专题01 整式的乘除- 【暑假自学课】2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（北师大版）

专题01 整式的乘除 目录 【考点1 幂的混合运算】 2 【考点2 零指数、负整数指数幂的运算】 3 【考点3 科学记数法表示绝对值小于1的数】 4 【考点4 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 5 【考点5 求完全平方式中的字母系数】 7 【考点6 整式的混合运算】 9 【考点7 整式的混合运算之化简求值】 11 【考点8 乘法公式与几何图形】 13 【过关检测】 22 1.同底数幂的乘法： 2.幂的乘方： 3.积的乘方： 4.整式的乘法： 5.平方差公式： 6.完全平方公式 7.同底数幂的除法： 考点剖析 【考点1 幂的混合运算】 1 例题：（23-24八年级上·湖南衡阳·期末）计算． (1) (2) 【变式训练】 1．（23-24八年级上·北京朝阳·期末）计算：． 2．（23-24七年级上·上海普陀·期末）计算：． 3．（22-23七年级下·山东济南·期末）计算： (1) (2) 【考点2 零指数、负整数指数幂的运算】 例题：（22-23七年级下·辽宁沈阳·期末）计算：； 【变式训练】 1．（22-23八年级下·四川泸州·期末）计算：． 2．（23-24八年级上·陕西渭南·期末）计算：． 3．（23-24八年级上·广东汕头·期末）计算：． 【考点3 科学记数法表示绝对值小于1的数】 例题：（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）随着北斗系统全球组网的步伐，北斗芯片的研发生产技术也在逐步成熟，国产北斗芯片可支持接收系统的导航信号，应用于自动驾驶、无人机、机器人等高精度定位需求领域，将为中国北斗导航产业发展提供有力支持．目前，该芯片工艺已达纳米（即米）．则数据用科学记数法表示为 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）生物学家发现一种病毒的长度为．将用科学记数法表示为 ． 2．（22-23八年级上·新疆伊犁·期末）随着电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占，这个数用科学记数法表示为 ． 3．（23-24八年级上·广西玉林·期末）我们要“远离毒品，珍惜生命”，科学研究发现某种毒品的分子直径是0.000000051米，则数字0.000000051用科学记数法表示为 ． 【考点4 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 例题：（23-24八年级上·四川巴中·期末）若的乘积中不含项，则m的值是 ． 【变式训练】 1．（22-23七年级下·安徽安庆·期末）要使的展开式中不含项，则m的值为 ． 2．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期末）要使展开式中不含项和项，则 ． 3．（23-24八年级上·湖北荆门·期末）已知的展开式中不含项，常数项是，则 ． 【考点5 求完全平方式中的字母系数】 例题：（22-23八年级上·新疆阿克苏·期末）请在横线上补上一项，使多项式 成为完全平方式． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·四川宜宾·期末）若代数式是一个完全平方式，则 ． 2．（23-24八年级上·重庆城口·期末）已知是完全平方式，则a的值为 ． 3．（23-24八年级上·河南安阳·期末）在多项式中添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的单项式是 ．（写出一个即可） 【考点6 整式的混合运算】 例题：（23-24八年级上·山东滨州·期末）计算： (1)； (2)． 【变式训练】 1．（22-23八年级上·浙江台州·期末）计算： (1)； (2)． 2．（23-24八年级上·山东临沂·期末）计算： (1)； (2)． 3．（23-24八年级上·海南海口·期末）计算 (1)； (2)； (3)先化简，再求值：，其中，． 【考点7 整式的混合运算之化简求值】 例题：（23-24八年级上·湖南衡阳·期末）先化简，再求值：，其中，． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·四川宜宾·期末）先化简，再求值：，其中． 2．（23-24七年级上·江西抚州·期末）先化简，再求值：，其中，． 3．（23-24八年级上·河南南阳·期末）先化简，再求值：其中，． 4．（23-24八年级上·河南周口·期末）先化简，再求值： (1)，其中． (2)，其中． 【考点8 乘法公式与几何图形】 例题1：（23-24八年级上·山东济宁·期末）数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图形的直观性，可以帮助解数学问题． (1)请写出图1，图3阴影部分的面积分别能解释的数学公式． 图1：______；图3：______．（直接填相应的数学公式） 其中，完全平方公式可以从“形”的角度进行探究，通过图形的转化可以解决很多数学问题，在图4中，已知，求的值． 解：， 又， ．即． (2)若，则______； (3)如图5，点是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求阴影部分面积并写出求解过程． 例题2：（23-24八年级上·贵州遵义·期末）现有长为a，宽为b的长方形卡片（如图①）若干张，某同学用4张卡片拼出了一个大正方形（不重叠、无缝隙，如图②）． (1)图②中，大正方形的边长是 ，阴影部分正方形的边长是 ．（用含a，b的式子表示） (2)用两种方法表示图②中阴影部分正方形的面积（不化简），并用一个等式表示，，三者之间的数量关系． (3)已知，求图②中阴影部分正方形的边长． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）图①、图②分别由两个长方形拼成． (1)图②中的阴影部分面积是：，那么图①中的阴影部分面积为 ； (2)观察图①和图②，请你写出代数式、、之间的等量关系式； (3)利用你发现的规律，求的值． 2．（23-24八年级上·山东临沂·期末）如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（），把余下的部分剪拼成一个矩形． (1)通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是：________； A．     B． C．          D． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知：，求的值； ②计算：． 3．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形． （1）请你直接写出三个代数式，，之间的等量关系： ； 根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： （2）已知 ，求 的值； （3）已知 ，求 的值． 4．（22-23七年级下·辽宁沈阳·期末）将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题． 例如，若，，求的值． 解：因为，所以，即． 又因为，所以，所以． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题．      (1)若，，则 ______ （直接填空）； (2)若，，求的值； (3)如图，在长方形中，，，点，分别是，上的点，且，分别以，为边在长方形外作正方形和，在长方形内作长方形，若长方形的面积为，则正方形和面积的和为______ （直接填空）． 【过关检测】 过关检测 一、单选题 1．（2024·安徽合肥·一模）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山东淄博·二模）下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·山东济南·期中）“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）如果，，那么a、b、c的大小关系为（  ） A． B． C． D． 5．（2024年北京市朝阳区中考二模数学试题）已知，则代数式的值为（    ） A．4 B．2 C．1 D．0 二、填空题 6．（2024·浙江杭州·二模）计算： ． 7．（23-24六年级下·山东东营·期中）若是一个完全平方式，则 ． 8．（23-24七年级上·上海青浦·期中）已知，则 ． 9．（23-24七年级下·河南郑州·期中）已知，，，且的值与无关，则 ． 10．（23-24七年级下·全国·假期作业）（1）若，则 ． （2）若，则 ． 三、解答题 11．（23-24七年级下·辽宁锦州·期中）计算 (1)； (2)； (3)（运用整式乘法公式简便计算）； (4)； (5)（运用整式乘法公式简便计算）． 12．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）先化简，再求值：，其中，． 13．（23-24七年级下·河北唐山·期中）（1）已知． ①求和的值． ②求的值． （2）若．请用含x的代数式表示y． 14．（23-24七年级下·浙江温州·期中）科技点亮未来，创新改变生活．某校七年级班同学参加了学校科技节比赛，制作了如图所示航天火箭模型，为了向全校同学宣传自己的科技作品，用板制作了如图所示的宣传版画，它是由一个三角形，两个梯形组成，已知板（阴影部分）的尺寸如图所示． (1)用含的代数式表示图的板模型的总面积（结果需化简）； (2)若，，求板总面积． 15．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）【典例展示】 若关于x，y的代数式的值与x无关，求a的值； 解：原式 ∵代数式的值与x无关， ∴，∴． 【理解应用】 已知，，且的值与x无关，求m的值； 【拓展延伸】 用6张长为a，宽为b的长方形纸片按照如图所示的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分，设左上角部分的面积为，右下角部分的面积为，当的长度发生变化时，的值始终保持不变，求a与b之间的数量关系． 16．（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）【知识生成】数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性可以帮助理解数学问题 （1）如图，将边长为的正方形剪出两个边长分别为的正方形（阴影部分），用两种不同的方法表示阴影部分的面积可得到乘法公式______； 【方法运用】 （2）运用你发现的结论，解决下列问题： ①已知，求的值 ②已知，求的值． 【拓展提升】 （3）如图，以的直角边为边作正方形和正方形．若的面积为5，正方形和正方形面积和为36，求的长度． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 整式的乘除 目录 【考点1 幂的混合运算】 2 【考点2 零指数、负整数指数幂的运算】 3 【考点3 科学记数法表示绝对值小于1的数】 4 【考点4 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 5 【考点5 求完全平方式中的字母系数】 7 【考点6 整式的混合运算】 9 【考点7 整式的混合运算之化简求值】 11 【考点8 乘法公式与几何图形】 13 【过关检测】 22 1.同底数幂的乘法： 2.幂的乘方： 3.积的乘方： 4.整式的乘法： 5.平方差公式： 6.完全平方公式 7.同底数幂的除法： 考点剖析 【考点1 幂的混合运算】 1 例题：（23-24八年级上·湖南衡阳·期末）计算． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据幂的乘方，同底数幂的乘法，幂的除法，再合并同类项，进行计算即可． （2）根据幂的乘方，同底数幂的乘法，幂的除法，再合并同类项，进行计算即可． 【详解】（1）原式； （2）原式 【变式训练】 1．（23-24八年级上·北京朝阳·期末）计算：． 【答案】0 【分析】先计算同底数幂的乘法、积的乘方，再计算同底数幂的除法，最后进行合并同类项即可，此题考查了同底数幂的乘法、积的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： 2．（23-24七年级上·上海普陀·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了幂的混合运算，先根据积的乘方幂的乘方以及同底数幂的乘除法法则计算，再合并即可． 【详解】解：． 3．（22-23七年级下·山东济南·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方进行计算即可求解； （2）根据多项式除以单项式进行计算即可求解． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【点睛】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方，多项式除以单项式，熟练掌握以上运算法则是解题的关键． 【考点2 零指数、负整数指数幂的运算】 例题：（22-23七年级下·辽宁沈阳·期末）计算：； 【答案】 【分析】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，含乘方的有理数的混合运算，先根据有理数的乘方，负整数指数幂，零指数幂进行计算，再算加减即可．能正确根据其运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序． 【详解】解：原式 ． 【变式训练】 1．（22-23八年级下·四川泸州·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂和含乘方的有理数混合计算，先计算零指数幂和负整数指数幂，再计算乘方，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解：． 2．（23-24八年级上·陕西渭南·期末）计算：． 【答案】 【分析】题目主要考查负整数指数幂、零次幂及有理数的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 先计算负整数指数幂、零指数幂及有理数的乘方运算，然后计算加减法即可． 【详解】解： 3．（23-24八年级上·广东汕头·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算、零次幂、积的乘方等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． 先运用乘方、零次幂、积的乘方化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 【考点3 科学记数法表示绝对值小于1的数】 例题：（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）随着北斗系统全球组网的步伐，北斗芯片的研发生产技术也在逐步成熟，国产北斗芯片可支持接收系统的导航信号，应用于自动驾驶、无人机、机器人等高精度定位需求领域，将为中国北斗导航产业发展提供有力支持．目前，该芯片工艺已达纳米（即米）．则数据用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）生物学家发现一种病毒的长度为．将用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可，正确的确定的值，是解题的关键． 【详解】解：； 故答案为：． 2．（22-23八年级上·新疆伊犁·期末）随着电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占，这个数用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：． 故答案为：． 3．（23-24八年级上·广西玉林·期末）我们要“远离毒品，珍惜生命”，科学研究发现某种毒品的分子直径是0.000000051米，则数字0.000000051用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】解：． 故答案为：． 【考点4 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 例题：（23-24八年级上·四川巴中·期末）若的乘积中不含项，则m的值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了多项式乘以多项式．先根据多项式乘多项式的运算法则展开，再根据不含项，令系数为0，即可得出答案． 【详解】解： ∵的展开式中不含项， ， ， 故答案为：． 【变式训练】 1．（22-23七年级下·安徽安庆·期末）要使的展开式中不含项，则m的值为 ． 【答案】 【分析】结合题意，根据整式乘法的性质计算，即可得到答案． 【详解】解： ， ∵展开式中不含项， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了整式的知识；解题的关键是熟练掌握整式乘法的性质，从而完成求解． 2．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期末）要使展开式中不含项和项，则 ． 【答案】11 【分析】本题考查了整式的运算，掌握多项式乘多项式法则，理解展开式中不含项和项是解决本题的关键．利用多项式乘多项式法则先计算，再根据积的展开式中不含项和项求出a、b的值，最后代入计算即可． 【详解】解： ∵展开式中不含项和项， ，且． ． ． 故答案为：11． 3．（23-24八年级上·湖北荆门·期末）已知的展开式中不含项，常数项是，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的混合运算，整式中不含某项的运算，掌握整式的运算法则是解题的关键． 根据多项式乘以多项式展开，再根据不含的项，含项的系数为零即可求解． 【详解】解： ， ∵常数项为， ∴， ∴， ∵不含项， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点5 求完全平方式中的字母系数】 例题：（22-23八年级上·新疆阿克苏·期末）请在横线上补上一项，使多项式 成为完全平方式． 【答案】或 【分析】本题考查了完全平方公式，解题关键是掌握 ． 【详解】解：， 或 故答案为：或． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·四川宜宾·期末）若代数式是一个完全平方式，则 ． 【答案】或4 【分析】本题考查了完全平方公式的应用：根据，结合，列式计算，即可作答． 【详解】解：∵是一个完全平方式 ∴ 则 解得或4 故答案为：或4 2．（23-24八年级上·重庆城口·期末）已知是完全平方式，则a的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了完全平方式的应用能力，根据完全平方公式进行求解即可． 【详解】解：∵ ， ∴， 解得， 故答案为：． 3．（23-24八年级上·河南安阳·期末）在多项式中添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的单项式是 ．（写出一个即可） 【答案】、、、． 【分析】本题主要考查了完全平方式．解决问题的关键是熟练掌握完全平方式特征，全面考虑，三个项分别充当中间项的情况，有三种情况，第四种情况；加上一个数，得到一个单独的单项式，也可以成为一个完全平方式．        多项式中，可把看作是中间项，或是看作第一项，根据完全平方公式可解答；当加上的一个单项式或时，同样成立． 【详解】根据完全平方公式定义得， 当是中间项时，那么，第三项为；组成的完全平方式为， ； 当是第一项时，那么，中间项为，组成的完全平方式为， ； 当多项式加上的一个单项式是或时，同样成立， ， ． 故答案为：、、、． 【考点6 整式的混合运算】 例题：（23-24八年级上·山东滨州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了整式乘法的混合运算，乘法公式，正确进行运算是解题的关键； （1）根据多项式乘多项式的法则展开，最后合并同类项即可； （2）分别利用完全平方公式与平方差公式展开，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式训练】 1．（22-23八年级上·浙江台州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，正确运用乘法公式计算是解题关键． （1）直接利用积的乘方同底数幂的乘法运算法则化简，再合并同类项得出答案； （2）直接利用乘法公式化简，再合并同类项得出答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： 原式 ． 2．（23-24八年级上·山东临沂·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先算积的乘方，再算单项式的除法，然后合并同类项即可； （2）根据单项式乘多项式和平方差公式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可． 本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【详解】（1）解：； ； （2） ． 3．（23-24八年级上·海南海口·期末）计算 (1)； (2)； (3)先化简，再求值：，其中，． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查了整式的混合运算和化简求值，主要考查学生的计算能力和化简能力． （1）根据多项式乘多项式和积的乘方计算可以解答本题； （2）根据单项式乘多项式和完全平方公式可以解答本题； （3）先据单项式乘多项式和完全平方公式化简题目中的式子，然后将x、y的值代入即可解答本题． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ， 当，时，原式． 【考点7 整式的混合运算之化简求值】 例题：（23-24八年级上·湖南衡阳·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的化简求值，运用乘法公式，合并同类项，即整式的混合运算进行化简，再代入求值即可，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 把代入得， 原式． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·四川宜宾·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式混合运算，代数式求值，解题的关键是熟练掌握整式混合运算法则，结合平方差公式和完全平方公式进行计算，然后代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 2．（23-24七年级上·江西抚州·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，5． 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据完全平方公式，单项式乘以多项式的计算法则去小括号，然后合并同类项，再计算多项式除以单项式进行化简，最后代值计算即可． 【详解】解； ， 当时，原式． 3．（23-24八年级上·河南南阳·期末）先化简，再求值：其中，． 【答案】，2024 【分析】本题考查的是整式的化简求值，解题的关键是注意公式的使用，以及合并同类项． 先根据完全平方公式、平方差公式展开，再合并，然后计算除法，最后把m，n的值代入计算即可． 【详解】 ， ， ， 当，时， 原式． 4．（23-24八年级上·河南周口·期末）先化简，再求值： (1)，其中． (2)，其中． 【答案】(1)，3 (2)， 【分析】本题考查了整式的化简求值， （1）先算乘方，再乘除，最后算加减，化简后再代入求值； （2）先算乘方，再乘除，最后算加减，化简后再代入求值； 熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1） ， 将，代入得：． （2） ， 当，时，原式． 【考点8 乘法公式与几何图形】 例题1：（23-24八年级上·山东济宁·期末）数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图形的直观性，可以帮助解数学问题． (1)请写出图1，图3阴影部分的面积分别能解释的数学公式． 图1：______；图3：______．（直接填相应的数学公式） 其中，完全平方公式可以从“形”的角度进行探究，通过图形的转化可以解决很多数学问题，在图4中，已知，求的值． 解：， 又， ．即． (2)若，则______； (3)如图5，点是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求阴影部分面积并写出求解过程． 【答案】(1)， (2)28 (3)12 【分析】本题考查完全平方公式和平方差公式与几何图形之间的联系，掌握数形结合的思想，灵活运用乘法公式是解题的关键． （1）根据阴影部分面积的不同表示方式，列式后即可得出能解释的数学公式； （2）将和看作是整体，然后利用完全平方公式变形，化简后整体代入求解即可； （3）设，则，根据可得，然后根据列式求出，进而可得答案． 【详解】（1）解：图1中阴影部分面积可以表示为，也可以表示为， 故可得：； 图3中阴影部分面积可以表示为，也可以表示为， 故可得： 故答案为：，； （2）解：∵， ∴ ， 故答案为：28； （3）解：设，则， ∵， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∴， 例题2：（23-24八年级上·贵州遵义·期末）现有长为a，宽为b的长方形卡片（如图①）若干张，某同学用4张卡片拼出了一个大正方形（不重叠、无缝隙，如图②）． (1)图②中，大正方形的边长是 ，阴影部分正方形的边长是 ．（用含a，b的式子表示） (2)用两种方法表示图②中阴影部分正方形的面积（不化简），并用一个等式表示，，三者之间的数量关系． (3)已知，求图②中阴影部分正方形的边长． 【答案】(1)，； (2)； (3)阴影部分正方形的边长为6． 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何解释．熟练掌握矩形、正方形的面积公式，是解决问题的关键． （1）观察图形，得出图②中大正方形的边长：，阴影部分正方形的边长： ； （2）方法一：根据“图②中大正方形的面积图①中长方形的面积”可得出阴影部分的面积；方法二：根据“图②中小正方形的面积”可得出阴影部分的面积；再根据两种方法得到的阴影部分的面积相等即可得出，，三者之间的数量关系； （3）将，代入（2）中得出的结论即可得到阴影部分正方形的边长，开平方时，结果取算术平方根． 【详解】（1）观察图形得：图②中大正方形的边长是，阴影部分正方形的边长是； 故答案为：；． （2）方法一：∵图②中大正方形的面积图①中长方形的面积， ∴； 方法二：∵图②中小正方形的面积， ∴， ∴； （3）∵，， ∴由（2）知，， ∵ ∴． ∴阴影部分正方形的边长为6． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）图①、图②分别由两个长方形拼成． (1)图②中的阴影部分面积是：，那么图①中的阴影部分面积为 ； (2)观察图①和图②，请你写出代数式、、之间的等量关系式； (3)利用你发现的规律，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查整式的知识，解题的关键是掌握整式的乘法，从几何图形得到面积的代数式，进行解答． （1）根据图①阴影部分的面积为：两个正方形的面积差，即可； （2）由图①，图②可知，阴影部分面积相等，图②长方形阴影的面积为：，图①阴影部分的面积为：，即可； （3）由（2）得，，则，即可． 【详解】（1）∵图①阴影部分的面积为：两个正方形的面积差， ∴图①阴影部分的面积为：． 故答案为：． （2）由（1）得，图②长方形的阴影面积为：；图①阴影部分的面积为：， ∵图①，图②阴影部分面积相等， ∴代数式，，之间的数量关系式为：． （3）由（2）得，， ∴． 2．（23-24八年级上·山东临沂·期末）如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（），把余下的部分剪拼成一个矩形． (1)通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是：________； A．     B． C．          D． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知：，求的值； ②计算：． 【答案】(1)B (2)①；②． 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，解题的关键是掌握平方差公式并能灵活应用． （1）表示出两个图中阴影的面积可得答案； （2）①由已知和平方差公式可得答案；②先用平方差公式，再约分即可． 【详解】（1）解：第一个图形面积为，第二个图形的面积为， ∴可以验证的等式是：， 故答案为：B； （2）解：① ②原式． 3．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形． （1）请你直接写出三个代数式，，之间的等量关系： ； 根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： （2）已知 ，求 的值； （3）已知 ，求 的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】此题考查了完全平方公式的应用能力，关键是能根据完全平方公式的几何背景准确列式，并能运用公式解决相关问题． （1）图2中利用正方形面积公式，四个图形的面积和，两种方法列出正确结果即可； （2）由可得，故，，即可得出结果； （3）设，，可得，从而利用及的值可求得此题结果． 【详解】解：（1）图2中大正方形的面积可以表示为：， 也可以表示为两个小正方形面积与两个长方形面积的和，即：， ∴； 故答案为：． （2）由（1）题结论可得， ，时， ， ； ； （3）设，， 可得， ， ， 又， 由，可得： ， ∴． 4．（22-23七年级下·辽宁沈阳·期末）将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题． 例如，若，，求的值． 解：因为，所以，即． 又因为，所以，所以． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题．      (1)若，，则 ______ （直接填空）； (2)若，，求的值； (3)如图，在长方形中，，，点，分别是，上的点，且，分别以，为边在长方形外作正方形和，在长方形内作长方形，若长方形的面积为，则正方形和面积的和为______ （直接填空）． 【答案】(1)7 (2)18 (3)236 【分析】本题考查了完全平方公式与图形面积，根据完全平方公式变形求值； （1）根据完全平方公式得出，将代入，即可求解； （2）根据完全平方公式得出，将，代入，即可求解； （3）设，，则，，，由，得，所以，则，所以，即可求得，所以正方形和面积的和为，于是得到问题的答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， 故答案为：． （2）， ， ， ， ， ， 的值是． （3）设，，则， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 正方形和面积的和为， 故答案为：． 【过关检测】 过关检测 一、单选题 1．（2024·安徽合肥·一模）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式乘单项式，熟练掌握幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法法则是解题的关键．先算乘方，再算乘法． 【详解】解： ， 故选：D． 2．（2024·山东淄博·二模）下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同底数幂的乘法、完全平方公式、积的乘方及平方差公式依次判断即可． 【详解】解：A、，选项错误，不符合题意； B、，选项错误，不符合题意； C、，选项错误，不符合题意； D、，选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】题目主要考查同底数幂的乘法、完全平方公式、积的乘方及平方差公式，熟练掌握各个运算法则是解题关键． 3．（23-24七年级下·山东济南·期中）“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：数据用科学记数法表示为． 故选：A． 4．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）如果，，那么a、b、c的大小关系为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了零指数幂和负整数指数幂的运算，先求出，，，然后进行大小比较即可． 【详解】解：， ， ， ∵， ∴， 故选：D． 5．（2024年北京市朝阳区中考二模数学试题）已知，则代数式的值为（    ） A．4 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查整式的混合运算、代数式求值，将变形为，再把变形为，然后整体代入即可． 【详解】解：∵， ∴， 又 ． 故选：A． 二、填空题 6．（2024·浙江杭州·二模）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的除法，根据整式的除法法则：同底数的幂相除，底数不变，指数相减，即可求出答案． 【详解】 故答案为：． 7．（23-24六年级下·山东东营·期中）若是一个完全平方式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式．熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 根据完全平方公式求解作答即可． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（23-24七年级上·上海青浦·期中）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查幂的运算，解题的关键是掌握，，即可． 【详解】∵， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 9．（23-24七年级下·河南郑州·期中）已知，，，且的值与无关，则 ． 【答案】 【分析】先根据题意列出算式，再计算单项式与多项式的乘法，最后合并，由题意得关于的方程，求解即可．此题考查的是单项式乘多项式及整式的加减，掌握其运算法则是解决此题的关键． 【详解】解： ， 的值与无关， ， ． 故答案为：． 10．（23-24七年级下·全国·假期作业）（1）若，则 ． （2）若，则 ． 【答案】 36 9 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算和幂的乘方计算，同底数幂乘法计算，非负数的性质： （1）根据幂的乘方计算法则和幂的乘方计算把原式变形为，进而得到，则； （2）根据非负数的性质得到，则，据此代值计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：36； （2）∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：9． 三、解答题 11．（23-24七年级下·辽宁锦州·期中）计算 (1)； (2)； (3)（运用整式乘法公式简便计算）； (4)； (5)（运用整式乘法公式简便计算）． 【答案】(1)0 (2)4 (3) (4) (5) 【分析】此题考查了整式的混合运算、乘法公式、多项式除以单项式等知识，熟练掌握运算法则和顺序是解题的关键． （1）按照幂的运算法则和顺序计算即可； （2）计算乘方、零指数幂和负整数指数幂后计算加减法即可； （3）变形后利用平方差公式计算即可； （4）利用多项式除以单项式的法则计算即可； （5）利用平方差公式和完全平方公式计算即可． 【详解】（1） （2） （3） （4） （5） 12．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查整式的化简求值，利用完全平方公式、平方差公式，以及整式的乘法运算化简去括号，再合并同类项后，利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，再把x与y的值代入计算求值即可解题． 【详解】解：， ， ， ， ，， 原式， ， ． 13．（23-24七年级下·河北唐山·期中）（1）已知． ①求和的值． ②求的值． （2）若．请用含x的代数式表示y． 【答案】（1）①，；②20；（2） 【分析】本题考查的是同底数幂的除法运算，幂的乘方运算，掌握运算法则是解本题的关键； （1）①由可得，再进一步计算可得答案；②由可得，结合，再进一步计算可得答案； （2）由，可得，，再进一步计算可得答案． 【详解】解：（1）①∵， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ； （2）∵， ∴， ∴ ， 14．（23-24七年级下·浙江温州·期中）科技点亮未来，创新改变生活．某校七年级班同学参加了学校科技节比赛，制作了如图所示航天火箭模型，为了向全校同学宣传自己的科技作品，用板制作了如图所示的宣传版画，它是由一个三角形，两个梯形组成，已知板（阴影部分）的尺寸如图所示． (1)用含的代数式表示图的板模型的总面积（结果需化简）； (2)若，，求板总面积． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式及代数式求值是解题的关键． （）结合图形表示出梯形和三角形的面积，再相加即可； （）将化成，代入计算即可． 【详解】（1）解：板模型的总面积 ， ； （2）解：∵，， ∴ ． 15．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）【典例展示】 若关于x，y的代数式的值与x无关，求a的值； 解：原式 ∵代数式的值与x无关， ∴，∴． 【理解应用】 已知，，且的值与x无关，求m的值； 【拓展延伸】 用6张长为a，宽为b的长方形纸片按照如图所示的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分，设左上角部分的面积为，右下角部分的面积为，当的长度发生变化时，的值始终保持不变，求a与b之间的数量关系． 【答案】【理解应用】； 【拓展延伸】 【分析】本题考查了整式的混合运算的应用： 【理解应用】先去括号得，再根据去关型问题得，进而可求解； 【拓展延伸】设，由图得，，则可得，根据题意得，进而可求解； 熟练掌握其运算法则是解题的关键． 【详解】解：【理解应用】 ， 的值与x无关， ， 解得：； 【拓展延伸】设， 由图得：，， ， 的长度发生变化时，的值始终保持不变， ， ． 16．（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）【知识生成】数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性可以帮助理解数学问题 （1）如图，将边长为的正方形剪出两个边长分别为的正方形（阴影部分），用两种不同的方法表示阴影部分的面积可得到乘法公式______； 【方法运用】 （2）运用你发现的结论，解决下列问题： ①已知，求的值 ②已知，求的值． 【拓展提升】 （3）如图，以的直角边为边作正方形和正方形．若的面积为5，正方形和正方形面积和为36，求的长度． 【答案】（1）；（2）①24，②；（3）4 【分析】此题主要考查了完全平方公式，理解题意，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解决问题的关键． （1）利用阴影部分面积由大正方形面积减去两个矩形面积即可得到，或者利用两个大矩形面积减去两个小矩形面积可以得到； （2）①由，得到，代入计算即可；②令，则，则，由，得到，代入计算即可； （3）设，，则，由的面积为5，得到，而，由，代入计算即可． 【详解】解：（1）图中阴影部分面积表示为， 即 故答案为：； （2）①， ， ，， ∴ ， ②已知，求 令，则， ∴， ∵ ，， ， 即； （3）设，，则， 的面积为5， ， ， 正方形和正方形面积和为36， ， ， ， ， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$