专题05 概率初步（续）（考点串讲）-2023-2024学年高二数学下学期期末考点大串讲（沪教版2020选修）

高二沪教版数学下册期末考点大串讲 串讲05 概率初步（续） 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 九大易错易混经典例题 4道期末真题对应考点练 五大重难点题型典例剖析+技巧总结 五大常考点：知识梳理 考点透视 知识梳理 2．离散型随机变量的分布列 (1)定义 设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，随机变量X取xi的概率为pi(i＝1,2，…，n)，记作：____________________________①. 或把上式列成下表 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 上述表或①式称为离散型随机变量X的分布列． P(X＝xi)＝pi(i＝1,2，…，n) (2)求随机变量的分布列的步骤 ①明确随机变量X的取值； ②准确求出X取每一个值时的概率； ③列成表格的形式． (3)离散型随机变量分布列的性质 ①pi＞0，i＝1,2，…，n. ②___________________. p1＋p2＋…＋pn＝1 (2)意义：均值刻画的是X取值的平均水平，而方差刻画的是一个随机变量的取值与其均值的偏离程度．方差越小，则随机变量的取值与其均值的偏离程度________． 越小 例1在5道题中有3道物理题和2道化学题.如果不放回地依次抽取2道题,求: (1)第1次抽到物理题的概率; (2)第1次和第2次都抽到物理题的概率; (3)在第1次抽到物理题的条件下,第2次抽到物理题的概率. 题型一：条件概率与全概率公式 题型剖析 解 设“第1次抽到物理题”为事件A,“第2次抽到物理题”为事件B,则“第1次和第2次都抽到物理题”为事件AB. (1)从5道题中不放回地依次抽取2道题包含的样本点数为 方法技巧条件概率的求解策略 例2某学生的课本丢失,落在宿舍中的概率为60%,在这种情况下找到的概率为98%;落在教室里的概率为25%,在这种情况下找到的概率为50%;落在路上的概率为15%,在这种情况下找到的概率为20%.求: (1)该学生找到课本的概率; (2)在找到的条件下,课本在宿舍中找到的概率.(保留三位有效数字) 解 设“课本落在宿舍”为事件B1,“课本落在教室”为事件B2,“课本落在路上”为事件B3,“找到课本”为事件A,则Ω=B1∪B2∪B3, (1)P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|B3)P(B3) =98%×60%+50%×25%+20%×15%=0.743. 例3某公司招聘员工,先由两位专家面试,若这两位专家都同意通过,则通过初审并予以录用;若这两位专家都未同意通过,则未通过初审并不予录用;当这两位专家意见不一致时,再由第三位专家进行复审,若能通过复审则予以录用,否则不予录用.设应聘人员获得每位初审专家通过的概率均为 ,获得复审专家通过的概率为 ,各专家评审的结果相互独立. (1)求某应聘人员被录用的概率. (2)若4人应聘,设X为被录用的人数,试求随机变量X的分布列. 题型二：二项分布 方法技巧解决二项分布问题的两个关注点 (1)对于公式P(X=k)= pk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n)必须在随机变量服从二项分布时才能应用,否则不能应用. (2)判断一个随机变量是否服从二项分布,关键有两点:一是对立性,即一次试验中,事件发生与否两者必有其一;二是重复性,即试验是独立重复地进行了n次. 例4网上购物逐步走进大学生活,某大学学生宿舍4人积极参加网购,大家约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪家购物,掷出点数为5或6的人去A网购物,掷出点数小于5的人去B网购物,且参加者必须从A网和B网选择一家购物. (1)求这4个人中恰有1人去A网购物的概率; (2)用ξ,η分别表示这4个人中去A网和B网购物的人数,令X=ξη,求随机变量X的分布列. 题型三：超几何分布 方法技巧解决超几何分布问题的两个关键点 (1)超几何分布是概率分布的一种形式,一定要注意公式中字母的范围及其意义,解决问题时可以直接利用公式求解,但不能机械地记忆. (2)在超几何分布中,只要知道M,N,n,就可以利用公式求出随机变量X取不同k值的概率P(X=k),从而求出X的分布列. 例5一次同时投掷两枚相同的正方体骰子(骰子质地均匀,且各面分别刻有1,2,2,3,3,3六个数字). (1)设随机变量η表示一次掷得的点数和,求η的分布列. (2)若连续投掷10次,设随机变量ξ表示一次掷得的点数和大于5的次数,求E(ξ),D(ξ). 题型四：离散型随机变量的分布列、均值和方差 故η的分布列为 方法技巧求离散型随机变量的均值与方差的步骤 例6设X~N(10,1). (1)证明:P(1≤X≤2)=P(18≤X≤19). (2)设P(X≤2)=a,求P(10≤X≤18). (1)证明因为X~N(10,1),所以正态曲线f(x)关于直线x=10对称,而区间(1,2)和(18,19)关于直线x=10对称, 故P(1≤X≤2)=P(18≤X≤19). 题型五：正态分布的概率 方法技巧正态分布的概率求法 (1)利用“3σ”原则,记住正态总体在三个区间内取值的概率. (2)利用数形结合.由于正态分布密度曲线具有对称性,因此常结合图象,利用对称性,解决某一区间内的概率. 解析 易错点01　混淆“条件概率”与“交事件的概率” 易错易混 解析 ② 易错点02　对离散型随机变量的概念理解不清致误 解 解析 A 易错点03　对题意理解不清 易错点04　求随机变量的均值时因分布列不准确致误 解析 B 易错点05　错用公式致误 解 解析 B 易错点06　对二项分布理解不透彻致误 解析 0.896 易错点07　对“至少”与“至多”理解不清致误 易错点08　容易混淆二项分布和超几何分布 解 易错点09　错用正态曲线的对称性 1.（2023春•长宁区校级期末）设有两个罐子，A罐中放有2个白球，1个黑球，B罐中放有3个白球，这些球的大小与质地相同．现从这两个罐子中各摸1个球进行交换，那么这样交换2次后，黑球还在A罐中的概率为 　　． 【解析】解：分两种情况，若第一次交换时从A罐中拿到黑球，则第二次交换时从B罐中也拿到黑球，其概率为 ， 若第一次交换时从A罐中拿到的是白球，则第二次交换时，从A罐中拿到的仍然是白球，其概率为 ， 故这样交换2次后，黑球还在A罐中的概率为 ．故答案为： ． 押题预测 45 2.（2023春•徐汇区校级期末）已知随机事件A，B，P(A)= ，P(B)= ，P(A|B)= ，则 =　　． 【解析】解：依题意得 ，所以 ， 故 ，所以 ． 故答案为： ． 46 3.（2023春•普陀区校级期末）设随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，若P(X≤1)=0.2，则P(X＜3)= _____ ． 【解析】解：随机变量X服从正态分布N(2，σ2)， 则P(X≤1)=P(X≥3)=0.2， 故P(X＜3)=1-P(X≥3)=1-0.2=0.8． 故答案为：0.8． 0.8 47 4.（2023春•普陀区校级期末）在全民抗击新冠疫情期间，某校开展了“停课不停学”活动，一个星期后，某校随机抽取了100名居家学习的高二学生进行问卷调查，得到学生每天学习时间(单位：h)的频率分布直方图如下，若被抽取的这100名学生中，每天学习时间不低于8小时有30人． (1)求频率分布直方图中实数a,b的值； 【解析】解：(1)由(b+0.22)×0.5×100=30，解得b=0.38， ∵0.5×(0.14+a+0.42+0.58+0.38+0.22)=1， 解得a=0.26． 48 (2)每天学习时间在[6.0，6.5)的7名学生中，有4名男生，3名女生，现从中抽2人进行电话访谈，已知抽取的学生有男生，求抽取的2人恰好为一男一女的概率； (2)从7名学生中任选2人进行电话访谈种数： ，记任选2人有男生为事件A，则 ， 记任选2人有女生为事件B，则 ， 则 ； 49 (3)用按比例分层抽样的方式从每天学习时间在[6.0，6.5)和[7.0，7.5)的学生中抽取8人， 抽中的8人每天学习时间在[6.0，6.5)的人数为 人， 抽中的8人每天学习时间在[7.0，7.5)的人数为 人，设从8人中抽取的3人每天学习时间在[6.0，6.5)的人数为X，则X=0，1，2， ∴ ， ∴X的分布列为： X 0 1 2 P (3)依据所抽取的样本，从每天学习时间在[6.0，6.5)和[7.0，7.5)的学生中按比例分层抽样抽取8人，再从这8人中选3人进行电话访谈，求抽取的3人中每天学习时间在[6.0，6.5)的人数的分布列和数学期望． ∴X的数学期望为 ． 50 1．条件概率与全概率公式 (1)A发生时B发生的条件概率为P(B|A)＝. (2)求条件概率的常用方法 ①定义：即P(B|A)＝； ②借助古典概型公式P(B|A)＝. (3)概率的乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A)． (4)全概率公式与贝叶斯公式 ①全概率公式：P(B)＝(Ai)P(B|Ai)； ②贝叶斯公式：P(Ai|B)＝，i＝1,2，…，n. 3．离散型随机变量的均值与方差 (1)定义：一般地，设随机变量X所有可能取的值是x1，x2，…，xn， 这些值对应的概率是p1，p2，…，pn，则E(X)＝___________________________ 叫作这个离散型随机变量X的均值．X的方差D(X)＝(xi－E(X))2pi，X 的标准差为，记为σ(X)． x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝ipi 4．超几何分布与二项分布 (1)二项分布 在n重伯努利试验中，每次试验中事件A发生的概率为p，用X表示事件A发生的次数，若P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，其均值为E(X)＝np，方差为D(X)＝np(1－p)． (2)超几何分布 一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品，从中任取n(n≤N)件产品(不放回)，用X表示取出n件产品中的次品数，那么P(X＝k)＝(k＝m，m＋1，m＋2，…，r，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M})，X服从参数为N，M，n的超几何分布，其均值E(X)＝. 5．正态分布 (1)正态分布的分布密度函数为 f(x)＝e－，x∈R，其中μ∈R，σ＞0为参数． (2)正态分布密度函数满足以下性质 ①函数图象关于直线x＝μ对称； ②σ(σ＞0)的大小决定函数图象的“胖”“瘦”； ③P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7； P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5； P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. n(Ω)==20. 又n(A)==12. 于是P(A)= (2)因为n(AB)==6, 所以P(AB)= (3)(方法一)由(1)(2)可知, P(B|A)= (方法二)因为n(AB)=6,n(A)=12, 所以P(B|A)= (1)定义法:计算P(A),P(AB),利用P(B|A)=求解. (2)直接法:利用P(B|A)=求解. 其中(2)常用于古典概型的概率计算问题. (2)P(B1|A)=0.791. 解 (1)设“某应聘人员被录用”为事件A, 则P(A)= (2)根据题意,X~B, 则P(X=0)=, P(X=1)=, P(X=2)=, P(X=3)=, P(X=4)= 故X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 解 依题意,得这4个人中,每个人去A网购物的概率为,去B网购物的概率为设“这4个人中恰有i人去A网购物”为事件Ai(i=0,1,2,3,4), 则P(Ai)=)i()4-i(i=0,1,2,3,4). (1)这4个人中恰有1人去A网购物的概率为)3= (2)X的所有可能取值为0,3,4, 则P(X=0)=P(A0)+P(A4) =)0×()4+)4×()0 =, P(X=3)=P(A1)+P(A3) =)1×()3+)3×()1 =, P(X=4)=P(A2)=)2()2= 所以随机变量X的分布列为 X 0 3 4 P 解 (1)由已知,得随机变量η的取值为2,3,4,5,6,则P(η=2)=, P(η=3)=, P(η=4)=, P(η=5)=, P(η=6)= η 2 3 4 5 6 P (2)由(1)知,投掷一次得到的点数和大于5的概率为,则ξ~B, 故E(ξ)=10, D(ξ)=10 (2)解 因为P(X≤2)+P(2≤X≤10)=,P(X≤2)=a,所以P(2≤X≤10)=-a. 又P(2≤X≤10)=P(10≤X≤18), 所以P(10≤X≤18)=-a. 【例1】．袋中有6个黄色的乒乓球，4个白色的乒乓球，做不放回抽样，每次抽取一球，取两次，则第二次 才能取到黄球的概率为________． 记“第一次取到白球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件B，“第二次才取到黄球”为事件C，所以P(C)＝P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝eq \f(4,10)×eq \f(6,9)＝eq \f(4,15). eq \f(4,15) ①③④中的随机变量X的所有取值，我们都可以按照一定的次序一一列出，因此它们是离散型随机变量；②中随机变量X可以取某一区间内的一切值，但无法按一定次序一一列出，故不是离散型随机变量． 【例2】．下列随机变量中不是离散型随机变量的有______．(填序号) ①某宾馆每天入住的旅客数量X； ②广州某水文站观测到一天中珠江的水位X； ③深圳欢乐谷一日接待游客的数量X； ④虎门大桥一天经过的车辆数X. 【变式】写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果． 在含有8件次品的50件产品中，任意抽取4件，可能含有的次品的件数X是随机变量． 随机变量X可能的取值为0，1，2，3，4. {X＝0}表示“抽取0件次品”；{X＝1}表示“抽取1件次品”；{X＝2}表示“抽取2件次品”；{X＝3}表示“抽取3件次品”；{X＝4}表示“抽取的全是次品”． 【例3】一盒中有10个羽毛球，其中8个新的，2个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球的个数X是一个随机变量，其分布列为P(X)，则P(X＝4)的值为(　　) A.eq \f(7,15) B.eq \f(8,15) C.eq \f(7,30) D.eq \f(8,30) ∵从盒子中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X＝4，即旧球的个数增加了2个，∴取出的3个球中必有2个新球，即取出的3个球必为1个旧球，2个新球，∴P(X＝4)＝eq \f(C21C82,C103)＝eq \f(7,15).故选A. 【例4】一盒中有9个正品零件和3个次品零件，安装机器时从这批零件中随机抽取，如果取出的是次品则不放回，求在第一次取到正品之前已取出的次品数X的分布列和均值． 随机变量X的可能取值为0，1，2，3.{X＝0}表示“第一次取到正品”，则P(X＝0)＝eq \f(A91,A121)＝eq \f(3,4)，{X＝1}表示“第一次取到次品，第二次取到正品”，则P(X＝1)＝eq \f(A31A91,A122)＝eq \f(9,44)， 同理，可求得P(X＝2)＝eq \f(A32A91,A123)＝eq \f(9,220)，P(X＝3)＝eq \f(A33A91,A124)＝eq \f(1,220). 因此随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P eq \f(3,4) eq \f(9,44) eq \f(9,220) eq \f(1,220) 所以随机变量X的均值为E(X)＝0×eq \f(3,4)＋1×eq \f(9,44)＋2×eq \f(9,220)＋3×eq \f(1,220)＝eq \f(66,220)＝eq \f(3,10). 【例5】设X是随机变量，且D(5X)＝20，则D(X)＝(　　) A．0.4 B．0.8 C．4 D．20 由题意得D(5X)＝25D(X)＝20，所以D(X)＝eq \f(20,25)＝0.8.故选B. 【变式】．已知随机变量X的分布列如表所示， X －2 －1 0 1 2 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 且Y＝3X＋1，求E(Y)，D(Y)． 因为E(X)＝(－2)×0.1＋(－1)×0.2＋0×0.4＋1×0.1＋2×0.2＝0.1， 所以E(Y)＝E(3X＋1)＝3E(X)＋1＝1.3. 又因为D(X)＝(－2－0.1)2×0.1＋(－1－0.1)2×0.2＋(0－0.1)2×0.4＋(1－0.1)2×0.1＋(2－0.1)2×0.2＝1.49， 所以D(Y)＝D(3X＋1)＝9D(X)＝13.41. 【例6】下列例子中随机变量X服从二项分布的个数为(　　) ①某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数X； ②某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数X； ③从装有5个红球，5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，摸到白球时的摸球次数X； ④有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用不放回抽取方法，X表示n次抽取中出现次品的件数． A．0 B．1　 C．2　 D．3 ①满足独立重复试验的条件，是二项分布；②X的取值是1，2，3，…，n，P(X＝k)＝0.9×0.1k－1(k＝1，2，3，…，n)，显然不符合二项分布的定义，因此X不服从二项分布；③虽然是有放回地摸球，但随机变量X的定义是直到摸出白球为止，也就是说前面摸出的一定是红球，最后一次是白球，不符合二项分布的定义；④n次试验是不独立的，因此X不服从二项分布．故选B. 【例7】某气象台预报每天天气的准确率为0.8，则在未来3天中，至少有2天预报准确的概率是________． “至少有2天”包括“恰有2天”和“恰有3天”两种情况，其概率为C32×0.82×0.2＋C33×0.83＝0.896. 所以至少有2天预报准确的概率为0.896. 【例8】一个盒子中有大小完全相同的10个球，其中3个红球，7个白球．从这10个球中任取3个． (1)若采用不放回抽样，求取出的3个球中红球的个数X的分布列； (2)若采用有放回抽样，求取出的3个球中红球的个数Y的分布列． (1)由题意知，随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，且X服从超几何分布，且N＝10，M＝3，n＝3，因此P(X＝k)＝eq \f(C3kC73－k,C103)，k＝0，1，2，3，所以P(X＝0)＝eq \f(C30C73,C103)＝eq \f(7,24)，P(X＝1)＝eq \f(C31C72,C103)＝eq \f(21,40)， P(X＝2)＝eq \f(C32C71,C103)＝eq \f(7,40)，P(X＝3)＝eq \f(C33C70,C103)＝eq \f(1,120)，所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P eq \f(7,24) eq \f(21,40) eq \f(7,40) eq \f(1,120) (2)由题意知，随机变量Y的所有可能取值为0，1，2，3，且Y～B(3，eq \f(3,10))， 所以P(Y＝0)＝C30×(eq \f(3,10))0×(1－eq \f(3,10))3＝eq \f(343,1 000)，P(Y＝1)＝C31×eq \f(3,10)×(1－eq \f(3,10))2＝eq \f(441,1 000)， P(Y＝2)＝C32×(eq \f(3,10))2×(1－eq \f(3,10))＝eq \f(189,1 000)，P(Y＝3)＝C33×(eq \f(3,10))3×(1－eq \f(3,10))0＝eq \f(27,1 000)，所以Y的分布列为 Y 0 1 2 3 P eq \f(343,1 000) eq \f(441,1 000) eq \f(189,1 000) eq \f(27,1 000) 【例8】一个盒子中有大小完全相同的10个球，其中3个红球，7个白球．从这10个球中任取3个． (1)若采用不放回抽样，求取出的3个球中红球的个数X的分布列； (2)若采用有放回抽样，求取出的3个球中红球的个数Y的分布列． 【例9】若随机变量X服从正态分布N(0，1)，且P(X≤1)≈0.841 4，求P(－1<X≤0)． 因为P(X≤1)≈0.841 4， 所以P(X>1)≈1－0.841 4＝0.158 6， 所以P(X≤－1)＝0.158 6， 所以P(－1<X≤0)＝0.5－0.158 6＝0.341 4. $$