精品解析：山东省日照市东港区2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试题

2023－2024学年度下学期期中质量检测 八年级数学试题 （时间：120分钟 满分：120分） 一、单选题（每题3分，共10个题） 1. 函数 的自变量的取值范围是( ) A. B. 且 C. D. 且 2. 的三边长a，b，c满足，则是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰直角三角形 3. 下列计算：（1），（2），（3），（4），其中结果正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知四边形中，、交于点O，给出条件①且，②且，③且，④且，其中能判定四边形是平行四边形的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 5. 如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，则AE的长是（ ） A. B. C. D. 6. 正方形具有而菱形不具有的性质是（　　） A. 对角线平分一组对角 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直平分 D. 四条边相等 7. 如图，矩形中，，，P为矩形边上的一个动点，运动路线是，设P点经过的路程为x，以A，P，B为顶点的三角形面积为y，则选项图象能大致反映y与x的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知直角三角形的三边满足，分别以为边作三个正方形，把两个较小的正方形放置在最大正方形内，如图，设三个正方形无重叠部分的面积为，均重叠部分的面积为，则（ ） A. B. C. D. 大小无法确定 9. 如图，在正方形中，点，分别是，的中点，，相交于点，为上一点，为的中点．若，，则线段的长度为（ ） A. B. C. 2 D. 10. 如图，正方形中，点、分别在边、上，连接、、，且，下列结论：①；②；③正方形的周长的周长；④，其中正确的是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ②③ D. ②③④ 二、填空题（共6个小题，每题3分） 11. 当x>2时，化简=__________ 12. 如图，长方形的顶点A，B在数轴上，点A表示，，．若以点A为圆心，对角线长为半径作弧，交数轴正半轴于点M，则点M所表示的数为______． 13. 对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则________________． 14. 如图1，在菱形中，点P沿方向从点A移动到点C，设点P的移动路程为x，线段的长为y，点P在运动过程中y与x的变化关系如图2所示，点P运动到边上时，当，y的值最小为12，则a的值是__________． 15. 勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”，图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为、、，若，则正方形的面积为___________． 16. 在正方形中，对角线、交于点，的平分线交于点，交于点．过点作于点，交于点．下列结论：①；②四边形是菱形；③；④若，则．其中正确的个数有________（填序号）． 三、解答题（共72分） 17. 计算 （1）； （2）． 18. 已知，，求下列各式的值： （1）； （2）． 19. 在解决问题“已知求的值”时，小明是这样分析与解答的： ， ． ． ． ． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）化简：； （2）若，求的值． 20. 如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向600km的B处，以每小时200km的速度向北偏东60°的方向移动，距台风中心500km的范围内是受台风影响的区域． （1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？ （2）若A城受到这次台风的影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？ 21. 解答下列各题： （1）如图1，在四边形中，，，，，，求四边形的面积． （2）如图2，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为米，此人以米每秒的速度收绳，6秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号） 22. 如图，在中，是边上的一点，点是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，且，连接． （1）求证：； （2）当满足什么条件时四边形为矩形?证明你的结论； （3）若为直角三角形，且时，判断四边形的形状，并说明理由． 23. 如图，在矩形中，边上有一点E，连接，若，．． （1）直接写出的长； （2）有一点P从点A出发，以的速度沿向点D运动，有一点Q从点C出发，以的速度沿向点B运动，当点Q到达点B时，点P、Q同时停止运动，设点P的运动时间为t秒． ① 秒时，四边形为平行四边形； ② 秒时，四边形为矩形； （3）有一点M从点D出发，以的速度沿向点A运动，有一点N从点B出发，以的速度沿射线运动，当点M到达点A时，点M、N同时停止运动，设点M的运动时间为x秒，问x取何值时，以M、N、C、D为顶点的四边形为平行四边形． 24. 如图1，在矩形纸片中，，，折叠纸片使B点落在边上的点E处，折痕为．过点E作交于F，连接． （1）求证：四边形为菱形； （2）当点E在边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动． ①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形的边长 ②若限定P、Q分别在边、上移动，菱形的面积的最大值为______；最小值为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023－2024学年度下学期期中质量检测 八年级数学试题 （时间：120分钟 满分：120分） 一、单选题（每题3分，共10个题） 1. 函数 的自变量的取值范围是( ) A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求自变量取值范围，根据被开方数非负和分母不为0求解即可． 【详解】解：由题意得：且， 解得：且． 故选B． 2. 的三边长a，b，c满足，则是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由等式可分别得到关于a、b、c的等式，从而分别计算得到a、b、c的值，再由的关系，可推导得到为直角三角形． 【详解】解∵ 又∵ ∴， ∴ 解得 ， ∴，且， ∴为等腰直角三角形， 故选：D． 【点睛】本题考查了非负性和勾股定理逆定理的知识，求解的关键是熟练掌握非负数的和为0，每一个非负数均为0，和勾股定理逆定理． 3. 下列计算：（1），（2），（3），（4），其中结果正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的乘法运算、平方差公式等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． 根据二次根式的性质、二次根式的乘法运算、平方差公式逐个判断即可解答． 【详解】解：（1），即（1）正确； （2），即（2）正确； （3），即（3）正确； （4），即（4）正确； 正确的共有4个． 故选D． 4. 已知四边形中，、交于点O，给出条件①且，②且，③且，④且，其中能判定四边形是平行四边形的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是熟练掌握平行四边形的判定定理． 根据平行四边形的判定定理：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． （4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形进行分析即可． 【详解】解：①且不能判定四边形是平行四边形； ②且不能判定四边形是平行四边形； ③且不能判定四边形是平行四边形； ④且不能判定四边形是平行四边形； 故选：A． 5. 如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，则AE的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得AD = AB = 2， ∠B = ∠ADB， CE= DE， ∠C=∠CDE，可得∠ADE = 90°，继而设AE=x，则CE=DE=3-x，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处， ∴AD = AB = 2， ∠B = ∠ADB， ∵折叠纸片，使点C与点D重合， ∴CE= DE， ∠C=∠CDE， ∵∠BAC = 90°， ∴∠B+ ∠C= 90°， ∴∠ADB + ∠CDE = 90°， ∴∠ADE = 90°， ∴AD2 + DE2 = AE2， 设AE=x，则CE=DE=3-x， ∴22+(3-x)2 =x2， 解得 即AE= 故选A 【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键． 6. 正方形具有而菱形不具有的性质是（　　） A. 对角线平分一组对角 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直平分 D. 四条边相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形与正方形的性质，解题的关键是熟练的掌握菱形与正方形的性质． 要熟练掌握菱形对角线相互垂直平分与正方形对角线相互垂直平分相等的性质，根据各自性质进行比较即可解答． 【详解】解：A．正方形和菱形的对角线都平分一组对角，故本选项不符合题意； B．正方形的对角线相等，菱形的对角线不一定相等，故本选项符合题意； C．正方形和菱形的对角线都互相垂直，故本选项不符合题意； D．正方形和菱形都是四条边相等，故本选项不符合题意； 故选B． 7. 如图，矩形中，，，P为矩形边上的一个动点，运动路线是，设P点经过的路程为x，以A，P，B为顶点的三角形面积为y，则选项图象能大致反映y与x的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查动点问题的函数图象．根据题意可以分别表示出各段的函数解析式，从而可以明确各段对应的函数图象，从而可以得到哪个选项是正确的． 【详解】解：由题意可得： 点到的过程中，、、三点不能够组成三角形，所以； 点到的过程中，； 点到的过程中，； 点到的过程中，， 由以上各段函数解析式可知，选项B正确， 故选：B． 8. 已知直角三角形的三边满足，分别以为边作三个正方形，把两个较小的正方形放置在最大正方形内，如图，设三个正方形无重叠部分的面积为，均重叠部分的面积为，则（ ） A. B. C. D. 大小无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由勾股定理可得，易得，然后用分别表示和，即可获得答案． 【详解】解：如下图， ∵为直角三角形的三边，且。 ∴， ∴， ∵， ， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理以及整式运算，结合题意正确表示出和是解题关键． 9. 如图，在正方形中，点，分别是，的中点，，相交于点，为上一点，为的中点．若，，则线段的长度为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线的性质和勾股定理的应用，构造三角形是破解本题的关键．根据条件正方形边长为8，由勾股定理求出线段长，利用中位线得到长即可． 【详解】解：连接，， ∵点E，F分别是，的中点， ∴四边形是矩形， ∴M是的中点， 在正方形中，，， ∴， 在中，由勾股定理得， ， 在中，M是的中点，N是的中点， ∴是的中位线， ∴． 故选：A． 10. 如图，正方形中，点、分别在边、上，连接、、，且，下列结论：①；②；③正方形的周长的周长；④，其中正确的是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ②③ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】当E、F不是和的中点时，，则和的边对应不相等，由此判断①；延长至G，使得，证明和，即可判断②；通过周长公式计算，再由，即可判断③；证明，再由三角形的底与高的数量关系得，进而判断④． 【详解】解：①当E、F不是和的中点时，， 则不成立，故①错误； ②延长至G，使得，连接，如图1， ∵四边形为正方形 ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ③∵， ∴， ∴的周长， ∵正方形的周长， ∴正方形的周长的周长，故③正确； ④∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴，故④错误； 故选：C． 【点睛】此题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定及性质和三角形的面积关系，掌握正方形的性质、全等三角形的判定及性质和三角形的面积公式是解决此题的关键． 二、填空题（共6个小题，每题3分） 11. 当x>2时，化简=__________ 【答案】x－2 【解析】 【分析】根据二次根式的性质解答． 【详解】∵x＞2 ∴=|x-2|=x-2． 故答案为x-2． 【点睛】解答此题，要弄清性质：=|a|，去绝对值的法则． 12. 如图，长方形的顶点A，B在数轴上，点A表示，，．若以点A为圆心，对角线长为半径作弧，交数轴正半轴于点M，则点M所表示的数为______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用勾股定理求出，根据，点M表示的数为，由此即可解决问题． 【详解】解：由已知可得， 在中，， ， 点M表示的数为． 13. 对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则________________． 【答案】53 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用．先利用勾股定理求出，，可得，然后由，得出答案． 【详解】解：由题意知， ∴， 根据勾股定理得，，， ∴， 根据勾股定理得，，， ∴， 故答案为：53． 14. 如图1，在菱形中，点P沿方向从点A移动到点C，设点P的移动路程为x，线段的长为y，点P在运动过程中y与x的变化关系如图2所示，点P运动到边上时，当，y的值最小为12，则a的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查动点问题的函数图象，菱形的性质，勾股定理，根据菱形的性质，再结合运动时随的变化的关系图象，通过勾股定理即可求解． 【详解】解：当点P运动到边上时，由垂线段最短可知：此时， 作图如下图： 依题意得：，， 设，则， 在中，，即， 解得：， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， 即a的值是． 15. 勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”，图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为、、，若，则正方形的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的面积和勾股定理即可求解．本题考查了正方形的面积、勾股定理，解决本题的关键是随着正方形的边长的变化表示面积． 【详解】解：设全等的直角三角形的两条直角边为且， 由题意可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 在正方形中，对角线、交于点，的平分线交于点，交于点．过点作于点，交于点．下列结论：①；②四边形是菱形；③；④若，则．其中正确的个数有________（填序号）． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、角平分线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质以及菱形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质成为解题的关键． 设，则，可算出，故①正确；先证明，再由得，即，四边形是菱形，故②正确；由，得，可求出，故③正确；由四边形是菱形证明可得故④正确． 【详解】解：∵平分，，， ， ∵四边形是正方形， ， ， 设，则， ，故①正确； ∵四边形是正方形， ∴， ∵ ∴在和中，， ， ∴，， ∵，， ∴ ， ∵四边形是正方形， ∴， 又 ， ， ， ， ， ∴四边形是菱形，故②正确； 由①②知，，， ∴， ∴，故③正确； ，， ， ∵四边形是菱形， ， ， ， ∴， ， ，故④正确． 故答案为①②③④． 三、解答题（共72分） 17. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算、二次根式的混合运算等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键 （1）先运用二次根式的性质化简，然后再去括号、合并同类二次根式即可； （2）先运用平方差公式和二次根式除法计算，然后再加减运算即可 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 18. 已知，，求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，分式求值，掌握完全平方公式，平方差公式的变形是解题的关键． （1）根据整式运算，乘法公式的变形，再代入计算，即可求解； （2）先通分，再进行加减，最后代入计算，即可求解． 【小问1详解】 ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵，， ∴ ∴． 19. 在解决问题“已知求的值”时，小明是这样分析与解答的： ， ． ． ． ． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）化简：； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分子、分母都乘以，化简得结果； （2）表示数的分子、分母都乘以，化简后代入代数式里，计算得结果． 【小问1详解】 原式 ； 【小问2详解】 ． ． 原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，掌握分母有理化和二次根式的运算法则是解决本题的关键． 20. 如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向600km的B处，以每小时200km的速度向北偏东60°的方向移动，距台风中心500km的范围内是受台风影响的区域． （1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？ （2）若A城受到这次台风的影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？ 【答案】（1）A城受到台风的影响；（2）4. 【解析】 【分析】（1）点到直线的线段中垂线段最短，故应由A点向BC作垂线，垂足为M，若AM＞500则A城不受影响，否则受影响； （2）点A到直线BC的长为500千米的点有两点，分别设为D、G，则△ADG是等腰三角形，由于AM⊥BC，则M是DG的中点，在Rt△ADM中，解出MD的长，则可求DG长，在DG长的范围内都是受台风影响，再根据速度与距离的关系则可求时间． 【详解】解： （1）A城受到这次台风的影响， 理由：由A点向BC作垂线，垂足为M， 在Rt△ABM中，∠ABM=30°，AB=600km，则AM=300km， 因为300＜500，所以A城要受台风影响； （2）设BC上点D，DA=500千米，则还有一点G，有 AG=500千米． 因为DA=AG，所以△ADG是等腰三角形， 因为AM⊥BC，所以AM是DG的垂直平分线，MD=GM， 在Rt△ADM中，DA=500千米，AM=300千米， 由勾股定理得，MD==400（千米）， 则DG=2DM=800千米， 遭受台风影响的时间是：t=800÷200=4（小时）， 答：A城遭受这次台风影响时间为4小时． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用以及点到直线的距离=速度×时间等，构造出直角三角形是解题关键． 21. 解答下列各题： （1）如图1，在四边形中，，，，，，求四边形的面积． （2）如图2，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为米，此人以米每秒的速度收绳，6秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号） 【答案】（1） （2）船向岸边移动了米 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理，可以得到的长，再根据勾股定理的逆定理，可以判断是直角三角形由此解答即可； （2）在中，利用勾股定理计算出长，再根据题意可得长，然后再次利用勾股定理计算出长，再利用可得长． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ， ，， ， 是直角三角形，， ， ∴四边形的面积； 【小问2详解】 解：（2）在中， ，，， ， ， 此人以米每秒的速度收绳，6秒后船移动到点D的位置， 米， 在中， ，，， ， ∴船向岸边移动了米 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理，解答本题的关键是明确题意, 利用数形结合的思想解答． 22. 如图，在中，是边上的一点，点是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，且，连接． （1）求证：； （2）当满足什么条件时四边形为矩形?证明你的结论； （3）若为直角三角形，且时，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵， ． 是的中点， ， 在与中， ， ， ， ， ； （2） 当时，四边形为矩形， 证明如下： ，， 四边形为平行四边形， ∵，， ， ， 四边形为矩形； （3） 四边形为菱形， 理由如下：∵，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴四边形为菱形． 【解析】 【分析】（1）证明可得，再根据条件可利用等量代换可得； （2）首先判定四边形为平行四边形，再根据等腰三角形三线合一的性质可得，进而可得四边形为矩形； （3）利用直角三角形斜边中线的性质求得，进而可得四边形为菱形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】此题主要考查了四边形综合题，菱形的判定，矩形的判定，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形三线合一的性质以及全等三角形的判定与性质，关键是掌握邻边相等的平行四边形是菱形． 23. 如图，在矩形中，边上有一点E，连接，若，．． （1）直接写出的长； （2）有一点P从点A出发，以的速度沿向点D运动，有一点Q从点C出发，以的速度沿向点B运动，当点Q到达点B时，点P、Q同时停止运动，设点P的运动时间为t秒． ① 秒时，四边形为平行四边形； ② 秒时，四边形为矩形； （3）有一点M从点D出发，以的速度沿向点A运动，有一点N从点B出发，以的速度沿射线运动，当点M到达点A时，点M、N同时停止运动，设点M的运动时间为x秒，问x取何值时，以M、N、C、D为顶点的四边形为平行四边形． 【答案】（1） （2）①；②2 （3）2秒或6秒 【解析】 【分析】（1）本题考查勾股定理和矩形的性质，利用，求出,根据，即可得出． （2）①本题考查平行四边形的判定和矩形的性质，根据点P的运动时间为t秒，将四边形的边用t表示出来，，，，，再根据四边形为平行四边形，应满足，建立等式求解即可． ②本题考查矩形的性质和判定，解题方法与①类似，根据四边形为矩形，应满足，建立等式求解即可． （3）本题考查平行四边形的判定和矩形的性质，解法仍与①类似，用将、、表示出来，注意对点N在边上或在延长线上两种情况进行分类讨论，根据以M、N、C、D为顶点的四边形为平行四边形，应满足，建立等式求解即可． 【小问1详解】 解：，理由如下： 四边形是矩形，，， ，， 在中， ， ， ． 【小问2详解】 解：由运动知，，， ，， ①如图1， 四边形为平行四边形， ， ，解得， 故答案为：． ②如图2、四边形为矩形， ， ， ， 故答案为：． 【小问3详解】 解：由运动知，，， 以M、N、C、D为顶点的四边形为平行四边形． ， 当点N在边上时，， ， ， 当点N在延长线上时，， ， ， 即：x为2秒或6秒时，以M、N、C、D为顶点的四边形为平行四边形． 24. 如图1，在矩形纸片中，，，折叠纸片使B点落在边上的点E处，折痕为．过点E作交于F，连接． （1）求证：四边形为菱形； （2）当点E在边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动． ①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形的边长 ②若限定P、Q分别在边、上移动，菱形的面积的最大值为______；最小值为______． 【答案】（1） 证明：∵折叠纸片使B点落在边上的E处，折痕为， ∴点B与点E关于对称， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形； （2）①；②36， 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质得出，，，由平行线的性质得出，证出，得出，因此，即可得出结论； （2）①根据矩形的性质和勾股定理求得的长，在中求得，即可求得菱形的边长；②当点Q与点C重合时，点E离点A最近，由①知，此时；当点P与点A重合时，点E离点A最远，此时四边形为正方形，，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①∵四边形是矩形， ∴，，， ∵点B与点E关于对称， ∴， 在中， ， ∴， 在中，，， ∴，解得： ， ∴菱形的边长为； ②当点Q与点C重合时，点E离点A最近，由①知，此时，，则， 当点P与点A重合时，点E离点A最远，此时四边形为正方形，如图， 则， 那么， ∴菱形的面积范围为，即最大值为36；最小值为． 【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定和性质、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、正方形的性质等知识，找到临界点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $