11.3.1 多边形的有关概念（分层作业）-【上好课】八年级数学上册同步高效课堂（人教版）

11.3.1 多边形的有关概念 分层作业 基础训练 1．（23-24八年级上·河北沧州·期中）下列图形是正多边形的是（    ） A．B．  C．  D．   2．（2023八年级上·全国·专题练习）下列图形中，不是多边形的是（　　） A． B．  C．   D．   3．（2022八年级上·全国·专题练习）对于正多边形，下列说法正确的是（     ） A．正多边形的边都相等，内角都相等； B．各边相等的多边形是正多边形； C．各角相等的多边形是正多边形； D．由正多边形构成的多边形是正多边形； 4．（23-24七年级上·河北保定·期末）从六边形的一个顶点出发，可以画出条对角线，它们将六边形分成个三角形.则的值为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．（23-24八年级上·河北廊坊·期中）要使一个九边形木架不变形，至少要再钉上（     ）根木条． A．5 B．6 C．7 D．8 6．（23-24八年级上·福建龙岩·阶段练习）如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成2021个三角形，那么这个多边形的边数是（    ） A．2019 B．2020 C．2021 D．2023 7．（23-24八年级上·全国·课后作业）已知过多边形的某一个顶点可以作2023条对角线（不是一共有2023条对角线），则这个多边形的边数是（     ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 8．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）八边形从一个顶点出发可以画a条对角线，将这个八边形分成b个三角形，则 ． 9．（23-24八年级上·天津和平·阶段练习）过边形的一个顶点有条对角线，边形没有对角线，则 ． 10．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）每一个多边形都可以按如图的方法分割成若干个三角形，那么按这种方式，n边形能分割成 个三角形．    11．（23-24八年级上·全国·课堂例题）已知正多边形的边长为5，从其一个顶点出发共有3条对角线，则该正多边形的周长为 ． 12．（23-24八年级上·河南新乡·阶段练习）探究归纳题： (1)如图1，经过四边形的一个顶点可以作 条对角线，它把四边形分成 个三角形； (2)如图2，经过五边形的一个顶点可以作 条对角线，它把五边形分成 个三角形； (3)探索归纳：对于边形，过一个顶点可以作 条对角线，它把边形分成 个三角形；（用含的式子表示） (4)如果经过多边形的一个顶点可以作100条对角线，那么这个多边形的边数为 ． 13．（21-22七年级上·吉林长春·阶段练习）画图题： (1)如图①从多边形的一个顶点出发画对角线，把多边形分割成三角形； (2)如图②从多边形的一条边上的一点出发画对角线，把多边形分割成三角形； (3)如图③从多边形的内部一点出发画对角线，把多边形分割成三角形． 14．（20-21八年级下·全国·期末）观察下面图形，并回答问题．    （1）四边形有_______条对角线；五边形有_______条对角线：六边形有_______条对角线．边形有______条对角线；（无需证明） （2）若一个多边形有条对角线，这个多边形的边数是？ 能力提升 15．（23-24八年级上·山东临沂·期中）要使得一个多边形具有稳定性，从多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点转化得到2022个三角形，则这个多边形的边数为（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 16．（22-23八年级上·湖北黄石·期末）过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形有2条对角线，则 ． 17．（21-22七年级上·全国·单元测试）从六边形的一个顶点出发，可以画出条对角线，它们将六边形分成个三角形．边形没有对角线，则的值为 ． 18．（21-22八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个十八边形，则原多边形纸片的边数可能是 ． 19．（20-21八年级上·河北保定·阶段练习）若过n边形的一个顶点有2a条对角线，k边形共有k条对角线，a边形没有对角线，则(a-k)n= ． 20．（19-20八年级下·湖南娄底·期末）在抗击新冠肺炎的斗争中，娄底市根据疫情的发展情况，决定全市中小学延期开学，并采用线上教学的形式，真正做到停课不停学，某中学初二1班全体同学自主完成学习任务的同时，不忘关心同学的安危，在停课不停学期间全班每两个同学都通过一次电话，我们可以把该班人数n与通话次数S间的关系用下列模型表示：问：若该班有50名同学，则它们之间共通了 次电话； 21．（21-22七年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知从n边形的一个顶点出发共有4条对角线；从m边形的一个顶点出发的所有对角线把m边形分成7个三角形；正t边形的边长为6，周长为48，求代数式的值． 22．（23-24八年级上·北京朝阳·阶段练习）已知：从边形的一个顶点出发共有条对角线；从边形的一个顶点出发的所有对角线把边形分成个三角形；正边形的边长为，周长为．求的值． 23．（23-24八年级上·安徽淮南·阶段练习）某中学八年级数学课外兴趣小组在探究：“边形共有多少条对角线”这一问题时，设计了如下表格．请你完成探究过程并解决问题：    多边形的边数 4 5 6 … n 从多边形的一个顶点出发 1 2 ______ … _____ 多边形对角线的总条数 2 5 ______ … _____ (1)请在表格中的横线上填上相应的结果； (2)十边形有__________条对角线； (3)过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为2023吗？若能，请求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由． 拔高拓展 24．（2021·山东青岛·二模）【问题】用边形的对角线把边形分割成（个三角形，共有多少种不同的分割方案？ 【探究】为了解决上面的数学问题，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单情形入手，再逐次递进转化，最后猜想得出结论．不妨假设n边形的分割方案有种． 探究一：用四边形的对角线把四边形分割成2个三角形，共有多少种不同的分割方案？如图①，图②，显然，只有2种不同的分割方案．所以，． 探究二：用五边形的对角线把五边形分割成3个三角形，共有多少种不同的分割方案？不妨把分割方案分成三类： 第1类：如图③，用点，与连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有种不同的分割方案，所以，此类共有种不同的分割方案． 第2类：如图④，用点，与连接，把五边形分割成3个三角形，有1种不同的分割方案，可视为种分割方案． 第3类：如图⑤，用点，与连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有f（4）种不同的分割方案，所以，此类共有f（4）种不同的分割方案． 所以，（种） 探究三：用六边形的对角线把六边形分割成4个三角形，共有多少种不同的分割方案？不妨把分割方案分成四类： 第1类：如图⑥，用，与连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形，再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有种不同的分割方案，所以，此类共有种不同的分割方案． 第2类：如图⑦，用，与连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形．再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有种不同的分割方案．所以，此类共有种分割方案． 第3类：如图⑧，用，与连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形．再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有种不同的分割方案．所以，此类共有种分割方案． 第4类：如图，用，与连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形，再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有种不同的分割方案．所以，此类共有种分割方案． 所以， （种） 探究四：用七边形的对角线把七边形分割成5个三角形，则与的关系为，共有______种不同的分割方案． …… 【结论】用边形的对角线把边形分割成个三角形，共有多少种不同的分割方案？（直接写出与之间的关系式，不写解答过程） 【应用】用九边形的对角线把九边形分割成7个三角形，共有多少种不同的分割方案？（应用上述结论中的关系式求解） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11.3.1 多边形的有关概念 分层作业 基础训练 1．（23-24八年级上·河北沧州·期中）下列图形是正多边形的是（    ） A．B．  C．  D．   【答案】C 【分析】本题主要考查了正多边形，根据正多边形的定义；各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形可得答案． 【详解】解：A.是等腰三角形，不是正多边形，故选项A不符合题意； B.是圆角矩形，不是正多边形，故选项B不符合题意； C.是正五边形，符合题意； D.是一般六边形，不是正多边形，故选项D不符合题意； 故选：C． 2．（2023八年级上·全国·专题练习）下列图形中，不是多边形的是（　　） A． B．  C．   D．   【答案】C 【分析】根据多边形的定义，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、该图形是由4条线段首尾顺次连接而成的封闭图形，所以它是多边形．故本选项不符合题意； B、该图形是由5条线段首尾顺次连接而成的封闭图形，所以它是多边形．故本选项不符合题意； C、该图形是由线段、曲线首尾顺次连接而成的封闭图形，所以它不是多边形．故本选项符合题意； D、该图形是由5条线段首尾顺次连接而成的封闭图形，所以它是多边形．故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了多边形，熟练掌握由条线段首尾顺次连接而成的封闭图形是多边形是解题的关键． 3．（2022八年级上·全国·专题练习）对于正多边形，下列说法正确的是（    ） A．正多边形的边都相等，内角都相等； B．各边相等的多边形是正多边形； C．各角相等的多边形是正多边形； D．由正多边形构成的多边形是正多边形； 【答案】A 【分析】A. 由正多边形的性质可得 B. 举反例判断即可 C. 举反例判断即可 D. 举反例判断即可 【详解】A. 由正多边形的性质：各边相等，各角相等，正确 B. 菱形不是正方形，错误 C. 矩形不是正方形，错误 D. 正方形与边长相等的等边三角形拼成的五边形不是正多边形，错误 故选：A． 【点睛】本题考查了正多边形的定义：平面内各边相等，各角相等的多边形是正多边形，准确理解定义及性质是解题关键． 4．（23-24七年级上·河北保定·期末）从六边形的一个顶点出发，可以画出条对角线，它们将六边形分成个三角形.则的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查多边形的性质，从n边形的一个顶点出发，能引出条对角线，这条对角线把多边形分成个三角形．掌握这些规律是解题的关键．利用规律从而可求出答案． 【详解】解：从六边形的一个顶点出发，可以向与这个顶点不相邻的3个顶点引对角线，即能引出3条对角线，它们将六边形分成4个三角形． ∴，， 则， 故选C． 5．（23-24八年级上·河北廊坊·期中）要使一个九边形木架不变形，至少要再钉上（    ）根木条． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】此题主要考查了三角形的稳定性以及多边形的对角线．过同一顶点作对角线把木架分割成三角形，解答即可． 【详解】解：要使一个九边形木架不变形，至少要钉上根木条． 故选：B． 6．（23-24八年级上·福建龙岩·阶段练习）如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成2021个三角形，那么这个多边形的边数是（   ） A．2019 B．2020 C．2021 D．2023 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的对角线分多边形成三角形的问题，根据经过n边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成个三角形，根据此关系式求边数． 【详解】设多边形的边数为n， 根据题意，得， 解得， 故选D． 7．（23-24八年级上·全国·课后作业）已知过多边形的某一个顶点可以作2023条对角线（不是一共有2023条对角线），则这个多边形的边数是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】D 【分析】根据从n边形的一个顶点出发可以引条对角线进行求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n． 根据题意，得， 解得． 答案：D． 【点睛】本题主要考查了多边形对角线问题，熟知从n边形的一个顶点出发可以引条对角线是解题的关键． 8．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）八边形从一个顶点出发可以画a条对角线，将这个八边形分成b个三角形，则 ． 【答案】11 【分析】本题考查了多边形的对角线的条数与边数的关系，代数式求值，根据多边形的边数与对角线的条数的关系求出a，b的值，代入求解即可． 【详解】解：由题意可知：，， ， 故答案为：11． 9．（23-24八年级上·天津和平·阶段练习）过边形的一个顶点有条对角线，边形没有对角线，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查多边形的对角线问题，代入求值，有理数的乘法运算，掌握多边形的对角线的计算方法是解题的关键． 根据边形过一个顶点的对角线的条数为条，由此即可求解． 【详解】解：过边形的一个顶点有条对角线，边形没有对角线， ∴， ∴, ∴， 故答案为：． 10．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）每一个多边形都可以按如图的方法分割成若干个三角形，那么按这种方式，n边形能分割成 个三角形．    【答案】 【分析】过边形的同一个顶点作对角线，可以把边形分成个三角形． 【详解】解：按如图所示的方法，边形能分割成个三角形． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了图形变化类，熟记过边形的同一个顶点作对角线，可以做条对角线，可以把边形分成个三角形． 11．（23-24八年级上·全国·课堂例题）已知正多边形的边长为5，从其一个顶点出发共有3条对角线，则该正多边形的周长为 ． 【答案】 【分析】多边形的边数多边形从其一个顶点出发对角线条数． 【详解】解：正多边形从其一个顶点出发共有条对角线，则该正多边形为正六边形，所以该正多边形的周长． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查多边形，牢记多边形的边数与从其一个顶点出发对角线条数的关系是解题的关键． 12．（23-24八年级上·河南新乡·阶段练习）探究归纳题： (1)如图1，经过四边形的一个顶点可以作 条对角线，它把四边形分成 个三角形； (2)如图2，经过五边形的一个顶点可以作 条对角线，它把五边形分成 个三角形； (3)探索归纳：对于边形，过一个顶点可以作 条对角线，它把边形分成 个三角形；（用含的式子表示） (4)如果经过多边形的一个顶点可以作100条对角线，那么这个多边形的边数为 ． 【答案】(1) 1 2 (2) 2 3 (3) (4)103 【分析】本题考查多边形的对角线、边及三角形分割等规律探究． （1）根据题意画出对图中的一个顶点的对角线即可得到结论； （2）根据题意画出对图中的一个顶点的对角线即可得到结论； （3）根据（1）（2）中的结论，可找到规律即可得到结论； （4）将100代入（3）的结论中即可得到答案． 【详解】（1）如图1： 经过1个顶点做1条对角线，它把四边形分为2个三角形， 故答案为：1，2 （2）如图2： 经过五边形一个顶点，共有2条对角线，将这个多边形分为3个三角形； 故答案为：2，3． （3）∵经过四边形的一个顶点可以作条对角线，它把四边形分成个三角形； 经过五边形的一个顶点可以作条对角线，它把五边形分成个三角形； 经过六边形的一个顶点可以作条对角线，它把六边形分成个三角形； 经过七边形的一个顶点可以作条对角线，它把七边形分成个三角形； …… ∴经过n边形的一个顶点可以作条对角线，它把n边形分成个三角形； 故答案为：，． （4）∵过多边形的一个顶点可以作100条对角线， ∴根据（3）中结论可得，， ∴， 故答案为：103． 13．（21-22七年级上·吉林长春·阶段练习）画图题： (1)如图①从多边形的一个顶点出发画对角线，把多边形分割成三角形； (2)如图②从多边形的一条边上的一点出发画对角线，把多边形分割成三角形； (3)如图③从多边形的内部一点出发画对角线，把多边形分割成三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）连接两个不相邻的顶点即可； （2）在一边上找一点，分别跟与这条边不相邻的两个顶点相连即可； （3），在四边形内取一点，分别与四个顶点相连即可； 【详解】（1）解：如图①所示，连接一组不相邻的顶点即可； （2）解：如图②所示，在一边上找一点，分别跟与这条边不相邻的两个顶点相连即可； （3）解：如图③所示，在四边形内取一点，分别与四个顶点相连即可； 【点睛】本题考查多边形的对角线问题，能够熟练画出多边形的对角线是解决本题的关键． 14．（20-21八年级下·全国·期末）观察下面图形，并回答问题．    （1）四边形有_______条对角线；五边形有_______条对角线：六边形有_______条对角线．边形有______条对角线；（无需证明） （2）若一个多边形有条对角线，这个多边形的边数是？ 【答案】（1）2，5，9，；（2）这个多边形的边数是． 【分析】（1）根据图形求出多边形的对角线条数； （2）设这个多边形的边数是，由题意得：，解方程即可得出答案． 【详解】解：观察图形可得：四边形的对角线的条数为：； 五边形的对角线的条数为：； 六边形的对角线的条数为：； 依次类推：边形的对角线的条数为：． 设这个多边形的边数是，由题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）. 答：这个多边形的边数是． 【点睛】本题主要考查了多边形对角线的条数的公式总结，熟记公式对今后的解题大有帮助． 能力提升 15．（23-24八年级上·山东临沂·期中）要使得一个多边形具有稳定性，从多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点转化得到2022个三角形，则这个多边形的边数为（     ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】B 【分析】本题考查图形类规律探究，分别求出三角形，四边形，五边形从一条边上的一点出发，分割成的三角形的数量，得到边形分割成三角形的数量为个，进而求解即可． 【详解】解：如图： 三角形，四边形，五边形从一条边上的一点出发，分割成的三角形的数量分别为：个；个；个 ∴边形从一条边上的一点出发，分割成的三角形的数量为个； ∵连接各个顶点转化得到2022个三角形， ∴这个多边形的边数为； 故选B． 16．（22-23八年级上·湖北黄石·期末）过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形有2条对角线，则 ． 【答案】216 【分析】根据m边形从一个顶点发出的对角线有条，从而可求得m的值；又根据n边形没有对角线，只有三角形没有对角线，从而可求得n的值；再根据k边形共有对角线条，从而可求得k的值，代入即可求出代数式的值． 【详解】解：∵m边形从一个顶点发出的对角线有条， ∴， 又∵n边形没有对角线， ∴， 又∵k边形有2条对角线， ∴， ∴，（舍去） ∴． 故答案为：216． 【点睛】本题考查了多边形的对角线，解决本题的关键是熟记n边形从一个顶点发出的对角线有条，共有对角线条． 17．（21-22七年级上·全国·单元测试）从六边形的一个顶点出发，可以画出条对角线，它们将六边形分成个三角形．边形没有对角线，则的值为 ． 【答案】10 【分析】从一个n边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是n-3，分成的三角形数是n-2，三角形没有对角线，依此求出m、n、k的值，再代入计算即可求解． 【详解】解：对角线的数量m=6-3=3条； 分成的三角形的数量为n=6-2=4个； k=3时，多边形没有对角线； m+n+k=3+4+3=10． 故答案为：10． 【点睛】本题考查多边形的对角线及分割成三角形个数的问题，解答此类题目可以直接记忆：一个n边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是n-3，分成的三角形数是n-2． 18．（21-22八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个十八边形，则原多边形纸片的边数可能是 ． 【答案】十七边形，或十八边形，或十九边形 【分析】结合题意，根据多边形截角后边数的性质，分三种截下的方式分析，即可得到答案． 【详解】把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个十八边形，有三种截下的方式： 下图为多边形局部图，如按下图所示沿虚线截下三角形： ∴原多边形纸片的边数是：十七边形 如按下图所示沿虚线截下三角形： ∴原多边形纸片的边数是：十八边形 如按下图所示沿虚线截下三角形： ∴原多边形纸片的边数是：十九边形 ∴原多边形纸片的边数可能是：十七边形，或十八边形，或十九边形 故答案为：十七边形，或十八边形，或十九边形． 【点睛】本题考查了多边形的知识；解题的关键是熟练掌握多边形的性质，从而完成求解． 19．（20-21八年级上·河北保定·阶段练习）若过n边形的一个顶点有2a条对角线，k边形共有k条对角线，a边形没有对角线，则(a-k)n= ． 【答案】-18 【分析】根据n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线．从n个顶点出发引出（n-3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为：（n≥3，且n为整数）可得到a、k、n的值，进而可得答案． 【详解】解：由题意得：n-3=2a，a=3， 解得a=3，n=9， ∵k边形共有k条对角线， ∴， 解得：k=5， ∴（a-k）n=-18， 故答案为：-18． 【点睛】此题主要考查了多边形的对角线，关键是掌握对角线条数的计算公式． 20．（19-20八年级下·湖南娄底·期末）在抗击新冠肺炎的斗争中，娄底市根据疫情的发展情况，决定全市中小学延期开学，并采用线上教学的形式，真正做到停课不停学，某中学初二1班全体同学自主完成学习任务的同时，不忘关心同学的安危，在停课不停学期间全班每两个同学都通过一次电话，我们可以把该班人数n与通话次数S间的关系用下列模型表示：问：若该班有50名同学，则它们之间共通了 次电话； 【答案】1225 【分析】观察图形，可以发现，n为多边形的边数，而S等于边数+对角线条数，根据对角线条数公式代入即可求解． 【详解】观察图形，可以发现，n为多边形的边数，而S等于边数+对角线条数 ∴人数n和通话次数S间的关系为 ∴当n=50时， 故答案为1225． 【点睛】本题考查了多边形对角线条数的公式，熟记相关公式是本题的关键， 21．（21-22七年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知从n边形的一个顶点出发共有4条对角线；从m边形的一个顶点出发的所有对角线把m边形分成7个三角形；正t边形的边长为6，周长为48，求代数式的值． 【答案】 【分析】根据题意，由多边形的性质：从边形的一个顶点出发能引出条对角线，能分成个三角形，分别求出，的值，再由正多边形的性质求出，然后代入式子即可求解． 【详解】解：因为从n边形的一个顶点出发共有4条对角线， 所以． 因为从m边形的一个顶点出发的所有对角线把m边形分成7个三角形， 所以． 因为正t边形的边长为6，周长为48， 所以， 所以代数式． 【点睛】本题主要考查了多边形的性质，理解并掌握多边形的相关性质是解题关键． 22．（23-24八年级上·北京朝阳·阶段练习）已知：从边形的一个顶点出发共有条对角线；从边形的一个顶点出发的所有对角线把边形分成个三角形；正边形的边长为，周长为．求的值． 【答案】 【分析】根据多边形的性质，即可求得． 【详解】解：依题意有， 则 【点睛】本题考查多边形的性质，从边形的一个顶点出发，能引出条对角线，一共有条对角线，经过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成个三角形．掌握这些规律是解题的关键． 23．（23-24八年级上·安徽淮南·阶段练习）某中学八年级数学课外兴趣小组在探究：“边形共有多少条对角线”这一问题时，设计了如下表格．请你完成探究过程并解决问题：    多边形的边数 4 5 6 … n 从多边形的一个顶点出发 1 2 ______ … _____ 多边形对角线的总条数 2 5 ______ … _____ (1)请在表格中的横线上填上相应的结果； (2)十边形有__________条对角线； (3)过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为2023吗？若能，请求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)3；9；； (2) (3)能， 【分析】（1）根据从边形的一个顶点出发的对角线有条，对角线的总条数为：进行计算即可得： （2）根据从边形对角线的总条数为：进行计算即可得： （3）设这个多边形的边数为，则，进行计算即可得． 【详解】（1）解：如图所示，    从六边形的一个顶点出发的对角线有：（条）， 则从n边形的一个顶点出发的对角线有：条， 六边形对角线的总条数为：（条）， n边形对角线的总条数为：， 多边形的边数 4 5 6 … n 从多边形的一个顶点出发 1 2 3 … 9 多边形对角线的总条数 2 5 … 故答案为：3；9；；； （2）解：十边形对角线的总条数为：（条）， 故答案为：； （3）能，理由： 解：设这个多边形的边数为， ， ， 解得：， 则这个多边形的边数为． 【点睛】本题考查了多边形的对角线，解题的关键是掌握多边形的对角线形成的规律． 拔高拓展 24．（2021·山东青岛·二模）【问题】用边形的对角线把边形分割成（个三角形，共有多少种不同的分割方案？ 【探究】为了解决上面的数学问题，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单情形入手，再逐次递进转化，最后猜想得出结论．不妨假设n边形的分割方案有种． 探究一：用四边形的对角线把四边形分割成2个三角形，共有多少种不同的分割方案？如图①，图②，显然，只有2种不同的分割方案．所以，． 探究二：用五边形的对角线把五边形分割成3个三角形，共有多少种不同的分割方案？不妨把分割方案分成三类： 第1类：如图③，用点，与连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有种不同的分割方案，所以，此类共有种不同的分割方案． 第2类：如图④，用点，与连接，把五边形分割成3个三角形，有1种不同的分割方案，可视为种分割方案． 第3类：如图⑤，用点，与连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有f（4）种不同的分割方案，所以，此类共有f（4）种不同的分割方案． 所以，（种） 探究三：用六边形的对角线把六边形分割成4个三角形，共有多少种不同的分割方案？不妨把分割方案分成四类： 第1类：如图⑥，用，与连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形，再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有种不同的分割方案，所以，此类共有种不同的分割方案． 第2类：如图⑦，用，与连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形．再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有种不同的分割方案．所以，此类共有种分割方案． 第3类：如图⑧，用，与连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形．再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有种不同的分割方案．所以，此类共有种分割方案． 第4类：如图，用，与连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形，再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有种不同的分割方案．所以，此类共有种分割方案． 所以， （种） 探究四：用七边形的对角线把七边形分割成5个三角形，则与的关系为，共有______种不同的分割方案． …… 【结论】用边形的对角线把边形分割成个三角形，共有多少种不同的分割方案？（直接写出与之间的关系式，不写解答过程） 【应用】用九边形的对角线把九边形分割成7个三角形，共有多少种不同的分割方案？（应用上述结论中的关系式求解） 【答案】探究四：18，42；[结论]；[应用]429种 【分析】[探究]根据探究的结论得到规律计算即可； [结论]根据五边形，六边形，七边形的对角线把图形分割成三角形的方案总结规律即可得到答案； [应用]利用规律求得八边形及九边形的对角线把图形分割成三角形的方案即可． 【详解】所以， = =42． 故答案为：18，42． [结论]由题意知，，，… ； [应用]根据结论得：． ． 则用九边形的对角线把九边形分割成7个三角形，共有429种不同的分割方案． 【点睛】此题考查多边形的对角线，图形变化类规律题，研究了多边形对角线分割多边形成三角形的关系，关键是能够得到规律，此题有难度，注意利用数形结合的思想． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$