且， 即； 所以满足条件的直线只有一条，且直线方程是； 所以，正确的选项为． 故选：． 【点评】本题考查了新定义的关于直线方程与直线斜率的应用问题，解题的关键是理解新定义的内容，寻找解题的途径，是难理解的题目． 三．直线的点斜式方程（共2小题） 8．（2024春•黄浦区校级期中）直线过，且的一个法向量，则直线的点法向式方程为 　　． 【分析】由题意直接求出直线的点法式方程． 【解答】解：直线过，且的一个法向量， 则直线的点法向式方程为， 故答案为：． 【点评】本题主要考查直线的点法式方程，属于基础题． 9．（2023春•浦东新区校级期中）过点，且一个法向量为的直线的点法式方程是 　　． 【分析】由题意，利用两个向量垂直的性质，求出结果． 【解答】解：过点，且一个法向量为， 在此直线上任意取一点，则向量和此法向量垂直， 故有， 故答案为：． 【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的运算法则，属于基础题． 四．直线的截距式方程（共4小题） 10．（2023春•徐汇区校级期中）已知直线在轴上的截距为3，在轴上的截距为，则的方程　　． 【分析】利用截距式即可得出． 【解答】解：直线在轴上的截距为3，在轴上的截距为， 则的方程为，即． 故答案为：． 【点评】本题考查了截距式，属于基础题． 11．（2024春•浦东新区校级月考）直线在轴上的截距为 　　． 【分析】由直线，令，解得，即可得出结论． 【解答】解：由直线，令，则，解得， 直线在轴上的截距为． 故答案为：． 【点评】本题考查了直线的截距，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 12．（2023春•浦东新区校级期中）设直线的方程为，． （1）若在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程； （2）若与两坐标轴围成的三角形的面积为1，求的值． 【分析】（1）由题意，按照直线在坐标轴上的截距的定义，求得的值． （2）由题意，按照直线在坐标轴上的截距的定义，求得的值． 【解答】解：（1）根据直线的方程为，， 在两坐标轴上的截距相等， 当时，，直线的方程即，它在轴上没有截距，不满足题意． 故． 令，可得直线在轴上的截距为， 令，可得直线在轴上的截距为， 则有，求得或． （2）若与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则， 即，即或， 求得． 【点评】本题主要考查直线在坐标轴上的截距的定义，属于基础题． 13．（2024春•静安区校级月考）设直线的方程为． （1）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程； （2）若，直线与、轴分别交于、两点，求面积取最值时，直线的方程． 【分析】（1）根据题意，求出在两个坐标轴上的截距，求出，进一步求出直线方程； （2）由（1）和，利用面积取最值，求出的值，进一步求出直线方程． 【解答】解：（1）由，令，，令， 由直线方程在两坐标轴上的截距相等，则，解得或， 故直线方程或； （2）由（1）可知，， ． 当且仅当，即取等号． 即直线方程． 【点评】本题考查的知识点：直线的方程，基本不等式，主要考查学生的运算能力，属于基础题． 五．直线的一般式方程与直线的性质（共6小题） 14．（2024春•虹口区校级期中）直线过点，法向量，则的一般式方程为 　　． 【分析】设直线上的任意一点为，写出直线的方向向量，根据法向量与方向向量的数量积为0，即可得出直线的方程． 【解答】解：设直线上的任意一点为，因为直线过点，所以直线的方向向量为， 又因为直线的法向量为，所以，所以直线的方程为． 故答案为：． 【点评】本题考查了直线的方向向量和法向量的概念与应用问题，是基础题． 15．（2024春•静安区校级期中）已知直线在轴上的截距为1，且的一个法向量是，则直线的方程是 　　． 【分析】根据直线的一个法向量，算出直线的斜率为，从而利用直线的斜截式方程求出答案． 【解答】解：设直线的斜率为，则它的一个方向向量为， 根据直线的一个法向量是，可得，解得， 结合直线在轴上的截距为1，可得直线的方程为，即． 故答案为：． 【点评】本题主要考查两个向量垂直的条件、直线的基本量与基本形式等知识，考查了计算能力，属于基础题． 16．（2024春•徐汇区校级月考）菱形的顶点，的坐标分别为，，边所在直线过点． （Ⅰ）求，边所在直线的方程； （Ⅱ）求对角线所在直线的方程． 【分析】（Ⅰ）由已知可得出，则，求出边所在直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程； （Ⅱ）求出线段的垂直平分线方程，即为对角线所在直线的方程． 【解答】解：（Ⅰ）由菱形的性质可知， 则， 故边所在直线的方程为，即， 故边所在直线的方程为，即； （Ⅱ）线段的中点为，， 由菱形的几何性质可知，且为的中点，则 所以，对角线所在直线的方程为，即． 【点评】本题主要考查直线的一般式方程与直线的性质，属于基础题． 17．（2024春•浦东新区期中）已知中，，． （1）若，求边上的高所在直线的一般式方程； （2）若点为边的中点，求边所在直线的一般式方程． 【分析】（1）根据互相垂直两直线斜率的关系，结合直线的点斜式方程进行求解即可； （2）根据中点坐标公式，结合直线两点式方程进行求解即可． 【解答】解：（1）因为，， 所以， 因为是边上的高， 所以， 所以高所在直线的方程为； （2）因为点为边的中点， 所以， 因此边所在直线的方程为． 【点评】本题考查直线的斜率的求法，考查两直线垂直与斜率的关系，考查直线方程的求法，是基础题． 18．（2024春•静安区校级期中）数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、垂心、重心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知的顶点，，若其欧拉线的方程为， （1）求三角形外心的坐标； （2）求顶点的坐标． 【分析】（1）根据题意，边的垂直平分线的方程为，结合题意解方程组算出三角形外心的坐标； （2）设，根据重心坐标公式可得，结合外心的性质得到，从而建立关于、的方程组，解之即可得到本题的答案． 【解答】解：（1）根据题意，边的中点坐标为，其斜率， 所以边的垂直平分线的方程为，即， 联立方程组，解得，可得的外心的坐标为． （2）设，则的重心为， 代入欧拉线方程得，整理得， 由（1）的结论，可知的外心坐标为， 所以，即，整理得， 联立方程组，解得或， 当，时，点、重合，不符合题意；故顶点的坐标是． 【点评】本题主要考查直线的方程及其性质、两条直线垂直与方程的关系、两点间的距离公式、解三角形及其应用等知识，属于中档题． 19．（2024春•浦东新区校级月考）已知直线过点． （1）若直线在轴上的截距是在轴上的截距的3倍，求直线的方程； （2）若直线与两坐标轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，当的面积最小时，求直线的方程． 【分析】（1）根据直线过原点与直线不过原点进行讨论，利用截距式直线方程求解； （2）利用直线方程的点斜式方程，结合基本不等式加以计算，可得所求直线的方程． 【解答】解：（1）若直线在轴上的截距是在轴上的截距的3倍，则有以下两种情况： ①直线不过原点时，设直线为，将代入可得， 所以直线的方程为，即； ②当直线过原点时，满足条件，此时直线的斜率， 所以直线的方程为，即． 综上所述，直线的方程为或； （2）设直线的方程为，可得直线交轴于，交轴于， 所以， 当且仅当时，即时等号成立，可知面积的最小值为4． 所以直线的方程为，即． 【点评】本题主要考查直线的方程及其性质、运用基本不等式求最值等知识，考查了计算能力，属于中档题． 六．直线的一般式方程与直线的平行关系（共5小题） 20．（2024春•徐汇区校级期中）直线，，则“”是“”的　　 A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】根据两条直线平行与方程的关系，对两个条件进行正反推理论证，即可得到本题的答案． 【解答】解：根据题意，当时，直线，， 两条直线的斜率都为，且在轴上截距不相等，故，充分性成立； 反之，若，则且，解得，必要性成立． 因此，“”是“”的充要条件． 故选：． 【点评】本题主要考查两条直线平行与方程的关系、充要条件的判断等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题． 21．（2023秋•徐汇区校级月考）经过两直线与的交点，且平行于直线的直线方程为：　　． 【分析】联立，即可解得交点．设过点且与直线平行的直线方程为．把点代入可得即可． 【解答】解：联立， 解得， 得到交点． 设过点且与直线平行的直线方程为． 把点代入可得：， 解得． 因此所求的直线方程为：，即． 故答案为：． 【点评】本题考查了相交直线的交点、相互平行的直线之间的关系，属于基础题． 22．（2023春•普陀区校级期末）过点且平行于直线的直线方程为　　． 【分析】设与直线平行的直线方程为，把点代入求得的值，即可求得所求的直线的方程． 【解答】解：设与直线平行的直线方程为，把点代入可得，， 故所求的直线的方程为， 故答案为． 【点评】本题主要考查利用待定系数法求直线的方程，属于基础题． 23．（2023春•徐汇区校级期中）已知直线与平行，则实数的值为 　1或　． 【分析】由题意，根据两直线平行时，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，从而求出的字． 【解答】解：直线与平行，，且， 求得实数或． 故答案为：1或． 【点评】本题主要考查两直线平行的性质，属于基础题． 24．（2023春•宝山区期末）已知直线，． （1）若，求实数的值； （2）若直线在两个坐标轴上的截距相等，求实数的值． 【分析】（1）根据已知条件，结合直线平行的性质，即可求解； （2）根据已知条件，结合截距的定义，并分类讨论，即可求解． 【解答】解：（1）直线，． 则，解得或， 当时，直线，重合， 当时，直线，不重合，符合题意， 故； （2）当，即时，，满足直线在两个坐标轴上的截距相等； 当且时， 则直线在轴上的截距为，在轴上的截距为， 由题意可知，，解得， 综上所述，或． 【点评】本题主要考查直线平行的性质，属于基础题． 七．直线的一般式方程与直线的垂直关系（共5小题） 25．（2023春•长宁区校级期中）“两条直线的斜率乘积为”是“两条直线互相垂直”的　　条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【分析】由两直线垂直与斜率的关系结合充分必要条件的判定得答案． 【解答】解：若两条直线的斜率乘积为，则两直线垂直，反之，若两条直线垂直，两条直线的斜率乘积不一定为，如一条直线的斜率为0，而另一条直线的斜率不存在． “两条直线的斜率乘积为”是“两条直线互相垂直”的充分不必要条件． 故选：． 【点评】本题考查两直线垂直与斜率的关系，考查充分必要条件的判定，是基础题． 26．（2023春•黄浦区校级月考）已知直线的斜率不存在，且，则直线的斜率为 　0　． 【分析】由题意，根据由直线的倾斜角，结合垂直关系得出直线的倾斜角，从而求得直线的斜率． 【解答】解：直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为0，则斜率为0． 故答案为：0． 【点评】本题主要考查直线的倾斜角和斜率，两直线垂直的性质，属于基础题． 27．（2024春•宝山区校级期中）（1）求过点且与直线平行的直线的方程； （2）求与直线垂直，且与两坐标轴围成的面积为的直线方程． 【分析】（1）根据两条直线平行，设直线的方程为，代入点计算出，可得直线的方程； （2）根据两条直线垂直，设所求直线为，然后利用三角形的面积公式算出，即可得到本题的答案． 【解答】解：（1）根据直线，设与直线平行的直线方程为， 结合点在直线上，可得，解得，故直线的方程为． （2）根据所求直线与直线垂直，设其方程为， 可知该直线与轴交于点，，与轴交于点， 所以面积，解得，故所求直线的方程为． 【点评】本题主要考查直线的方程及其应用、两条直线平行与垂直的位置关系等知识，属于基础题． 28．（2024春•浦东新区校级月考）已知两点和． （1）记点关于轴的对称点为，求直线的方程； （2）求线段的垂直平分线的方程． 【分析】（1）先求出点的坐标，再利用两点式求出直线的方程． （2）由题意，根据两直线垂直的性质，先求出所求直线的斜率，再用点斜式求出直线的方程． 【解答】解：（1）由于两点和，点关于轴的对称点为， 故直线的方程为，化简可得． （2）线段的中点为，直线的斜率为，故线段的垂直平分线的斜率为， 故线段的垂直平分线的方程为，即． 【点评】本题主要考查直线的两点式方程、两直线垂直的性质，用点斜式求直线的方程，属于基础题． 29．（2024春•浦东新区校级月考）已知直线，直线． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值． 【分析】（1）根据直线与直线平行的充要条件，列出方程求解即可； （2）利用斜率存在的两条直线垂直，斜率之积等于列方程，求出实数的值． 【解答】解：（1）直线，直线． 因为，所以，解得或， 当时，两直线方程为，直线平行， 当时，，直线重合，不符合题意， 故； （2）因为直线，直线且， 所以， 所以或． 【点评】本题考查两直线垂直和平行的性质，考查了方程思想，属基础题． 八．与直线关于点、直线对称的直线方程（共3小题） 30．（2023春•杨浦区校级期中）直线关于点对称的直线的一般式方程为 　　． 【分析】在对称的直线上任意取一点，则关于点对称点在直线上，化简可得结论． 【解答】解：在线关于点对称的直线上任意取一点， 则关于点对称点在直线上， 故有，化简可得． 故答案为：． 【点评】本题主要考查求一条直线关于某个点的对称直线方程的方法，属于基础题． 31．（2023春•宝山区校级期中）直线关于直线对称的直线方程是　　． 【分析】由题意画出图形，设出所求直线方程，由平行线间的距离公式求得得答案． 【解答】解：如图， 直线关于直线对称的直线方程满足与直线平行，且到直线的距离相等， 则设所求直线方程为， 由，解得：（舍或． 直线关于直线对称的直线方程是． 故答案为：． 【点评】本题考查了直线关于直线的对称直线方程的求法，考查了平行线间的距离公式，是基础题． 32．（2024春•静安区校级月考）与直线关于点对称的直线方程是　　． 【分析】在所求直线上取点，可得关于点对称的点的坐标，代入已知直线方程，即可得到结论． 【解答】解：在所求直线上取点，则关于点对称的点的坐标为 代入直线，可得，整理得 故答案为： 【点评】本题考查直线关于点的对称问题，考查学生的计算能力，属于基础题． 九．点到直线的距离公式（共6小题） 33．（2023春•浦东新区校级期中）若原点到直线距离为4，则的值是 　　． 【分析】由点到直线的距离公式，列方程求出的值． 【解答】解：由原点到直线距离为4， 得，解得． 故答案为：． 【点评】本题考查了点到直线的距离公式应用问题，是基础题． 34．（2024春•黄浦区校级期中）已知点在直线上，则的最小值为　3　． 【分析】考虑的几何意义，利用转化思想，求出原点到直线的距离即可． 【解答】解：的几何意义是到原点的距离， 它的最小值转化为原点到直线的距离：． 故答案为3． 【点评】本题考查点到直线的距离公式，考查计算能力，是基础题． 35．（2024春•浦东新区校级期中）点到直线的距离是 　2　． 【分析】根据题意，利用点到直线的距离公式加以计算，可得答案． 【解答】解：由点到直线的距离公式，可知点到直线的距离． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查点到直线的距离公式及其应用，考查了计算能力，属于基础题． 36．（2023春•徐汇区校级期中）若实数满足，则点到直线的距离的取值范围是 　，　． 【分析】利用绝对值的定义去掉绝对值，将曲线方程进行分类讨论，得到方程对应的图象，结合图象进行求解即可． 【解答】解：实数，满足， 当且时，则有； 当且时，则有，此双曲线的一条渐近线为； 当且时，则有（不存在）； 当且时，则有．此双曲线的一条渐近线为． 作出曲线方程对应的图象，如图中红色部分所示． 设与的距离为， 与的距离为，则， 又四分之一个单位圆上的点到直线的距离最大值为1，所以， 故点到直线的距离的取值范围是，． 故答案为：，． 【点评】本题考查了曲线方程的应用，点到直线距离公式的运用，属于中档题． 37．（2024春•闵行区校级月考）根据下列条件，分别求直线的方程． （1）直线经过点，且与直线的夹角等于； （2）经过与的交点，且点到直线的距离为3． 【分析】（1）先根据直线的夹角公式求出直线的斜率，再写出直线的点斜式方程，化简即得所求直线的方程． （2）先求出两直线的交点，再结合点到直线的距离公式分类求解方程． 【解答】解：（1）设所求直线的斜率为，又直线的斜率为， 由题意得，解得，， 因为直线经过点， 所以直线的方程为或， 即或． （2）联立，解得，可得两条直线的交点为． 由点到直线的距离为3， 所以直线可为． 直线的斜率存在时，设方程为：，即， 则，解得， 所以直线的方程为，即， 综上可得直线的方程为：或． 【点评】本题考查两条直线的夹角的性质的应用，直线方程的求法，属于基础题． 38．（2024春•黄浦区校级期中）已知，，三点． （1）求边上中线所在直线的方程； （2）求的面积． 【分析】（1）直接利用中点坐标公式求出点的坐标，进一步求出直线的方程； （2）首先求出的长度，进一步利用点到直线的距离公式求出三角形的高，最后求出三角形的面积． 【解答】解：（1）已知，，三点， 所以的中点坐标， 故直线的方程为，整理得． （2）由于，，所以， 直线的方程为，整理得， 利用点到直线的距离， 所以． 【点评】本题考查的知识要点：直线的方程的求法，点到直线的距离公式，三角形的面积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题． 一十．两条平行直线间的距离（共2小题） 39．（2024春•崇明区校级期中）直线与直线之间的距离为 　　． 【分析】由平行线间的距离公式可求得结果． 【解答】解：易知与直线平行， 这两条直线间的距离为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查两条平行直线间的距离公式，属于基础题． 40．（2023秋•宝山区校级期末）已知，直线，直线． （1）若，求与之间的距离； （2）若与的夹角大小为，求直线的方程． 【分析】（1）由题意，根据两直线平行的性质，求得值，再根据两平行直线间的距离公式，计算求得结果． （2）由题意，根据直线的法向量的定义、两直线的夹角公式，先求出值，可得直线的方程． 【解答】解（1）因为，所以，求得， 故与之间的距二． （2）设直线的一个法向量为，直线的一个法向量为， 因为与的夹角大小为，所以， 解得或， 故直线的方程，即或， 所以直线的方程为或． 【点评】本题主要考查两直线平行的性质，两平行直线间的距离公式，直线的法向量、两直线的夹角公式，属于中档题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$