专题3 一元二次方程的应用（专题检测）-2023-2024学年浙教版数学八年级下期末专题突破

专题03 一元二次方程的应用 专题测试 一、选择题 1．（2023秋•江津区期末）在“双减”政策的推动下，我区某中学学生每天书面作业时长明显减少，2022年下学期平均每天书面作业时长为90分钟，经过2023年上学期和2023年下学期两次调整后，2023年下学期平均每天书面作业时长为70分钟，设该校这两学期平均每天书面作业时长每学期的下降率为x，则可列方程为（　　） A．70（1+x2）＝90 B．70（1+x）2＝90 C．90（1﹣x2）＝70 D．90（1﹣x）2＝70 2．（2023秋•柳州期末）电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，某地第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达10亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（　　） A．3（1+x）＝10 B．3（1+x）2＝10 C．3+3（1+x）2＝10 D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝10 3．（2023秋•仁寿县期末）如图，Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝7，BC＝5，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q两点同时停止，则（　　）秒后，△PCQ的面积等于4． A．1 B．2 C．4 D．1或4 4．（2023秋•梁平区期末）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我区全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆400人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆1456人次，若进馆人次的月平均增长率为x，则可列方程为（　　） A．400（1+x）＝1456 B．400（1+x）+400（1+x）2＝1456 C．400（1+x）2＝1456 D．400+400（1+x）+400（1+x）2＝1456 5．（2023秋•文山州期末）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为23万元，4月份售价为18.63万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，则所列方程正确的是（　　） A．23（1﹣x）2＝18.63 B．18.63（1+x）2＝23 C．18.63（1﹣x）2＝23 D．23（1﹣2x）＝18.63 6．（2022秋•辉县市期末）如图，在长为30米，宽为18米的矩形地面上修筑等宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为480平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为（　　） A．30×18﹣30x﹣18x＝480 B．（30﹣x）（18﹣x）＝480 C．30x+18x＝480 D．（30﹣x）（18﹣x）+x2＝480 7．（2023秋•东西湖区期末）我国古代数学家研究过一元二次方程的正数解的几何解法．以方程x2+5x﹣14＝0，即x（x+5）＝14为例说明，《方图注》中记载的方法是：构造如图中大正方形的面积是（x+x+5）2同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×14+52，因此x＝2．小明用此方法解关于x的方程x2+mx﹣n＝0时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为14，小正方形的面积为4，则（　　） A．m＝2，n＝3 B．，n＝2 C．，n＝2 D．m＝2， 8．（2023秋•细河区期末）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这两位数小4，设个位数字为x，则方程为（　　） A．x2+（x﹣4）2＝10（x﹣4）+x﹣4 B．x2+（x+4）2＝10x+x﹣4﹣4 C．x2+（x+4）2＝10（x+4）+x﹣4 D．x2+（x+4）2＝10x+（x﹣4）﹣4 9．（2023秋•霸州市期末）某电商销售一款进价为80元/台的电吹风，若按每台120元出售，当月可销售50台，经调查发现这款电吹风的售价每下降3元，其销售数量增加10台．设售价为x元/台．若使该电商销售这款电吹风的利润为2500元，则可列方程为（　　） A．（x﹣80）（50+10x）＝2500 B．（x﹣120）（50+10x）＝2500 C． D． 10．（2023秋•福州期末）在第十九届亚运会中国国家象棋队选拔赛的第一阶段中，采用分组单循环（每两人之间都只进行一场比赛）制，每组x人．若每组共需进行15场比赛，则根据题意可列方程为（　　） A．x（x﹣1）＝15 B．x（x+1）＝15 C．x（x﹣1）＝15 D．x（x+1）＝15 二．填空题 11．（2023秋•江岸区期末）我校八年级组织班级篮球赛，赛制为单循环形式（即每两班之间都比赛一场），若共进行了45场比赛，则有 　 　个班级篮球队参加． 12．（2023秋•沙坪坝区期末）据统计，沙坪坝区磁器口2023年国庆接待游客约91万人次，2021年国庆接待游客约50万人次，若设2021年国庆至2023年国庆，磁器口接待游客的年平均增长率为x，根据题意，可列方程为 　 　． 13．（2023秋•新化县期末）《中秋帖》是晋朝书法家王献之的作品，如图，在一幅长为65cm，宽为30cm的《中秋帖》矩形书法作品的四周镶上相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，设金色纸边的宽为x cm，如果要使整个挂图的面积是2450cm2，那么x满足的方程是 　 　． 14．（2023秋•安州区期末）如图所示，某市世纪广场有一块长方形绿地长18m，宽15m，在绿地中开辟三条道路后，剩余绿地的面积为224m2，则图中x的值为 　 　． 15．（2023秋•宿城区期末）一个直角三角形的斜边长是2cm，两条直角边长的和是6cm，则这个直角三角形的面积为 　 　． 16．（2023秋•安乡县期末）随着人口负增长，新建住房数量增加，许多城市商品房的价格不断下降，某城市新建商品房价格连续两年降低了19%，则这两年平均降价率为 　 　． 17．（2024•桃江县一模）喷灌和滴灌是目前较常用的两种节水灌溉方式，去年，某专家小组用两块100亩的试验田分别采用喷灌和滴灌的方式，共用水5000吨，据测算，喷灌时每亩用水量是滴灌时每亩用水量的1.5倍．今年，专家小组计划将滴灌和喷灌试验田面积分别增加a%，同时，通过改进灌溉输水管道，使喷灌的每亩用水量减少了a%，滴灌的用水量不变，据测算，今年的灌溉用水量比去年的用水量增加了a%，则a＝　 　． 三．解答题 18．（2024春•大观区校级期中）某水果商店经销一种名为“阳光玫瑰”水果，现进行春日促销，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同． （1）求每次下降的百分率； （2）若每千克盈利10元，每天可售出250千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少10千克，现该商场要保证每天盈利3000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 19．（2024春•婺城区期中）致富新村要修建一个长方形的养猪场，猪场的一面靠墙（墙长25米），另外三边用长40米的木栏围成． （1）设AB长为x米，则BC的长为 　 　米； （2）AB长为多少时，养猪场的面积为150平方米？ （3）养猪场的面积能否为240平方米？若能，请求出AB的长度；若不能，请说明理由． 20．（2024春•江夏区月考）为实现“绿色江夏•和谐江夏”，江夏区政府准备开发城北一块长为32m，宽为21m的长方形空地． （1）方案一：如图1，将这块空地种上草坪，中间修一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移1m就是它的右边线．则这块草地的面积为 　 　m2； （2）方案二：如图2，将这块空地种上草坪，修纵横两条宽1m的小路，则这块草地的面积为 　 　m2； （3）方案三：修建一个长是宽的1.6倍，面积为432m2的篮球场，若比赛用的篮球场要求长在25m到30m之间，宽在13m到20m之间．这个篮球场能用做比赛吗？并说明理由． 21．（2023秋•榆阳区校级期末）芯片目前是全球紧缺资源，某市政府通过招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业，发展新兴产业，某芯片公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产200万个，第三季度生产288万个．试回答下列问题： （1）已知每季度生产量的平均增长率相等，求前三季度生产量的平均增长率； （2）经调查发现，1条生产线最大产能是600万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/季度，现该公司要保证每季度生产内存芯片2600万个，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？ 22．（2023秋•单县期末）为丰富学生的学习生活，某校九年级组织学生参加“人文之旅”泰山两日旅游行活动，所联系的旅行社收费标准如下： 活动结束后，该班共支付该旅行社活动费用3520元，请问该班共有多少人参加这次旅行活动？ 23．（2023秋•渝中区期末）如图是今年1月的月历表，用矩形方框按如图所示的方法任意圈出4个数，请解答下列问题： （1）若方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数； （2）方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124吗？若能，求最小数；若不能，请说明理由． 24．（2023秋•开州区期末）城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速G69银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长129.3公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元． （1）若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ （2）实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多（9m﹣2）万元，求m的值． 17 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 一元二次方程的应用 专题测试 一、选择题 1．（2023秋•江津区期末）在“双减”政策的推动下，我区某中学学生每天书面作业时长明显减少，2022年下学期平均每天书面作业时长为90分钟，经过2023年上学期和2023年下学期两次调整后，2023年下学期平均每天书面作业时长为70分钟，设该校这两学期平均每天书面作业时长每学期的下降率为x，则可列方程为（　　） A．70（1+x2）＝90 B．70（1+x）2＝90 C．90（1﹣x2）＝70 D．90（1﹣x）2＝70 【思路点拨】利用2023年下学期平均每天书面作业时长＝2022年下学期平均每天书面作业时长×（1﹣该校这两学期平均每天书面作业时长每学期的下降率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解析】解：根据题意得：90（1﹣x）2＝70． 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 2．（2023秋•柳州期末）电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，某地第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达10亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（　　） A．3（1+x）＝10 B．3（1+x）2＝10 C．3+3（1+x）2＝10 D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝10 【思路点拨】若把增长率记作x，则第二天票房约为3（1+x）亿元，第三天票房约为3（1+x）2亿元，根据三天后票房收入累计达10亿元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解析】解：若把增长率记作x，则第二天票房约为3（1+x）亿元，第三天票房约为3（1+x）2亿元， 依题意得：3+3（1+x）+3（1+x）2＝10． 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 3．（2023秋•仁寿县期末）如图，Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝7，BC＝5，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q两点同时停止，则（　　）秒后，△PCQ的面积等于4． A．1 B．2 C．4 D．1或4 【思路点拨】设t秒后，△PCQ的面积等于4，根据三角形面积公式列出一元二次方程，解方程即可． 【解析】解：设t秒后，△PCQ的面积等于4， 由题意得：BP＝t，CQ＝2t，则CP＝5﹣t， ∵S△PCQ＝CQ•CP， ∴4＝×2t×（5﹣t）， 整理得：t2﹣5t+4＝0， 解得：t1＝1，t2＝4（不合题意，舍去）， 即1秒后，△PCQ的面积等于4， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 4．（2023秋•梁平区期末）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我区全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆400人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆1456人次，若进馆人次的月平均增长率为x，则可列方程为（　　） A．400（1+x）＝1456 B．400（1+x）+400（1+x）2＝1456 C．400（1+x）2＝1456 D．400+400（1+x）+400（1+x）2＝1456 【思路点拨】先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第一个月的进馆人次加第二和第三个月的进馆人次等于1456，列方程即可． 【解析】解：设进馆人次的月平均增长率为x，则由题意得： 400+400（1+x）+400（1+x）2＝1456． 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确地理解题意列出方程是解题的关键． 5．（2023秋•文山州期末）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为23万元，4月份售价为18.63万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，则所列方程正确的是（　　） A．23（1﹣x）2＝18.63 B．18.63（1+x）2＝23 C．18.63（1﹣x）2＝23 D．23（1﹣2x）＝18.63 【思路点拨】利用该款燃油汽车今年4月份的售价＝该款燃油汽车今年2月份的售价×（1﹣该款汽车这两月售价的月平均降价率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解析】解：根据题意得：23（1﹣x）2＝18.63． 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 6．（2022秋•辉县市期末）如图，在长为30米，宽为18米的矩形地面上修筑等宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为480平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为（　　） A．30×18﹣30x﹣18x＝480 B．（30﹣x）（18﹣x）＝480 C．30x+18x＝480 D．（30﹣x）（18﹣x）+x2＝480 【思路点拨】先将图形利用平移进行转化，可得空白长方形的面积＝长×宽，列方程即可． 【解析】解：利用图形平移可将原图转化为下图，道路的宽为x米． 根据题意可得：（30﹣x）（18﹣x）＝480． 故选：B． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的实际运用，找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键． 7．（2023秋•东西湖区期末）我国古代数学家研究过一元二次方程的正数解的几何解法．以方程x2+5x﹣14＝0，即x（x+5）＝14为例说明，《方图注》中记载的方法是：构造如图中大正方形的面积是（x+x+5）2同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×14+52，因此x＝2．小明用此方法解关于x的方程x2+mx﹣n＝0时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为14，小正方形的面积为4，则（　　） A．m＝2，n＝3 B．，n＝2 C．，n＝2 D．m＝2， 【思路点拨】画出方程x2+mx﹣n＝0的拼图过程，由面积之间的关系得m2＝4，4n+4＝14，即可得出结论． 【解析】解：如图， 由题意得：m2＝4，4n+4＝14， ∴m＝＝2，n＝， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解一元二次方程的正数解的几何解法是解题的关键． 8．（2023秋•细河区期末）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这两位数小4，设个位数字为x，则方程为（　　） A．x2+（x﹣4）2＝10（x﹣4）+x﹣4 B．x2+（x+4）2＝10x+x﹣4﹣4 C．x2+（x+4）2＝10（x+4）+x﹣4 D．x2+（x+4）2＝10x+（x﹣4）﹣4 【思路点拨】根据个位数与十位数的关系，可知十位数为x+4，那么这两位数为：10（x+4）+x，这两个数的平方和为：x2+（x+4）2，再根据两数的值相差4即可得出答案． 【解析】解：依题意得：十位数字为：x+4，这个数为：x+10（x+4） 这两个数的平方和为：x2+（x+4）2， ∵两数相差4， ∴x2+（x+4）2＝x+10（x+4）﹣4． 故选：C． 【点睛】本题考查了数的表示方法，要会利用未知数表示两位数，然后根据题意列出对应的方程求解． 9．（2023秋•霸州市期末）某电商销售一款进价为80元/台的电吹风，若按每台120元出售，当月可销售50台，经调查发现这款电吹风的售价每下降3元，其销售数量增加10台．设售价为x元/台．若使该电商销售这款电吹风的利润为2500元，则可列方程为（　　） A．（x﹣80）（50+10x）＝2500 B．（x﹣120）（50+10x）＝2500 C． D． 【思路点拨】当售价为x元/台时，每台的销售利润为（x﹣80）元，月销售量为[50+]台，利用总利润＝每台的销售利润×月销售量，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解析】解：当售价为x元/台时，每台的销售利润为（x﹣80）元，月销售量为[50+]台， 根据题意得：（x﹣80）[50+]＝2500． 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 10．（2023秋•福州期末）在第十九届亚运会中国国家象棋队选拔赛的第一阶段中，采用分组单循环（每两人之间都只进行一场比赛）制，每组x人．若每组共需进行15场比赛，则根据题意可列方程为（　　） A．x（x﹣1）＝15 B．x（x+1）＝15 C．x（x﹣1）＝15 D．x（x+1）＝15 【思路点拨】设一共邀请了x支球队参加比赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间都进行一场比赛），则每个队参加（x﹣1）场比赛，则共有场比赛，可以列出一元二次方程． 【解析】解：由题意得，＝15． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据比赛场数与参赛队之间的关系为：比赛场数＝队数×（队数﹣1）÷2，进而得出方程是解题关键． 二．填空题 11．（2023秋•江岸区期末）我校八年级组织班级篮球赛，赛制为单循环形式（即每两班之间都比赛一场），若共进行了45场比赛，则有 　10　个班级篮球队参加． 【思路点拨】设共有x个班级球队参加比赛，根据共有45场比赛列出方程，求出方程的解即可得到结果． 【解析】解：设共有x个班级球队参加比赛， 根据题意得：＝45， 整理得：x2﹣x﹣90＝0， 即（x﹣10）（x+9）＝0， 解得：x＝10或x＝﹣9（舍去）， 则共有10个班级球队参加比赛， 故答案为：10． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找出等量关系“需安排45场比赛”． 12．（2023秋•沙坪坝区期末）据统计，沙坪坝区磁器口2023年国庆接待游客约91万人次，2021年国庆接待游客约50万人次，若设2021年国庆至2023年国庆，磁器口接待游客的年平均增长率为x，根据题意，可列方程为 　50（1+x）2＝90　． 【思路点拨】利用2023国庆待游客人次数＝2021年国庆接待游客人次数×（1+年均增长率x）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解析】解：根据题意得：50（1+x）2＝90． 故答案为：50（1+x）2＝90． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 13．（2023秋•新化县期末）《中秋帖》是晋朝书法家王献之的作品，如图，在一幅长为65cm，宽为30cm的《中秋帖》矩形书法作品的四周镶上相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，设金色纸边的宽为x cm，如果要使整个挂图的面积是2450cm2，那么x满足的方程是 　（65+2x）（30+2x）＝2450　． 【思路点拨】设金色纸边的宽度为x cm，则挂图的长为（65+2x）cm，宽就为（30+2x）cm，根据整个挂图的面积是2450cm2列出方程即可． 【解析】解：设金色纸边的宽为x cm，则挂图的长为（65+2x）cm，宽就为（30+2x）cm， 根据题意得：（65+2x）（30+2x）＝2450， 故答案为：（65+2x）（30+2x）＝2450． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，读懂题意，数形结合是正确列方程的关键． 14．（2023秋•安州区期末）如图所示，某市世纪广场有一块长方形绿地长18m，宽15m，在绿地中开辟三条道路后，剩余绿地的面积为224m2，则图中x的值为 　1m　． 【思路点拨】由题意：剩余绿地的面积为224m2，列出一元二次方程，解方程即可． 【解析】解：根据题意得：（18﹣2x）（15﹣x）＝224， 整理得：x2﹣24x+23＝0， 解得：x1＝1，x2＝23（不符合题意，舍去）， 即图中x的值为1m， 故答案为：1m． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用题，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 15．（2023秋•宿城区期末）一个直角三角形的斜边长是2cm，两条直角边长的和是6cm，则这个直角三角形的面积为 　4cm2　． 【思路点拨】设一条直角边长为x cm，则另一条直角边长为（6﹣x）cm，根据勾股定理列出一元二次方程，解方程，即可解决问题． 【解析】解：设一条直角边长为x cm，则另一条直角边长为（6﹣x）cm， 由勾股定理得：x2+（6﹣x）2＝（2）2， 整理得：x2﹣6x+8＝0， 解得：x1＝2，x2＝4， 当x＝2时，6﹣x＝4； 当x＝4时，6﹣x＝2； ∴这个直角三角形的两条直角边长为2cm、4cm， ∴这个直角三角形的面积为×2×4＝4（cm2）， 故答案为：4cm2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，根据勾股定理列出一元二次方程是解题的关键． 16．（2023秋•安乡县期末）随着人口负增长，新建住房数量增加，许多城市商品房的价格不断下降，某城市新建商品房价格连续两年降低了19%，则这两年平均降价率为 　10%　． 【思路点拨】设这两年平均降价率为x，该城市新建商品房原价为a元，根据该城市新建商品房价格连续两年降低了19%，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解析】解：设这两年平均降价率为x，该城市新建商品房原价为a元， 根据题意得：（1﹣x）2a＝（1﹣19%）a， 即（1﹣x）2＝81%， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣1.9（不符合题意，舍去）， ∴这两年平均降价率为10%． 故答案为：10%． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 17．（2024•桃江县一模）喷灌和滴灌是目前较常用的两种节水灌溉方式，去年，某专家小组用两块100亩的试验田分别采用喷灌和滴灌的方式，共用水5000吨，据测算，喷灌时每亩用水量是滴灌时每亩用水量的1.5倍．今年，专家小组计划将滴灌和喷灌试验田面积分别增加a%，同时，通过改进灌溉输水管道，使喷灌的每亩用水量减少了a%，滴灌的用水量不变，据测算，今年的灌溉用水量比去年的用水量增加了a%，则a＝　25　． 【思路点拨】设去年滴灌方式每亩用水量为x吨，则喷灌方式每亩用水量为1.5x吨，根据用两块100亩的试验田分别采用喷灌和滴灌的方式，共用水5000吨，可列出方程求出x，再由“今年的灌溉用水量比去年的用水量增加了a%”可列出方程，即可求出a的值． 【解析】解：设去年滴灌方式每亩用水量为x吨，则喷灌方式每亩用水量为1.5x吨，根据题意得： 100x+100×1.5x＝5000， 解得x＝20， 1.5x＝1.5×20＝30， 今年试验田的面积均为100×（1+a%）＝（100+a）亩， 今年喷灌方式每亩用水量为30（1﹣a%）＝（30﹣0.2a）吨， 根据题意列方程得：20（100+a）+（100+a）（30﹣0.2a）＝5000×（1+a%）， 解得：a＝0（舍）或a＝25． 故答案为：25． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系列出方程． 三．解答题 18．（2024春•大观区校级期中）某水果商店经销一种名为“阳光玫瑰”水果，现进行春日促销，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同． （1）求每次下降的百分率； （2）若每千克盈利10元，每天可售出250千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少10千克，现该商场要保证每天盈利3000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 【思路点拨】（1）设每次降价的百分率为a，则两次降价的百分率为（1﹣a）2，再列出方程即可， （2）根据总盈利＝每千克盈利×数量，列出方程即可解答； 【解析】解：（1）解：设每次降价的百分率为a，则两次降价后的百分率为（1﹣a）2， ∴50（1﹣a）2＝32， a＝0.2或a＝1.8（舍去）， 答：每次下降的百分率为20%； （2）解：设每千克涨价x元， 依题意得：（10+x）（250﹣10x）＝3000， x2﹣15 x+50＝0， 解得：x1＝5，x2＝10， ∵要尽快减少库存， 则x＝5， 答：每千克应涨价5元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系正确列出方程． 19．（2024春•婺城区期中）致富新村要修建一个长方形的养猪场，猪场的一面靠墙（墙长25米），另外三边用长40米的木栏围成． （1）设AB长为x米，则BC的长为 　（40﹣2x）　米； （2）AB长为多少时，养猪场的面积为150平方米？ （3）养猪场的面积能否为240平方米？若能，请求出AB的长度；若不能，请说明理由． 【思路点拨】（1）根据BC＝木栏长﹣（AB+CD）求解即可； （2）结合（1）可求出养猪场的面积为x（40﹣2x），从而得出方程x（40﹣2x）＝150，解之，再求出x的取值范围，即可得出答案． （3）按照（2）的方法列出方程，求出一元二次方程根的判别式，即可作出判断． 【解析】解：（1）设AB长为x米，即AB＝CD＝x米， ∴平行于墙的边BC长为（40﹣2x）米． 故答案为：（40﹣2x）； （2）由（1）可得养猪场的面积为x（40﹣2x）， 又∵养猪场的面积为150平方米， ∴x（40﹣2x）＝150， 解得：x1＝15，x2＝5． ∵0＜BC＝40﹣2x≤25， ∴， ∴x＝15． ∴垂直于墙的边长为15米，平行于墙的边长为10米． 即AB长为15米时，养猪场的面积为150平方米； （3）养猪场的面积不能为240平方米．理由如下： 由（1）可得养猪场的面积为x（40﹣2x）， 又∵养猪场的面积为240平方米， ∴x（40﹣2x）＝240， ∴x2﹣20x+120＝0， ∵Δ＝（﹣20）2﹣4×1×120＝﹣80＜0， ∴原方程没有实数根， 即养猪场的面积不能为240平方米． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用和一元二次方程根据的判别式，理解题意，正确列出方程是解题的关键． 20．（2024春•江夏区月考）为实现“绿色江夏•和谐江夏”，江夏区政府准备开发城北一块长为32m，宽为21m的长方形空地． （1）方案一：如图1，将这块空地种上草坪，中间修一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移1m就是它的右边线．则这块草地的面积为 　651　m2； （2）方案二：如图2，将这块空地种上草坪，修纵横两条宽1m的小路，则这块草地的面积为 　620　m2； （3）方案三：修建一个长是宽的1.6倍，面积为432m2的篮球场，若比赛用的篮球场要求长在25m到30m之间，宽在13m到20m之间．这个篮球场能用做比赛吗？并说明理由． 【思路点拨】（1）由平移可知，小路的面积为1×21＝21m2，根据草地的面积为32×21﹣21，计算求解即可； （2）由题意知，草地的面积为32×21﹣1×21﹣1×32+12，计算求解即可； （3）设宽为x m，则长为1.6x m，依题意得，1.6x2＝432，可求x2＝270，根据132＝169＜270＜400＝202，可知宽满足要求；由（1.6x）2＝691.2，252＝625＜691.2＜900＝302，可知长满足要求；然后作答即可． 【解析】解：（1）由平移可知，小路的面积为1×21＝21（m2）， ∴草地的面积为32×21﹣21＝651（m2）， 故答案为：651； （2）由题意知，草地的面积为32×21﹣1×21﹣1×32+12＝620（m2）， 故答案为：620； （3）这个篮球场能用做比赛，理由如下； 设宽为x m，则长为1.6x m， 依题意得，1.6x2＝432， 解得，x2＝270， ∵132＝169＜270＜400＝202， ∴宽满足要求； ∵（1.6x）2＝691.2，252＝625＜691.2＜900＝302， ∴长满足要求； ∴这个篮球场能用做比赛． 【点睛】本题考查了平移的性质，有理数的混合运算的应用，利用平方根解方程等知识．熟练掌握平移的性质，有理数的混合运算的应用，利用平方根解方程是解题的关键． 21．（2023秋•榆阳区校级期末）芯片目前是全球紧缺资源，某市政府通过招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业，发展新兴产业，某芯片公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产200万个，第三季度生产288万个．试回答下列问题： （1）已知每季度生产量的平均增长率相等，求前三季度生产量的平均增长率； （2）经调查发现，1条生产线最大产能是600万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/季度，现该公司要保证每季度生产内存芯片2600万个，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？ 【思路点拨】（1）设前三季度生产量的平均增长率为x，利用第三季度的生产量＝第一季度的生产量×（1+前三季度生产量的平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设应该再增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为（600﹣20m）万个/季度，根据该公司要保证每季度生产内存芯片2600万个，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再结合在增加产能同时又要节省投入成本，即可得出应该再增加4条生产线． 【解析】解：（1）设前三季度生产量的平均增长率为x， 依题意得：200（1+x）2＝288， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）． 答：前三季度生产量的平均增长率为20%． （2）设应该再增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为（600﹣20m）万个/季度， 依题意得：（m+1）（600﹣20m）＝2600， 整理得：m2﹣29m+100＝0， 解得：m1＝4，m2＝25， 又∵在增加产能同时又要节省投入成本， ∴m＝4． 答：应该再增加4条生产线． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 22．（2023秋•单县期末）为丰富学生的学习生活，某校九年级组织学生参加“人文之旅”泰山两日旅游行活动，所联系的旅行社收费标准如下： 活动结束后，该班共支付该旅行社活动费用3520元，请问该班共有多少人参加这次旅行活动？ 【思路点拨】判断得到这次春游活动的人数超过24人，设人数为x名，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果． 【解析】解：∵24人的费用为2880元＜3520元， ∴参加这次春游活动的人数超过24人， 设该班参加这次春游活动的人数为x名． 根据题意，得[120﹣2（x﹣24）]x＝3520， 整理，得x2﹣84x+1760＝0， 解得：x1＝44，x2＝40， x1＝44时，120﹣2（x﹣24）＝80＜85，不合题意，舍去； x2＝40时，120﹣2（x﹣24）＝88＞85． 答：该班共有40人参加这次春游活动． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键，解题时候一定注意首先判断人数是否超过24人，难度不大． 23．（2023秋•渝中区期末）如图是今年1月的月历表，用矩形方框按如图所示的方法任意圈出4个数，请解答下列问题： （1）若方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数； （2）方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124吗？若能，求最小数；若不能，请说明理由． 【思路点拨】（1）设最小数是x，则最大数是x+8，根据方框中最大数与最小数的乘积为180，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）假设方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124，设最小数是y，则另外三个数分别是y+1，y+7，y+8，根据方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和为124，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，由y＝6在最后一列，可得出假设不成立，即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124． 【解析】解：（1）设最小数是x，则最大数是x+8， 根据题意得：x（x+8）＝180， 整理得：x2+8x﹣180＝0， 解得：x1＝10，x2＝﹣18（不符合题意，舍去）． 答：最小数是10； （2）方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124，理由如下： 假设方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124，设最小数是y，则另外三个数分别是y+1，y+7，y+8， 根据题意得：y（y+8）+y+y+1+y+7+y+8＝124， 整理得：y2+12y﹣108＝0， 解得：y1＝6，y2＝﹣18（不符合题意，舍去）， ∵y＝6在最后一列， ∴假设不成立， 即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 24．（2023秋•开州区期末）城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速G69银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长129.3公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元． （1）若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ （2）实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多（9m﹣2）万元，求m的值． 【思路点拨】（1）设甲施工x米，则乙施工（2100﹣x）米，根据工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，列出一元一次不等式，解不等式即可； （2）根据工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，列出一元二次方程，解方程即可． 【解析】解：（1）设甲施工x米，则乙施工（2100﹣x）米， 由题意得：， 解得：x≤900， 答：甲最多施工900米； （2）由题意得：（8+m）（6+）+9（6﹣）＝6×（8+9）+9m﹣2， 整理得：m2﹣4m+4＝0， 解得：m1＝m2＝2， 答：m的值为2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找出数量关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 17 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$