21.2.1配方法（第1课时 直接开平方法）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（人教版）

第21章 一元二次方程 九年级数学上册同步精品课堂（人教版） 人教版 数学 九年级 上册 BY YUSHEN BY YUSHEN 21.2.1.1 直接开平方法 BY YUSHEN BY YUSHEN 情景引入 一桶油漆可刷的面积为 1500 dm2，小林用这桶油漆恰好刷完 10 个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？ 解：设盒子的棱长为 x dm，则一个正方体盒子的表面积为 6x2 dm2．由此可列方程 10×6x2 = 1500， 即 x2 = 25． 根据平方根的意义得 x = ±5， 即 x1 = 5，x2 = －5． ∵ 棱长不能为负值，∴ 盒子的棱长为 5 dm． BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 试一试 求 x2 = 9 中 x 的值. 开平方，得 x = ± x = ±3 所以直接开平方就可求得方程 x2 = 9 的两个根： x1 = 3，x2 = –3. BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 (1) x2– 0.81 = 0 x2 = 0.81 x = ± x1 = 0.9，x2 = –0.9 (2) x2=0 (3) x2+1=0 解:根据平方根的意义，得 x1=x2=0. 解:根据平方根的意义，得 x2=-1, 因为负数没有平方根， 所以原方程无解. BY YUSHEN BY YUSHEN 直接开平方法 新知探究 (2) 当 p = 0 时，方程 (I) 有两个相等的实数根 x1 = x2 = 0； (3) 当 p < 0 时，因为对任意实数 x，都有 x2 ≥ 0 ，所以方程 (I) 无实数根. 一般的，对于可化为 x2 = p (I) 的方程， (1) 当 p > 0 时，根据平方根的意义，方程 (I) 有两个不相等的实数根 x1 = ，x2 = ； 利用平方根的意义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法. BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 直接开方解下列方程： 3（x + 1）2 = 48 2（x – 2）2 – 4 = 0 （x + 1）2 = 16 x + 1 = ±4 x1 = 3，x2 = – 5 （x – 2）2 = 2 x – 2 = ± x1 = + 2，x2 = – +2 BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 怎样解方程： x2 + 2x – 1 = 0？ 把常数项移到等号右边，得 x2 + 2x = 1. 对等号左边配方，得 x2 + 2x + 1 = 1 + 1. 即 （x+1）2 = 2. 直接开方，得 x1 = –1，x2 = – –1 . 因为两边加1，式子左边可以恰好凑成完全平方式. 为什么在方程两边同时加上数“1”而不是其他数？ BY YUSHEN BY YUSHEN 降次 新知探究 通过”降次”，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程。 左边是含有未知数的完全平方式，右边是非负常数的一元二次方程可化为（x+m）2=n（n≥0）。 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法。 BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 填空 （1）x2 – 8x +（ ）2 =（x – ）2； （2）y2 + 5y +（ ）2 =（y + ）2； （3）x2 – x +（ ）2 =（x – ）2； （4）x2 + px +（ ）2 =（x + ）2. 5 2 4 4 5 2 5 4 p 2 p 2 5 2 5 4 BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 解： ∴ 方程的两个根为 解： ∴ 方程的两根个为 解下列方程： BY YUSHEN BY YUSHEN 配方法 新知探究 根据上面的例题，请你归纳出用配方法解一般一元二次方程应有的步骤. 其中，最关键的是配哪一项，这一项怎样确定？ ①移项，二次项系数化为 1； ②左边配成完全平方式； ③左边写成完全平方形式； ④降次； ⑤解一次方程. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例1 用直接开平方法解下列方程． 解： (1) 移项，得x2＝81，于是x＝±9，即x1＝9， x2＝－9. (2) 移项，得4x2＝64，于是x2＝16，所以x＝±4， 即x1＝4，x2＝－4. (3) x－3＝±5，于是 x1＝8，x2＝－2. (4) 2y－3＝±4，于是 BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例2 解方程： 解： ∴ 方程的两根为 或 BY YUSHEN BY YUSHEN 归纳总结 直接开平方法 概念 步骤 基本思路 利用平方根的定义求方程的根的方法 关键要把方程化成 x2 = p (p≥0) 或 (x + n)2 = p (p≥0) 的形式 一元二次方程 两个一元一次方程 降次 直接开平方法 BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 1.一元二次方程(x＋6)2＝16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x＋6＝4，则另一个一元一次方程是(　　) A.x－6＝－4 B.x－6＝4 C.x＋6＝4 D.x＋6＝－4 2.若(x＋1)2－1＝0，则x的值为(　　) A.±1 B.±2 C.0或2 D.0或－2 3.已知关于x的一元二次方程(x＋1)2－m＝0有两个实数根，则m的取值范围是(　　) A.m≥－ B.m≥0 C.m≥1 D.m≥2 4.方程4x2＋4x＋1＝0的解是(　　) A.x1＝x2＝2 B.x1＝x2＝－2 C.x1＝x2＝ D.x1＝x2＝- D D B D BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 5.用配方法解方程 – x2 + 6x + 7 = 0 时，配方后得的方程为（ ） A.（x + 3）2 = 16 B.（x – 3）2 = 16 C.（x + 3）2 = 2 D.（x – 3 ）2 = 2 6.填空. （1）4x2 + 4x + 1 = （2）x2 – 30x + 225 = （2x+1）2 B （x – 15）2 7. 解方程. （1）x2 + 10x + 9 = 0； （2）x2 + 4x – 9 = 2x – 11. 解：移项, x2 + 10x = – 9 配方, x2 + 10x + 25 = 16 （x + 5）2 = 16 x + 5 = ±4 方程的两个根为x1 = –1，x2 = –9 解：移项, x2 + 2x = –2 配方, x2 + 2x + 1 = –1 （x+1）2 = –1 方程没有实数根. BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 (3)（x+3）2=5 （x+3）2=5， 　得x+3=±， 　∴ x+3=或x+3=- 　于是，方程（x+3）2=5的两个根为 　x1=-，x2= 解： (4)（3-2x）2-=0。 移项，得 （3-2x）2=。 ∵3-2x是的平方根， ∴3-2x=±。 即3-2x=，3-2x=- ∴ x1=，x2= 解： BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 8.当 a 为何值时，多项式 a2 + 2a + 18 有最小值？并求出这个最小值. 解：对原式进行配方，则 原式=（a + 1）2 + 17 ∵（a+1）2 ≥ 0, ∴当 a = –1 时，原式有最小值为 17. BY YUSHEN BY YUSHEN $$