专题04 三角形的证明- 【暑假自学课】2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（北师大版）

专题04 三角形的证明 目录 【考点1 等腰三角形中求角度、边长】 3 【考点2 等腰三角形的判定和性质】 7 【考点3 等边三角形中求角度、边长】 11 【考点4 等边三角形的判定和性质】 16 【考点5 全等的性质和HL综合】 21 【考点6 与等腰三角形，直角三角形有关的多解题】 26 【考点7 利用线段的垂直平分线的性质求解】 32 【考点8 利用角平分线的性质求解】 34 【考点9 线段的垂直平分线的判定和性质】 37 【考点10 角平分线的判定和性质】 41 【过关检测】 46 1.等腰三角形的性质 （1）等腰三角形性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角） （2）等腰三角形性质2： 文字：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称：等腰三角的三线合一） 图形：如下所示； 符号：在中，AB＝AC， 2.等腰三角形的判定 （1）等腰三角形的判定方法1：（定义法）有两条边相等的三角形是等腰三角形； （2） 等腰三角形的判定方法2：有两个角相等的三角形是等腰三角形；(简称：等角对等边) 3.等边三角形的性质 （1）等边三角形性质1：等边三角形的三条边都相等； （2） 等边三角形性质2：等边三角形的每个内角等于； （3）等边三角形性质3：等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴. 4.等边三角形的判定 （1）等边三角形的判定方法1：（定义法：从边看）有三条边相等的三角形是等边三角形； （2）等边三角形的判定方法2：（从角看）三个内角都相等的三角形是等边三角形； （3）等边三角形的判定方法3：（从边、角看）有一个内角等于的等腰三角形是等边三角形. 5.直角三角形全等的判定 图形 定理 符号 如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记：H.L） 在中，， 6.直角三角形的性质定理及推论 定理1 直角三角形的两个锐角互余； 定理2 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 推论1：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 推论2：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于. 7.勾股定理 图形 名称 定理 符号表示 边的定理 在直角三角形中，斜边大于直角边. 在中， 勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方. 在中，， 勾股定理 逆定理 如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形. 在中，， 8.线段的垂直平分线 9.角的平分线 考点剖析 【考点1 等腰三角形中求角度、边长】 1 例题1：（22-23八年级上·浙江台州·期末）已知在中，，点、分别在边和上，且，若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】 本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，等边对等角，等角对等边；正确确定相等关系列出方程是解题的关键． 设，，根据，即可列出方程，从而求解． 【详解】 解：设，， ， 又， ， 则， 又， ， 解得， 的度数是． 故答案为：． 例题2：（23-24八年级上·山东济宁·期末）如图，在等腰中，，D为上一点，且，若，，则的长是 ． 【答案】14 【分析】此题考查了含度的直角三角形的性质，等腰三角形的性质．过点作于，根据含度的直角三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质即可求解． 【详解】解：过点作于， ， ， ， ， ， 在等腰中，， ． 故答案为：． 【变式训练】 1．（22-23七年级下·辽宁沈阳·期末）在中，，，在直线上取一点，使，连接，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】根据等腰三角形的性质可以得到各内角的关系，然后根据题意，画出图形，利用分类讨论的方法求出的度数即可． 本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，解答本题的关键是正确画出图形，利用分类讨论的方法解答． 【详解】解：如图所示， 当点在点的左侧时， ，， ， ， ， ， ； 当点在点的右侧时， ，， ， ， ， ， ； 由上可得，的度数是或， 故答案为：或． 2.（23-24七年级上·山东威海·期末）如图，点在边上，. 若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质、三角形的外角性质、平行线的性质，根据平行线的性质得，再根据三角形的外角的性质得，再利用可得，进而可得，进而可得，再根据即可求解，熟练掌握相关判定及性质是解题的关键． 【详解】解：， ， ，且，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：． 3．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，已知为，点在边上，，点、在边上，．若为，则为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是含30度直角三角形的性质、等腰三角形的性质；过作，交于点，先说明，再根据含30度直角三角形的性质可得的长；由，利用等腰三角形三线合一可得为中点，再根据求出的长，最后根据即可解答． 【详解】解：如图：过作交于点，    在中， ∴， ∵， ， ，，， ， ． 故答案为：． 4．（23-24八年级上·湖北荆州·期末）如图，等腰三角形的底边长为，面积是，腰的垂直平分线分别交，于点、，若点为底边的中点，点为线段上一动点，则的周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是轴对称最短路线问题，等腰三角形三线合一的性质；连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接，    是等腰三角形，点是边的中点， ， ， 解得， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， 的长为的最小值， 的周长最短． 故答案为：． 【考点2 等腰三角形的判定和性质】 例题：（23-24八年级上·广东汕头·期末）如图，在中，以为边作等边，以为边作等边，连并延长交于点． (1)求证：； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是等腰三角形 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定、等边三角形的性质： （1）根据等边三角形的性质得，，，进而可得，再利用可证得，进而可求证结论； （2）由（1）得：，，进而可得，进而可得，进而可求解； 熟练掌握相关的判定及性质是解题的关键． 【详解】（1）证明： 和都是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ． （2）由（1）得：，， 是直角三角形，且， ， ，， ， ， 是等腰三角形． 【变式训练】 1．（22-23八年级上·北京密云·期末）如图，在中，，，与的角平分线、分别交、边于点D和点E．    (1)求证：是等腰三角形； (2)用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用三角形内角和，角平分线的定义得出，进而得出，即可得出结论； （2）延长至，使，连接，利用等边对等角和三角形的外角得出，再证明，根据全等三角形的性质得出，再根据线段的和差即可得出． 【详解】（1）解：证明：在中，，， ， 平分， ， ， ， 是等腰三角形． （2）， 证明：延长至，使，连接，    ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ，即． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 2．（22-23八年级上·广东汕头·期末）如图，已知点O在等边的内部，，，以为边作等边，连接． (1)求证：； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； 【答案】(1)证明见解析 (2)等腰直角三角形，理由见解析 【分析】（1）证明，即可得证； （2）根据，得到，进而得到，利用，求出，推出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵，为等边三角形， ∴， ∴， 在和中： ， ∴， ∴； （2）解：是等腰直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定．熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等，是解题的关键． 【考点3 等边三角形中求角度、边长】 例题1：（23-24七年级上·山东青岛·期末）如图，是等边三角形的中线，，则 ． 【答案】/75度 【分析】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质及三角形内角和定理，根据等边三角形任意一边的三线合一得到。结合等腰三角形两底角相等即可得到答案； 【详解】解：∵三角形是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形的中线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 例题2：（22-23八年级下·贵州六盘水·期末）如图，已知等边三角形的边长为3，过边上一点作于点，为延长线上一点，取，连接，交于，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的三线合一，全等三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的三线合一，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意，作，可证是等边三角形，，由此可得，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作，交于点， ∵是等边三角形，， ∴， ∴是等边三角形，即， ∵， ∴是的角平分线，是的中线， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·山东滨州·期末）如图，等边中，点分别在边上，把沿直线翻折，使点落在点处，分别交边于点．如果测得，那么 ．    【答案】 【分析】本题考查了翻折变换问题，三角形内角和，解题的关键是由等边三角形可得，由折叠的性质可得，根据三角形内角和结合对顶角相等可得，再利用三角形内角和求出结果． 【详解】解：是等边三角形， ， 由翻折可得， ， ， ， ， 故答案为：． 2．（23-24八年级上·福建南平·期末）如图，和都是等边三角形，点E，F分别在边和上，且，若的周长最小时，则的大小是 ． 【答案】/30度 【分析】本题考查了等边三角形的性质以及垂线段最短，全等三角形的性质与判定：先通过等边三角形的性质证明，得，因为，所以是等边三角形，则当时，的周长最小，此时，即可作答． 【详解】解：∵和都是等边三角形，且， ∴， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， 则的周长， ∴当时，有最小值， ∵等边三角形的三线合一， ∴． 故答案为：． 3．（22-23七年级下·四川成都·期末）如图，等边边长为， 点 D， E 分别在边边上， 以为边往下作等边， 连接， 当且的周长最小时，的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查等边三角形的性质，两点之间线段最短，直角三角形中30度角所对的边是斜边的一半．作点F关于对对称点，连接，当共线，且点E为中点时，的周长最小，由等边三角形的性质得到，根据即可求解． 【详解】解：如图，作点F关于对对称点，连接， 则 ，为等边三角形， 的周长为， 当共线，且点E为中点时，的周长最小， 为等边三角形， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 4．（23-24八年级上·山西吕梁·期末）如图，点，分别为等边三角形的边，上的点，且，与相交于点，于点．若，，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．由题中条件可得，得出，，进而得出，又，所以在中，求解的长，进而可得出结论． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：6 【考点4 等边三角形的判定和性质】 例题：（23-24七年级上·山东威海·期末）如图，在中，，，，垂足为点G，，，的两边分别交，于点E，F． (1)连接，判断的形状，并证明你的结论； (2)求证：． 【答案】(1)是等边三角形，见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． （1）根据等边三角形的判定方法进行判断即可； （2）证明，得出即可． 【详解】（1）解：是等边三角形． 证明：∵，， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴是等边三角形． （2）解：∵是等边三角形， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）【课本巩固】如图①，在等边中，为边上一点，为上一点，且，连接与相交于点． （1）与的数量关系为______，与构成的锐角夹角的度数是______； 【探究发现】 （2）在（1）的基础上，延长至点，使，连接，，如图②所示，求证：平分． 【拓展延伸】 （3）如图③，在等边中，为边上一点，为上一点，且，，，求． 【答案】（1），；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形的面积公式； （1）根据等边三角形的性质和全等三角形的性质即可得到结论； （2）由（1）可知，，求得，推出是等边三角形，根据等边三角形的性质得到， ，根据全等三角形的性质得到，根据角平分线的定义即可得到结论； （3）连接，设，得出，，进而得出，根据，即可求解． 【详解】（1）解：如图①，是等边三角形， ，， 在和中 ， ，， ， 故答案为：，； （2）证明：由（1）可知，， ， ， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 即， ， ， ， ， 平分； （3）如图所示，连接， 设， 在等边中，， 又， ， ， ， 又，则， 同理可得，，又， ， ， ， ， ． 2．（22-23八年级下·广东·期末）已知，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且． (1)【特殊情况，探索结论】 如图1，当点为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论： 　　(填“”、“”或“”)． (2)【特例启发，解答题目】 如图2，当点为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论， 　　(填“”、“”或“”)；理由如下，过点作，交于点．(请你完成以下解答过程)． (3)【拓展结论，设计新题】 在等边三角形中，点在直线上，点在线段的延长线上，且，若的边长为，，求的长(请你画出相应图形，并直接写出结果)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 本题考查等边三角形判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质； （1）由等腰三角形的性质得到，再由等边三角形的性质得到，然后证，得出即可得出结论； （2）过点E作，交于点F，证出为等边三角形，得出，再证，得出，即可得出结论； （3）当点E点在的延长线上时和E在延长线上时，分别作出图形，作，同（2）得出为等边三角形，，则，，即可得出答案． 【详解】（1）， 理由如下：， ， 三角形为等边三角形， ， 点E为的中点， ，， ， ， ， ， ， ； 故答案为：． （2）， 理由如下：过点E作，交于点F， 则，，， 为等边三角形， ，， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； 故答案为：． （3）当点E点在的延长线上时，点D在的延长线上，如图， 不合题意； 点E在延长线上时，作， 同（2）可得则为等边三角形， 如图所示，同理可得， ∵，， ∴， ， ∵， 则． 【考点5 全等的性质和HL综合】 例题：（22-23八年级上·四川泸州·期末）如图，在中，，是延长线上的一点，点是的平分线上的一点，，过点作于点，于点． (1)求证： (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解答本题的关键． （1）先证明，即有，结合，即可得； （2）由（1），，进而可得，根据，可得，即可得，则可求． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴和是直角三角形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， （2）∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的长为1． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·陕西渭南·期末）如图所示，点、、、在一条直线上，，过点，分别作，，，连接交于点．求证： (1)； (2)平分． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定： （1）只需要证明即可证明； （2）只需要证明，得到，即可证明平分． 【详解】（1）证明：，， ， ， ，即， ， ， ； （2）证明：由（1）知， ，， ， ， ， ， 平分 2．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）（1）如图1，中，，平分交于，过点作的垂线交的垂直平分线于M，连AM，N在的延长线上．求证：平分； （2）把（1）中的“平分交手”换成“平分的外角交直线于D”，其他条件不变，请在图2中补全图形，并直接写出的度数______；（用含的式子表示） （3）在（1）的条件下；若（如图3），且，作于，求的长度． 【答案】（1）见解析；（2）补全图形见解析，（3）2.5 【分析】本题考查的是三角形全等的判定和性质、角平分线的性质、三角形内角和定理． （1）根据垂直的定义得到，根据角平分线的定义得到，得到； （2）连接，过点M作于E，交CA的延长线于H，根据题意得到，证明，得到，根据等腰三角形的性质计算，得到答案； （3）连接，过点M作交的延长线于E，根据角平分线的性质得到，证明，得到，根据题意列式计算即可． 【详解】解：（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴，即平分； （2）解：如图2，连接，过点M作于E，交CA的延长线于H， 则， 由（1）可知：， ∵， ∴， ∵点M在的垂直平分线上， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3）解：如图3，连接，过点M作交的延长线于E， ∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 解得：． 【考点6 与等腰三角形，直角三角形有关的多解题】 例题：（23-24八年级上·江西南昌·期末）在的网格中，有、、三个格点，当是直角三角形时，则点的坐标可以是 . 【答案】或或 【分析】本题考查了坐标与图形性质，也考查了三角形直角三角形的性质，利用三角形直角三角形的性质确定点C的位置即可． 【详解】解：由题意得：当是直角三角形时，则点的坐标可以是或或， 故答案为：或或 【变式训练】 1．（22-23七年级下·江苏宿迁·期末）如图，在中，，、分别是的高和角平分线，点E为边上一点，当为直角三角形时，则 ．    【答案】50或25/25或50 【分析】根据三角形内角和定理得，由角平分线的定义得，当为直角三角形时，存在两种情况：分别根据三角形外角的性质即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴ ∵平分 ∴ 当为直角三角形时，有以下两种情况： ①当时，如图1，    ∵， ∴； ②当时，如图2，    ∴， ∵， ∴， 综上，的度数为或． 故答案为：50或25． 【点睛】本题考查的是直角三角形的两锐角互余，三角形外角的性质，熟知“三角形的外角的性质”是解答此题的关键． 2．（23-24八年级上·四川达州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，以点为直角顶点，为腰作等腰，则点的坐标为 ．    【答案】或 【分析】分两种情况讨论：①当点在第四象限时，过作轴于点，首先证明，由全等三角形的性质可得，， 即可确定点的坐标；当点在第三象限时，过作轴于点，同理可证明，由全等三角形的性质可得，，然后确定点的坐标即可． 【详解】解：分两种情况： ①如下图，当点在第四象限时，    过作轴于点， ∴， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴，， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为； ②如下图，当点在第三象限时，    过作轴于点， 同理可证明， ∴，， ∴， ∴点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形两锐角互余等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键． 3．（2024·江西上饶·一模）如图，在三角形纸片中，，将三角形纸片折叠，使点的对应点落在上，折痕与分别相交于点、，当为等腰三角形时，的长为 ． 【答案】3或6或 【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，以及折叠性质，三角形内角和性质、外角性质，综合性较强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得出，再进行分类讨论，进行作图，结合直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，以及折叠性质，三角形内角和性质、外角性质，逐一分析解答， 【详解】解：∵， ∴， 如图：时 ∴折叠 ∴， ∴是直角三角形的斜边上的中点， ∴， 此时点与重合， ∵折叠， ∴； 如图：时 ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴此时点与点重合， 即； 如图：时 ∵， ∴， ∵折叠， ∴， 则， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ， 即， 解得， 综上：当为等腰三角形时，的长为3或6或， 故答案为：3或6或， 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，以及折叠性质，三角形内角和性质、外角性质，综合性较强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 4．（2023·江苏泰州·中考真题）如图，中，，，射线从射线开始绕点C逆时针旋转角，与射线相交于点D，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点E．若是等腰三角形，则的度数为 ．      【答案】或或 【分析】分情况讨论，利用折叠的性质知，，再画出图形，利用三角形的外角性质列式计算即可求解． 【详解】解：由折叠的性质知，， 当时，，      由三角形的外角性质得，即， 此情况不存在； 当时，   ，， 由三角形的外角性质得， 解得； 当时，，    ∴， 由三角形的外角性质得， 解得； 当时，，      ∴， ∴； 综上，的度数为或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，画出图形，数形结合是解题的关键． 【考点7 利用线段的垂直平分线的性质求解】 例题：（23-24八年级上·吉林·期末）如图，在中，，，，边的垂直平分线交于点D，连接，则的长为 ． 【答案】2 【分析】 本题主要考查了三角形外角性质，线段垂直平分线的性质，含直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【详解】 解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：2． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·四川绵阳·期末）如图，在中，，点在的垂直平分线上，将沿翻折后，使点落在点处，线段与相交于点，则 ． 【答案】/81度 【分析】 本题主要考查了折叠的性质、线段垂直平分线的性质、三角形的内角和定理等知识点，熟记折叠的性质是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质求出，根据三角形外角性质求出，根据折叠的性质求出，根据平角定义求出，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵点D在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴， ∵将沿翻折后，使点落在点处， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 2．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，在中，的垂直平分线分别与交于点的垂直平分线分别与交于点，则的周长是 ．    【答案】18 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．由线段的垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可得到答案． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ， ， ∴的周长， 故答案为：18． 【考点8 利用角平分线的性质求解】 例题：（23-24七年级上·山东东营·期末）如图，在中，，，平分，交于点，于点，，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质和全等三角形的判定与性质，利用角平分线的性质的性质得出，证明，然后根据全等三角形的性质得到，最后通过即可求出的周长，熟练掌握角平分线的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为， 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·吉林白城·期末）如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧交于点和点，再分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交于点．若，则 度． 【答案】20 【分析】本题考查等腰三角形性质，以及角平分线的性质，根据等腰三角形性质得到，推出，利用角平分线的性质得到，即可解题． 【详解】解：，， ， 由题知， ， ， 由题知平分， ． 故答案为：20． 2．（23-24八年级上·四川凉山·期末）如图，在中，的角平分线与的垂直平分线交于点，于点，，交的延长线于点．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查线段垂直平分线和角平分线的性质，以及三角形全等的判定与性质，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．连接、，由是的垂直平分线，得，由是的平分线，，，得出，证出，可得，证明，可得，从而有，即可得到，即可求出的长． 【详解】解：如图，连接、， 是的垂直平分线， ， 是的平分线，，， ， 在和中， ， ， , 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【考点9 线段的垂直平分线的判定和性质】 例题：（23-24八年级上·河南驻马店·期末）如图，是的角平分线，，分别是和的高． (1)试说明垂直平分； (2)若，，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题考查角平分线的定义及线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质． （1）证明和全等即可解决问题． （2）利用面积法可求出的长，再根据即可解决问题． 【详解】（1）证明：平分， ． ，分别是和的高， ． 在和中， ， ， ，， 点和点在的垂直平分线上， 垂直平分； （2）解：，， ， 又， ． ，平分， ． ． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，在中，点E，F分别是边上的点，且，连接交于点D，．    (1)求证：； (2)直线是线段的垂直平分线吗？请说明理由； (3)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)是；理由见解析； (3)． 【分析】题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与等边三角形的判定与性质： （1）利用即可证明； （2）根据全等三角形的性质得出，根据等腰三角形的性质及角的和差求出，则，根据线段垂直平分线的判定定理即可得解； （3）根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出，结合（2）推出是等边三角形，根据等边三角形的性质及三角形外角性质求解即可． 【详解】（1）解：证明：∵， ∴； （2）解：直线是线段的垂直平分线； 理由：由，得， ∴， ∴，即， ∴． ∵， ∴直线是线段的垂直平分线； （3）解：∵， ∴． 由（2）得． 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 2．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，和都是等腰三角形，、分别是这两个等腰三角形的底边，且．    (1)求证：； (2)如果．求证：垂直平分线段． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定．熟练掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定是解题的关键． （1）证明，进而结论得证； （2）如图，连接，证明，则，根据，可证垂直平分线段． 【详解】（1）证明：和都是等腰三角形， ，， ， ，即． 在和中， ∵， ， ． （2）证明：如图，连接，    由（1）可知，， 又， ， ． 在和中， ∵， ， ． 点在的中垂线上． ∵， 点在的中垂线上， 垂直平分线段． 【考点10 角平分线的判定和性质】 例题：（23-24八年级上·宁夏银川·期末）如图，在和中，，，，延长，交于点M． (1)求证：平分； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】 （1）连接，证明，可得，根据角平分线的判定即可证明； （2）利用平行线的性质证明，设，则，根据勾股定理即可解决问题． 【详解】（1）证明：如图，连接， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴平分． （2）∵ ∴， 由（1）知，平分, ∴, ∴， ∴， 设，则， 在中， ， 即， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，勾股定理解三角形，以及平行线的性质．掌握这些性质即可解题． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·江西宜春·期末）如图：已知在等腰中，，点为左侧一动点，点在的延长线上，交于点，且．    (1)求证：； (2)请你判断是否平分，并证明你的结论； (3)若在点运动的过程中，始终有，在此过程中，请你判断的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)平分，证明见解析； (3)的度数不变， 【分析】（1）根据三角形内角和定理和已知条件，即可得到结论； （2）过点A作于点，作于点，证明．则，根据角平分线的判定定理即可得到结论； （3）在上截取，连接．先证明，再证明，则，即可证明是等边三角形，则，即可得到 【详解】（1）证明：，， ； （2）平分 证明：如图，过点A作于点，作于点．    则． 在和中， ， ． ， 平分； （3）的度数不变，， 如图，在上截取，连接．    ． ， ， ， ，即是等边三角形， ， ， ． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、角平分线的判定、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 2．（23-24八年级上·山东德州·期末）如图，向外作和等边，连接． (1)如图1，当也是等边三角形时，连接，交于点． ①试猜想、的关系，并说明理由； ②连接，问是否平分，为什么？ (2)如图2，当是直角三角形时，若，． 求证：． 【答案】(1)①猜想：，理由见解析；②平分，理由见解析； (2)见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． （1）①证明，从而得出； ②作于点，作于点．由①结论可得：，从而，从而推出，进而得出结果； （2）向外作等边，连接，由（1）①的结论可得：，可证得点、点、点点共线，从而得出是线段的垂直平分线，进一步得出结论． 【详解】（1）解：①，且，理由如下： 和都是等边三角形， ，，， ∴ ， ∴； ②如图1， 平分， 理由：作于点，作于点． 由①结论可得：， ， ， ， 平分； （2）证明：如图2， 向外作等边，连接， 由（1）①的结论可得：， 是等边三角形， ， ， ， ，，， ， 点、点、点点共线， 是线段的垂直平分线， ， ． 【过关检测】 过关检测 一、单选题 1．（23-24八年级上·河南许昌·期末）如图，中，，、的垂直平分线分别交于点、，连接、，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，等边对等角．根据三角形内角和定理得到，根据线段垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等”得到，，根据等腰三角形的性质得到，，结合图形计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵的垂直平分线分别交于点E、F， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 故选：B． 2．（23-24九年级上·甘肃兰州·期末）如图，在等边中，是边上的中线，延长至点，使，若，则（　　） A． B．6 C．8 D． 【答案】C 【分析】此题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．先由等边三角形的性质，得，，，再根据，得，进而得，则，然后在中，由勾股定理求出即可． 【详解】解：为等边三角形， ，， 是边上的中线， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ． 故选：C． 3．（22-23八年级上·北京朝阳·期末）如图，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”下列关于筝形的结论错误的是（    ） A．直线是筝形的对称轴 B．对角线平分， C．对角线，互相垂直平分 D．筝形的面积等于对角线与的乘积的一半 【答案】C 【分析】本题根据对称轴的定义可判断A项，根据题意证明，利用全等三角形性质和角平分线的判定，可判断B项，根据垂直平分线判定可判断C项，再利用三角形面积公式可判断D项，即可解题． 【详解】解：，，， ， 直线是筝形的对称轴， A结论正确，故A项不符合题意； ，， 对角线平分，， B结论正确，故B项不符合题意； ，， 对角线垂直平分， C结论错误，故C项符合题意； 记对角线，相交于点， 筝形的面积为， ， 筝形的面积等于对角线与的乘积的一半， D结论正确，故D项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质和判定、全等三角形的性质和判定、轴对称图形的定义、角平分线的判定，熟练掌握相关性质判定并灵活运用即可解题． 4．（23-24八年级上·湖北随州·期末）如图，在四边形中，，平分，，，，，则的面积是（    ）    A． B．6 C．9 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义和三角形的面积，利用全等三角形的性质求出是解此题的关键．可以过D作，交的延长线于F，证明得出，，再证明，得出，求出，求出的面积即可． 【详解】解：过D作，交的延长线于F，    ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴ ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∴ ∴的面积为， 故选：A． 5．（23-24八年级上·重庆永川·期末）如图，是等边三角形，以为边向外作等边三角形，点E，F分别在，上，且，连接，两直线相交于点G，连接，下列结论： ①，  ②，  ③，  ④， ⑤．其中正确的结论有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】 此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 根据等边三角形的性质及全等三角形的判定可判断①；再由全等三角形的判定和性质及等边三角形的性质、三角形外角的性质即可判断②；延长到点M，使，连接．继续利用等边三角形及全等三角形的判定和性质即可判断③④；再由等边三角形及三角形面积即可判断⑤． 【详解】 解：∵是等边三角形，以为边向外作等边三角形， ∴，即与最长边不相等， ∴与不全等，故①错误； ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴，选项②正确；    延长到点M，使，连接． 由②知，， ∴， ∵． ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，故④正确； ∴，故③正确； 根据条件无法证明，故⑤错误， 正确的有②③④，共3个， 故选：C． 二、填空题 6．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）如图，是等腰直角三角形，，平分交于点D，于E．若的周长为，则 ． 【答案】8 【分析】根据角平分线的性质和是等腰直角三角形得，，是等腰直角三角形，即可通过等腰直角三角形的性质求出的长度，进而求出的长度．本题考查了三角形的边长问题，掌握角平分线的性质、等腰直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】∵是等腰直角三角形，，平分交于点，于 ∴，，是等腰直角三角形， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴ ∴ ∴ 故答案为：8． 7．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于P，连接并延长交于点D，若，则 ． 【答案】 【分析】 本题考查基本作图—作角平分线，含30度角的直角三角形，等腰三角形的判定和性质，根据题意，得到平分，进而得到，利用含30度角的直角三角形的性质以及等角对等边得到，即可． 【详解】解：∵， ∴， 由题意，得：平分， ∴， ∴， 在中，， ∴； 故答案为：． 8．（22-23八年级上·山东济南·期末）如图，在中，，点在上，，，延长至点，使，过点作于点，交于点，若，则 ． 【答案】 【分析】过点作于点，设，则，求出，利用直角三角形的性质得，则，同理得，则，，再证，进而可依据“”判定和全等，从而得，则，由此解出即可得的长． 【详解】解：过点作于点，如图所示： 设， ， ， ， 在中，，则， ， ， ， ， 在中，，则， ， ， ，， ， 又，， ， 在和中， ， ， ， ，解得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，理解直角三角形中，的角所对的直角边等于斜边的一半是解决问题的关键． 9．（23-24八年级上·河南驻马店·期末）如图，在中，，，E是的中点，在斜边上有一动点D．从点B出发，沿着的方向以每秒的速度运动，当点D运动到点A时，停止运动．设动点D的运动时间为，连接，若为等腰直角三角形，则t的值为 ． 【答案】或/或 【分析】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理．分和，两种情况进行讨论即可． 【详解】解：∵，，是的中点， ∴， 由题意，得：， 当为等腰直角三角形时，分两种情况： ①当时， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理，得：， ∴（负值舍去）； ②当时， 则：， ∴， 由勾股定理，得：， 解得：（负值已舍掉）； 综上：或． 故答案为：或． 10．（23-24八年级上·河南驻马店·期末）如图，在中，，，，若点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒（）．若点恰好运动到的垂直平分线上时，则的值为 秒．    【答案】秒或 【分析】本题考查了勾股定理，垂直平分线的性质的运用，利用分类讨论思想是解题的关键，作线段的垂直平分线，点P恰好运动到的垂直平分线上时，分两种情况进行讨论，即可得到t的值． 【详解】解：如图，作的垂直平分线，    在中，由勾股定理可得：， ①， ， 由时，， 在中， 由勾股定理可得：，即， 解得：秒； ②由时，， 即， 解得：， 综上所述，的值为或秒， 故答案为：秒或秒． 三、解答题 11．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，点是边上的一点，连接，垂直平分线段，垂足为，交于点，连接． (1)若，的周长为7，求的周长； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)的周长为19； (2) 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等： （1）根据线段垂直平分线的性质得到，，根据三角形周长公式得到，则的周长为； （2）由线段垂直平分线的性质得到，，证明，得到，则． 【详解】（1）解：是线段的垂直平分线， ，， ， ， 的周长为， 的周长为； （2）解：是线段的垂直平分线， ∴， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 12．（23-24八年级上·云南曲靖·期末）如图，已知，点在射线上，点在射线上，且．连接，以为边，在内部作等边． (1)求证：点在的角平分线上； (2)连接，试探究、、的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)．理由见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质、三角形全等的判定与性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）过点作于点，过点作于点，证明，得出，即可得证； （2）方法一：证明，得出，即可得证； 方法二：在上截取线段，使得，证明，得出，即可得证； 方法三：在上截取，连接，证明，得出，即可得证． 【详解】（1）证明：过点作于点，过点作于点， ， 在等边中，，， 在四边形中，， ， ， ， 在与中， ， ， ， ，， 点在的角平分线上； （2）解：方法一：． 理由如下： 由（1）可知：点在的角平分线上， ， ， ， ， ，， ， ， ，即 方法二：． 理由如下： 在上截取线段，使得， 平分， ， 为等边三角形， 与为等边三角形， ，，， ，即， 在与中， ， ， ， ， ； 方法三：． 理由如下： 在上截取，连接， ， 平分， ， ， 为等边三角形 ， 又为等边三角形 ，， ， 在和中， ， ， ， ． 13．（23-24八年级上·湖北随州·期末）如图，在等腰中，，为的中点，，垂足为，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：． (2)连接，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)为等腰直角三角形；理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质及等腰三角形性质和判定． （1）欲求证，先证明，需证明，利用三角形全等，易证． （2）要判断的形状，看其边有无关系．根据（1）的推导，易证，从而判断其形状． 【详解】（1）证明：在等腰直角中， ， ， ∵， ， ， ∵， ， ， ， 又为的中点， ， 即， 在和中， ， ． ． ， ， 即． （2）解：是等腰三角形，理由为： 连接，如图所示， 由（1）知：， ， 是等腰直角三角形，且是的平分线， 垂直平分， ， ， ， 是等腰三角形． 14．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，在四边形中，是四边形的对角线，，，且． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，若，求的度数； (3)如图3，延长、相交于点E，再过点E作射线交的延长线于点F．若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）过点C作，交的延长线于E，于点F，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论； （2）延长，使，证明，由全等三角形的性质得出，证明是等边三角形，得出； （3）证出，在上截取，连接，证明，得出，，证明，得出，则可得出结论． 【详解】（1）证明：过点C作，交的延长线于E，于点F ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴平分； （2）解：延长，使， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴； （3）证明：由（1）可知，平分， ∵， ∴平分， ∴， 在上截取，连接， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定和性质，等边三角形的判定与性质，补角的性质，解本题的关键是作出辅助线，构造出全等三角形． 15．（23-24八年级上·浙江衢州·期末）如图1，等腰三角形中，是边上的中线，延长至点，使，连结． (1)求证：是等腰直角三角形． (2)如图2，过点作的垂线交于点，试判断的形状，并说明理由． (3)如图3，在（2）的基础上，，连结，若是直角三角形，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)等腰三角形，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查等腰三角形判定和性质，全等三角形的判定与性质、直角三角形的分类讨论． （1）利用等腰三角形性质证明即可； （2）利用同角的余角相等证明，再证明即可； （3）分类讨论或即可． 【详解】（1）证明：是边上的中线 又 是等腰直角三角形； （2）是等腰三角形，理由： 是边上的中线 是等腰直角三角形 ，即 是等腰三角形； （3）解：①当时， 在和中 设，则 ，解得，即； ②当时， 作，同理可证 设，则 ，解得     综上所述，的长为或． 16．（23-24八年级上·安徽蚌埠·期末）在和中，，，，连接，． (1)求证：； (2)若和 均为等边三角形，作直线，点 C 在直线l上且点 D 在 右侧，的延长线交l于E，连接，． ①求证：点D 在线段的垂直平分线上； ②若 斜边上的高为2，点C在直线l上运动，则 的最小值 = ． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析；② 【分析】（1）先证明，再利用证明即可； （2）①证明，可得，再证明，是的垂直平分线，从而可得结论；②如图，过作于，则，证明，可得当，，三点共线时，则，此时最小，再利用含的直角三角形的性质可得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． （2）①∵和 均为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴点D 在线段的垂直平分线上； ②如图，过作于，则， 由①得：是的垂直平分线， ∴， ∴， 当，，三点共线时， 则，此时最小， ∵，， ∴， 即的最小值为． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，含的直角三角形的性质，三角形的外角的性质，等腰三角形的判定，线段的垂直平分线的定义与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 三角形的证明 目录 【考点1 等腰三角形中求角度、边长】 3 【考点2 等腰三角形的判定和性质】 7 【考点3 等边三角形中求角度、边长】 11 【考点4 等边三角形的判定和性质】 16 【考点5 全等的性质和HL综合】 21 【考点6 与等腰三角形，直角三角形有关的多解题】 26 【考点7 利用线段的垂直平分线的性质求解】 32 【考点8 利用角平分线的性质求解】 34 【考点9 线段的垂直平分线的判定和性质】 37 【考点10 角平分线的判定和性质】 41 【过关检测】 46 1.等腰三角形的性质 （1）等腰三角形性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角） （2）等腰三角形性质2： 文字：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称：等腰三角的三线合一） 图形：如下所示； 符号：在中，AB＝AC， 2.等腰三角形的判定 （1）等腰三角形的判定方法1：（定义法）有两条边相等的三角形是等腰三角形； （2） 等腰三角形的判定方法2：有两个角相等的三角形是等腰三角形；(简称：等角对等边) 3.等边三角形的性质 （1）等边三角形性质1：等边三角形的三条边都相等； （2） 等边三角形性质2：等边三角形的每个内角等于； （3）等边三角形性质3：等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴. 4.等边三角形的判定 （1）等边三角形的判定方法1：（定义法：从边看）有三条边相等的三角形是等边三角形； （2）等边三角形的判定方法2：（从角看）三个内角都相等的三角形是等边三角形； （3）等边三角形的判定方法3：（从边、角看）有一个内角等于的等腰三角形是等边三角形. 5.直角三角形全等的判定 图形 定理 符号 如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记：H.L） 在中，， 6.直角三角形的性质定理及推论 定理1 直角三角形的两个锐角互余； 定理2 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 推论1：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 推论2：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于. 7.勾股定理 图形 名称 定理 符号表示 边的定理 在直角三角形中，斜边大于直角边. 在中， 勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方. 在中，， 勾股定理 逆定理 如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形. 在中，， 8.线段的垂直平分线 9.角的平分线 考点剖析 【考点1 等腰三角形中求角度、边长】 1 例题1：（22-23八年级上·浙江台州·期末）已知在中，，点、分别在边和上，且，若，则的度数是 ． 例题2：（23-24八年级上·山东济宁·期末）如图，在等腰中，，D为上一点，且，若，，则的长是 ． 【变式训练】 1．（22-23七年级下·辽宁沈阳·期末）在中，，，在直线上取一点，使，连接，则的度数为 ． 2.（23-24七年级上·山东威海·期末）如图，点在边上，. 若，则的度数为 ． 3．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，已知为，点在边上，，点、在边上，．若为，则为 ． 4．（23-24八年级上·湖北荆州·期末）如图，等腰三角形的底边长为，面积是，腰的垂直平分线分别交，于点、，若点为底边的中点，点为线段上一动点，则的周长的最小值为 ． 【考点2 等腰三角形的判定和性质】 例题：（23-24八年级上·广东汕头·期末）如图，在中，以为边作等边，以为边作等边，连并延长交于点． (1)求证：； (2)判断的形状，并说明理由． 【变式训练】 1．（22-23八年级上·北京密云·期末）如图，在中，，，与的角平分线、分别交、边于点D和点E．    (1)求证：是等腰三角形； (2)用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 2．（22-23八年级上·广东汕头·期末）如图，已知点O在等边的内部，，，以为边作等边，连接． (1)求证：； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； 【考点3 等边三角形中求角度、边长】 例题1：（23-24七年级上·山东青岛·期末）如图，是等边三角形的中线，，则 ． 例题2：（22-23八年级下·贵州六盘水·期末）如图，已知等边三角形的边长为3，过边上一点作于点，为延长线上一点，取，连接，交于，则的长为 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·山东滨州·期末）如图，等边中，点分别在边上，把沿直线翻折，使点落在点处，分别交边于点．如果测得，那么 ．    2．（23-24八年级上·福建南平·期末）如图，和都是等边三角形，点E，F分别在边和上，且，若的周长最小时，则的大小是 ． 3．（22-23七年级下·四川成都·期末）如图，等边边长为， 点 D， E 分别在边边上， 以为边往下作等边， 连接， 当且的周长最小时，的长为 ． 4．（23-24八年级上·山西吕梁·期末）如图，点，分别为等边三角形的边，上的点，且，与相交于点，于点．若，，则的长为 ． 【考点4 等边三角形的判定和性质】 例题：（23-24七年级上·山东威海·期末）如图，在中，，，，垂足为点G，，，的两边分别交，于点E，F． (1)连接，判断的形状，并证明你的结论； (2)求证：． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）【课本巩固】如图①，在等边中，为边上一点，为上一点，且，连接与相交于点． （1）与的数量关系为______，与构成的锐角夹角的度数是______； 【探究发现】 （2）在（1）的基础上，延长至点，使，连接，，如图②所示，求证：平分． 【拓展延伸】 （3）如图③，在等边中，为边上一点，为上一点，且，，，求． 2．（22-23八年级下·广东·期末）已知，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且． (1)【特殊情况，探索结论】 如图1，当点为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论： 　　(填“”、“”或“”)． (2)【特例启发，解答题目】 如图2，当点为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论， 　　(填“”、“”或“”)；理由如下，过点作，交于点．(请你完成以下解答过程)． (3)【拓展结论，设计新题】 在等边三角形中，点在直线上，点在线段的延长线上，且，若的边长为，，求的长(请你画出相应图形，并直接写出结果)． 【考点5 全等的性质和HL综合】 例题：（22-23八年级上·四川泸州·期末）如图，在中，，是延长线上的一点，点是的平分线上的一点，，过点作于点，于点． (1)求证： (2)若，，求的长． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·陕西渭南·期末）如图所示，点、、、在一条直线上，，过点，分别作，，，连接交于点．求证： (1)； (2)平分． 2．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）（1）如图1，中，，平分交于，过点作的垂线交的垂直平分线于M，连AM，N在的延长线上．求证：平分； （2）把（1）中的“平分交手”换成“平分的外角交直线于D”，其他条件不变，请在图2中补全图形，并直接写出的度数______；（用含的式子表示） （3）在（1）的条件下；若（如图3），且，作于，求的长度． 【考点6 与等腰三角形，直角三角形有关的多解题】 例题：（23-24八年级上·江西南昌·期末）在的网格中，有、、三个格点，当是直角三角形时，则点的坐标可以是 . 【变式训练】 1．（22-23七年级下·江苏宿迁·期末）如图，在中，，、分别是的高和角平分线，点E为边上一点，当为直角三角形时，则 ．    2．（23-24八年级上·四川达州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，以点为直角顶点，为腰作等腰，则点的坐标为 ．    3．（2024·江西上饶·一模）如图，在三角形纸片中，，将三角形纸片折叠，使点的对应点落在上，折痕与分别相交于点、，当为等腰三角形时，的长为 ． 4．（2023·江苏泰州·中考真题）如图，中，，，射线从射线开始绕点C逆时针旋转角，与射线相交于点D，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点E．若是等腰三角形，则的度数为 ．      【考点7 利用线段的垂直平分线的性质求解】 例题：（23-24八年级上·吉林·期末）如图，在中，，，，边的垂直平分线交于点D，连接，则的长为 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·四川绵阳·期末）如图，在中，，点在的垂直平分线上，将沿翻折后，使点落在点处，线段与相交于点，则 ． 2．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，在中，的垂直平分线分别与交于点的垂直平分线分别与交于点，则的周长是 ．    【考点8 利用角平分线的性质求解】 例题：（23-24七年级上·山东东营·期末）如图，在中，，，平分，交于点，于点，，则的周长为 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·吉林白城·期末）如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧交于点和点，再分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交于点．若，则 度． 2．（23-24八年级上·四川凉山·期末）如图，在中，的角平分线与的垂直平分线交于点，于点，，交的延长线于点．若，，则的长为 ． 【考点9 线段的垂直平分线的判定和性质】 例题：（23-24八年级上·河南驻马店·期末）如图，是的角平分线，，分别是和的高． (1)试说明垂直平分； (2)若，，，，求的长． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，在中，点E，F分别是边上的点，且，连接交于点D，．    (1)求证：； (2)直线是线段的垂直平分线吗？请说明理由； (3)若，，求的度数． 2．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，和都是等腰三角形，、分别是这两个等腰三角形的底边，且．    (1)求证：； (2)如果．求证：垂直平分线段． 【考点10 角平分线的判定和性质】 例题：（23-24八年级上·宁夏银川·期末）如图，在和中，，，，延长，交于点M． (1)求证：平分； (2)若，，，求的长． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·江西宜春·期末）如图：已知在等腰中，，点为左侧一动点，点在的延长线上，交于点，且．    (1)求证：； (2)请你判断是否平分，并证明你的结论； (3)若在点运动的过程中，始终有，在此过程中，请你判断的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数． 2．（23-24八年级上·山东德州·期末）如图，向外作和等边，连接． (1)如图1，当也是等边三角形时，连接，交于点． ①试猜想、的关系，并说明理由； ②连接，问是否平分，为什么？ (2)如图2，当是直角三角形时，若，． 求证：． 【过关检测】 过关检测 一、单选题 1．（23-24八年级上·河南许昌·期末）如图，中，，、的垂直平分线分别交于点、，连接、，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·甘肃兰州·期末）如图，在等边中，是边上的中线，延长至点，使，若，则（　　） A． B．6 C．8 D． 3．（22-23八年级上·北京朝阳·期末）如图，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”下列关于筝形的结论错误的是（    ） A．直线是筝形的对称轴 B．对角线平分， C．对角线，互相垂直平分 D．筝形的面积等于对角线与的乘积的一半 4．（23-24八年级上·湖北随州·期末）如图，在四边形中，，平分，，，，，则的面积是（    ）    A． B．6 C．9 D．12 5．（23-24八年级上·重庆永川·期末）如图，是等边三角形，以为边向外作等边三角形，点E，F分别在，上，且，连接，两直线相交于点G，连接，下列结论： ①，  ②，  ③，  ④， ⑤．其中正确的结论有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 6．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）如图，是等腰直角三角形，，平分交于点D，于E．若的周长为，则 ． 7．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于P，连接并延长交于点D，若，则 ． 8．（22-23八年级上·山东济南·期末）如图，在中，，点在上，，，延长至点，使，过点作于点，交于点，若，则 ． 9．（23-24八年级上·河南驻马店·期末）如图，在中，，，E是的中点，在斜边上有一动点D．从点B出发，沿着的方向以每秒的速度运动，当点D运动到点A时，停止运动．设动点D的运动时间为，连接，若为等腰直角三角形，则t的值为 ． 10．（23-24八年级上·河南驻马店·期末）如图，在中，，，，若点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒（）．若点恰好运动到的垂直平分线上时，则的值为 秒．    三、解答题 11．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，点是边上的一点，连接，垂直平分线段，垂足为，交于点，连接． (1)若，的周长为7，求的周长； (2)若，，求的度数． 12．（23-24八年级上·云南曲靖·期末）如图，已知，点在射线上，点在射线上，且．连接，以为边，在内部作等边． (1)求证：点在的角平分线上； (2)连接，试探究、、的数量关系，并证明你的结论． 13．（23-24八年级上·湖北随州·期末）如图，在等腰中，，为的中点，，垂足为，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：． (2)连接，试判断的形状，并说明理由． 14．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，在四边形中，是四边形的对角线，，，且． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，若，求的度数； (3)如图3，延长、相交于点E，再过点E作射线交的延长线于点F．若，求证：． 15．（23-24八年级上·浙江衢州·期末）如图1，等腰三角形中，是边上的中线，延长至点，使，连结． (1)求证：是等腰直角三角形． (2)如图2，过点作的垂线交于点，试判断的形状，并说明理由． (3)如图3，在（2）的基础上，，连结，若是直角三角形，求的长． 16．（23-24八年级上·安徽蚌埠·期末）在和中，，，，连接，． (1)求证：； (2)若和 均为等边三角形，作直线，点 C 在直线l上且点 D 在 右侧，的延长线交l于E，连接，． ①求证：点D 在线段的垂直平分线上； ②若 斜边上的高为2，点C在直线l上运动，则 的最小值 = ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$