1.2.1 直线的点斜式、斜截式方程（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（苏教版2019选择性必修第一册）

苏教版2019高二数学（选修一）第一章 直线与方程 1.2.1 直线的点斜式、斜截式方程 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂小结 分层练习 错因分析 学习目标 1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程. 2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程. 3.会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关的问题． 飞逝的流星形成了一条美丽的弧线,这条弧线可以看做是满足某种运动规律的点的集合.在平面直角坐标系中,直线也可以看做是满足某种条件的点的集合,直线的位置既可由两点惟一确定,也可由一点和一个方向来确定. 情景导入 4 2、直线斜率的两个定义 3、直线倾斜角和斜率的取值范围 1、直线倾斜角的定义 在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把 x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线l重合时所转过的最小正角称为直线l的倾斜角。 注意：(1)直线向上方向； (2)x轴的正方向。 复习回顾 4、直线倾斜角和斜率的关系 复习回顾 问题1：直角坐标平面内确定一条直线的几何要素有哪些？ 问题2：在平面直角坐标系内，如果给定一条直线l经过的一个点和斜率k，能否将直线上所有的点的坐标（x，y）满足的关系表示出来呢？ 分析：因为直线经过点且斜率为k 设点P（x，y）是直线上不同于点的任意一点 因为直线1的斜率为k， 由斜率公式得: 即： 问题3：（1）过点且斜率是k的直线上的点，其坐标都满足 方程吗？ （2）坐标满足方程的每一点都在过 点,斜率为 k 的直线上吗？ 经过探究，上述两条都成立，所以这个方程就是过点,斜率为k的直线的方程。 1.直线的点斜式方程 新知探究 方程由直线上一点及其斜率确定，把这个方程叫做直线的点斜式方程， 简称点斜式（Point slope form）。 与x轴平行的直线倾斜角为0°， 其斜率 k = tan 0° = 0， 故与x轴平行的直线方程为: x轴所在直线的倾斜角为0°，其斜率k = tan 0° = 0， 故x轴所在直线方程为： 问题4：坐标轴或与坐标轴平行的直线方程怎么表示？ （1）x轴所在直线的方程是什么？ （2）与x轴平行经过点的直线的方程是什么？ 即： 与y轴平行的直线倾斜角为90°，其斜率不存在， 不能用点斜式方程表示， 故y轴所在直线方程为： 问题4：坐标轴或与坐标轴平行的直线方程怎么表示？ （3）y轴所在直线的方程是什么？ （4）与y轴平行经过点的直线的方程是什么？ 故y轴所在直线方程为： y轴所在直线的倾斜角为90°其斜率不存在，不能用点斜式方程表示， 问题5：直线的点斜式方程能表示坐标平面上的所有直线吗？ 当直线的斜率不存在（即与y轴重合或平行）时，直线的方程不可以用点斜式来表示。 课本例1　已知一直线经过点P(－2,3)，斜率为2，求这条直线的方程． 解　由直线的点斜式方程，得所求直线的方程为y－3＝2(x＋2)， 即2x－y＋7＝0. 课本例题 典例剖析 例1　写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点(2,5)，倾斜角为45°； (2)直线y＝x＋1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得直线l，求直线l的点斜式方程； (3)经过点C(－1，－1)，且与x轴平行； (4)经过点D(1,1)，且与x轴垂直． 解　 (1)因为倾斜角为45°， 所以斜率k＝tan 45°＝1， 所以直线的方程为y－5＝x－2. (2)直线y＝x＋1的斜率k＝1，所以倾斜角为45°. 由题意知，直线l的倾斜角为135°， 所以直线l的斜率k′＝tan 135°＝－1. 所以直线的方程为y－4＝－(x－3)． (3)由题意知，直线的斜率k＝tan 0°＝0， 所以直线的点斜式方程为y－(－1)＝0， 即y＝－1. (4)由题意可知直线的斜率不存在，所以直线的方程为x＝1， 该直 线没有点斜式方程. 概念归纳 求直线的点斜式方程的步骤及注意点 (1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x1，y1)→定斜率k→写出方程y－y1＝k(x－x1)． (2)点斜式方程y－y1＝k(x－x1)可表示过点P(x1，y1)的所有直线，但x＝x1除外． 1.求满足下列条件的直线方程： (1)经过点(2，－3)，倾斜角是直线y＝x倾斜角的2倍； (2)经过点P(5，－2)，且与y轴平行； (3)过P(－2,3)，Q(5，－4)两点． 练一练 解　(1)∵直线y＝x的斜率为， ∴直线y＝ x的倾斜角为30°. ∴所求直线的倾斜角为60°，故其斜率为. ∴所求直线方程为y＋3＝ (x－2)， 即x－y－2 －3＝0. (2)与y轴平行的直线，其斜率k不存在，不能用点斜式方程表示． 但直线上点的横坐标均为5， 故直线方程可记为x＝5. (3)过P(－2,3)，Q(5，－4)两点的直线斜率 kPQ＝＝＝－1. ∵直线过点P(－2,3)， ∴由直线的点斜式方程可得直线方程为 y－3＝－(x＋2)，即x＋y－1＝0.   课本例2： 直线l上给定一个点P0(0，b)和斜率k，求直线l的方程． 解：由直线的点斜式方程，得直线1的方程为y－b＝k(x－0)，即y＝kx＋b. 课本例题 其中，b为直线与y轴交点的纵坐标。我们称b为直线l 在y轴上的截距。 方程 由直线l的斜率和它在y轴上的截距确定 。 所以，这个方程 就也叫做直线的斜截式方程。 2.直线的斜截式方程 新知探究 方程y=kx+b由直线的斜率与它在y轴上的截距确定，把这个方程叫做直线的斜截式方程， 简称斜截式（Slope intercept form）。 问题6：截距是距离吗？两者有什么区别？如何定义直线在x 轴上的截距？ 截距是直线与坐标轴交点的坐标，它可正、可负、可为零，而距离是恒大于等于0的。 当直线与x轴相交时，我们把直线与x轴交点的横坐标叫做直线在x轴上的截距，简称横截距。 问题7：观察方程y=kx+b，它的形式有什么特点？此方程能表示平面内所有直线吗？ 我们发现：方程左端的系数恒为1，方程右端x的系数k和常数项b均有明显的几何意义。 k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距。 问题8：斜截式与点斜式存在什么关系？ 斜截式是点斜式的特殊情况，有时比点斜式更方便 问题9：斜截式y=kx+b在形式上与一次函数的表达式一样， 它们之间有什么差别？ 只有当k≠0时，斜截式方程才是一次函数的表达式 例2　根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率是3，在y轴上的截距是－3； (2)倾斜角是60°，在y轴上的截距是5； (3)过点A(－1，－2)，B(－2,3)． 典例剖析 解　(1)由直线方程的斜截式可知，所求直线的斜截式方程为y＝3x－3. (2)∵倾斜角是60°， ∴斜率k＝tan 60°＝，由斜截式可得方程为y＝x＋5. (3)斜率为k＝＝－5，由点斜式得y－3＝－5(x＋2)，化为斜截式为y＝－5x－7. 求直线的斜截式方程的策略 (1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在． (2)直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可． 概念归纳 (1)写出斜率为－1，在y轴上截距为－2的直线的斜截式方程； (2)求过点A(6，－4)，斜率为－的直线的斜截式方程； (3)已知直线的方程为2x＋y－1＝0，求直线的斜率、在y轴上的截距以及与y轴交点的坐标． 练一练 解　(1)易知k＝－1，b＝－2， 故直线的斜截式方程为y＝－x－2. (2)由于直线的斜率k＝－ ，且过点A(6，－4)，根据直线的点斜式方程得直线方程为y＋4＝－ (x－6)，化成斜截式为y＝－ x＋4. (3)直线方程2x＋y－1＝0可化为y＝－2x＋1，由直线的斜截式方程知，直线的斜率k＝－2，在y轴上的截距b＝1，直线与y轴交点的坐标为(0,1)． 练一练 例3、求下列直线的点斜式方程 (1)直线经过点P(-2，3)，斜率为2； (2)直线经过点A (-1，2)，且倾斜角α=135o； (3)直线的斜率为2，经过点(0，1)。 典例剖析 3.利用点斜式、斜截式求直线方程　 要求直线的点斜式方程，须有两个条件：一是经过一点，二是有斜率k. 答案（1）∵直线经过点A（1，2），斜率k=2， ∴直线的点斜式方程为y-2=2（x-1）. （注意：为使方程整洁有序，可以把方程化简为2x-y=0） （2）∵直线的斜率 ∴直线的点斜式方程为 . （同样，还可以进一步把方程变为 ） （3）∵直线的斜率 ∴直线的点斜式方程为 . （可以把方程化简为5x-2y-1=0） 已知直线的斜率为k，与y轴的交点是P(0，b)，求这条直线的方程。 如果直线的斜率为k，且与y轴的交点为（0，b），代入直线的点斜式方程，得 当直线与y轴相交时，我们把直线与y轴交点的纵坐标b叫做直线在y轴上的截距，简称纵截距。 即： 例4　(1)已知直线kx－y＋1－3k＝0，当k变化时，所有的直线恒过定点(　　) A．(1,3) B．(－1，－3) C．(3,1) D．(－3，－1) 答案　C 典例剖析 解析　直线kx－y＋1－3k＝0变形为y－1＝k(x－3)， 由直线的点斜式可得直线恒过定点(3,1)． (2)直线y＝x＋k与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1，则实数k的取值范围是______________． 答案　(－∞，－1]∪[1，＋∞) 解析　令x＝0，得y＝k.令y＝0，得x＝－2k. 所以|k|·|－2k|≥1，即k2≥1. 所以k≤－1或k≥1. 1．若本例(1)中直线不经过第四象限，求k的取值范围． 解　直线kx－y＋1－3k＝0可化为y＝kx＋1－3k， ∵直线不经过第四象限， ∴解得0≤k≤. 2．若本例(1)中直线与x，y轴正半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值． 解　直线kx－y＋1－3k＝0可化为y＝kx＋1－3k， 当x＝0时，y＝1－3k>0，k<， 当y＝0时，x＝ >0，k> 或k<0， 综上，k<0， S△AOB＝ (1－3k)· ＝ ＝ ＝－ k＋3－ ≥2＋3＝6，当且仅当－ ＝－ ，即k＝－ 时取等号， 所以△AOB面积的最小值为6. 　(1)解含参数的直线恒过定点问题，可将直线方程整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示的直线必过定点(x0，y0)． (2)在求面积时，要将截距转化为距离． 概念归纳 (1)若y＝a|x|与y＝x＋a(a>0)有两个公共点，则a的取值范围是(　　) A．a>1 B．0<a<1 C．a＝1 D．0<a<1或a>1 答案　A 练一练 解析　y＝x＋a(a>0)表示斜率为1，在y轴上的截距为a(a>0)的直线， y＝a|x|表示关于y轴对称的两条射线． 所以当0<a≤1时，只有一个公共点，如图①； 当a>1时，有两个公共点，如图②. (2) 已知直线l的斜率为，且和两坐标轴围成的三角形的面积为3，求直线l的方程． 解　设直线l的斜截式方程为y＝ x＋b， 令x＝0，y＝b；令y＝0，x＝－6b. 由已知可得|b|·|－6b|＝3，即b2＝1， 所以b＝±1. 从而所求直线l的方程为y＝ x－1或y＝ x＋1. 1．方程y＝k(x－2)表示(　　) A．过点(－2,0)的所有直线 B．过点(2,0)的所有直线 C．过点(2,0)且不垂直于x轴的所有直线 D．过点(2,0)且除去x轴的所有直线 答案　C 解析　易验证直线过点(2,0)，又直线斜率存在，故直线不垂直于x轴． 随堂练 2．已知直线l的方程为y＋＝(x－1)，则l在y轴上的截距为(　　) A．9 B．－9 C. D．－ 答案　B 解析　由y＋ ＝ (x－1)，得y＝ x－9， ∴l在y轴上的截距为－9. 随堂练 3．已知直线l的倾斜角为60°，且在y轴上的截距为－2，则直线l的方程为(　　) A．y＝x＋2 B．y＝－ x＋2 C．y＝－ x－2 D．y＝ x－2 答案　D 解析　∵α＝60°，∴k＝tan 60°＝ ， ∴直线l的方程为y＝ x－2. 随堂练 4．若直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有(　　) A．k>0，b>0 B．k>0，b<0 C．k<0，b>0 D．k<0，b<0 答案　B 解析　直线y＝kx＋b经过第一、三、四象限，由图知，k>0，b<0. 随堂练 分层练习-基础 1．已知一直线经过点A(3，－2)，且与x轴平行，则该直线的方程为(　　) A．x＝3 B．x＝－2 C．y＝3 D．y＝－2 答案　D 解析　∵直线与x轴平行，∴其斜率为0， ∴直线的方程为y＝－2. 分层练习-基础 2．若直线l的倾斜角为45°，且过点(0，－1)，则直线l的方程是(　　) A．y－1＝x B．y＋1＝x C．y－1＝－x D．y＋1＝－x 答案　B 解析　∵直线l的倾斜角为45°， ∴直线l的斜率为1， 又∵直线l过点(0，－1)， ∴直线l的方程为y＋1＝x. 分层练习-基础 3．直线y－2＝－(x＋1)的倾斜角及在y轴上的截距分别为(　　) A．60°，2 B．120°，2－ C．60°，2－ D．120°，2 答案　B 解析　该直线的斜率为－ ， 当x＝0时，y＝2－ ， ∴其倾斜角为120°，在y轴上的截距为2－ . 4．直线y＝ax＋(a≠0)的图形可能是(　　) 答案　B 分层练习-基础 解析　直线y＝ax＋(a≠0)的斜率是a，在y轴上的截距是.当a>0时，直线在y轴上的截距>0，斜率a>0，此时直线y＝ax＋ 经过第一、二、三象限；当a<0时，直线在y轴上的截距<0，斜率a<0，此时直线y＝ax＋ 经过第二、三、四象限，只有选项B符合． 分层练习-基础 5．已知直线y＝(3－2k)x－6不经过第一象限，则k的取值范围为(　　) A．[0，＋∞) B．R C. D. 答案　C 解析　直线y＝(3－2k)x－6不经过第一象限，则3－2k≤0，∴k≥ . 分层练习-基础 6．在y轴上的截距为－6，且与y轴相交成30°角的直线的斜截式方程是______________． 答案　y＝x－6或y＝－ x－6 解析　因为直线与y轴相交成30°角， 所以直线的倾斜角为60°或120°， 所以直线的斜率为或－ ， 又因为在y轴上的截距为－6， 所以直线的斜截式方程为 y＝ x－6或y＝－ x－6. 分层练习-基础 7．已知某直线过点(－10,10)，且它与x轴交点的横坐标是其在y轴上的截距的4倍，求该直线方程． 解　易知直线方程的斜率存在且不为0，设直线方程为y－10＝k(x＋10)， 令y＝0，则x＝－ －10，令x＝0，则y＝10k＋10， ∵直线与x轴交点的横坐标是其在y轴上的截距的4倍， ∴－ －10＝4(10k＋10)，解得k＝－或k＝－1， ∴直线方程为y＝－x或y＝－ x＋ . 分层练习-基础 8．已知△ABC的三个顶点都在第一象限内，A(1,1)，B(5,1)，∠A＝45°，∠B＝45°.求： (1)直线AB的方程； (2)直线AC和BC的方程． 分层练习-基础 解　(1)因为A(1,1)，B(5,1)，所以直线AB平行于x轴，所以直线AB的方程为y＝1. (2)由题意知，直线AC的倾斜角为∠A＝45°，所以kAC＝tan 45°＝1. 又直线AC过点A(1,1)，所以直线AC的方程为y－1＝1×(x－1)，即y＝x. 同理可知，直线BC的倾斜角为180°－∠B＝135°，所以kBC＝tan 135°＝－1. 又直线BC过点B(5,1)，所以直线BC的方程为y－1＝－1×(x－5)，即y＝－x＋6. 分层练习-基础 分层练习-巩固 9．已知直线l不经过第三象限，设它的斜率为k，在y轴上的截距为b(b≠0)，则(　　) A．kb<0 B．kb≤0 C．kb>0 D．kb≥0 答案　B 解析　当k≠0时，∵直线l不经过第三象限，∴k<0，b>0，∴kb<0. 当k＝0，b>0时，直线l也不过第三象限，∴kb≤0. 分层练习-巩固 10．(多选)下列结论正确的是(　　) A．方程k＝ 与方程y－2＝k(x＋1)可表示同一直线 B．直线l过点P(x1，y1)，倾斜角为90°，则其方程是x＝x1 C．直线l过点P(x1，y1)，斜率为0，则其方程是y＝y1 D．所有的直线都有点斜式和斜截式方程 答案　BC 分层练习-巩固 解析　对于A，方程k＝表示的直线不含点(－1,2)，所以A错误；B，C显然正确；对于D，当直线的倾斜角为90°时，直线的斜率不存在，此时它的方程不能用点斜式和斜截式表示，所以D错误． 分层练习-巩固 14．将直线y＝x＋－1绕其上面一点(1，)沿逆时针方向旋转15°，所得到的直线的点斜式方程是____________________. 答案　y－ ＝ (x－1) 解析　由y＝x＋ －1得直线的斜率为1，倾斜角为45°. ∵沿逆时针方向旋转15°后，倾斜角变为60°， ∴所求直线的斜率为. 又∵直线过点(1，)， ∴由直线的点斜式方程可得y－ ＝ (x－1)． 分层练习-拓展 11．已知直线l过点P(2,1)，且直线l的倾斜角为直线y＝x＋ 倾斜角的2倍，则直线l的点斜式方程为____________________． 答案　y－1＝ (x－2) 解析　由y＝ x＋ ，得斜率为， 设直线y＝ x＋ 的倾斜角为α，直线l的倾斜角为β，斜率为k， 则tan α＝ ，k＝tan β＝tan 2α＝＝ . 又直线l过点P(2,1)，所以直线l的点斜式方程为y－1＝ (x－2)． 分层练习-拓展 12．已知直线l：y＝kx＋2k＋1. (1)求证：直线l恒过一个定点； (2)当－3<x<3时，直线上的点都在x轴上方，求实数k的取值范围． (1)证明　由y＝kx＋2k＋1，得y－1＝k(x＋2)． 由直线方程的点斜式可知，直线恒过定点(－2,1)． (2)解　设函数f(x)＝kx＋2k＋1，显然其图象是一条直线(如图所示)， 若使当－3<x<3时，直线上的点都在x轴上方， 需满足 即 解得－. 所以实数k的取值范围是. 1、直线的点斜式方程 2、直线的斜截式方程 3、直线的点斜式方程和斜截式方程之间的关系 斜截式是点斜式的特殊情况，两者均不能表示斜率不存在即与x轴垂直的直线。 课堂小结 $$