专题03 三角形- 【暑假自学课】2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（北师大版）

专题03 三角形 目录 【考点1 判断三边是否构成三角形】 3 【考点2 三角形的稳定性及应用】 4 【考点3 三角形中中线、高线、角平分线求解】 6 【考点4 添加条件使三角形全等】 9 【考点5 三角形全等的判定和性质综合问题】 11 【考点6 几何动点中求使三角形全等的条件】 15 【过关检测】 20 1.三角形的概念： (1)三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次联结所组成的图形. (3)三角形的高：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段； 三角形的中线：联结三角形一个顶点与对边中点的线段； 三角形的重心：三角形有三条中线，它们交于三角形内一点．这点称为三角形重心。 三角形的角平分线：三角形的一个内角的角平分线与对边相交于一点顶点与交点之间的线段； 2.三角形基本元素角与边的有关定理 (1)三角形的内角和等于. (2)直接三角形两个锐角互余. (3)三角形的任意两边之和大于第三边, 任意两边之差小于第三边. 3.三角形的分类 (1)按边分类可以分为；　(2)按角分类可以分为 4.全等三角形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形；两个三角形是全等形,它们就是全等三角形；相互重合的顶点叫做对应顶点；相互重合的边叫做对应边；相互重合的角是对应角； 5. 全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等. 6.画三角形 （1）两角及其夹边；（2）两边及夹角；（3）三边；（4）两角及一角对边. 7.全等三角形的判定 三角形全等判定方法1： 文字：在两个三角形中，如果有两条边及它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等； 图形： 符号：在与中， 三角形全等判定方法2： 文字：在两个三角形中，如果有两个角及它们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等； 图形： 符号：在与中， 三角形全等判定方法3： 文字：在两个三角形中，如果有两个角及其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等； 图形： 符号：在与中， 三角形全等判定方法4： 文字：在两个三角形中，如果有三条边对应相等，那么这两个三角形全等. 图形： 符号：在与中， 考点剖析 【考点1 判断三边是否构成三角形】 1 例题：（23-24七年级下·江苏无锡·期中）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（  ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·陕西·期中）下列长度的三条线段能组成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（23-24七年级下·江苏泰州·期中）四根小木棒的长度分别为、、和，用其中三根搭三角形，下列四个数中不是所搭成的三角形的周长是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·河北邯郸·二模）将一根吸管按如图所示的位置摆放在单位长度为1的数轴（不完整）上，吸管左端对应数轴上的“”处，右端对应数轴上的“5”处．若将该吸管剪成三段围成三角形，第一刀剪在数轴上的“”处，则第二刀可以剪在（    ） A．“”处 B．“”处 C．“”处 D．“2”处 【考点2 三角形的稳定性及应用】 例题：（23-24八年级上·山东日照·期末）如图，墙上置物架的底侧一般会各设计一根斜杆，与水平和竖直方向的支架构成三角形，这是利用三角形的（    ） A．全等性 B．对称性 C．稳定性 D．美观性 【变式训练】 1．（23-24八年级上·浙江舟山·期末）日常生活中三角形有着广泛的应用，例如右图的起重机的支架采用了三角形结构，在这个应用中蕴含的数学知识是（    ） A．三角形三个内角的和等于180度 B．三角形任何两边的和大于第三边 C．三角形具有稳定性 D．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 2．（23-24八年级上·四川南充·期末）我国建造的港珠澳大桥是世界最长的跨海大桥．如图是港珠澳大桥中的斜拉索桥，索塔、斜拉索、桥面构成了三角形，使其更稳固，其中运用的数学原理是 ． 3．（23-24八年级上·河南驻马店·期末）如图，五根木条钉成一个五边形框架，要使框架稳固且不活动，至少还需要添 根木条． 【考点3 三角形中中线、高线、角平分线求解】 例题：（22-23八年级上·贵州黔西·期末）如图，是一张纸片，是边上的高线，把沿着折叠，点落在边上的处． (1)如果，，求的度数； (2)如果，，，求的面积． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，是的高线，是的角平分线．    (1)若，求的度数． (2)若，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． 2．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）中，，平分交于点E．    (1)，，求的大小． (2)若，则与是否相等？若相等，请说明理由． 【考点4 添加条件使三角形全等】 例题：（23-24八年级上·安徽淮南·期末）如图，相交于点O，，要证明，还需添加的一个条件是 ．    【变式训练】 1．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知点在上，，，添加一个条件，使．你所添加的条件是 ．（只需写一个即可） 2．（23-24八年级上·重庆城口·期末）如图，已知，利用“”加上条件 ，可以证明．    3．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图所示，已知，，要使，只需增加一个条件是 ． 【考点5 三角形全等的判定和性质综合问题】 例题：（22-23七年级下·全国·期末）如图，在中，是延长线上一点，满足，过点作，且，连接并延长，分别交，于点，． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）如图，已知点，，、在同一条直线上，，，． (1)求证：≌； (2)若，求的度数． 2．（23-24八年级上·山东日照·期末）如图，交于一点，，点C在线段上，且，，连接． (1)求证：； (2)若，则的度数？ 3．（23-24七年级上·山东烟台·期末）如图，D是的边AB上一点，，交于点E，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【考点6 几何动点中求使三角形全等的条件】 例题：（23-24八年级上·河南驻马店·期末）如图，在长方形中，，，延长到点，使，连接，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点运动．设点运动的时间为，则当和全等时，的值为 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·四川德阳·期末）如图，中，，，，点以每秒1个单位的速度按的路径运动，点以每秒2个单位的速度按的路径运动，在运动过程中过点作于点，点作于点，两点同时出发，只要一个点到达终点两点即同时停止运动．设运动秒时，则的值是 ． 2．（23-24八年级上·云南昆明·期末）如图，，如果点在线段上以秒的速度由点向点运动，同时，点从点出发沿射线运动．若经过秒后，与全等，则的值是 ． 3．（23-24八年级上·山东潍坊·期末）如图，在中，，，，为边上的高，直线上一点满足，点从点出发在直线上以的速度移动，设运动时间为秒，当 秒时，能使． 【过关检测】 过关检测 一、单选题 1．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）已知一个三角形的两边长分别为和，则该三角形的第三边的长可能是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·浙江·三模）在中，，，所对的边分别记为a，b，c，则符合下列条件的三角形不能唯一确定的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）数学活动课上，小组探究学习的任务是测量如图所示的学校后花园里水池的宽度，即，两点之间的距离．小组交流后，制定了设计方案：①先在地上取一个可以直接到达点，的点；②连接并延长到点，使；③连接，并延长到点，使；④连接，并测量出它的长度，则的长度就是，两点之间的距离．数学原理是和全等．请思考：所用的判定定理是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·山西太原·阶段练习）如图1，两个大小不同的三角板叠放在一起，图2是由它得到的抽象几何图形，已知，，，且点，，在同一条直线上，，，连接．现有一只壁虎以的速度沿的路线爬行，则壁虎爬到点所用的时间为（    ） A． B． C． D． 5．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，，．，点 P 在线段 上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在射线上由点B向点D方向运动．它们运动的时间为，则点Q的运动速度为 时，在某一时刻，A、C、P三点构成的三角形与B、P、Q三点构成的三角形全等． A．1或 B．1或 C．2或 D．1 二、填空题 6．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，自行车车架中部做成三角形形状，运用的几何原理是 ．    7．（2024·陕西渭南·二模）如图，在和中，点D在上，，，请你再添加一个条件：______，使得，并说明理由． 8．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在的上方有一点，连接，，，，，则的度数为 ． 9．（23-24七年级下·吉林长春·期中）如图，在中，，，点D在边上，且，点E、F在线段上．，的面积为18，则与的面积之和 ． 10．（23-24七年级下·辽宁辽阳·期中）如图，在长方形中，，，点P以的速度由点B向点C运动，同时点Q以的速度由点C向点D运动，若和全等，则a的值为 ． 三、解答题 11．（23-24七年级下·四川成都·期中）如图，点、在上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 12．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，点在边上，点在边上，连接、，若，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 13．（2024·江苏无锡·二模）如图，中，点是的中点，过点作，连接并延长交于点，连接、． (1)求证：； (2)若，，求的长． 14．（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）如图，中，，D是延长线上一点，点E是的平分线上一点，过点E作于F，于G． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 15．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）已知等腰三角形，，为射线上一动点，连接，以为边在直线的右侧作等腰三角形，，，连接． (1)如图1，当点在边上时，请探究，，之间的数量关系． (2)如图2，当点在的延长线上时，（1）中，，之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请你写出新的结论，并说明理由． 16．（23-24七年级下·山西太原·阶段练习）综合与探究 【操作探索】 在生活中，我们常用实物体验图形变换的过程．小颖同学利用一块风筝纸片完成了如下的操作： 如图1，已知四边形，，． （1）操作一：沿所在的直线对折，如图1．你认为左右两侧对折后能完全重合吗？并说明理由； （2）操作二：对折后，将风筝纸片剪成两个三角形（和），摆成如图2所示的图形，与相交于点，与相交于点．试说明． 【应用拓展】 （3）如图3，在中，，，点在边上，，点，在线段上，，，若的面积为24，求与的面积之和．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 三角形 目录 【考点1 判断三边是否构成三角形】 3 【考点2 三角形的稳定性及应用】 4 【考点3 三角形中中线、高线、角平分线求解】 6 【考点4 添加条件使三角形全等】 9 【考点5 三角形全等的判定和性质综合问题】 11 【考点6 几何动点中求使三角形全等的条件】 15 【过关检测】 20 1.三角形的概念： (1)三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次联结所组成的图形. (3)三角形的高：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段； 三角形的中线：联结三角形一个顶点与对边中点的线段； 三角形的重心：三角形有三条中线，它们交于三角形内一点．这点称为三角形重心。 三角形的角平分线：三角形的一个内角的角平分线与对边相交于一点顶点与交点之间的线段； 2.三角形基本元素角与边的有关定理 (1)三角形的内角和等于. (2)直接三角形两个锐角互余. (3)三角形的任意两边之和大于第三边, 任意两边之差小于第三边. 3.三角形的分类 (1)按边分类可以分为；　(2)按角分类可以分为 4.全等三角形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形；两个三角形是全等形,它们就是全等三角形；相互重合的顶点叫做对应顶点；相互重合的边叫做对应边；相互重合的角是对应角； 5. 全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等. 6.画三角形 （1）两角及其夹边；（2）两边及夹角；（3）三边；（4）两角及一角对边. 7.全等三角形的判定 三角形全等判定方法1： 文字：在两个三角形中，如果有两条边及它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等； 图形： 符号：在与中， 三角形全等判定方法2： 文字：在两个三角形中，如果有两个角及它们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等； 图形： 符号：在与中， 三角形全等判定方法3： 文字：在两个三角形中，如果有两个角及其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等； 图形： 符号：在与中， 三角形全等判定方法4： 文字：在两个三角形中，如果有三条边对应相等，那么这两个三角形全等. 图形： 符号：在与中， 考点剖析 【考点1 判断三边是否构成三角形】 1 例题：（23-24七年级下·江苏无锡·期中）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断． 【详解】解：A、，长度是的线段不能组成三角形，故A不符合题意； B、，长度是的线段能组成三角形，故B符合题意； C、，长度是的线段不能组成三角形，故C不符合题意； D、，长度是的线段不能组成三角形，故D不符合题意． 故选：B． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·陕西·期中）下列长度的三条线段能组成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】此题考查了三角形的三边关系．根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析． 【详解】解：A、，不能组成三角形； B、，不能组成三角形； C、，不能组成三角形； D、，能够组成三角形． 故选：D． 2．（23-24七年级下·江苏泰州·期中）四根小木棒的长度分别为、、和，用其中三根搭三角形，下列四个数中不是所搭成的三角形的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 根据“在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”组合三角形，从而可以找到正确的选项． 【详解】解：从四根细木棒中随机抽出三根木棒，所有结果为①、、；②、、；③、、；④、、， ；；；； 故①③④可以围成三角形，周长分别为，，， ②不能围成三角形，周长不能为． 故选：B． 3．（2024·河北邯郸·二模）将一根吸管按如图所示的位置摆放在单位长度为1的数轴（不完整）上，吸管左端对应数轴上的“”处，右端对应数轴上的“5”处．若将该吸管剪成三段围成三角形，第一刀剪在数轴上的“”处，则第二刀可以剪在（    ） A．“”处 B．“”处 C．“”处 D．“2”处 【答案】C 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，有理数与数轴，分别求出第二刀位置在四个选项中的位置时三段的长，再根据三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边进行求解即可． 【详解】解：A、第二刀剪在“”处时，则剪成的三段的长分别为， ∵， ∴此时不能构成三角形，不符合题意； B、第二刀剪在“”处时，则剪成的三段的长分别为， ∵， ∴此时不能构成三角形，不符合题意； C、第二刀剪在“”处时，则剪成的三段的长分别为， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意； D、第二刀剪在“2”处时，则剪成的三段的长分别为， ∵， ∴此时不能构成三角形，不符合题意； 故选：C． 【考点2 三角形的稳定性及应用】 例题：（23-24八年级上·山东日照·期末）如图，墙上置物架的底侧一般会各设计一根斜杆，与水平和竖直方向的支架构成三角形，这是利用三角形的（    ） A．全等性 B．对称性 C．稳定性 D．美观性 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形具有稳定性，根据三角形具有稳定性，即可进行解答． 【详解】解：墙上置物架的底侧一般会各设计一根斜杆，与水平和竖直方向的支架构成三角形，这是利用三角形的稳定性， 故选；C． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·浙江舟山·期末）日常生活中三角形有着广泛的应用，例如右图的起重机的支架采用了三角形结构，在这个应用中蕴含的数学知识是（    ） A．三角形三个内角的和等于180度 B．三角形任何两边的和大于第三边 C．三角形具有稳定性 D．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的稳定性及应用，根据三角形具有稳定性求解即可． 【详解】解：起重机的支架采用三角形结构是利用了三角形具有稳定性这一数学知识． 故选：C． 2．（23-24八年级上·四川南充·期末）我国建造的港珠澳大桥是世界最长的跨海大桥．如图是港珠澳大桥中的斜拉索桥，索塔、斜拉索、桥面构成了三角形，使其更稳固，其中运用的数学原理是 ． 【答案】三角形具有稳定性 【分析】本题考查的是三角形的性质，熟记三角形具有稳定性是解题的关键． 根据三角形具有稳定性解答即可． 【详解】解：运用的数学原理是三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 3．（23-24八年级上·河南驻马店·期末）如图，五根木条钉成一个五边形框架，要使框架稳固且不活动，至少还需要添 根木条． 【答案】2 【分析】本题考查了三角形的稳定性的应用．根据三角形的稳定性，只要使六边形框架变成三角形的组合体即可． 【详解】解：从图中可以看出，要使框架稳固且不活动，至少还需要添2根木条． 故答案为：2． 【考点3 三角形中中线、高线、角平分线求解】 例题：（22-23八年级上·贵州黔西·期末）如图，是一张纸片，是边上的高线，把沿着折叠，点落在边上的处． (1)如果，，求的度数； (2)如果，，，求的面积． 【答案】(1)； (2)15 【分析】本题考查了翻折变换折叠问题，三角形的面积，三角形外角的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 根据折叠的性质和三角形外角的性质即可得到结论； 根据折叠的性质和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解：∵把沿着折叠， ， ，， ； （2）∵把沿着折叠，点落在边上的处， ， ， ， ，， 的面积． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，是的高线，是的角平分线．    (1)若，求的度数． (2)若，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理、三角形的角平分线定义、三角形的高等知识点，结合图形分析清楚各角之间的关系是解答的关键． （1）由高线可得，再由三角形的内角和可求得，利用角平分线的定义可求得，从而可求的度数； （2）参照（1）的解答过程求解即可． 【详解】（1）解：∵是的高线， ∴， ∵， ∴，， ∵是的角平分线， ∴， ∴． （2）解：∵是的高线， ∴， ∵， ∴，， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 2．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）中，，平分交于点E．    (1)，，求的大小． (2)若，则与是否相等？若相等，请说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角的平分线的性质、直角三角形的性质， （1）由三角形内角和定理可求得的度数，在中，可求得的度数，是角平分线，有，故； （2）由（1）知，用和表示出，即可知与的关系． 【详解】（1）解：（1）， 是角平分线， 是高， ； （2）由（1）知，① 把代入①， 整理得， ． 【考点4 添加条件使三角形全等】 例题：（23-24八年级上·安徽淮南·期末）如图，相交于点O，，要证明，还需添加的一个条件是 ．    【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定方法，添加结合根据即可证明． 【详解】∵ 添加结合根据即可证明， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知点在上，，，添加一个条件，使．你所添加的条件是 ．（只需写一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查全等三角形的判定．根据得，由，得，因此，只要再添加一组对应角相等即可． 【详解】解： 即 因此，只要再添加一组对应角相等即即可， 证明如下： 在和中 （ASA）． 故答案为：． 2．（23-24八年级上·重庆城口·期末）如图，已知，利用“”加上条件 ，可以证明．    【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．利用的判定方法求解． 【详解】 解：∵， ∴当添加时，． 故答案为：． 3．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图所示，已知，，要使，只需增加一个条件是 ． 【答案】或或（答案不唯一） 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，可以添加，再根据，，证明即可．解题的关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 【详解】解：添加条件：， 在和中， ， ∴； 添加， ∴，即， 在，中， ， ∴； 添加， 在中， ， ∴； 故答案为：或或（答案不唯一）． 【考点5 三角形全等的判定和性质综合问题】 例题：（22-23七年级下·全国·期末）如图，在中，是延长线上一点，满足，过点作，且，连接并延长，分别交，于点，． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是掌握全等三角形的判定和性质． （1）根据证明与全等即可； （2）根据全等三角形的性质解答即可． 【详解】（1）证明：， ， 在与中， ， ； （2）解：， ∴, ， ∴，则， ∵， ． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）如图，已知点，，、在同一条直线上，，，． (1)求证：≌； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（）由，两边加上，得到，利用即可得证； （）根据全等三角形的性质和三角形外角的性质解答即可； 此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴． 2．（23-24八年级上·山东日照·期末）如图，交于一点，，点C在线段上，且，，连接． (1)求证：； (2)若，则的度数？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质． （1）根据，得到，由“”可证，可得； （2）由全等三角形的性质可得，，由三角形外角的性质可求解． 【详解】（1）证明：∵， ， 在和中， ， ， ； （2）解：， ，， ． 3．（23-24七年级上·山东烟台·期末）如图，D是的边AB上一点，，交于点E，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明过程见详解； (2)3 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的性质，得到是解题的关键． （1）证明，即可得出结论； （2）由全等三角形的性质得，即可得出答案． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ； （2）解：由（1）可知，， ， ， 即的长为3． 【考点6 几何动点中求使三角形全等的条件】 例题：（23-24八年级上·河南驻马店·期末）如图，在长方形中，，，延长到点，使，连接，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点运动．设点运动的时间为，则当和全等时，的值为 ． 【答案】或6 【分析】本题考查了全等三角形的性质及运用．是两条直角边长分别为3和1的直角三角形，当和全等，观察图形可知，运动在和上时，会出现全等．算出运动的路程，除以它的速度即可得到相应的时间． 【详解】解：①点在上． 如图：． ． 的速度为每秒2个单位长度， 点运动的时间． ②点在线段上． 如图：和都是直角三角形的斜边，长度都超过5，，中三边长分别为3，5，大于5的边长，所以和不会全等． ③点在线段上． 如图：． ． 运动路程为：， 点运动的时间． 综上，的值为或6． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·四川德阳·期末）如图，中，，，，点以每秒1个单位的速度按的路径运动，点以每秒2个单位的速度按的路径运动，在运动过程中过点作于点，点作于点，两点同时出发，只要一个点到达终点两点即同时停止运动．设运动秒时，则的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、垂线的定义、一元一次方程的应用，分类讨论：①当点P在上，点Q在上，②当点P在上，点Q在上，③点P与Q重合在上，根据题意结合全等三角形的性质得出，再分别用t表示出和的长，列出等式，解出即可，熟练掌握全等三角形的判定与性质，并利用分类讨论的思想是解决问题的关键． 【详解】（1）当P点在上，点Q在上，如图1， 则，， ，， ∵， ∴    ， 即， 解得：， 即P点运动6秒； （2）当点P在上，点Q在上，如图2，    则，， ∵， ∴， 即， 解得， 此时不符合题意； （3）点P与Q重合在上，如图3，    则，， ∴， 即， 解得：， ∴综上可知：或， 故答案为：或． 2．（23-24八年级上·云南昆明·期末）如图，，如果点在线段上以秒的速度由点向点运动，同时，点从点出发沿射线运动．若经过秒后，与全等，则的值是 ． 【答案】1或 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，利用全等三角形对应边相等，列出方程是解题的关键．利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当和②当时，设运动时间为秒，点的运动速度为秒，利用全等三角形对应边相等，列出方程即可求解． 【详解】解：设．两点的运动时间为秒，点的运动速度为秒， 则，，． ， ①当时， ，． ， ； ②当时， ，， ， ． 综上，当的值是1或时，能够使与全等． 故答案为：1或． 3．（23-24八年级上·山东潍坊·期末）如图，在中，，，，为边上的高，直线上一点满足，点从点出发在直线上以的速度移动，设运动时间为秒，当 秒时，能使． 【答案】或 【详解】解：，， ， ， ， ， 当在上方时， ，， 当时，． ， ； 当在下方时， ，， 当时，， ， ， 当或时，能使． 故答案为：或． 【过关检测】 过关检测 一、单选题 1．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）已知一个三角形的两边长分别为和，则该三角形的第三边的长可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来求出，再结合选项的值，来进行作答即可． 【详解】解：设第三边的长为， ∵一个三角形的两边长分别为和， ∴， 即， 观察A、B、C、D四个选项，只有C选项的在范围内， 故选：C． 2．（2024·浙江·三模）在中，，，所对的边分别记为a，b，c，则符合下列条件的三角形不能唯一确定的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题考查了利用全等三角形的判定作图，对于没有不属于全等三角形的判定情况，要根据实际情况作图，是本题解答的关键．根据全等三角形的判定，可判断B选项和C选项不符合题意，对于选项A和选项D，则作以点C为圆心，长为半径作弧，查看该弧与直线的交点情况，即可判断答案． 【详解】A、如图1，在中， ，，，以点C为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点，连结，则在中， ，，，同样满足题意，所以此三角形不唯一，符合题意； B、， a，b，c三线段能作组成三角形， 根据两个三角形“边边边”全等的判定，可知此三角形唯一确定，不符合题意； C、根据两个三角形“角角边”全等的判定，可知此三角形唯一确定，不符合题意； D、如图2，在中， ，，，以点C为圆心，长为半径作弧，与直线没有交点，可知此三角形唯一确定，不符合题意． 故选A． 3．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）数学活动课上，小组探究学习的任务是测量如图所示的学校后花园里水池的宽度，即，两点之间的距离．小组交流后，制定了设计方案：①先在地上取一个可以直接到达点，的点；②连接并延长到点，使；③连接，并延长到点，使；④连接，并测量出它的长度，则的长度就是，两点之间的距离．数学原理是和全等．请思考：所用的判定定理是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据题意知，，，可用证明两三角形全等． 【详解】解：由题意知，， 在和中， ， ． 故选：C 4．（23-24七年级下·山西太原·阶段练习）如图1，两个大小不同的三角板叠放在一起，图2是由它得到的抽象几何图形，已知，，，且点，，在同一条直线上，，，连接．现有一只壁虎以的速度沿的路线爬行，则壁虎爬到点所用的时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据等腰直角三角形的性质可以得出，属于手拉手型全等，所以，最后根据时间路程速度即可解答．本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 【详解】解：， ， ， 在与中， ， ， ， 则 壁虎以的速度B处往处爬， ． 故选：C． 5．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，，．，点 P 在线段 上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在射线上由点B向点D方向运动．它们运动的时间为，则点Q的运动速度为 时，在某一时刻，A、C、P三点构成的三角形与B、P、Q三点构成的三角形全等． A．1或 B．1或 C．2或 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定的应用，能求出符合的所有情况是解此题的关键．设点Q的运动速度是，有两种情况：①，，②，，列出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：设点Q的运动速度是， ∵， ∴A、C、P三点构成的三角形与B、P、Q三点构成的三角形全等，有两种情况： ①，， 则， 解得：， 则， 解得：； ②，， 则，， 解得：，， 故选A． 二、填空题 6．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，自行车车架中部做成三角形形状，运用的几何原理是 ．    【答案】三角形具有稳定性 【分析】本题考查三角形的稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性． 【详解】解：运用的几何原理是三角形具有稳定性． 故答案为：三角形具有稳定性 7．（2024·陕西渭南·二模）如图，在和中，点D在上，，，请你再添加一个条件：______，使得，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定条件，判定三角形全等的定理有：，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键． 根据已知条件可推知，两个三角形有一组角、一组边分别对应相等，只需要再添加一组对应角相等，构成或即可证得两三角形全等（也可添加条件，构成）． 【详解】解：添加的条件是：． 理由：∵， ∴，即． 在和中，，，， ∴． 注：答案不唯一，添加或均可． 8．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在的上方有一点，连接，，，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，根据题意直接证明，即可得出，即可求解． 【详解】解：在中， ， ∴， 又， ∴， 故答案为：． 9．（23-24七年级下·吉林长春·期中）如图，在中，，，点D在边上，且，点E、F在线段上．，的面积为18，则与的面积之和 ． 【答案】12 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，和三角形的面积求法，能够证明是解题的关键．先根据与等高，底边值为，得出与面积比为1∶2，再证，即可得出和的面积和，即可选出答案． 【详解】标记角度如下： ∵在等腰中，，， ∴与等高，底边比值为 ∴与的面积比为， ∵的面积为18 ∴的面积为6，的面积为12， ∵,即， ∴， ∵，，， ∴， ∴ ∴与的面积相等， ∴， 故答案为：12． 10．（23-24七年级下·辽宁辽阳·期中）如图，在长方形中，，，点P以的速度由点B向点C运动，同时点Q以的速度由点C向点D运动，若和全等，则a的值为 ． 【答案】3或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握分类讨论思想的应用是解决本题的关键． 分两种情况分别计算：当时；当时；分别根据全等三角形对应边相等的性质列方程求解即可． 【详解】解：设点运动的时间为， 由题意知：，，则， 当时，，即， 解得； 当时，，， 即，， 解得， 则， 解得， 综上，的值为3或． 故答案为：3或． 三、解答题 11．（23-24七年级下·四川成都·期中）如图，点、在上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2)∠D的度数是 【分析】（1）由，推导出，由，证明，即可根据“”证明； （2）由，，根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”得，，求得． 此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，推导出，，进而证明是解题的关键． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 在和中， ， ． （2）解：，， ， ，， ， ， 的度数是． 12．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，点在边上，点在边上，连接、，若，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质． （1）由可得，结合可推出，由，结合三角形的外角性质可得，即可证明； （2）由（1）可知，根据全等三角形的性质以及线段的和差即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ，， ， 在与中， ， ； （2）解：， ，， ， ． 13．（2024·江苏无锡·二模）如图，中，点是的中点，过点作，连接并延长交于点，连接、． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）利用即可证明； （2）结合（1）利用线段的和差即可解决问题． 【详解】（1）证明：是的中点， ， ∵， ， 在和中， ， ； （2）解：由（1）知：， ， ， ． 14．（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）如图，中，，D是延长线上一点，点E是的平分线上一点，过点E作于F，于G． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)1 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）由角平分线的定义以及垂直的定义，利用即可证明； （2）先利用证明，得到，继而得到，而，则，即可求解． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴． 又∵，， ∴． 在和中： ，，， ∴． （2）解：∵平分且，， ∴． ∵ ∴， ∵ ∴ ∴ 即 在和中 ，， ∴． ∴． 又∵，， 即， 又∵， ∴． ∴． ∴． 15．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）已知等腰三角形，，为射线上一动点，连接，以为边在直线的右侧作等腰三角形，，，连接． (1)如图1，当点在边上时，请探究，，之间的数量关系． (2)如图2，当点在的延长线上时，（1）中，，之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请你写出新的结论，并说明理由． 【答案】(1) (2)不成立． 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键． （1）证明．再证明，可得，再进一步可得结论； （2）证明．再证明，可得，再进一步可得结论； 【详解】（1）解：∵， ∴， 即． 在与中，， ∴， ∴， ∴． （2）不成立．． 理由：∵， ∴． 在与中， ， ∴， ∴． 16．（23-24七年级下·山西太原·阶段练习）综合与探究 【操作探索】 在生活中，我们常用实物体验图形变换的过程．小颖同学利用一块风筝纸片完成了如下的操作： 如图1，已知四边形，，． （1）操作一：沿所在的直线对折，如图1．你认为左右两侧对折后能完全重合吗？并说明理由； （2）操作二：对折后，将风筝纸片剪成两个三角形（和），摆成如图2所示的图形，与相交于点，与相交于点．试说明． 【应用拓展】 （3）如图3，在中，，，点在边上，，点，在线段上，，，若的面积为24，求与的面积之和．    【答案】（1）能完全重合，理由见解析；（2）证明见解析；（3）6 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，折叠性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）通过三边分别相等得出，即可作答． （2）同理得出，得出，，再结合，证明，即可作答． （3）因为以及角的运算得出，再证明，则，因为，得出，即可作答． 【详解】解：（1）能完全重合． 理由：在与中， ， ∴， ∴对折后能完全重合． （2）同理得出， ∴，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． （3）∵， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$