数学试题-【名校面对面】河南省三甲名校高考押题卷（三）

数学试题 第 1 页 共 4 页 河南省三甲名校高考押题卷（三）（ssyzx-3） 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试题相应的位置。 2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案用 0.5mm黑色 笔迹签字笔写在答题卡上。 4．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。 一、选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合 A＝{x∈N|2x2﹣5x≤0}，则 A的子集个数为 A．4 B．7 C．8 D．16 2．已知函数 y＝f（x）的部分图象如图所示，则 f（x）的解析式可能为 A．�(�) = � �+1 ��−1 B．�(�) = � �−1 ��+1 C．   3 4 2 1  x xxf D．   3 4 1  x xxf 3．某圆台上底面圆的半径为 1，下底面圆半径为 2，侧面积为 3 2�，则该圆台的体积为 A．3π B．  3 7 C． 5 3 � D．2 3 � 4．若两个非零向量� → 、� → ，满足|� → + � → | = |� → − � → | = 2|� → |，则向量� → + � → 与� → 的夹角 A． 5� 6 B． 2� 3 C． � 3 D． � 6 5．过抛物线 y2＝2px（p＞0）的焦点作直线交抛物线于 P，Q两点，若线段 PQ中 点的横坐标为 2，|PQ|＝6，则抛物线方程是 A．y2＝2x B．y2＝4x C．y2＝6x D．y2＝8x 6．如图，在下列各正方体中，l为正方体的一条体对角线，M、N分别为所在棱的 中点，则满足 MN⊥l的是 A． B． 数学试题 第 2 页 共 4 页 C． D． 7．设 na （n＝2，3，4，…）是(3 − �)�的展开式中含 x的系数，则 1 �2 + 3 �3 + 9 �4 +⋯+ 3 2007 �2009 的值等于 A．2008 B．2009 C．4016 2009 D．4018 2008 8．已知�'(�)是函数  xf 的导函数，且对任意的实数 x都有�'(�) = 1 �� − �(�)（e是 自然对数的底数），  0f ＝0，若不等式  xf ﹣k＞0的解集中恰有三个整数，则 实数 k的取值范围是 A．( 3 �3 ， 2 �2 ] B．[ 3 �3 ， 2 �2 ) C．( 4 �4 ， 3 �3 ] D．[ 4 �4 ， 3 �3 ) 二、选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分） 9．下列命题为真命题的是 A．若样本数据 x1，x2，x3，x4，x5，x6的方差为 2，则数据 3x1﹣1，3x2﹣1， 3x3﹣1，3x4﹣1，3x5﹣1，3x6﹣1的方差为 17 B．一组数据 8，9，10，11，12的第 80百分位数是 11.5 C．用决定系数 2R 比较两个模型的拟合效果时，若 2R 越大，则相应模型的拟合 效果越好 D．以模型 y＝cekx去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设 z＝lny，求 得线性回归方程为 z＝2x+0.4，则 c，k的值分别是 e0.4和 2 10．函数  xf ＝Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图像如图中实线所 示，图中圆 C与 f（x）的图像交于 M，N两点，且 M 在 y轴上，则下列说法正确的是 A．函数  xf 的最小正周期是π B．函数  xf 在( − 7� 12 ，− � 3 )上单调递减 C．函数  xf 的图像向左平移 � 12 个单位后关于直线� = � 2 对称 D．若圆 C的半径为 5� 12 ，则函数  xf 的解析式为          3 2sin 6 3  xxf 11．把底面为椭圆且母线与底面都垂直的柱体称为“椭圆柱”．如图，椭圆柱（OO′ 数学试题 第 3 页 共 4 页 中椭圆长轴 AB＝4，短轴�� = 2 3，�1，�2为下底面椭圆的左右焦点，F2′为上 底面椭圆的右焦点，AA′＝4，P为线段 BB'上的动点，E为线段 A'B'上的动点， MN为过点．F2的下底面的一条动弦（不与 AB重合），则下列选项正确的是 A．当 1 2F F ∥平面 PMN时，P为 'BB 的中点 B．三棱锥 CDFF 2 ' 2  外接球的表面积为 8π C．若点 'Q是上底面椭圆上的动点，且 2 ' 1 ' , FQFQ 与下底 面所成的角分别为α、β，则 tan（α+β）的最大值为− 16 13 D．三棱锥 E﹣PMN体积的最大值为 8 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12．已知复数 z＝（1﹣a）+（a2﹣1）i（a＞1），则 z在复平面内对应的点所在的象 限为 象限． 13．函数 y＝loga（x+2）﹣3的图象恒过定点 A，若点 A在直线 mx+ny+1＝0上，其 中 mn＞0，则 � � + 1 � 的最小值为 ． 14．设 k，m，n是正整数，Sn是数列{an}的前n项和，a1＝2，Sn＝an+1+1，若     k i ii stm 1 1 ， 且 ti∈{0，1}，记 f（m）＝t1+t2+⋯+tk，则 f（2024）＝ ． 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤） 15．（13分）已知函数   axxexf x  sin ． （1）若曲线  xfy  在点（0，f（0））处的切线方程为 0 yx ，求实数a的值； （2）若� = 3 2 ，求函数  xf 在区间[0， � 2 ]上的最大值． 16．（15分） 记△ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，分别以 a，b，c为边长的正 三角形的面积依次为 S1，S2，S3，且 S1﹣S2﹣S3= 34 bc． （1）求角 A； （2）若 b= 7，D为线段 BC延长线上一点，且∠CAD= � 6 ，BD＝4CD，求△ABC 的 BC边上的高． 17．（15分） 为了研究学生每天整理数学错题情况，某课题组在某市中学生中随机抽取了 100名学生调查了他们期中考试的数学成绩和平时整理数学错题情况，并绘制了下 数学试题 第 4 页 共 4 页 列两个统计图表，图①为学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，图②为学生一 个星期内整理数学错题天数的扇形图．若本次数学成绩在 110分及以上视为优秀， 将一个星期有 4天及以上整理数学错题视为“经常整理”，少于 4 天视为“不经常整 理”．已知数学成绩优秀的学生中，经常整理错题的学生占 70%． （1）根据图①、图②中的数据，画出 2×2列联表，并根据小概率值α＝0.05的独 立性检验，分析数学成绩优秀与经常整理数学错题是否有关？ （2）用频率估计概率，在全市中学生中按经常整理错题与不经常整理错题进行 分层随机抽样，随机抽取 5名学生，再从这 5名学生中随机抽取 2人进行座谈， 求这 2名同学中经常整理错题且数学成绩优秀的人数 X的分布列和数学期望． 附：χ2= �(��−��) 2 (�+�)(�+�)(�+�)(�+�) ，其中 n＝a+b+c+d． α 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 x0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 18．（17分） 双曲线 C： x 2 a2 − y 2 b2 = 1(a＞0，b＞0)的离心率为 3，圆 O：x2 + y2=2 与 x轴正半 轴交于点 A，点 T( 2， 2)在双曲线 C上． （1）求双曲线 C的方程； （2）过点 T作圆 O的切线交双曲线 C于两点M、N，试求MN的长度； （3）设圆 O上任意一点 P处的切线交双曲线 C于两点M、N，试判断|PM|•|PN| 是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由． 19．（17分） 设数列 A：a1，a2，⋯，aN（N⩾2）．如果对小于 n（2⩽n⩽N）的每个正整数 k 都有 ak＞an．则称 n是数列 A的一个“D时刻”．记 D（A）是数列 A的所有“D时刻” 组成的集合，D（A）的元素个数记为 card（D，A）． （1）对数列 A：﹣1，1，﹣2，2，﹣3，3，写出 D（A）的所有元素； （2）数列 A：a1，a2，⋯，a6满足{a1，a2，⋯，a6}＝{1，2，3，4，5，6}，若 card（D，A）＝4．求数列 A的种数． （3）证明：若数列 A满足 an﹣an﹣1⩾﹣1（n＝2，3，4，⋯，N），则 card（D，A） ⩾a1﹣aN． 河南省三甲名校高考押题卷（三）(ssyzx-3) 数学答案 一、选择题 CDBC BCCD 8.解：设g(x)=ef(x),则g(x)=[f(x)+f(x)]e,① :'()=--(),[f(x)+f(x)]e=1,② 由①②得g(x)=1,即[ef(x)]'=1,.g(x)=ef(x)=tc, f(0)=0,∴g(0)=ef(0)=0+c=0,.c=0, ()=，（)=一，则'()=二 令f(x)>0可得x<1,令f(x)<0可得x>1, .f(x)在(-∞，1)上递增，在(1，+∞)上递减，∴.f(x)在x=1处取得极大值()=-， 作出函数()=一的图象如图所示： +y y=f(x) 34 又：()=，()=-，（)=-，()=- 而不等式f(x)->0的解集中恰有三个整数，等价于不等式f(x)>k的解集中恰有三 个整数， ∴.由图象知：当一≤<时，不等式不等式￡（x)>k的解集中恰有三个整数1,2,3， ∴实数k的取值范围是[一，一)，故选：D. 二、多选题 9.BCD 10.ACD 11.ACD 11.解：由题设，长轴长4B=4B=4,短轴长|=√厂，则OF=OF=O'F=1, 得F2,F2'分别是OB,OB'中点，而柱体中ABB'A为矩形，连接OB', 由BF2'∥OF1,BF'=OF=1,∴.四边形FOBF2'为平行四边形，OB∥FF', 当FF2'∥平面PMN时，FF2'c平面ABB'A',平面ABB'A∩平面PMN=PF, 第1页（共8页） 则FF2'∥PF,有OB'∥PF, OF B △OBB'中，F2是OB中点，则P为BB的中点，A选项正确： OF2⊥CD,1I=V厂，IOF=1,则△F2CD中，ICF=DF=2, ∠CFD=120°，△FCD外接圆半径为=-×L=, F2F2'∥AA',则F2F2'⊥平面F2CD, 三棱锥F'-FCD外接球的半径为=V+=V厂， 所以外接球的表面积为4mR2=32π，B选项错误： 点Q是点Q在下底面的射影，且Q'F1,Q'F2与下底面所成的角分别为a,B, 令1QF=m,IQF=n,则m+n=4,又QQ1=4, 则 =-tan(a+B)=tana+tanp4(m+n)16 1-tana tan B mn-16 mn-16' （+)=(-)-一，由椭圆性质知1≤m≤3， 则当m=1或m=3时，tan(a+B)的最大值为-一，C选项正确； 由。 +,要使三棱锥E-PMN体积最大， 只需△PEF面积和M,N到平面PEF2距离之和都最大， -a,令EB=a,PB=b,且a,bE0,4,则PB'=4-b, =-××(+)--××--××(-)=+(-, 当a=b=4时，有最大值A=. 在下底面内以O为原点，构建如上图的直角坐标系，且B(0,2), 则椭圆方程为一十一=， 设MN:y=+1,联立椭圆得(32+4)x2+6x-9=0,△=144(2+1)>0， 十 =-+,1-|=√(+)- 令=√+之，-=+=+ 由对勾函数性质可知=+-在1，+∞)上递增，|一|=一=， 综上，三棱锥E-PMN体积的最大值为-××=，D选项正确.故选：ACD. 第2页（共8页） 三、填空题 12.第二 13.5 14.7 14.解：S。=a+1,S-1=a,+1,两式相减，得：a,=a1-a,即a1=2a,(n≥2)， 而4=，所以a={',≥，所以及-1=4，则=a*a…+a 当m=2024时，2024=t•1+t22+t4+..+t·1024, 根据数列=-的性质b,<S,<b1可知，必有数1024,512,256,128,64,32,8， 则这7个数前面的系数为1，其余系数都是0，故f(2024)=7.故答案为：7. 四、解答题 15.解：(1)因为f(x)=e'sinr-ax,所以f(x)=er(sinr+cosx)-a,-1分 所以f(0)=1-4, -2分 因为曲线y=∫(x)在点(0，∫(0)处的切线方程为x+y=0, 由导数几何意义可得，f(0)=-1, -3分 所以1-a=-1,所以a=2； 5分 (2)当=-时，令h(x)=f(x)=er(sinr+cosr)--, h'(x)=ex (sinx+cosx+cosx-sinx)=2e*cosx, -6分 当∈[，-]时，h(x)≥0，h(x)单调递增， -7分 h(0)=--<0,h(-)=--->0, -8分 所以妇唯一的∈(，-)，使得h(x0)=0, 9分 当xEI0,)时，h(x)<0,即(x)<0,f(x)单调递减； 当∈(，-]时，h(x)>0,即(x)>0,f(x)单调递增，--10分 又f(0)=0,f(-)=--->e--=e-->0, -12分 所以()=(-)=“-一. -13分 16.解：(1)因为△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 以a,b,c为边长的正三角形的面积依次为S,S,Ss,且S,-S2-S3=bc, 所以=上，=上，=上 -1分 第3页（共8页） 则--=上-上-上=上，所以心-2-2=c,-2分 由余弦定理可得 十 -4分 又0<A<π，所以=一： -6分 (2)设∠ACB=a(a为锐角)，在△ABD和△ACD中，由正弦定理 可得 += -) -8分 于是·) 9分 又BD=4CD, 所以= =,化简得 = 11分 根据同角三角函数基本关系，解得 =上（负值舍去）， -13分 设AE⊥BC,垂足为E, 故△ABC的BC边上的高为AE= =W厂x=, -15分 B E D 17.解：（1)由题意可得(0.0025+0.005+0.0175+m+0.01)×20=1,解得m=0.015---1分 数学成绩优秀的有100×50%=50人，不优秀的有100×50%=50人， 经常整理错题的有100×(40%+20%)=60人，不经常整理错题的有100-60=40人， 经常整理错题且成绩优秀的有50×70%=35人， -2分 则2×2列联表如下： 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 经常整理 35 25 60 不经常整理 15 25 40 合计 50 50 100 第4页（共8页） -4分 X2= ×(×-×) -5分 XXX 根据小概率值α=0.05的独立性检验，认为数学成绩优秀与经常整理数学错题有关联： -6分 (2)由分层随机抽样知随机抽取的5名学生中，经常整理错题的有3人，不经常整理错题 的有2人， -7分 则X的可能取值为0,1,2，经常整理错题的3名学生中，恰抽到k人记为 事件A(k=0,1,2),则()=二(=，，)， -8分 由(1)知经常整理数学错题的学生中数学成绩优秀的学生占一=一， 数学成绩不优秀的学生占一=一，一 -9分 参与座谈的2名学生中，经常整理错题且数学成绩优秀的恰好抽到m人记为 事件Bm(m=0,1,2), 则P(B4)=1,(1)=-,（1)=(-)=一，(1)=-， (1)=×-×-=-,(1)=(-)=一， P (X=0)=P (Ao).P (BolAo)+P (A1).P (BolA)+P (A2).P (BolA2) =一X十一X一十一X一=一， -10分 P(X=1)=P(A1)P(B14)+P(A2)·P(B142) =一X一十一X一=一， -11分 (=)=()·(|)=一×一=一， -12分 故X的分布列为： 0 2 13分 ()=×一+×一+×一=. -15分 第5页（共8页） 18.解：(1)不妨设双曲线C的半焦距为，因为双曲线的离心率为√厂，所以-=√厂， 即=√厂，此时=√一一=√厂， 1分 因为点（厂，√厂）在双曲线C上，所以一一一=， 解得a=1,此时=√厂=√厂， 3分 则双曲线C的方程为一一=· -4分 (2)当切线的斜率不存在时，切线的方程为=√厂， 此时，圆心O到直线=√厂的距离为√厂，符合题意； -5分 当切线的斜率存在时，不妨设切线的方程为一√厂=(-√)， 即--√厂+厂=，易知=√厂， + 解得k=0,此时，切线方程为=√厂， -7分 联·解三=了所以点，-.一8分 解二二，所点(，一分 则I=W厂+V万+(-√厂-√= -10分 (3)当圆0在点P处切线斜率不存在时， 此时点（√厂，）或(-√厂，)，切线方程为=√厂或=-√厂， 由(1)及已知，得11=11=√厂，所以PMPW=2,--11分 当圆O在点P处切线斜率存在时， 不妨设切线方程为y=k+m,M(x1,J)、N(x2,n), 易知d=L=√厂，即m2=2(k+1), 12分 + 联立_ 尸十。，消去y并整理得(2-2)242m+m+2=0, 显然 一丰 -(-)(+)= 第6页（共8页） 由韦达定理可得+=一一 -13分 因为”=(，)， =(，), 所以 +(+)(+)=(+)+(+ )+ =(+)·+ 一十 =-）+=， 则OM⊥ON, ---15分 在Rt△OMN中，OP⊥MN于点P,可得∠ =--∠ =∠ 又∠OPN=∠MPO,所以Rt△OPN∽Rt△MPO,此时= -16分 则PMPM=|OP=2,综上得PMPN为定值2.- -17分 19.解：(1)由题设知当n=3时，a1>a3,a2>a3,故n=3是数列A的一个“D时刻”， -2分 同理当n=5时，都有a>5(i=1,2,3,4),即n=5也是数列A的一个“D时刻”， 综上，D(A)={3,5}: -4分 (2)由card(D,A)=4,易知a1=5或a1=6, ①当a1=5时，4,3,2,1必须从左往右排列，6可以是：(i=2,3,4,5,6)中任一 个，共有5种情况，一 ---5分 ②当a1=6时，若D（A)中的四个元素是由集合A中的元素4,3,2,1或5,3,2,1 或5,4,2,1或5,4,3,1引起的， 1.若由4,3,2,1引起，即4,3,2,1从左往右排列，则5必须排在4的后面，共4 种； --6分 2.若由5,3,2,1引起，即5,3,2,1从左往右排列，则4必须排在3的后面，共3 种； -7分 3.若由5,4,2,1引起，即5,4,2,1从左往右排列，则3必须排在2的后面，共2 种； -8分 4.若由5,4,3,1引起，即5,4,3,1从左往右排列，则2必须排在1的后面，共1 种， -9分 综上，符合card(D,A)=4的数列A有15种： 10分 第7页（共8页） (结果不对至多给3分，枚举少的给1分，枚举多的给2-3分) (3)①若crd(D,A)=0,则a最小，可得a≤aw, 所以a1-av≤0，即card(D,A)≥a1-aN成立： -12分 ②若card(D,A)=m(m≥1)， 不妨设D(A)={i,,i,…,im}:(i<i五<i<…<im)且2≤≤W (j=1,2,…,m), 从而 -≥--2-1 --≥-1； --2-1, -14分 由累加法知： -≥-m, 15分 又aw-a1≥ -≥-m,即m≥a1-aN; -16分 综上，card(D,A)≥a1-a,证毕. 17分 第8页（共8页）