专题02 相交线与平行线- 【暑假自学课】2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（北师大版）

专题02 相交线与平行线 目录 【考点1 对顶角、同位角、内错角、同旁内角的识别】 3 【考点2 利用对顶角、余角、补角中求角的度数问题】 5 【考点3 画垂线、平行线并求点到直线的距离】 8 【考点4 根据平行线的性质求角度】 11 【考点5 平行线的判定和性质推理问题】 14 【考点6 平行线的判定与性质综合问题】 18 【考点7 平行线中的拐点问题】 22 【过关检测】 29 知识点一 余角、补角、对顶角的定义及性质 1.余角；如果两个角的和是直角,那么称这两个角互为余角,简称为互余。 2.补角：如果两个角的和是平角,那么称这两个角互为补角,简称为互补。 3.余角和补角的性质：同角或等角的余角相等,同角或等角的补角相等。 4.余角和补角的性质用数学语言可表示为： （1）则(同角的余角（或补角）相等)。 （2）且则(等角的余角（或补角）相等)。 5.对顶角：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线,这两个角叫做对顶角。 6.对顶角的性质：对顶角相等。 7.对顶角是从位置上定义的,对顶角一定相等,但相等的角不一定是对顶角。 知识点二 垂直及其性质 8.垂直：直线AB,CD互相垂直,记作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”),读作“AB垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）。 9.垂线的性质： 性质1：平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短。简称：垂线段最短。 10.点到直线的距离：点到直线的垂线段的长度 知识点三 三线八角 11.同一平面内,两条直线的位置关系：相交（垂直）或平行。 12.两条直线被第三条直线所截,形成了8个角。 同位角：两个角都在两条直线的同侧,并且在第三条直线（截线）的同旁,这样的一对角叫做同位角。 内错角：两个角都在两条直线之间,并且在第三条直线（截线）的两旁,这样的一对角叫做内错角。 同旁内角：两个角都在两条直线之间,并且在第三条直线（截线）的同旁,这样的一对角叫同旁内角。 知识点四 平行线及平行公理与推论 13.平行线：在同一个平面内,不相交的两条直线叫做平行线。 注意：（1）平行线是无限延伸的,无论怎样延伸也不相交。 （2）当遇到线段、射线平行时,指的是线段、射线所在的直线平行。 14.平行线公理及其推论 平行公理：经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行。 推论：如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行。 补充平行线的判定方法： （1）平行于同一条直线的两直线平行。 （2）在同一平面内,垂直于同一条直线的两直线平行。 （3）平行线的定义。 知识点五 平行线的判定 15.平行线的判定方法 （1）.同位角相等,两直线平行。 （2）.内错角相等,两直线平行。 （3）.同旁内角互补,两直线平行。 （4）.在同一平面内,如果两条直线都平行于第三条直线,那么这两条直线平行。 （5）.在同一平面内,如果两条直线都垂直于第三条直线,那么这两条直线平行。 知识点六 平行线的性质 15.平行线的性质 （1).两直线平行,同位角相等。 （2）.两直线平行,内错角相等。 （3）.两直线平行,同旁内角互补。 16.平行线的判定与性质具备互逆的特征,其关系如下： 知识点七 尺规作图 17.尺规作线段和角：在几何里,只用没有刻度的直尺和圆规作图称为尺规作图。 18.尺规作图的关键：取半径相等的弧,取弧的宽度相等。不要忘记答。（。。。就是所求的。。。） 考点剖析 【考点1 对顶角、同位角、内错角、同旁内角的识别】 1 例题1：（22-23七年级下·四川广安·期末）如图图形中，与是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 本题考查对顶角的定义，解题关键是两个角有公共顶点，且两边互为反向延长线，本题属于基础题型．根据对顶角的定义：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角逐一判断即可得解． 【详解】 解：A、和是邻补角，不符合题意； B、与两角是对顶角，故B符合题意； C、D、与两边不互为反向延长线，故C、D不符合题意； 故选：B． 例题2：（22-23七年级下·广西崇左·期末）如图，下列对和的说法正确的是（　　） A．和同位角 B．和是内错角 C．和是同旁内角 D．和邻补角 【答案】C 【分析】本题考查同位角、内错角、同旁内角、邻补角，根据同位角、内错角、同旁内角、邻补角的定义进行判断即可． 【详解】解：和是直线、被直线所截的同旁内角， 因此选项C符合题意； 故选：C． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·福建泉州·期末）下列图形中，与是同位角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同位角的识别；两条直线被第三条直线所截，如果两个角在截线的同侧，在两条被截线的同侧，这样的两个叫同位角；根据同位角的含义进行判断即可． 【详解】解：由同位角的意义知，选项D中的与是同位角，其它选项中的与都不是同位角； 故选：D． 2．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）如图，、相交于O，，那么下列结论错误的是（    ） A．与是对顶角 B．与互为余角 C．与互为余角 D．与互为补角 【答案】D 【分析】本题考查了对顶角，余角和补角的知识，根据互余两角之和等于，互补两角之和等于，判断求解即可． 【详解】解：A、、相交于O， 与是对顶角，本选项正确，不符合题意； B、， 与互为余角，本选项正确，不符合题意； C、与是对顶角，且与互为余角 与互为余角，本选项正确，不符合题意； D、与互为补角，，本选项错误，符合题意． 故选：D． 3．（22-23七年级下·山东济宁·期末）如图，下列说法正确的是（   ） ①和是同位角；②和是同位角；③和是同旁内角；④和是内错角    A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 【答案】C 【分析】根据同位角，内错角及同旁内角的定义进行判断即可． 【详解】解：两条直线，被第三条直线所截，在截线的同旁，且在被截两直线，的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角，则和是同位角，和不是同位角，那么正确，错误； 两条直线，被第三条直线所截，在截线的同旁，且在被截两直线，之间的角，我们把这样的两个角称为同旁内角，则和是同旁内角，那么正确； 两条直线，被第三条直线所截，在截线的两侧，且在被截两直线，之间的角，我们把这样的两个角称为内错角，则和不是内错角，那么错误； 综上，正确的为， 故选：C． 【点睛】本题考查同位角，内错角及同旁内角的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键． 【考点2 利用对顶角、余角、补角中求角的度数问题】 例题：（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）如图，直线相交于点，，平分． (1)若，求的度数； (2)若比大，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）由对顶角相等可得，由垂直可得，即可得，再根据角平分线的定义可得，利用角的和差关系即可求解； （）由可得，解方程求出，得到，再利用邻补角的定义即可求解； 本题考查了对顶角的性质，垂直的定义，角平分线的定义，一元一次方程的应用，邻补角的定义，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：∵直线相交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∴； （2）解：设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 【变式训练】 1．（22-23七年级上·江西上饶·期末）如图，直线相交于点平分．    (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】 本题考查角平分线的定义，邻补角的定义，对顶角的定义． （1）由角平分线的定义可求出，再根据对顶角相等即可求解； （2）设，则，根据，可列出关于x的方程，解出x的值，即可求出的大小，再根据（1）同理即可求出的大小． 【详解】（1）解：平分， ， ； （2）解：设，则， 根据题意得， 解得：， ， ， ． 2．（22-23七年级上·广东湛江·期末）如图，已知点O为直线上一点，，平分 (1)若，则＿＿＿°； (2)若求的度数（用含n的代数式表示）； (3)在（2）题的基础上，如图2，在的内部作射线，使平分求的度数 【答案】(1)66 (2) (3)的度数为50° 【分析】本题考查了角平分线的定义，邻补角的定义，一元一次方程的解法，根据图形确定所求角和已知各角的关系是解此题的关键． （1）根据即可； （2）先根据，求出的度数，再根据角平分线的定义及邻补角的定义即可； （3）先表示出的度数，再列方程解方程即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ 故答案为：66； （2）解：∵ ∵平分， ∴， ∴ （3）解：∵， ∵平分， ∴， ∵ ∴， 解得：， ∴ 故的度数为． 【考点3 画垂线、平行线并求点到直线的距离】 例题：（22-23七年级上·江苏盐城·期末）如图，点P是的边上的一个格点． (1)过点P画的垂线，垂足为H； (2)过点P画的垂线，交于点C； (3)线段 的长度是点到的距离； (4)线段、、这三条线段大小关系是 （用“”号连接），依据是 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4),垂线段最短 【分析】 本题主要考查了点到直线的距离，会过已知点作已知直线的垂线以及掌握垂线段最短是解题的关键． （1）根据题意作图即可； （2）根据题意作图即可； （3）过直线外一点作已知直线的垂线，这条垂线段的长度就做点到直线的距离；点到直线的所有连线中，垂线段最短． 【详解】（1）如图． （2）如图． （3）∵， ∴线段的长度是点O到的距离； （4）大小关系是：，依据是“垂线段最短”． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）如图，、、都在格点上，利用网格作图． (1)过点画直线的平行线； (2)过点画直线的垂线，并注明垂足为； (3)线段______的长度是点到直线的距离． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查格点作图、平行线的性质及点到直线的距离，熟练掌握格点作图、平行线的性质及点到直线的距离是解题的关键． （1）根据平行线的性质及格点作图可进行求解； （2）由格点的特征可直接进行求解； （3）由（2）可直接进行求解． 【详解】（1）如图所示，即为所求； （2）如图所示，即为所求； （3）∵ ∴线段的长度是点到直线的距离． 2．（23-24七年级上·江苏镇江·期末）如图，点都在格点上（小正方形的顶点叫做格点），      (1)请仅用无刻度的直尺完成画图（不要求写画法）． ①过点画直线的平行线，并标出直线所经过的格点； ②过点画直线的垂线，并标出直线所经过的格点及垂足； (2)线段______的长就是点到直线的距离； (3)比较大小：______（填“”“”或“”） 【答案】(1)①见解析；②见解析； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了基本作图，利用网格结构作垂线，平行线，点到直线的距离的定义，都是基础知识，需熟练掌握． （1）①根据网格结构特点，过点C作长3宽1的长方形的对角线即可；②根据点到直线的距离的定义解答； （2）根据点到直线的距离的定义即可得； （3）根据垂线段最短即可得出答案． 【详解】（1）解：①如图所示，直线即为所求； ②如图所示，直线即为所求；    （2）解：线段的长度是点到直线的距离， 故答案为：； （3）解：， 故答案为：． 【考点4 根据平行线的性质求角度】 例题：（23-24八年级上·山东菏泽·期末）如图所示，已知，直线分别交于E、F两点，平分，交于点G．若，则 度． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，对顶角的性质，根据对顶角相等，可得，根据两直线平行、同旁内角互补，可得，根据角平分线的定义可得，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：116． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·吉林长春·期末）如图，，直线经过点，，，则 ． 【答案】/75度 【分析】此题考查了平行线的性质，先根据平角得到的度数，进而根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：由题意得， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，，，平分，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，垂线的性质，角平分线的定义，根据两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等得出，，再根据角平分线的定义得出的度数，结合，即可求出的度数，从而求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·河南新乡·期末）已知直线，为两直线间一定点，，若点为平面内一动点，且满足，连接，，则的平分线与的平分线所在直线所夹的锐角为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了平行线的性质、角平线的定义，根据题意可分两种情况进行讨论，一种是点F在下方，一种是点F在上方，先作平行线，设出来角度，再根据两直线平行，内错角相等以及角平分线的定义可得到结果，正确作出辅助线，熟练掌握平行线的性质，理解角平分线的定义是解决问题的关键． 【详解】解：当点F在下方时， 过点F作，过点E作，如图1所示： 设， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； ②当点F在上方时，过点E作，如图2所示： 设， ∵，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 综上所示：的平分线与的平分线所在直线所夹的锐角为或， 故答案为：14°或37°． 【考点5 平行线的判定和性质推理问题】 例题：（23-24七年级下·广东梅州·阶段练习）如图，，将求的过程填写完整． 解：（已知）， ______（______）， 又（已知）， （______）， ______（______）， （_____）， （已知）， ______． 【答案】；两直线平行，同位角相等；等量代换；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补； 【分析】本题考查了平行线的性质与判定．根据平行线的性质与判定即可求出答案． 【详解】解：∵（已知） ∴（两直线平行，同位角相等）， 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∵（已知）， ∴． 故答案为：；两直线平行，同位角相等；等量代换；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·辽宁大连·期中）如图，直线，，求的度数． 阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 解：∵（已知）， ∴（______）（______）． 又∵（已知）， ∴（等式的性质）． ∴（______）． ∴（______）（______）（______）． ∴（______）（______）． ∴． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据平行线的判定方法和性质，进行作答即可． 【详解】解：∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）． 又∵（已知）， ∴（等式的性质）． ∴（等量代换）． ∴（同旁内角互补，两直线平行）． ∴（两直线平行，同位角相等）． ∴． 2．（23-24七年级下·四川成都·期中）如图，，与交于点，平分，，求的度数． 解：∵与交于点，（ 　　）， ∴（ 　　）， ∵（已知）， ∴（ 　　）， ∵，与交于点（已知）， ∴（ 　　）， ∴　　， ∵平分（已知）， ∴ 　　　　（ 　　）． 【答案】已知；对顶角相等；等量代换；两直线平行，同旁内角互补；；；；角平分线的定义． 【分析】本题考查了平行线的性质，对顶角相等，角平分线的定义，由对顶角相等得，由平行线的性质得，进而得，再根据角平分线的定义即可求出，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵与交于点，（已知）， ∴（对顶角相等）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∵，与交于点（已知）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∴， ∵平分（已知）， ∴（角平分线的定义）． 故答案为：已知；对顶角相等；等量代换；两直线平行，同旁内角互补；；；；角平分线的定义． 3．（23-24七年级下·辽宁丹东·期中）请将下列说理过程补充完整： 如图：，，，试说明． 解：因为（已知）， 所以（______）， 因为（已知）， 所以______（两直线平行，内错角相等）， 因为（已知）， 所以_____________（______）， 即， 所以（______）． 【答案】两直线平行，内错角相等；；，；等式的性质；等量代换 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据平行线的性质和已给推理过程证明即可． 【详解】解：因为（已知）， 所以（两直线平行，内错角相等）， 因为（已知）， 所以（两直线平行，内错角相等）， 因为（已知）， 所以（等式的性质）， 即， 所以（等量代换）． 故答案为：两直线平行，内错角相等；；，；等式的性质；等量代换． 【考点6 平行线的判定与性质综合问题】 例题：（23-24八年级上·陕西渭南·期末）如图，已知点、在直线上，点在线段上，连接、交于点．连接并延长到点，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由已知可得，再找到的同位角，结合已知，通过等量代换，即可得出结论， （2）通过三角形外角定理，求得的同旁内角的度数，进而求得的度数， 本题考查了平行线的性质和判定，以及通过其求角度，解题的关键是：熟练应用平行线的性质和判定，结合已知条件，找到角度间的等量关系． 【详解】（1）证明：， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， 又， ， （内错角相等，两直线平行）， （2）解：， ． ， ， ， ， ， （两直线平行，同旁内角互补）， ， 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，已知．    (1)求证：； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的性质，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是解题的关键． （1）由证得，得到，结合可得，由此可证得； （2）根据两直线平行，同旁内角互补求出，由平分求出 ，根据两直线平行，内错角相等，得出． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 2．（23-24七年级上·重庆九龙坡·期末）如图，点、、分别在线段、、上，点在线段上．若． (1)求证：； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线之间的性质、角平分线的性质等知识，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）由两直线平行，可得内错角相等，从而可得同旁内角互补，即可证明； （2）由直线平行和角平分线的条件可得出相应的角度，在结合平角和平行等角度之间的关系即可得出答案． 【详解】（1）证明： （2） 平分 3．（23-24八年级上·四川达州·期末）如图1，在五边形中，，．    (1)猜想与之间的位置关系，并说明理由； (2)如图2，延长至，连接，若，，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，理解并掌握平行线的性质与判定是解题关键． （1）首先根据“两直线平行，同旁内角互补”可得，结合可得，然后由“同旁内角互补，两直线平行”证明结论即可； （2）首先根据，可得，，结合，可得，易得，进而可得，然后结合，即可求得的度数． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 解得． 【考点7 平行线中的拐点问题】 例题：（22-23七年级下·广西崇左·期末）如图：，，，则 ．    【答案】 【分析】过点E作，然后根据两直线平行，内错角相等求解即可． 【详解】解：如图，过点E作，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，此类题目过拐点作平行线是常用的方法之一，要熟练掌握并灵活运用． 【变式训练】 1．（22-23七年级下·河北石家庄·期末）下列各图中的与平行．    图中的， 图中的， 图中的， 图中的 ， 据此推测，图中的 【答案】 【分析】由特殊情况发现规律，即可得答案． 【详解】解：图中的， 图中的， 图中的， 图中的， 图中的． 故答案为：，． 【点睛】本题考查平行线的性质，规律型：图形的变化类，关键是由特殊情况总结一般规律． 2．（23-24七年级上·福建莆田·期末）如图，已知，分别探索下列四个图形中与，的关系．    (1)如图①，_______；如图②，_______； 如图③，______；如图④，______． (2)得到图②结论的过程如下：（补足理由） 过P点作，又∵， ∴（同平行于第三条直线的两直线平行） ∵， ∴_______，________（                ） ∵（图形性质） ∴_______（等量代换） (3)仿照（2），在图③、④中，选一个写出得到结论的过程（给出理由）． 【答案】(1)，，， (2)，，两直线平行，内错角相等， (3)选④，结论的过程（理由）见解析 【分析】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，熟练的利用平行线的性质探究角之间的关系是解本题的关键； （1）过的作的平行线，再利用平行线的性质逐一分析即可； （2）过P点作，如图②；再利用内错角相等结合角的和差可得结论； （3）如图④，过点P作，再利用内错角相等结合角的和差可得结论； 【详解】（1）解：如图①， 过点P作． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴； ∴图①结论：， 过P点作，又∵，如图②； ∴（同平行于第三条直线的两直线平行） ∵， ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵（图形性质） ∴（等量代换） 图②结论：， 如图③，过点P作， ∴， ∵，． ∴， ∴， ∴， 即． ∴图③结论为：； 如图④，过点P作， ∴， ∵，． ∴， ∴， ∴， 即． 图④结论： （2）过P点作，又∵，如图②； ∴（同平行于第三条直线的两直线平行） ∵， ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵（图形性质） ∴（等量代换） （3）如图④，过点P作， ∴， ∵，． ∴， ∴， ∴， 即． 3．（22-23七年级上·重庆·期末）已知，，． (1)如图1，判断与的位置关系，并说明理由； (2)作的平分线交于点，点为线段上一点，连接，的平分线交线段于点．如图2，若，，，求的度数； (3)如图3，连接，在（2）的条件下，将射线绕点以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为秒（），已知，请直接写出的平分线与三角形的边平行时的值． 【答案】(1)，理由见详解 (2) (3)4或6或26 【分析】（1）利用平行线的性质与判定定理得出结论； （2）过点作，利用平行线的性质与角平分线的定义，根据角的计算，即可求解； （3）分三种情况讨论：当旋转到，时；当旋转到，时；当旋转到，时，利用平行线的性质和角平分线的性质进行角度求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）解：如下图，过点作， ∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：①当旋转到，时，如下图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 由（2）可知旋转前， ∴旋转角为， ∴； ②当旋转到，时，如下图， 由（2）可知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 由（2）可知旋转前， ∴旋转角为， ∴； ③当旋转到，时，如下图， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 由（2）可知旋转前， ∴旋转角为， ∴． 综上所述：为4或6或26． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质、与角平分线相关的计算等知识，正确理解题意，画出符合题意的图形是解题的关键． 【过关检测】 过关检测 一、单选题 1．（23-24七年级下·广东汕头·阶段练习）如图，和不是同位角的是（   ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了同位角的定义，正确掌握同位角定义是解题关键．同位角的定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．根据“三线八角”中同位角的意义逐项进行判断即可． 【详解】解：A、和是同位角，故此选项不符合题意； B、和是同位角，故此选项不符合题意； C、和是同位角，故此选项不符合题意； D、和不是同位角，故此选项符合题意； 故选：D． 2．（23-24七年级下·四川成都·期中）如图，直线，相交于点，平分，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角平分线，对顶角，掌握角平分线的定义以及对顶角相等是正确解答的关键． 根据角平分线的定义以及对顶角相等即可求出答案． 【详解】解：平分， ， ， ． 故选：B 3．（23-24七年级下·辽宁辽阳·期中）下列结论：①互余且相等的两个角都是；②同角的余角相等；③若，则，，互为补角；④钝角没有补角；⑤锐角的补角比其余角大．其中正确的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了余角、补角的知识，熟练掌握余角和补角的定义是解题关键．如果两个锐角的和是一个直角（）,那么称这两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余角；如果两个角的和是一个平角（），那么这两个角叫互为补角．根据补角和余角的定义，逐一分别判定，即可获得答案． 【详解】解：设互余且相等的两个角均为，则有， 解得，即互余且相等的两个角都是， 故结论①正确； 同角的余角相等，结论正确，故②正确； 根据补角的定义：如果两个角的和等于，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角， ∴“若，则，，互为补角”不成立，故结论③错误； ∵钝角为大于，小于的角，而和等于的两个角互为补角， ∴钝角有补角，故结论④错误； 设某一锐角为，则其补角为，其余角为， ∵， ∴该锐角的补角比其余角大，故结论⑤正确． 综上所述，结论正确的是①②⑤，共3个． 故选：B． 4．（2024·山东临沂·二模）如图，直线，点在直线上，点在直线上，连接，过点作，交直线于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，根据平行线的性质可得，根据垂直的定义得，最后由角度和差即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵直线， ∴， ∵， ∴， ∵    ， ∴， 故选：． 5．（23-24七年级下·四川绵阳·期中）如图，直线，点A，B分别在直线a，b上，连接．D是直线a，b之间的一个动点，过点D作交直线b于点C，连接．若，则的度数不可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，先由平行线的性质得到，再证明，进而由平行线的性质推出，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点D作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵D是直线a，b之间的一个动点， ∴， ∴， ∴四个选项中只有A选项符合题意， 故选：A． 二、填空题 6．（23-24七年级下·山东青岛·期中）如图，已知，一块含角的直角三角板如图所示放置，，则等于 度．    【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质及平行公理的推论，掌握平行公理的推论是解题的关键。如图，过作，则，由平行线的性质求得，从而即可得解 【详解】解：如图，过作，      ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（2024七年级下·天津·专题练习）如图，在中，已知，则有 ．（填写全部序号） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧． 【答案】②③④⑥⑧ 【分析】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴②；③；④；⑥；⑧． 无法得到①；⑤；⑦． 故答案为：②③④⑥⑧． 8．（2024七年级下·浙江·专题练习）如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数为 ． 【答案】100 【分析】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是过拐点构造平行线． 过点D作，过点E作，根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图，过点D作，过点E作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：100． 9．（23-24七年级下·山东东营·期中）观察下列图形：若，在第个图中，可得，则按照以上规律， ． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，利用两直线平行，同旁内角互补是解答此题的关键．分别过作直线a的平行线，由平行线的性质可得出：于是得到，，，根据规律得到结果． 【详解】解：如图，过作， 同理可得，， 如图，分别过作直线a的平行线， ∵， ∴． 由平行线的性质可得出： ∴第1个图中：， 第2个图中：， 第3个图中：， 第4个图中：， ……， ∴第n个图中：． 故答案为：． 10．（23-24七年级下·辽宁鞍山·期中）一副直角三角尺叠放如图1所示，现将的三角尺固定不动，如图2将含的三角尺绕顶点A顺时针转动一周的过程中，当边时，的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了三角板中角度计算问题，根据平行线的性质求角的度数等知识．分情况求解是解题的关键． 由题意知，分两种情况求解；如图1，三点共线，则，根据，计算求解即可；如图2，同理，三点共线，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，分两种情况求解； 如图1， ∵， ∴三点共线， ∴， ∴； 如图2， 同理，三点共线， ∴； 综上所述，的度数为或， 故答案为：或． 三、解答题 11．（23-24七年级下·山东枣庄·期中）如图，A，O，B三点在同一条直线上，． (1)写出图中的补角是 ，的余角是 ； (2)如果平分，，求的度数． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了余角和补角，角平分线的定义，平角的定义，熟练掌握余角和补角的定义是解题的关键． （1）根据“和为的两个角互为补角”、“和为的两个角互为余角”进行解答； （2）先根据，求出，再利用平角的定义和角平分线的定义即可求出． 【详解】（1）解：∵A，O，B三点在同一条直线上，， ∴，， ∴的补角是，的余角是， 故答案为：；． （2）∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵A，O，B三点在同一条直线上， ∴． 故答案为：． 12．（23-24七年级下·河北张家口·期中）已知的正方形网格（每个小正方形的边长均为1），每两条线的交点称为格点，经过格点A、O、B、C，格点P为内部一点． (1)操作：不用量角器与三角尺，仅用直尺，过点P画的平行线交于点D，过点C画的垂线，交于点E； (2)发现：直接写出与的位置关系． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了画平行线，画垂线，垂线的定义： （1）根据网格的特点画图即可； （2）根据，即可得到． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：∵， ∴． 13．（23-24七年级下·陕西西安·期中）如图，直线、交于点O，，分别平分和，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线，平行线的性质，对顶角相等，邻补角互补． （1）由角平分线可得，．由题意知，．由可得，进而结论得证， （2）由题意可知，由，可求，由对顶角相等可得，由角平分线可得，再根据邻补角互补即可计算． 【详解】（1）解：∵，分别平分和， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴． ， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴ 14．（23-24七年级下·河南漯河·期中）如图，，，平分，，，求的度数． 解：（已知）， ________（_________________________）． （已知）， （等量代换）． ________． （已知）， ________（等量代换）． ，（已知）， ________（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． ________（________________________________）． 平分（已知）， ________（角平分线的定义）． ________（等量代换）． 【答案】；两直线平行，同旁内角互补；70；50；；；两直线平行，内错角相等；25 ；25 【分析】本题考查平行性的性质与判定，与角平分线有关的计算等知识．先根据求出，进而求出，再证明，得到，根据角平分线的定义得到，即可求出． 【详解】解：（已知）， （两直线平行，同旁内角互补）． （已知）， （等量代换）． ． （已知）， （等量代换）． ，（已知）， （如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． （两直线平行，内错角相等）． 平分（已知）， （角平分线的定义）． （等量代换）． 故答案为：；两直线平行，同旁内角互补；70；50；；；两直线平行，内错角相等；25 ；25 15．（23-24七年级下·陕西渭南·期中）【问题背景】 如图，射线分别交直线，于点A，E，． 【探索求证】 （1）求证：； 【问题解决】 （2）如图2，G为射线上一动点，连接，若，探究，，之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，延长交射线于点H，N为线段上一动点．连接，若平分，平分，当时，求的值． 【答案】（1）见解析，（2），（3） 【分析】（1）根据对顶角相等结合已知求出，根据平行线的判定得出结论； （2）根据平行线的性质，得到，结合可得答案； （3）根据平行线的性质和角平分线定义求出，，由平行线的性质得到，再求出，进而可计算的值， 本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， （3）由（1）知， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 相交线与平行线 目录 【考点1 对顶角、同位角、内错角、同旁内角的识别】 3 【考点2 利用对顶角、余角、补角中求角的度数问题】 5 【考点3 画垂线、平行线并求点到直线的距离】 8 【考点4 根据平行线的性质求角度】 11 【考点5 平行线的判定和性质推理问题】 14 【考点6 平行线的判定与性质综合问题】 18 【考点7 平行线中的拐点问题】 22 【过关检测】 29 知识点一 余角、补角、对顶角的定义及性质 1.余角；如果两个角的和是直角,那么称这两个角互为余角,简称为互余。 2.补角：如果两个角的和是平角,那么称这两个角互为补角,简称为互补。 3.余角和补角的性质：同角或等角的余角相等,同角或等角的补角相等。 4.余角和补角的性质用数学语言可表示为： （1）则(同角的余角（或补角）相等)。 （2）且则(等角的余角（或补角）相等)。 5.对顶角：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线,这两个角叫做对顶角。 6.对顶角的性质：对顶角相等。 7.对顶角是从位置上定义的,对顶角一定相等,但相等的角不一定是对顶角。 知识点二 垂直及其性质 8.垂直：直线AB,CD互相垂直,记作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”),读作“AB垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）。 9.垂线的性质： 性质1：平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短。简称：垂线段最短。 10.点到直线的距离：点到直线的垂线段的长度 知识点三 三线八角 11.同一平面内,两条直线的位置关系：相交（垂直）或平行。 12.两条直线被第三条直线所截,形成了8个角。 同位角：两个角都在两条直线的同侧,并且在第三条直线（截线）的同旁,这样的一对角叫做同位角。 内错角：两个角都在两条直线之间,并且在第三条直线（截线）的两旁,这样的一对角叫做内错角。 同旁内角：两个角都在两条直线之间,并且在第三条直线（截线）的同旁,这样的一对角叫同旁内角。 知识点四 平行线及平行公理与推论 13.平行线：在同一个平面内,不相交的两条直线叫做平行线。 注意：（1）平行线是无限延伸的,无论怎样延伸也不相交。 （2）当遇到线段、射线平行时,指的是线段、射线所在的直线平行。 14.平行线公理及其推论 平行公理：经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行。 推论：如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行。 补充平行线的判定方法： （1）平行于同一条直线的两直线平行。 （2）在同一平面内,垂直于同一条直线的两直线平行。 （3）平行线的定义。 知识点五 平行线的判定 15.平行线的判定方法 （1）.同位角相等,两直线平行。 （2）.内错角相等,两直线平行。 （3）.同旁内角互补,两直线平行。 （4）.在同一平面内,如果两条直线都平行于第三条直线,那么这两条直线平行。 （5）.在同一平面内,如果两条直线都垂直于第三条直线,那么这两条直线平行。 知识点六 平行线的性质 15.平行线的性质 （1).两直线平行,同位角相等。 （2）.两直线平行,内错角相等。 （3）.两直线平行,同旁内角互补。 16.平行线的判定与性质具备互逆的特征,其关系如下： 知识点七 尺规作图 17.尺规作线段和角：在几何里,只用没有刻度的直尺和圆规作图称为尺规作图。 18.尺规作图的关键：取半径相等的弧,取弧的宽度相等。不要忘记答。（。。。就是所求的。。。） 考点剖析 【考点1 对顶角、同位角、内错角、同旁内角的识别】 1 例题1：（22-23七年级下·四川广安·期末）如图图形中，与是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 例题2：（22-23七年级下·广西崇左·期末）如图，下列对和的说法正确的是（　　） A．和同位角 B．和是内错角 C．和是同旁内角 D．和邻补角 【变式训练】 1．（23-24七年级上·福建泉州·期末）下列图形中，与是同位角的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）如图，、相交于O，，那么下列结论错误的是（    ） A．与是对顶角 B．与互为余角 C．与互为余角 D．与互为补角 3．（22-23七年级下·山东济宁·期末）如图，下列说法正确的是（   ） ①和是同位角；②和是同位角；③和是同旁内角；④和是内错角    A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 【考点2 利用对顶角、余角、补角中求角的度数问题】 例题：（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）如图，直线相交于点，，平分． (1)若，求的度数； (2)若比大，求的度数． 【变式训练】 1．（22-23七年级上·江西上饶·期末）如图，直线相交于点平分．    (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 2．（22-23七年级上·广东湛江·期末）如图，已知点O为直线上一点，，平分 (1)若，则＿＿＿°； (2)若求的度数（用含n的代数式表示）； (3)在（2）题的基础上，如图2，在的内部作射线，使平分求的度数 【考点3 画垂线、平行线并求点到直线的距离】 例题：（22-23七年级上·江苏盐城·期末）如图，点P是的边上的一个格点． (1)过点P画的垂线，垂足为H； (2)过点P画的垂线，交于点C； (3)线段 的长度是点到的距离； (4)线段、、这三条线段大小关系是 （用“”号连接），依据是 ． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）如图，、、都在格点上，利用网格作图． (1)过点画直线的平行线； (2)过点画直线的垂线，并注明垂足为； (3)线段______的长度是点到直线的距离． 2．（23-24七年级上·江苏镇江·期末）如图，点都在格点上（小正方形的顶点叫做格点），      (1)请仅用无刻度的直尺完成画图（不要求写画法）． ①过点画直线的平行线，并标出直线所经过的格点； ②过点画直线的垂线，并标出直线所经过的格点及垂足； (2)线段______的长就是点到直线的距离； (3)比较大小：______（填“”“”或“”） 【考点4 根据平行线的性质求角度】 例题：（23-24八年级上·山东菏泽·期末）如图所示，已知，直线分别交于E、F两点，平分，交于点G．若，则 度． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·吉林长春·期末）如图，，直线经过点，，，则 ． 2．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，，，平分，，则的度数为 ． 3．（23-24七年级上·河南新乡·期末）已知直线，为两直线间一定点，，若点为平面内一动点，且满足，连接，，则的平分线与的平分线所在直线所夹的锐角为 ． 【考点5 平行线的判定和性质推理问题】 例题：（23-24七年级下·广东梅州·阶段练习）如图，，将求的过程填写完整． 解：（已知）， ______（______）， 又（已知）， （______）， ______（______）， （_____）， （已知）， ______． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·辽宁大连·期中）如图，直线，，求的度数． 阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 解：∵（已知）， ∴（______）（______）． 又∵（已知）， ∴（等式的性质）． ∴（______）． ∴（______）（______）（______）． ∴（______）（______）． ∴． 2．（23-24七年级下·四川成都·期中）如图，，与交于点，平分，，求的度数． 解：∵与交于点，（ 　　）， ∴（ 　　）， ∵（已知）， ∴（ 　　）， ∵，与交于点（已知）， ∴（ 　　）， ∴　　， ∵平分（已知）， ∴ 　　　　（ 　　）． 3．（23-24七年级下·辽宁丹东·期中）请将下列说理过程补充完整： 如图：，，，试说明． 解：因为（已知）， 所以（______）， 因为（已知）， 所以______（两直线平行，内错角相等）， 因为（已知）， 所以_____________（______）， 即， 所以（______）． 【考点6 平行线的判定与性质综合问题】 例题：（23-24八年级上·陕西渭南·期末）如图，已知点、在直线上，点在线段上，连接、交于点．连接并延长到点，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，已知．    (1)求证：； (2)若平分，求的度数． 2．（23-24七年级上·重庆九龙坡·期末）如图，点、、分别在线段、、上，点在线段上．若． (1)求证：； (2)若平分，求的度数． 3．（23-24八年级上·四川达州·期末）如图1，在五边形中，，．    (1)猜想与之间的位置关系，并说明理由； (2)如图2，延长至，连接，若，，，求的度数． 【考点7 平行线中的拐点问题】 例题：（22-23七年级下·广西崇左·期末）如图：，，，则 ．    【变式训练】 1．（22-23七年级下·河北石家庄·期末）下列各图中的与平行．    图中的， 图中的， 图中的， 图中的 ， 据此推测，图中的 2．（23-24七年级上·福建莆田·期末）如图，已知，分别探索下列四个图形中与，的关系．    (1)如图①，_______；如图②，_______； 如图③，______；如图④，______． (2)得到图②结论的过程如下：（补足理由） 过P点作，又∵， ∴（同平行于第三条直线的两直线平行） ∵， ∴_______，________（                ） ∵（图形性质） ∴_______（等量代换） (3)仿照（2），在图③、④中，选一个写出得到结论的过程（给出理由）． 3．（22-23七年级上·重庆·期末）已知，，． (1)如图1，判断与的位置关系，并说明理由； (2)作的平分线交于点，点为线段上一点，连接，的平分线交线段于点．如图2，若，，，求的度数； (3)如图3，连接，在（2）的条件下，将射线绕点以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为秒（），已知，请直接写出的平分线与三角形的边平行时的值． 【过关检测】 过关检测 一、单选题 1．（23-24七年级下·广东汕头·阶段练习）如图，和不是同位角的是（   ） A．B．C．D． 2．（23-24七年级下·四川成都·期中）如图，直线，相交于点，平分，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·辽宁辽阳·期中）下列结论：①互余且相等的两个角都是；②同角的余角相等；③若，则，，互为补角；④钝角没有补角；⑤锐角的补角比其余角大．其中正确的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．（2024·山东临沂·二模）如图，直线，点在直线上，点在直线上，连接，过点作，交直线于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·四川绵阳·期中）如图，直线，点A，B分别在直线a，b上，连接．D是直线a，b之间的一个动点，过点D作交直线b于点C，连接．若，则的度数不可能为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 6．（23-24七年级下·山东青岛·期中）如图，已知，一块含角的直角三角板如图所示放置，，则等于 度．    7．（2024七年级下·天津·专题练习）如图，在中，已知，则有 ．（填写全部序号） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧． 8．（2024七年级下·浙江·专题练习）如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数为 ． 9．（23-24七年级下·山东东营·期中）观察下列图形：若，在第个图中，可得，则按照以上规律， ． 10．（23-24七年级下·辽宁鞍山·期中）一副直角三角尺叠放如图1所示，现将的三角尺固定不动，如图2将含的三角尺绕顶点A顺时针转动一周的过程中，当边时，的度数为 ． 三、解答题 11．（23-24七年级下·山东枣庄·期中）如图，A，O，B三点在同一条直线上，． (1)写出图中的补角是 ，的余角是 ； (2)如果平分，，求的度数． 12．（23-24七年级下·河北张家口·期中）已知的正方形网格（每个小正方形的边长均为1），每两条线的交点称为格点，经过格点A、O、B、C，格点P为内部一点． (1)操作：不用量角器与三角尺，仅用直尺，过点P画的平行线交于点D，过点C画的垂线，交于点E； (2)发现：直接写出与的位置关系． 13．（23-24七年级下·陕西西安·期中）如图，直线、交于点O，，分别平分和，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 14．（23-24七年级下·河南漯河·期中）如图，，，平分，，，求的度数． 解：（已知）， ________（_________________________）． （已知）， （等量代换）． ________． （已知）， ________（等量代换）． ，（已知）， ________（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． ________（________________________________）． 平分（已知）， ________（角平分线的定义）． ________（等量代换）． 15．（23-24七年级下·陕西渭南·期中）【问题背景】 如图，射线分别交直线，于点A，E，． 【探索求证】 （1）求证：； 【问题解决】 （2）如图2，G为射线上一动点，连接，若，探究，，之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，延长交射线于点H，N为线段上一动点．连接，若平分，平分，当时，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$