期末复习专题一：数的运算—分数的加减法和乘除法【三大篇目】-2023-2024学年五年级数学下册典型例题系列（原卷版+解析版）北师大版

1 / 21 “深窥自己的心，而后发觉一切的奇迹在你自己。” “Deep glimpse of their heart,and then find all the miracles in yourself.” 101 数学创作社 2024 年 6月 4日 2 / 21 2023-2024 学年五年级数学下册典型例题系列 期末复习专题一：数的运算—分数的加减法和乘除法 【三大篇目】 本专题是期末复习专题一：数的运算—分数的加减法和乘除法。本部分内容 主要以数的运算为主，其中包括分数加减法、分数乘除法等。 本部分内容根据篇目进行分类，每个篇目又包含多个常考考点，每个考点又 划分多种变式练习，总体来说，内容涵盖广泛，综合性强，建议作为期末复习核 心内容进行讲解，一共划分为三个篇目，欢迎使用。 .................................................................................................................................... 4 .......................................................................................... 4 .......................................................................................... 5 ...................................................................... 6 ...................................................................... 6 .............................................................................................. 7 .................................................................................................................................... 9 ............................................................................................ 10 ............................................................................................ 11 ............................................................................................ 11 3 / 21 .................................................................................................... 12 ........................................................................................ 13 .................................................................................................................................. 15 ................................................................................ 15 ........................................................................................................ 16 .................................................................................................... 18 ................................................................................................ 19 ........................................................................................................ 20 .............................................................................................................21 .............................................................................................................21 4 / 21 一、同分母分数加减法。 同分母分数加、减法的计算方法： 分母不变，把分子相加、减。 注意：分数加减法的结果要约分成最简分数。 二、异分母分数加减法。 1. 异分母分数相加、减，先通分，然后按照同分母分数加、减法的计算方法进 行计算。 2. 在计算时，有时会出现分数和小数的混合运算，如果分数能转化为有限小数， 可以把分数转化为小数计算；如果分数不能转化为有限小数，就把小数转化为分 数计算。 注意：分数加减法的结果要约分成最简分数。 三、分数加减法混合运算。 分数加减法混合运算同整数加减法混合运算顺序一样，有括号先算括号里面的， 没有括号从左往右算，注意最后结果要写成最简分数形式。 四、分数加减法简便计算。 1. 整数加法的运算定律在分数加法中依然适用； 2. 交换律：a+b=b+a； 3. 结合律：a+b+c=a+（b+c） 4. 减法的性质：连续减去两个数，等于减去这两个数的和。 5. 去括号时，括号外面是减号，括号里面的符号要变号。 【典型例题】 直接写出得数。 9 2 10 5   1 1 3 12   30.2  1 5 7   64 5   1 1 3 4   20.8 5   3 1 1 4 3 4    【对应练习】 5 / 21 1．直接写出得数。 50÷100＝ 1 78 8  12 2   5 3 3 14 7 7    40.8 5   1 1 3 4   19 3 15 5   7 5 5 7 12 12 12 12     2．直接写出得数。 4 1 5 5   5 1 8 8   4.3 1.6  1 1 9 10   11 5   1 1 2 5   32 4   30.25 8   【典型例题】 脱式计算。 5 10 112 9 21 21   13 1 2 15 3 15   2 2 11 3 3 4       【对应练习】 1．脱式计算。 33 5 8 8   7 1 5 1 4 6 6 4    5 7 3 11 8 18 8 18    2．脱式计算。 5 1 1 6 2 3   7 3 2 17 9 10 9 10    3 11 5 8 12 6       6 / 21 【典型例题】 简便计算。 5 2 1 3 6 5 6 5    7 7 1 13 13 12       【对应练习】 1．简便计算。 11 3 2 8 8 5       6 11 5 6 11 15 11 15    2．简便计算。 5 1 7 6 2 6   15 5 7 13 12 12   1 3 17 8 9 11 9 11    7 5 3 10 14 10   【典型例题】 简便计算。 1 1 1 2 6 12    … 19900  7 / 21 【对应练习】 1．简便计算。 1＋ 12 ＋ 1 4 ＋ 1 8 ＋ 1 16 ＋…＋ 1 256 2．简便计算。 2 2 2 2 2 2 3 9 27 81 243 729      【典型例题】 解方程 2 51 7 7 x   26 10 5 x  1 17 2 18 x   【对应练习】 1．解方程。 2 6 3 7 x   3 5 4 6 x   1 3 3 14 7 4 x        8 / 21 2．解方程。 17 1 24 3 x   1 5 6 7 x  1 2 9 3 5 10 x    9 / 21 一、分数乘法。 1. 分数乘整数计算方法： 分母不变，分子乘整数作分子，即： a bcc a b  。 注意：能约分的先约分。 2. 分数乘小数计算方法： 分母乘分母作分母，分子乘分子作分子，能约分的先约分，即： ac bd c d a b  。 3. 分数乘小数计算方法： （1）把小数统一成分数再计算； （2）如果所乘分数可以化为有限小数，也可以把分数统一成小数再计算； （3）小数和分母能约分的，先约分再计算比较简便。 4. 积与乘数的关系。 （1）一个不为 0 的数乘大于 1 的数，积比原来的数大； （2）一个不为 0 的数乘小于 1 的数，积比原来的数小； （3）当乘法算式的乘积一定时，如果已知因数越小，那么与它相乘的另一个因 数越大；相反地，已知因数越大，与它相乘的另一个因数就越小。 5. 分数乘法混合运算。 分数混合运算顺序与整数混合运算顺序相同，先乘除、后加减，有括号时要先算 括号里的。 二、分数除法。 1. 倒数：乘积为 1 的两个数互为倒数。 注意：一个数不能称之为倒数。 2. 求一个数的倒数的方法： （1）求真分数、假分数的倒数：交换分子、分母的位置； （2）求整数的倒数：先把整数（O 除外）看作分母是 1 的假分数，再交换分子、 分母的位置； （3）求小数的倒数：先把小数化成分数，再交换分子、分母的位置； 10 / 21 （4）求带分数的倒数：先把带分数化成假分数，再交换分子、分母的位置.。 3. 分数除法计算方法： 除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数，即： ad bc d c a b  。 4. 商与被除数“1”的关系： 当被除数不等于 0 时， 若除数大于 1，则商小于被除数； 若除数小于 1（0 除外），则商大于被除数。 5. 分数除法四则混合运算。 分数四则混合运算的运算顺序与整数四则混合运算的运算顺序相同，含有两级运 算的，要先算乘除法，后算加减法；只含同一级运算的，要按照从左到右的顺序 依次计算；算式里带括号的，要先算括号里面的，再算括号外面的。 注意：在计算时，要先约分，再进行计算。 【典型例题】 直接写出得数。 5 8 × 3 8 ＝ 8× 3 4 ＝ 7 12 × 3 4 ＝ 5 12 × 4 15＝ 8 7 ×14＝ 11 35 × 2122 ＝ 【对应练习】 1．直接写出得数。 9 2 16  ＝ 38 20  ＝ 2 1.2 3  ＝ 72 30  ＝ 8 0.81 9  ＝ 5 18 6 25  ＝ 9 2 14 15  ＝ 55 8 72 11  ＝ 2．直接写出得数。 3 4 ×2＝ 213 ×52＝ 2 3 × 5 6 ＝ 5 8 × 16 15＝ 6 5 × 2 3 ＝ 3 4 ×1.2＝ 1.5× 49 ＝ 6 7 × 5 9 ＝ 3．直接写出得数。 36 5   24.5 3   7 6 12 5   1 212 2 3    11 / 21 2 21 7 16   760 5   3 5 10 9   5 7 28   【典型例题】 直接写出得数。 7 3 12 14   5 6 6 5  ＝ 43 21 0 57 19   ＝ 5 7 12 18      ×36＝ 0.25× 47 ＝ 0.8÷ 7 5 ＝ 1 2 71 4 5 2   ＝ 4 2 4 2 5 9 5 9    ＝ 【对应练习】 1．直接写出得数。 36.6 11   5 1.2 6   5 1 12 3   61.25 0.8 7    9 6 10 15   870 88   1 3 1 3 4 5 4 5     1 1 8 9   2．直接写出得数。 451 17   510 7   3 6 8   17 4 12 17  ＝ 5 2 5 2 6 3 6 3     1 0.32 4   5 1 6 3   3 318 4 4   ＝ 3．直接写出得数。 2 5 9 18   51.6 8   3 3 4 2   83.2 3   4 5 9 6   5 3 8 4   1 14 4 4 4     24 3 3    【典型例题 1】“积”。 在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 0.24( ) 1 4 0.66( ) 2 3 1 4 2 5  ( ) 12 1 5 2 4  ( ) 12 【典型例题 2】“商”。 在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 3 7 ÷6( ) 3 7 ×6 4 9 ÷6( ) 4 9 5 7 ÷ 3 4 ( ) 57 【对应练习】 1．在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 12 / 21 3 3 10 4  ( ) 3 10 5 11 11 5  ( ) 5 11 11 6  3 15 4  ( ) 3 4 3 14 10 15  ( ) 3 10 2．在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 5 7 6 9  ( ) 56 1 8 ( ) 1 3 8 4  10 3 11  ( )10 111 3  9 1 10 6  ( ) 9 10 3．在（ ）里填上“＞”“＜”或“＝”。 4 3 5 7  ( ) 45 8 4 7 9  ( ) 49 6 3 7 2  ( ) 67 5 2 6  ( ) 52 6  【典型例题 1】倒数。 9×（ ）＝（ ）×8＝   15 ＝0.6×（ ）＝1。 【典型例题 2】倒数和。 一个自然数，与它的倒数的和是 15 5 ，这个自然数是( )。 【典型例题 3】倒数差。 一个数与它的倒数的差是 1212 13，这个数是( )。 【典型例题 4】比较大小。 a、b、c均是不为 0 的自然数，且 6 5 1 5 6 5 a b c  ＝ ＝ ，a、b、c这三个数相比较， 最大的是( )，最小的是( )。 【对应练习】 1． 12 的倒数是( )，7.5 的倒数是( )。 2．( )×9＝0.45×( )＝ 11 12 ×( )＝1 3．a、b、c均是不为 0 的自然数，且 6 5 1 5 6 5 a b c  ＝ ＝ ，a、b、c这三个数相比 较，最大的是( )，最小的是( )。 13 / 21 【典型例题 1】分数乘除法混合运算。 脱式计算。 2 3 21 9 7 15   3 8 10 39 5 13   11 5 121 15 9 9   3 416 15 25       13 7 14 12 10 15       9 1 18 8 6 13       【典型例题 2】分数四则混合运算。 脱式计算。 （1） 289 ÷8× 9 7 （2） 5 12 ÷ 9 4 ＋ 7 12 × 4 9 （3）20÷[（ 1 8 ＋ 5 6 ）× 6 23 ] 【对应练习】 1．脱式计算。 （1） 4 3 19 16 8   （2） 9 7 714 15 8   （3） 1 12 100 10   2．脱式计算。 4 4 1 1 9 5 5 3          5 4 5 6 9 6   7 1 67 13 7 13    5 224 30 12 15        14 / 21 3．脱式计算。 4 212 5 3   5 5 24 6 8 （ ＋ ） 5 3 1 6 4 3 （ ＋ ） 1 1[1 ( )] 36 3 4    【典型例题 3】分数四则混合运算与解方程。 解方程。 x÷ 3 4 ＝ 8 15 10 27 x＝ 5 18 5 6 x÷ 1 5 ＝15 【对应练习】 1．解方程。 1 6 3 x x  7 535 10 8 7 x    410 7 x  2．解方程。 1 1 10 2 5 x   1 24 2 3 x    95.2 6.44 2 x x  3．解方程。 6 1 9 7 3 14 x   5 5 2 1 12 14 7 x    6 90.2 25 10 x  15 / 21 一、分数乘法简便计算。 1. 乘法交换律： 两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变，用字母表示为 a×b=b×a。 2. 乘法结合律： 三个数相乘，先把前两个数相乘或者先把后两个数相乘，积不变，用字母表示为 (a×b)×c=a×(b×c)。 3. 乘法分配律： (a+b)×c=a×c+b×c (a-b)×c=a×c-b×c 4.乘法分配律逆运算： a×c+b×c=(a+b)×c a×c-b×c=(a-b)×c 5.添加因数 1： 形如 A×B+A 的式子，在进行简便计算时，要把单独的一个数看作 A×1，即 A×B+A=A×B+A×1，然后再使用乘法分配律进行简便计算。 二、分数除法简便计算。 除法运算性质： a÷b÷c=a÷(b×c) a÷(b÷c)=a÷b×c (a+b)÷c=a÷c+b÷c (a-b)÷c=a÷c-b÷c 【典型例题】 简便计算。 （1） 1 1 36 2 8   （2） 4 5 2 5 6 8   （3） 1 1 9 12 9 5   【对应练习】 16 / 21 简便计算。 13 32 × 7 13 × 4 7 5 8 ×4× 4 15 5 7 × 14 15 × 3 4 24× 3 51×51 【典型例题 1】乘法分配律。 简便计算。 7 1 9 6      ×5.4 【典型例题 2】乘法分配律变式。 简便计算。 3 235 53 35 53        【典型例题 3】乘法分配律逆运算。 简便计算。 2 247 52 9 9    17 / 21 【典型例题 4】添加因数“1”。 简便计算。 2 2 3 9 9 8   【典型例题 5】综合。 简便计算。 13 3 26 33 25 4 4 134      【对应练习】 1．简便计算。 23 2387 88 88   938 37  3 17 24 25 8 75    2．简便计算。 3 5 36 4 12       2 4 3 9 5 8   8 1 8 1 9 4 9 4  ＋ 3．简便计算。 7 5 3 24 12 6 8        13 5 5 8 21 9 9 21    3 5 28 36 7 9    18 / 21 【典型例题 1】 1.简便计算。 5 2 3 7 3 7       2.简便计算。 7 11 11 9 18 18       【典型例题 2】 1.简便计算。 1 8 5 7 7 13 13    2.简便计算。 35 4 ÷ 8 11－ 3 4 ÷ 811 19 / 21 【典型例题 1】带分数化加式与化减式。 1.简便计算。 24 15 8 × 5 6 17 1 20 1751  20 15 7 ×25 2.简便计算。 1 2 1 3 1 4 1 529 39 49 59 2 3 3 4 4 5 5 6        3.简便计算。 2020 2021 2020 ÷2020 4.简便计算。 2019÷2019 2019 2020 【典型例题 2】分数化加式与化减式。 1.简便计算。 33 34 ×27 20 / 21 2.简便计算。 23 22 ×17 【典型例题 3】整数化加式与化减式。 1.简便计算。 9991001 1000  2.简便计算。 200× 199201 【典型例题】 观察下列等式： 1 11 1 2 2    ， 1 1 1 2 3 2 3    ， 1 1 1 3 4 3 4    ， 请将以上三个等式两边分别相加得： 1 1 1 1 1 1 1 1 1 31 1 1 2 2 3 3 4 2 2 3 3 4 4 4               。 （1）猜想并写出： 1 ( 1)n n   （ ）。 （2） 1 1 1 1+1 2 2 3 3 4 2016 2017          （ ）。 （3）探究并计算： 1 1 1 1+ + + + = 2 4 4 6 6 8 2016 2018        （ ）。 （4）计算： 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 12 24 40 60 84 112 144 180         21 / 21 【对应练习】 1.简便计算。 1 1 1 1 1 1 1 2 6 12 20 30 42 56       2.简便计算。 1 1 1 1 1 2 6 12 20 30     （提示： 1 1 1 ( 1) 1n n n n     ， n为不为 0 的自然数） 【典型例题】 简便计算。 1 2 × 2 3 × 3 4 ×…× 99100 × 100 101 【典型例题】 1.简便计算。 8 3 6 3 5 41 9 7 11 11 7 9                2.简便计算。 （ 4 11 × 11 9 × 47 ）÷（ 2 11 × 5 9 × 2 7 ） 1 / 49 “深窥自己的心，而后发觉一切的奇迹在你自己。” “Deep glimpse of their heart,and then find all the miracles in yourself.” 101 数学创作社 2024 年 6月 4日 2 / 49 2023-2024 学年五年级数学下册典型例题系列 期末复习专题一：数的运算—分数的加减法和乘除法 【三大篇目】 本专题是期末复习专题一：数的运算—分数的加减法和乘除法。本部分内容 主要以数的运算为主，其中包括分数加减法、分数乘除法等。 本部分内容根据篇目进行分类，每个篇目又包含多个常考考点，每个考点又 划分多种变式练习，总体来说，内容涵盖广泛，综合性强，建议作为期末复习核 心内容进行讲解，一共划分为三个篇目，欢迎使用。 .................................................................................................................................... 4 .......................................................................................... 4 .......................................................................................... 5 ...................................................................... 8 .................................................................... 10 ............................................................................................ 12 .................................................................................................................................. 16 ............................................................................................ 17 ............................................................................................ 18 ............................................................................................ 19 3 / 49 .................................................................................................... 22 ........................................................................................ 25 .................................................................................................................................. 35 ................................................................................ 35 ........................................................................................................ 37 .................................................................................................... 42 ................................................................................................ 43 ........................................................................................................ 45 .............................................................................................................47 .............................................................................................................48 4 / 49 一、同分母分数加减法。 同分母分数加、减法的计算方法： 分母不变，把分子相加、减。 注意：分数加减法的结果要约分成最简分数。 二、异分母分数加减法。 1. 异分母分数相加、减，先通分，然后按照同分母分数加、减法的计算方法进 行计算。 2. 在计算时，有时会出现分数和小数的混合运算，如果分数能转化为有限小数， 可以把分数转化为小数计算；如果分数不能转化为有限小数，就把小数转化为分 数计算。 注意：分数加减法的结果要约分成最简分数。 三、分数加减法混合运算。 分数加减法混合运算同整数加减法混合运算顺序一样，有括号先算括号里面的， 没有括号从左往右算，注意最后结果要写成最简分数形式。 四、分数加减法简便计算。 1. 整数加法的运算定律在分数加法中依然适用； 2. 交换律：a+b=b+a； 3. 结合律：a+b+c=a+（b+c） 4. 减法的性质：连续减去两个数，等于减去这两个数的和。 5. 去括号时，括号外面是减号，括号里面的符号要变号。 【典型例题】 直接写出得数。 9 2 10 5   1 1 3 12   30.2  1 5 7   64 5   1 1 3 4   20.8 5   3 1 1 4 3 4    5 / 49 【答案】 1 2 ； 5 12；0.008； 2 7 42 5； 7 12； 2 5 ； 2 3 【详解】略 【对应练习】 1．直接写出得数。 50÷100＝ 1 78 8  12 2   5 3 3 14 7 7    40.8 5   1 1 3 4   19 3 15 5   7 5 5 7 12 12 12 12     【答案】0.5；1；1.5； 5 14； 0； 7 12； 2 3； 7 6 【解析】略 2．直接写出得数。 4 1 5 5   5 1 8 8   4.3 1.6  1 1 9 10   11 5   1 1 2 5   32 4   30.25 8   【答案】1； 12 ；2.7； 19 90 4 5 ； 3 10； 11 4； 5 8 【解析】略 【典型例题】 脱式计算。 5 10 112 9 21 21   13 1 2 15 3 15   2 2 11 3 3 4       【答案】 51 9； 11 3； 3 4 【分析】 5 10 112 9 21 21   ，根据减法的性质，将后两个数先加起来再计算； 13 1 2 15 3 15   ，利用加法交换律，交换后边两个加数的位置，再计算； 2 2 11 3 3 4       ，根据减法的性质，去括号，括号里的加号变减号，再从左往右算。 6 / 49 【详解】 5 10 112 9 21 21   5 10 11=2 9 21 21       5=2 1 9  5=1 9 13 1 2 15 3 15   13 2 1= 15 15 3   1=1 3  = 11 3 2 2 11 3 3 4       2 2 1=1 3 3 4   1=1 4  3= 4 【对应练习】 1．脱式计算。 33 5 8 8   7 1 5 1 4 6 6 4    5 7 3 11 8 18 8 18    【答案】 32 4； 12 6； 11 4 【分析】（1）从左往右依次计算； （2）根据加法交换律 a＋b＝b＋a，加法结合律（a＋b）＋c＝a＋（b＋c），减 法的性质 a－b－c＝a－（b＋c）进行简算； （3）根据加法交换律 a＋b＝b＋a，加法结合律（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）进行 简算。 【详解】（1） 33 58 8   32 3 8 8   7 / 49 32 4  （2） 7 1 5 1 4 6 6 4    7 1 5 1 4 4 6 6     7 1 5 1 4 4 6 6               23 2 3   49 6 6   12 6  （3） 5 7 3 118 18 8 18    5 3 7 11 8 8 18 18     5 3 7 11 8 8 18 18               1 1 4   11 4  2．脱式计算。 5 1 1 6 2 3   7 3 2 17 9 10 9 10    3 11 5 8 12 6       【答案】 2 3； 52 9； 11 24 【分析】（1）先通分，再按从左往右的顺序依次计算； （2）根据加法的交换律和加法结合律进行简算： （3）先算小括号里面的减法，再算小括号外面的加法。 【详解】 5 1 1 6 2 3   ＝ 5 3 2 6 6 6   ＝ 2 2 6 6  ＝ 4 6 8 / 49 ＝ 2 3 7 3 2 17 9 10 9 10    ＝ 7 2 3 17 9 9 10 10    ＝ 7 2 3 17 9 9 10 10              ＝ 5 20 9 10  ＝ 5 2 9  ＝ 52 9 3 11 5 8 12 6       ＝ 3 11 10 8 12 12       ＝ 3 1 8 12  ＝ 9 2 24 24  ＝ 11 24 【典型例题】 简便计算。 5 2 1 3 6 5 6 5    7 7 1 13 13 12       【答案】2； 1 12 【分析】（1）运用加法交换律和加法结合律进行计算即可； （2）去括号后，按照从左到右的运算顺序进行计算即可。 【详解】 5 2 1 3 6 5 6 5    ＝ 5 1 2 3( ) ( ) 6 6 5 5    ＝1 1 ＝2 9 / 49 7 7 1 13 13 12       ＝ 7 7 1 13 13 12   ＝ 1 12  ＝ 1 12 【对应练习】 1．简便计算。 11 3 2 8 8 5       6 11 5 6 11 15 11 15    【答案】 3 5； 11 3 【分析】 利用减法的性质，去掉括号，再计算； 利用加法交换律和加法结合律，把相同分母的分数先计算，再相加。 【详解】 11 3 2 8 8 5       11 3 2 8 8 5    21 5   3 5  6 11 5 6 11 15 11 15    6 5 11 6 11 11 15 15               51 15   11 3  【点睛】 本题主要考查减法的性质和加法交换律、加法结合律的运用。 2．简便计算。 5 1 7 6 2 6   15 5 7 13 12 12   1 3 17 8 9 11 9 11    7 5 3 10 14 10   10 / 49 【答案】 12 2； 2 13；3； 9 14 【分析】（1）运用加法交换律进行计算即可； （2）运用减法的性质进行计算即可； （3）运用加法交换律和加法结合律进行计算即可； （4）运用加法交换律进行计算即可。 【详解】 5 1 7 6 2 6   ＝ 5 7 1 6 6 2   ＝ 12 2  ＝ 12 2 15 5 7 13 12 12   ＝ 15 5 7( ) 13 12 12   ＝ 15 1 13  ＝ 2 13 1 3 17 8 9 11 9 11    ＝ 1 17 3 8( ) ( ) 9 9 11 11    ＝ 2 1 ＝3 7 5 3 10 14 10   ＝ 7 3 5 10 10 14   ＝ 51 14  ＝ 9 14 【典型例题】 简便计算。 11 / 49 1 1 1 2 6 12   … 19900  【答案】 99 100 【分析】把 1 2 拆成（1－ 1 2 ）， 1 6 拆成（ 1 2 － 1 3）， 1 12拆成（ 1 3－ 1 4）， 1 9900 拆成 （ 1 1 99 100  ），然后运用加法交换律和加法结合律进行计算即可。 【详解】 1 1 1 2 6 12   … 19900  ＝（1－ 12 ）＋（ 1 2 － 1 3）＋（ 1 3－ 1 4）＋⋯ （ 1 1 99 100  ） ＝1－ 12 ＋ 1 2 － 1 3＋ 1 3－ 1 4＋⋯ 1 1 99 100  ＝1＋（ 12 － 1 2 ）＋（ 1 3－ 1 3）－ 1 4＋⋯ 1 1 99 100  ＝1－ 1100 ＝ 99 100 【对应练习】 1．简便计算。 1＋ 12 ＋ 1 4＋ 1 8＋ 1 16＋…＋ 1 256 【答案】 2551 256 【分析】通过观察可知，后一个分数是前一个分数的 1 2 ，可以把每个分数拆成两 个分数相减的形式，然后去括号求出结果，据此解答。 【详解】1＋ 12 ＋ 1 4＋ 1 8＋ 1 16＋…＋ 1 256 ＝1＋（1－ 12 ）＋（ 1 2 － 1 4）＋（ 1 4－ 1 8）＋（ 1 8－ 1 16）＋…＋（ 1 128－ 1 256） ＝1＋1－ 12 ＋ 1 2 － 1 4＋ 1 4－ 1 8＋ 1 8－ 1 16＋…＋ 1 128－ 1 256 ＝2－ 1256 ＝ 2551 256 2．简便计算。 2 2 2 2 2 2 3 9 27 81 243 729      12 / 49 【答案】 728 729 【分析】因为 2 2 8 3 9 9   ， 2 2 2 26 3 9 27 27    ； 所以可得 2 2 8 11 3 9 9 9     ， 2 2 2 26 11 3 9 27 27 27      ，由此规律即可得求出 2 2 2 2 2 2 3 9 27 81 243 729      的和。 【详解】 2 2 2 2 2 2 3 9 27 81 243 729      ＝ 11 729  ＝ 728 729 【典型例题】 解方程 2 51 7 7 x   26 10 5 x  1 17 2 18 x   【答案】 2x  ； 33 5 x  ； 4 9 x  【分析】 2 51 7 7 x   ，根据等式的性质 1，将方程左右两边同时加上 27即可； 26 10 5 x  ，根据等式的性质 1，将方程左右两边同时减去 26 5即可； 1 17 2 18 x   ，根据等式的性质 1，将方程左右两边同时减去 12 即可。 【详解】 2 51 7 7 x   解： 5 21 7 7 ＋x  2x  26 10 5 x  解： 210 6 5 －x  33 5 x  1 17 2 18 x   13 / 49 解： 17 1 18 2 －x  4 9 x  【对应练习】 1．解方程。 2 6 3 7 x   3 5 4 6 x   1 3 3 14 7 4 x        【答案】 4 21 x  ； 19 12 x  ； 5 4 x  【分析】根据等式的性质解方程。 （1）方程两边同时减去 23，求出方程的解； （2）方程两边同时加上 3 4 ，求出方程的解； （3）先把方程化简成 1 3 2 4 x   ，然后方程两边同时加上 1 2 ，求出方程的解。 【详解】（1） 2 63 7 x   解： 2 2 6 2 3 3 7 3 x     18 14 21 21 x   4 21 x  （2） 3 54 6 x   解： 3 3 5 3 4 4 6 4 x     10 9 12 12 x   19 12 x  （3） 1 3 3 14 7 4 x        解： 1 6 3 14 14 4 x        1 3 2 4 x   1 1 3 1 2 2 4 2 x     14 / 49 3 2 4 4 x   5 4 x  2．解方程。 17 1 24 3 x   1 5 6 7 x  1 2 9 3 5 10 x    【答案】 25 24 x  ； 23 42 x  ； 5 6 x  【分析】根据等式的性质解方程。 （1）方程两边同时加上 1724，求出方程的解； （2）方程两边同时减去 1 6 ，求出方程的解； （3）方程两边先同时减去 25 ，再同时加上 1 3，求出方程的解。 【详解】（1） 17 1 24 3 x   解： 17 17 1 17 24 24 3 24 x     8 17 24 24 x   25 24 x  （2） 1 56 7 x  解： 1 1 5 1 6 6 7 6 x    30 7 42 42 x   23 42 x  （3） 1 2 9 3 5 10 x    解： 1 2 2 9 2 3 5 5 10 5 x      1 9 4 3 10 10 x    1 1 3 2 x   1 1 1 1 3 3 2 3 x     15 / 49 3 2 6 6 x   5 6 x  16 / 49 一、分数乘法。 1. 分数乘整数计算方法： 分母不变，分子乘整数作分子，即： a bcc a b  。 注意：能约分的先约分。 2. 分数乘小数计算方法： 分母乘分母作分母，分子乘分子作分子，能约分的先约分，即： ac bd c d a b  。 3. 分数乘小数计算方法： （1）把小数统一成分数再计算； （2）如果所乘分数可以化为有限小数，也可以把分数统一成小数再计算； （3）小数和分母能约分的，先约分再计算比较简便。 4. 积与乘数的关系。 （1）一个不为 0的数乘大于 1的数，积比原来的数大； （2）一个不为 0的数乘小于 1的数，积比原来的数小； （3）当乘法算式的乘积一定时，如果已知因数越小，那么与它相乘的另一个因 数越大；相反地，已知因数越大，与它相乘的另一个因数就越小。 5. 分数乘法混合运算。 分数混合运算顺序与整数混合运算顺序相同，先乘除、后加减，有括号时要先算 括号里的。 二、分数除法。 1. 倒数：乘积为 1的两个数互为倒数。 注意：一个数不能称之为倒数。 2. 求一个数的倒数的方法： （1）求真分数、假分数的倒数：交换分子、分母的位置； （2）求整数的倒数：先把整数（O除外）看作分母是 1的假分数，再交换分子、 分母的位置； （3）求小数的倒数：先把小数化成分数，再交换分子、分母的位置； 17 / 49 （4）求带分数的倒数：先把带分数化成假分数，再交换分子、分母的位置.。 3. 分数除法计算方法： 除以一个不等于 0的数，等于乘这个数的倒数，即： ad bc d c a b  。 4. 商与被除数“1”的关系： 当被除数不等于 0时， 若除数大于 1，则商小于被除数； 若除数小于 1（0除外），则商大于被除数。 5. 分数除法四则混合运算。 分数四则混合运算的运算顺序与整数四则混合运算的运算顺序相同，含有两级运 算的，要先算乘除法，后算加减法；只含同一级运算的，要按照从左到右的顺序 依次计算；算式里带括号的，要先算括号里面的，再算括号外面的。 注意：在计算时，要先约分，再进行计算。 【典型例题】 直接写出得数。 5 8 × 3 8＝ 8× 3 4 ＝ 7 12 × 3 4 ＝ 5 12 × 4 15＝ 8 7 ×14＝ 11 35 × 2122＝ 【答案】 15 64；6； 7 16 1 9；16； 3 10 【详解】略 【对应练习】 1．直接写出得数。 9 2 16  ＝ 38 20  ＝ 2 1.2 3  ＝ 72 30  ＝ 8 0.81 9  ＝ 5 18 6 25  ＝ 9 2 14 15  ＝ 55 8 72 11  ＝ 【答案】 9 8 ； 6 5 ；0.8； 7 15 0.72； 3 5； 3 35； 5 9 18 / 49 【详解】略 2．直接写出得数。 3 4 ×2＝ 213 ×52＝ 2 3 × 5 6＝ 5 8 × 16 15＝ 6 5 × 2 3 ＝ 3 4 ×1.2＝ 1.5× 49 ＝ 6 7 × 5 9＝ 【答案】 3 2；8； 5 9； 2 3 4 5 ；0.9； 2 3； 10 21 【详解】略 3．直接写出得数。 36 5   24.5 3   7 6 12 5   1 212 2 3    2 21 7 16   760 5   3 5 10 9   5 7 28   【答案】 18 5 ；3； 7 10；4 3 8；84； 1  6 ； 5 4 【详解】略 【典型例题】 直接写出得数。 7 3 12 14   5 6 6 5  ＝ 43 21 0 57 19   ＝ 5 7 12 18       ×36＝ 0.25× 47 ＝ 0.8÷ 7 5 ＝ 1 2 71 4 5 2   ＝ 4 2 4 2 5 9 5 9    ＝ 【答案】 1 8； 25 36；0；29 1 7 ； 4 7 ； 1 7 ； 4 81 【详解】略 【对应练习】 1．直接写出得数。 36.6 11   5 1.2 6   5 1 12 3   61.25 0.8 7    19 / 49 9 6 10 15   870 88   1 3 1 3 4 5 4 5     1 1 8 9   【答案】1.8；1； 5 4 ； 6 7 ； 9 4 ；0； 925； 1 72 【解析】略 2．直接写出得数。 451 17   510 7   3 6 8   17 4 12 17  ＝ 5 2 5 2 6 3 6 3     1 0.32 4   5 1 6 3   3 318 4 4   ＝ 【答案】12；14； 116； 1 3； 4 9 ； 25 32； 5 2；18 【详解】略 3．直接写出得数。 2 5 9 18   51.6 8   3 3 4 2   83.2 3   4 5 9 6   5 3 8 4   1 14 4 4 4     24 3 3    【答案】 4 5 ；1； 9 8 ；1.2； 8 15； 5 6； 1 16；2 【详解】略 【典型例题 1】“积”。 在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 0.24( ) 1 4 0.66( ) 2 3 1 4 2 5  ( ) 12 1 5 2 4  ( ) 12 【答案】 ＜ ＜ ＜ ＞ 【分析】把分数化成小数，用分子除以分母，再根据多位小数比较大小的方法即 可得解； 在分数乘法中，一个因数（0除外）保持不变，当另一个因数大于 1时，积比原 来的因数大。当另一个因数小于 1时，积比原来的因数小。 20 / 49 【详解】 1 4＝0.25，0.24＜0.25，所以 0.24＜ 1 4； 2 3＝0.666⋯ ，0.66＜0.666⋯ ，所以 0.66＜ 2 3 ； 4 5 ＜1，所以 1 4 2 5  ＜ 1 2 ； 5 4 ＞1，所以 1 52 4  ＞ 1 2 。 【点睛】此题主要考查分数与小数之间的互化、多位小数比较大小以及分数乘法 的计算法则。 【典型例题 2】“商”。 在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 3 7 ÷6( ) 3 7 ×6 4 9 ÷6( ) 4 9 5 7 ÷ 3 4 ( ) 57 【答案】 ＜ ＜ ＞ 【分析】（1）一个数（0除外）乘大于 1的数，积比原来的数大；一个数（0 除外）乘小于 1的数，积比原来的数小。 （2）当被除数不等于 0时，若除数大于 1，则商小于被除数；若除数小于 1（0 除外），则商大于被除数。 【详解】因为 6＞1，所以 37 ÷6＜ 3 7， 3 7 ×6＞ 3 7 ，所以 3 7 ÷6＜ 3 7 ×6。 因为 6＞1，所以 49 ÷6＜ 4 9。 因为 3 4 ＜1，所以 57 ÷ 3 4 ＞ 5 7。 【点睛】积与其中一个因数的大小比较，关键是比较另一个因数和 1的大小。商 与被除数的大小比较，关键是比较除数和 1的大小。 【对应练习】 1．在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 3 3 10 4  ( ) 3 10 5 11 11 5  ( ) 5 11 11 6  3 15 4  ( ) 3 4 3 14 10 15  ( ) 3 10 【答案】 ＜ ＞ ＜ ＞ 【分析】在分数除法中，当被除数不为零时，除以一个大于 1的数，商一定小于 它本身；当被除数不为零时，除以一个小于 1的数，商一定大于它本身； 21 / 49 在分数乘法中，一个因数（0除外）保持不变，当另一个因数大于 1时，积比原 来的因数大。当另一个因数小于 1时，积比原来的因数小。据此解答。 【详解】因为 3 4 ＜1，所以 3 3 10 4  ＜ 3 10； 因为 11 5 ＞ 11 6 ，所以 5 11 11 5  ＞ 5 11 11 6  ； 因为 15＞1，所以 3 15 4  ＜ 3 4 ； 因为 14 15 ＜1，所以 3 1410 15  ＞ 3 10。 【点睛】此题的解题关键是理解分数乘法和分数除法的计算法则，掌握积与因数、 商与被除数之间的关系。 2．在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 5 7 6 9  ( ) 56 1 8 ( ) 1 3 8 4  10 3 11  ( )10 111 3  9 1 10 6  ( ) 9 10 【答案】 ＜ ＜ ＝ ＞ 【分析】在分数除法中，当被除数不为零时，除以一个大于 1的数，商一定小于 它本身；当被除数不为零时，除以一个小于 1的数，商一定大于它本身； 在分数乘法中，一个因数（0除外）保持不变，当另一个因数大于 1时，积比原 来的因数大。当另一个因数小于 1时，积比原来的因数小。 根据分数除法法则：甲数除以乙数（0除外）等于甲数乘乙数的倒数。 【详解】 7 1 9  ，所以 5 7 6 9  ＜ 5 6； 3 1 4  ，所以 1 8＜ 1 3 8 4  ； 10 3 11  ＝ 10 1 11 3  1 1 6  ，所以 9 1 10 6  ＞ 9 10 。 【点睛】此题主要考查分数乘法、分数除法的计算法则，掌握积与因数、商与被 除数之间的关系。 3．在（ ）里填上“＞”“＜”或“＝”。 4 3 5 7  ( ) 45 8 4 7 9  ( ) 49 22 / 49 6 3 7 2  ( ) 67 5 2 6  ( ) 52 6  【答案】 ＜ ＞ ＜ ＜ 【分析】一个数（0除外），乘一个小于 1的数（0除外），得到的积小于它本 身； 一个数（0除外），乘一个大于 1的数，得到的积大于它本身； 一个数（0除外），除以一个大于 1的数，得到的商小于它本身； 一个数（0除外），除以一个小于 1的数（0除外），得到的商大于它本身，据 此判断即可。 【详解】由分析可得： 因为 3 7 ＜1，所以 4 3 5 7  ＜ 4 5 ； 8 7 ＞1，所以 8 4 7 9  ＞ 4 9 ； 3 2 ＞1，所以 6 37 2  ＜ 6 7 ； 2＞1，所以 5 2 6  ＜ 5 6， 5 6＜1，所以 52 6  ＞2，则 5 2 6  ＜ 52 6  。 【典型例题 1】倒数。 9×（ ）＝（ ）×8＝   15 ＝0.6×（ ）＝1。 解析： 1 9； 1 8；15； 5 3 【典型例题 2】倒数和。 一个自然数，与它的倒数的和是 15 5，这个自然数是( )。 【答案】5 【分析】假设这个自然数是 a，则它的倒数是 1a，根据这个自然数＋它的倒数＝ 15 5， 列出方程，通过观察即可得出 a的值。 【详解】假设这个自然数是 a。 a＋ 1a＝ 15 5＝5＋ 1 5 所以 a＝5 23 / 49 一个自然数，与它的倒数的和是 15 5，这个自然数是 5。 【点睛】关键是理解倒数的含义，乘积是 1的两个数互为倒数。 【典型例题 3】倒数差。 一个数与它的倒数的差是 1212 13，这个数是( )。 【答案】13 【分析】乘积是 1的两个数互为倒数。求一个真分数或假分数的倒数，只需要将 分子、分母交换位置即可。 已知一个数与它的倒数的差是 1212 13， 1212 13可以分解成 13－ 1 13 ，13的倒数正好是 1 13 ，据此解答。 【详解】 1212 13＝13－ 1 13 13的倒数是 1 13 ； 所以，这个数是 13。 【点睛】本题考查倒数的求法，把带分数 1212 13分解成 13－ 1 13 的形式是解题的关 键。 【典型例题 4】比较大小。 a、b、c均是不为 0的自然数，且 6 5 1 5 6 5 a b c  ＝ ＝ ，a、b、c这三个数相比较， 最大的是( )，最小的是( )。 【答案】 c a 【分析】假设 6 5 1 1 5 6 5 a b c  ＝ ＝ ＝ ，分别确定 a、b、c的值，比较即可。 【详解】 6 5 1 1 5 6 5 a b c  ＝ ＝ ＝ 则 6 1 5 a  ， 5 6 a  5 1 6 b ＝ ， 6 5 b  1 1 5 c ＝ ， 5c  因为 6 55 5 6 ＞ ＞ ，即 c b a  ，所以最大的是 c，最小的是 a。 【点睛】关键是熟悉乘法各部分之间的关系，乘积是 1的两个数互为倒数。 24 / 49 【对应练习】 1． 12 的倒数是( )，7.5的倒数是( )。 【答案】 2 2 15 【分析】根据倒数的定义：乘积是 1的两个数互为倒数，例如：如果 a、b不为 0，a×b＝1，则 a是 b的倒数，b是 a的倒数。求一个分数的倒数，把分子和分 母调换位置即可；求一个小数的倒数，先把小数化成分数，再交换分子、分母的 位置；求整数的倒数，先把整数看做分母是 1的分数，再交换分子、分母的位置。 【详解】7.5＝ 15 2 1 2 的倒数是 2；7.5的倒数是 2 15。 【点睛】本题主要考查了求倒数的方法，熟练掌握相应的方法是解答本题的关键。 2．( )×9＝0.45×( )＝ 11 12 ×( )＝1 【答案】 1 9 20 9 12 11 【分析】先把小数化成分数，再根据倒数的概念，两个数的乘积是 1，我们就称 这两个数互为倒数。据此解答。 【详解】0.45＝ 920 1 9 ×9＝1 9 20 × 20 9 ＝1 11 12 × 12 11＝1 所以括号内分别填上 1 9、 20 9 、 12 11。 【点睛】此题考查了小数化分数以及倒数的意义。要求熟练掌握并灵活运用。 3．a、b、c均是不为 0的自然数，且 6 5 1 5 6 5 a b c  ＝ ＝ ，a、b、c这三个数相比 较，最大的是( )，最小的是( )。 【答案】 c a 【分析】假设 6 5 1 1 5 6 5 a b c  ＝ ＝ ＝ ，分别确定 a、b、c的值，比较即可。 25 / 49 【详解】 6 5 1 1 5 6 5 a b c  ＝ ＝ ＝ 则 6 1 5 a  ， 5 6 a  5 1 6 b ＝ ， 6 5 b  1 1 5 c ＝ ， 5c  因为 6 55 5 6 ＞ ＞ ，即 c b a  ，所以最大的是 c，最小的是 a。 【点睛】关键是熟悉乘法各部分之间的关系，乘积是 1的两个数互为倒数。 【典型例题 1】分数乘除法混合运算。 脱式计算。 2 3 21 9 7 15   3 8 10 39 5 13   11 5 121 15 9 9   3 416 15 25       13 7 14 12 10 15       9 1 18 8 6 13       【答案】 2 15； 1 16； 1 33 20； 13 9 ； 39 8 【分析】（1）按照从左到右的运算顺序进行计算即可； （2）化除法为乘法，然后运用乘法交换律进行计算即可； （3）按照从左到右的运算顺序进行计算即可； （4）先算小括号里面的除法，再算括号外面的乘法； （5）先算小括号里面的除法，再算括号外面的除法； （6）先算小括号里面的乘法，再算括号外面的除法。 【详解】 2 3 21 9 7 15   ＝ 2 21 21 15  ＝ 2 15 3 8 10 39 5 13   ＝ 3 13 5 39 10 8   26 / 49 ＝ 1 5 10 8  ＝ 1 16 11 5 121 15 9 9   ＝ 11 5 9 15 9 121   ＝ 11 9 27 121  ＝ 1 33 3 416 15 25       ＝ 3 2516 15 4       ＝ 516 4  ＝20 13 7 14 12 10 15       ＝ 13 7 15 12 10 14       ＝ 13 3 12 4  ＝ 13 9 9 1 18 8 6 13       ＝ 9 3 8 13  ＝ 39 8 【典型例题 2】分数四则混合运算。 脱式计算。 （1） 289 ÷8× 9 7 （2） 5 12 ÷ 9 4 ＋ 7 12 × 4 9 （3）20÷[（ 1 8＋ 5 6 ）× 6 23 ] 【答案】（1） 12 ；（2） 4 9 ；（3）80 【分析】（1）先把分数除法化为分数乘法，再利用乘法交换律简便计算； （2）先把分数除法化为分数乘法，再利用乘法分配律简便计算； 27 / 49 （3）先计算小括号里面的分数加法，再计算中括号里面的分数乘法，最后计算 括号外面的除法。 【详解】（1） 289 ÷8× 9 7 ＝ 28 9 × 9 7 × 1 8 ＝4× 1 8 ＝ 1 2 （2） 5 12 ÷ 9 4 ＋ 7 12 × 4 9 ＝ 5 12 × 49 ＋ 7 12 × 4 9 ＝（ 5 12 ＋ 7 12）× 4 9 ＝1× 49 ＝ 4 9 （3）20÷[（ 18＋ 5 6 ）× 6 23 ] ＝20÷[ 2324 × 6 23 ] ＝20÷ 1 4 ＝80 【对应练习】 1．脱式计算。 （1） 4 3 19 16 8   （2） 9 7 714 15 8   （3） 1 12 100 10   【答案】（1） 23；（2） 12 35；（3）20 【分析】（1）根据运算顺序，先计算 4 3 9 16  ，再用它们的积除以 1 8。 （2）根据运算顺序，先计算 9 7 14 15  ，再用它们的积除以 7 8 。 （3）根据运算顺序，先计算 12 100  ，再用它们的商乘 1 10。 【详解】（1） 4 3 19 16 8   28 / 49 ＝ 1 12 1 8  ＝ 1 8 12  ＝ 2 3 （2） 9 7 714 15 8   ＝ 3 10 7 8  ＝ 3 8 10 7  ＝ 12 35 （3） 1 12 100 10   ＝ 1200 10  ＝20 2．脱式计算。 4 4 1 1 9 5 5 3          5 4 5 6 9 6   7 1 67 13 7 13    5 224 30 12 15        【答案】 5 3； 25 54 ； 1 7 ；396 【分析】（1）先算小括号里面的加法，再算中括号里面的减法，最后算括号外 面的除法即可； （2）先算乘法，再算减法即可； （3）化除法为乘法，再运用乘法分配律进行计算即可； （4）运用乘法分配律进行计算即可。 【详解】 4 4 1 1 9 5 5 3          ＝ 1 4 5 4 9 5 8     ＝ 4 9 4 15  ＝ 4 15 9 4  ＝ 5 3 29 / 49 5 4 5 6 9 6   ＝ 4 5(1 ) 9 6   ＝ 5 5 9 6  ＝ 25 54 7 1 67 13 7 13    ＝ 7 1 1 6 13 7 7 13    ＝ 7 6 1( ) 13 13 7   ＝ 11 7  ＝ 1 7 5 224 30 12 15        ＝ 5 224 30 24 30 12 15      ＝300 96 ＝396 3．脱式计算。 4 212 5 3   5 5 24 6 8 （ ＋ ） 5 3 1 6 4 3 （ ＋ ） 1 1[1 ( )] 36 3 4    【答案】 45 2 ；35 10 13；15 【分析】（1）按照从左到右的运算顺序进行计算即可； （2）运用乘法分配律进行计算即可； （3）先算小括号里面的加法，再算括号外面的除法即可； （4）先算小括号里面的加法，再算中括号里面的减法，最后算括号外面的乘法 即可。 【详解】 4 212 5 3   ＝12 5 3 4 2   30 / 49 ＝ 315 2  ＝ 45 2 5 5 24 6 8 （ ＋ ） ＝ 5 524 24 6 8  ＋ ＝20＋15 ＝35 5 3 1 6 4 3 （ ＋ ） ＝ 5 13 6 12  ＝ 5 12 6 13  ＝ 10 13 1 1[1 ( )] 36 3 4    ＝ 71 36 12      ＝ 5 12 ×36 ＝15 【典型例题 3】分数四则混合运算与解方程。 解方程。 x÷ 3 4 ＝ 8 15 10 27 x＝ 5 18 5 6 x÷ 1 5＝15 【答案】x＝ 25 ；x＝ 3 4 ；x＝ 18 5 【分析】根据等式性质 2： （1）方程两边同时乘 3 4 ； （2）方程两边同时乘 2710 ； （3）方程两边同时乘 1 5，两边再同时乘 6 5 。 【详解】（1）x÷ 3 4 ＝ 8 15 “深窥自己的心，而后发觉一切的奇迹在你自己。” “Deep glimpse of their heart,and then find all the miracles in yourself.” 101数学创作社 2024年6月4日 2023-2024学年五年级数学下册典型例题系列 期末复习专题一：数的运算—分数的加减法和乘除法 【三大篇目】 专题解读 本专题是期末复习专题一：数的运算—分数的加减法和乘除法。本部分内容主要以数的运算为主，其中包括分数加减法、分数乘除法等。 本部分内容根据篇目进行分类，每个篇目又包含多个常考考点，每个考点又划分多种变式练习，总体来说，内容涵盖广泛，综合性强，建议作为期末复习核心内容进行讲解，一共划分为三个篇目，欢迎使用。 目录导航 【第一篇】分数的加法和减法 【知识总览】 4 【考点一】分数加减法基础计算 4 【考点二】分数加减法混合运算 5 【考点三】分数加减法简便计算“一般型” 6 【考点四】分数加减法简便计算“拓展型” 6 【考点五】分数加减法解方程 7 【第二篇】分数乘除法基本计算 【知识总览】 9 【考点一】分数乘法基本计算 10 【考点二】分数除法基本计算 11 【考点三】积或商的关系问题 11 【考点四】倒数及其应用 12 【考点五】分数乘除法混合运算 13 【第三篇】分数乘除法简便计算 【知识总览】 15 【考点一】乘法交换律和乘法结合律 15 【考点二】乘法分配律 16 【考点三】除法左分配律 18 【考点四】化加式与化减式 19 【考点五】裂项相消法 20 【考点六】连锁约分 21 【考点七】整体约分 21 【第一篇】分数的加法和减法 【知识总览】 一、同分母分数加减法。 同分母分数加、减法的计算方法： 分母不变，把分子相加、减。 注意：分数加减法的结果要约分成最简分数。 二、异分母分数加减法。 1. 异分母分数相加、减，先通分，然后按照同分母分数加、减法的计算方法进行计算。 2. 在计算时，有时会出现分数和小数的混合运算，如果分数能转化为有限小数，可以把分数转化为小数计算；如果分数不能转化为有限小数，就把小数转化为分数计算。 注意：分数加减法的结果要约分成最简分数。 三、分数加减法混合运算。 分数加减法混合运算同整数加减法混合运算顺序一样，有括号先算括号里面的，没有括号从左往右算，注意最后结果要写成最简分数形式。 四、分数加减法简便计算。 1. 整数加法的运算定律在分数加法中依然适用； 2. 交换律：a+b=b+a； 3. 结合律：a+b+c=a+（b+c） 4. 减法的性质：连续减去两个数，等于减去这两个数的和。 5. 去括号时，括号外面是减号，括号里面的符号要变号。 【考点一】分数加减法基础计算。 【典型例题】 直接写出得数。                                                                  【对应练习】 1．直接写出得数。 50÷100＝                                                         2．直接写出得数。                                                           【考点二】分数加减法混合运算。 【典型例题】 脱式计算。               【对应练习】 1．脱式计算。                         2．脱式计算。                           【考点三】分数加减法简便计算“一般型”。 【典型例题】 简便计算。                 【对应练习】 1．简便计算。           2．简便计算。                            【考点四】分数加减法简便计算“拓展型”。 【典型例题】 简便计算。 … 【对应练习】 1．简便计算。 1＋＋＋＋＋…＋ 2．简便计算。 【考点五】分数加减法解方程。 【典型例题】 解方程           【对应练习】 1．解方程。                      2．解方程。                       【第二篇】分数乘除法基本计算 【知识总览】 一、分数乘法。 1. 分数乘整数计算方法： 分母不变，分子乘整数作分子，即：。 注意：能约分的先约分。 2. 分数乘小数计算方法： 分母乘分母作分母，分子乘分子作分子，能约分的先约分，即：。 3. 分数乘小数计算方法： （1）把小数统一成分数再计算； （2）如果所乘分数可以化为有限小数，也可以把分数统一成小数再计算； （3）小数和分母能约分的，先约分再计算比较简便。 4. 积与乘数的关系。 （1）一个不为0的数乘大于1的数，积比原来的数大； （2）一个不为0的数乘小于1的数，积比原来的数小； （3）当乘法算式的乘积一定时，如果已知因数越小，那么与它相乘的另一个因数越大；相反地，已知因数越大，与它相乘的另一个因数就越小。 5. 分数乘法混合运算。 分数混合运算顺序与整数混合运算顺序相同，先乘除、后加减，有括号时要先算括号里的。 二、分数除法。 1. 倒数：乘积为1的两个数互为倒数。 注意：一个数不能称之为倒数。 2. 求一个数的倒数的方法： （1）求真分数、假分数的倒数：交换分子、分母的位置； （2）求整数的倒数：先把整数（O除外）看作分母是1的假分数，再交换分子、分母的位置； （3）求小数的倒数：先把小数化成分数，再交换分子、分母的位置； （4）求带分数的倒数：先把带分数化成假分数，再交换分子、分母的位置.。 3. 分数除法计算方法： 除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：。 4. 商与被除数“1”的关系： 当被除数不等于0时， 若除数大于1，则商小于被除数； 若除数小于1（0除外），则商大于被除数。 5. 分数除法四则混合运算。 分数四则混合运算的运算顺序与整数四则混合运算的运算顺序相同，含有两级运算的，要先算乘除法，后算加减法；只含同一级运算的，要按照从左到右的顺序依次计算；算式里带括号的，要先算括号里面的，再算括号外面的。 注意：在计算时，要先约分，再进行计算。 【考点一】分数乘法基本计算。 【典型例题】 直接写出得数。 ×＝               8×＝            ×＝ ×＝            ×14＝           ×＝ 【对应练习】 1．直接写出得数。 ＝           ＝          ＝            ＝ ＝         ＝          ＝          ＝ 2．直接写出得数。 ×2＝             ×52＝          ×＝              ×＝ ×＝            ×1.2＝           1.5×＝            ×＝ 3．直接写出得数。                                                                               【考点二】分数除法基本计算。 【典型例题】 直接写出得数。         ＝        ＝         ×36＝ 0.25×＝       0.8÷＝        ＝         ＝ 【对应练习】 1．直接写出得数。                                                                    2．直接写出得数。                                                                            3．直接写出得数。                                                                       【考点三】积或商的关系问题。 【典型例题1】“积”。 在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 0.24( )   0.66( )   ( )   ( ) 【典型例题2】“商”。 在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 ÷6( )×6      ÷6( )       ÷( ) 【对应练习】 1．在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )       ( ) ( )        ( ) 2．在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )      ( )      ( )    ( ) 3．在（    ）里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )      ( )      ( )      ( ) 【考点四】倒数及其应用。 【典型例题1】倒数。 9×（      ）＝（      ）×8＝＝0.6×（      ）＝1。 【典型例题2】倒数和。 一个自然数，与它的倒数的和是，这个自然数是( )。 【典型例题3】倒数差。 一个数与它的倒数的差是，这个数是( )。 【典型例题4】比较大小。 、、均是不为0的自然数，且，、、这三个数相比较，最大的是( )，最小的是( )。 【对应练习】 1．的倒数是( )，7.5的倒数是( )。 2．( )×9＝0.45×( )＝×( )＝1 3．、、均是不为0的自然数，且，、、这三个数相比较，最大的是( )，最小的是( )。 【考点五】分数乘除法混合运算。 【典型例题1】分数乘除法混合运算。 脱式计算。                                                                 【典型例题2】分数四则混合运算。 脱式计算。 （1）÷8×          （2）÷＋×            （3）20÷[（＋）×] 【对应练习】 1．脱式计算。 （1）         （2）             （3） 2．脱式计算。                   3．脱式计算。                                               【典型例题3】分数四则混合运算与解方程。 解方程。 x÷＝              x＝                 x÷＝15 【对应练习】 1．解方程。                             2．解方程。                                              3．解方程。                                     【第三篇】分数乘除法简便计算 【知识总览】 一、分数乘法简便计算。 1. 乘法交换律： 两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变，用字母表示为a×b=b×a。 2. 乘法结合律： 三个数相乘，先把前两个数相乘或者先把后两个数相乘，积不变，用字母表示为(a×b)×c=a×(b×c)。 3. 乘法分配律： (a+b)×c=a×c+b×c (a-b)×c=a×c-b×c 4.乘法分配律逆运算： a×c+b×c=(a+b)×c a×c-b×c=(a-b)×c 5.添加因数1： 形如A×B+A的式子，在进行简便计算时，要把单独的一个数看作A×1，即 A×B+A=A×B+A×1，然后再使用乘法分配律进行简便计算。 二、分数除法简便计算。 除法运算性质： a÷b÷c=a÷(b×c) a÷(b÷c)=a÷b×c (a+b)÷c=a÷c+b÷c (a-b)÷c=a÷c-b÷c 【考点一】乘法交换律和乘法结合律。 【典型例题】 简便计算。 （1）         （2）            （3） 【对应练习】 简便计算。 ××               ×4× ××                24××51 【考点二】乘法分配律。 【典型例题1】乘法分配律。 简便计算。 ×5.4 【典型例题2】乘法分配律变式。 简便计算。   【典型例题3】乘法分配律逆运算。 简便计算。   【典型例题4】添加因数“1”。 简便计算。 【典型例题5】综合。 简便计算。 【对应练习】 1．简便计算。                               2．简便计算。                                   3．简便计算。                         【考点三】除法左分配律。 【典型例题1】 1.简便计算。     2.简便计算。   【典型例题2】 1.简便计算。 2.简便计算。  ÷－÷ 【考点四】化加式与化减式。 【典型例题1】带分数化加式与化减式。 1.简便计算。 24× 20×25 2.简便计算。 3.简便计算。 2020÷2020 4.简便计算。 2019÷2019  【典型例题2】分数化加式与化减式。 1.简便计算。 ×27 2.简便计算。 ×17 【典型例题3】整数化加式与化减式。 1.简便计算。 2.简便计算。 200× 【考点五】裂项相消法。 【典型例题】 观察下列等式： ，，， 请将以上三个等式两边分别相加得： 。 （1）猜想并写出：（     ）。 （2）（     ）。 （3）探究并计算：（     ）。 （4）计算： 【对应练习】 1.简便计算。 2.简便计算。 （提示：，为不为0的自然数） 【考点六】连锁约分。 【典型例题】 简便计算。 ×××…×× 【考点七】整体约分。 【典型例题】 1.简便计算。 2.简便计算。 （××）÷（××） 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ “深窥自己的心，而后发觉一切的奇迹在你自己。” “Deep glimpse of their heart,and then find all the miracles in yourself.” 101数学创作社 2024年6月4日 2023-2024学年五年级数学下册典型例题系列 期末复习专题一：数的运算—分数的加减法和乘除法 【三大篇目】 专题解读 本专题是期末复习专题一：数的运算—分数的加减法和乘除法。本部分内容主要以数的运算为主，其中包括分数加减法、分数乘除法等。 本部分内容根据篇目进行分类，每个篇目又包含多个常考考点，每个考点又划分多种变式练习，总体来说，内容涵盖广泛，综合性强，建议作为期末复习核心内容进行讲解，一共划分为三个篇目，欢迎使用。 目录导航 【第一篇】分数的加法和减法 【知识总览】 4 【考点一】分数加减法基础计算 4 【考点二】分数加减法混合运算 5 【考点三】分数加减法简便计算“一般型” 8 【考点四】分数加减法简便计算“拓展型” 10 【考点五】分数加减法解方程 12 【第二篇】分数乘除法基本计算 【知识总览】 16 【考点一】分数乘法基本计算 17 【考点二】分数除法基本计算 18 【考点三】积或商的关系问题 19 【考点四】倒数及其应用 22 【考点五】分数乘除法混合运算 25 【第三篇】分数乘除法简便计算 【知识总览】 35 【考点一】乘法交换律和乘法结合律 35 【考点二】乘法分配律 37 【考点三】除法左分配律 42 【考点四】化加式与化减式 43 【考点五】裂项相消法 45 【考点六】连锁约分 47 【考点七】整体约分 48 【第一篇】分数的加法和减法 【知识总览】 一、同分母分数加减法。 同分母分数加、减法的计算方法： 分母不变，把分子相加、减。 注意：分数加减法的结果要约分成最简分数。 二、异分母分数加减法。 1. 异分母分数相加、减，先通分，然后按照同分母分数加、减法的计算方法进行计算。 2. 在计算时，有时会出现分数和小数的混合运算，如果分数能转化为有限小数，可以把分数转化为小数计算；如果分数不能转化为有限小数，就把小数转化为分数计算。 注意：分数加减法的结果要约分成最简分数。 三、分数加减法混合运算。 分数加减法混合运算同整数加减法混合运算顺序一样，有括号先算括号里面的，没有括号从左往右算，注意最后结果要写成最简分数形式。 四、分数加减法简便计算。 1. 整数加法的运算定律在分数加法中依然适用； 2. 交换律：a+b=b+a； 3. 结合律：a+b+c=a+（b+c） 4. 减法的性质：连续减去两个数，等于减去这两个数的和。 5. 去括号时，括号外面是减号，括号里面的符号要变号。 【考点一】分数加减法基础计算。 【典型例题】 直接写出得数。                                                                  【答案】；；0.008； ；；； 【详解】略 【对应练习】 1．直接写出得数。 50÷100＝                                                         【答案】0.5；1；1.5；；       0；；； 【解析】略 2．直接写出得数。                                                           【答案】1；；2.7； ；；； 【解析】略 【考点二】分数加减法混合运算。 【典型例题】 脱式计算。              【答案】；； 【分析】，根据减法的性质，将后两个数先加起来再计算； ，利用加法交换律，交换后边两个加数的位置，再计算； ，根据减法的性质，去括号，括号里的加号变减号，再从左往右算。 【详解】 【对应练习】 1．脱式计算。                      【答案】；； 【分析】（1）从左往右依次计算； （2）根据加法交换律a＋b＝b＋a，加法结合律（a＋b）＋c＝a＋（b＋c），减法的性质a－b－c＝a－（b＋c）进行简算； （3）根据加法交换律a＋b＝b＋a，加法结合律（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）进行简算。 【详解】（1） （2） （3） 2．脱式计算。                          【答案】；； 【分析】（1）先通分，再按从左往右的顺序依次计算； （2）根据加法的交换律和加法结合律进行简算： （3）先算小括号里面的减法，再算小括号外面的加法。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 【考点三】分数加减法简便计算“一般型”。 【典型例题】 简便计算。                      【答案】2； 【分析】（1）运用加法交换律和加法结合律进行计算即可； （2）去括号后，按照从左到右的运算顺序进行计算即可。 【详解】 ＝ ＝ ＝2 ＝ ＝ ＝ 【对应练习】 1．简便计算。           【答案】； 【分析】 利用减法的性质，去掉括号，再计算； 利用加法交换律和加法结合律，把相同分母的分数先计算，再相加。 【详解】 【点睛】 本题主要考查减法的性质和加法交换律、加法结合律的运用。 2．简便计算。                          【答案】；；3； 【分析】（1）运用加法交换律进行计算即可； （2）运用减法的性质进行计算即可； （3）运用加法交换律和加法结合律进行计算即可； （4）运用加法交换律进行计算即可。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝3 ＝ ＝ ＝ 【考点四】分数加减法简便计算“拓展型”。 【典型例题】 简便计算。 … 【答案】 【分析】把拆成（1－），拆成（－），拆成（－），拆成（），然后运用加法交换律和加法结合律进行计算即可。 【详解】… ＝（1－）＋（－）＋（－）＋⋯（） ＝1－＋－＋－＋⋯ ＝1＋（－）＋（－）－＋⋯ ＝1－ ＝ 【对应练习】 1．简便计算。 1＋＋＋＋＋…＋ 【答案】 【分析】通过观察可知，后一个分数是前一个分数的，可以把每个分数拆成两个分数相减的形式，然后去括号求出结果，据此解答。 【详解】1＋＋＋＋＋…＋ ＝1＋（1－）＋（－）＋（－）＋（－）＋…＋（－） ＝1＋1－＋－＋－＋－＋…＋－ ＝2－ ＝ 2．简便计算。 【答案】 【分析】因为，； 所以可得，，由此规律即可得求出的和。 【详解】 ＝ ＝ 【考点五】分数加减法解方程。 【典型例题】 解方程          【答案】；； 【分析】，根据等式的性质1，将方程左右两边同时加上即可； ，根据等式的性质1，将方程左右两边同时减去即可； ，根据等式的性质1，将方程左右两边同时减去即可。 【详解】 解： 解： 解： 【对应练习】 1．解方程。                     【答案】；； 【分析】根据等式的性质解方程。 （1）方程两边同时减去，求出方程的解； （2）方程两边同时加上，求出方程的解； （3）先把方程化简成，然后方程两边同时加上，求出方程的解。 【详解】（1） 解： （2） 解： （3） 解： 2．解方程。                      【答案】；； 【分析】根据等式的性质解方程。 （1）方程两边同时加上，求出方程的解； （2）方程两边同时减去，求出方程的解； （3）方程两边先同时减去，再同时加上，求出方程的解。 【详解】（1） 解： （2） 解： （3） 解： 【第二篇】分数乘除法基本计算 【知识总览】 一、分数乘法。 1. 分数乘整数计算方法： 分母不变，分子乘整数作分子，即：。 注意：能约分的先约分。 2. 分数乘小数计算方法： 分母乘分母作分母，分子乘分子作分子，能约分的先约分，即：。 3. 分数乘小数计算方法： （1）把小数统一成分数再计算； （2）如果所乘分数可以化为有限小数，也可以把分数统一成小数再计算； （3）小数和分母能约分的，先约分再计算比较简便。 4. 积与乘数的关系。 （1）一个不为0的数乘大于1的数，积比原来的数大； （2）一个不为0的数乘小于1的数，积比原来的数小； （3）当乘法算式的乘积一定时，如果已知因数越小，那么与它相乘的另一个因数越大；相反地，已知因数越大，与它相乘的另一个因数就越小。 5. 分数乘法混合运算。 分数混合运算顺序与整数混合运算顺序相同，先乘除、后加减，有括号时要先算括号里的。 二、分数除法。 1. 倒数：乘积为1的两个数互为倒数。 注意：一个数不能称之为倒数。 2. 求一个数的倒数的方法： （1）求真分数、假分数的倒数：交换分子、分母的位置； （2）求整数的倒数：先把整数（O除外）看作分母是1的假分数，再交换分子、分母的位置； （3）求小数的倒数：先把小数化成分数，再交换分子、分母的位置； （4）求带分数的倒数：先把带分数化成假分数，再交换分子、分母的位置.。 3. 分数除法计算方法： 除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：。 4. 商与被除数“1”的关系： 当被除数不等于0时， 若除数大于1，则商小于被除数； 若除数小于1（0除外），则商大于被除数。 5. 分数除法四则混合运算。 分数四则混合运算的运算顺序与整数四则混合运算的运算顺序相同，含有两级运算的，要先算乘除法，后算加减法；只含同一级运算的，要按照从左到右的顺序依次计算；算式里带括号的，要先算括号里面的，再算括号外面的。 注意：在计算时，要先约分，再进行计算。 【考点一】分数乘法基本计算。 【典型例题】 直接写出得数。 ×＝               8×＝            ×＝ ×＝            ×14＝           ×＝ 【答案】；6； ；16； 【详解】略 【对应练习】 1．直接写出得数。 ＝          ＝          ＝           ＝ ＝        ＝         ＝          ＝ 【答案】；；0.8； 0.72；；； 【详解】略 2．直接写出得数。 ×2＝             ×52＝          ×＝              ×＝ ×＝            ×1.2＝           1.5×＝            ×＝ 【答案】；8；； ；0.9；； 【详解】略 3．直接写出得数。                                                                               【答案】；3；；4 ；84；； 【详解】略 【考点二】分数除法基本计算。 【典型例题】 直接写出得数。         ＝        ＝         ×36＝ 0.25×＝       0.8÷＝        ＝         ＝ 【答案】；；0；29 ；；； 【详解】略 【对应练习】 1．直接写出得数。                                                                【答案】1.8；1；；； ；0；； 【解析】略 2．直接写出得数。                                                                           【答案】12；14；；； ；；；18 【详解】略 3．直接写出得数。                                                                   【答案】；1；；1.2； ；；；2 【详解】略 【考点三】积或商的关系问题。 【典型例题1】“积”。 在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 0.24( )   0.66( )   ( )   ( ) 【答案】 ＜ ＜ ＜ ＞ 【分析】把分数化成小数，用分子除以分母，再根据多位小数比较大小的方法即可得解； 在分数乘法中，一个因数（0除外）保持不变，当另一个因数大于1时，积比原来的因数大。当另一个因数小于1时，积比原来的因数小。 【详解】＝0.25，0.24＜0.25，所以0.24＜； ＝0.666⋯，0.66＜0.666⋯，所以0.66＜； ＜1，所以＜； ＞1，所以＞。 【点睛】此题主要考查分数与小数之间的互化、多位小数比较大小以及分数乘法的计算法则。 【典型例题2】“商”。 在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 ÷6( )×6      ÷6( )       ÷( ) 【答案】 ＜ ＜ ＞ 【分析】（1）一个数（0除外）乘大于1的数，积比原来的数大；一个数（0除外）乘小于1的数，积比原来的数小。 （2）当被除数不等于0时，若除数大于1，则商小于被除数；若除数小于1（0除外），则商大于被除数。 【详解】因为6＞1，所以÷6＜，×6＞，所以÷6＜×6。 因为6＞1，所以÷6＜。 因为＜1，所以÷＞。 【点睛】积与其中一个因数的大小比较，关键是比较另一个因数和1的大小。商与被除数的大小比较，关键是比较除数和1的大小。 【对应练习】 1．在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )       ( ) ( )        ( ) 【答案】 ＜ ＞ ＜ ＞ 【分析】在分数除法中，当被除数不为零时，除以一个大于1的数，商一定小于它本身；当被除数不为零时，除以一个小于1的数，商一定大于它本身； 在分数乘法中，一个因数（0除外）保持不变，当另一个因数大于1时，积比原来的因数大。当另一个因数小于1时，积比原来的因数小。据此解答。 【详解】因为＜1，所以＜； 因为＞，所以＞； 因为15＞1，所以＜； 因为＜1，所以＞。 【点睛】此题的解题关键是理解分数乘法和分数除法的计算法则，掌握积与因数、商与被除数之间的关系。 2．在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )      ( )      ( )    ( ) 【答案】 ＜ ＜ ＝ ＞ 【分析】在分数除法中，当被除数不为零时，除以一个大于1的数，商一定小于它本身；当被除数不为零时，除以一个小于1的数，商一定大于它本身； 在分数乘法中，一个因数（0除外）保持不变，当另一个因数大于1时，积比原来的因数大。当另一个因数小于1时，积比原来的因数小。 根据分数除法法则：甲数除以乙数（0除外）等于甲数乘乙数的倒数。 【详解】，所以＜； ，所以＜； ＝ ，所以＞。 【点睛】此题主要考查分数乘法、分数除法的计算法则，掌握积与因数、商与被除数之间的关系。 3．在（    ）里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )      ( )      ( )      ( ) 【答案】 ＜ ＞ ＜ ＜ 【分析】一个数（0除外），乘一个小于1的数（0除外），得到的积小于它本身； 一个数（0除外），乘一个大于1的数，得到的积大于它本身； 一个数（0除外），除以一个大于1的数，得到的商小于它本身； 一个数（0除外），除以一个小于1的数（0除外），得到的商大于它本身，据此判断即可。 【详解】由分析可得： 因为＜1，所以＜； ＞1，所以＞； ＞1，所以＜； 2＞1，所以＜，＜1，所以＞2，则＜。 【考点四】倒数及其应用。 【典型例题1】倒数。 9×（      ）＝（      ）×8＝＝0.6×（      ）＝1。 解析：；；15； 【典型例题2】倒数和。 一个自然数，与它的倒数的和是，这个自然数是( )。 【答案】5 【分析】假设这个自然数是a，则它的倒数是，根据这个自然数＋它的倒数＝，列出方程，通过观察即可得出a的值。 【详解】假设这个自然数是a。 a＋＝＝5＋ 所以a＝5 一个自然数，与它的倒数的和是，这个自然数是5。 【点睛】关键是理解倒数的含义，乘积是1的两个数互为倒数。 【典型例题3】倒数差。 一个数与它的倒数的差是，这个数是( )。 【答案】13 【分析】乘积是1的两个数互为倒数。求一个真分数或假分数的倒数，只需要将分子、分母交换位置即可。 已知一个数与它的倒数的差是，可以分解成13－，13的倒数正好是，据此解答。 【详解】＝13－ 13的倒数是； 所以，这个数是13。 【点睛】本题考查倒数的求法，把带分数分解成13－的形式是解题的关键。 【典型例题4】比较大小。 、、均是不为0的自然数，且，、、这三个数相比较，最大的是( )，最小的是( )。 【答案】 【分析】假设，分别确定a、b、c的值，比较即可。 【详解】 则， ， ， 因为，即，所以最大的是，最小的是。 【点睛】关键是熟悉乘法各部分之间的关系，乘积是1的两个数互为倒数。 【对应练习】 1．的倒数是( )，7.5的倒数是( )。 【答案】 2 【分析】根据倒数的定义：乘积是1的两个数互为倒数，例如：如果a、b不为0，a×b＝1，则a是b的倒数，b是a的倒数。求一个分数的倒数，把分子和分母调换位置即可；求一个小数的倒数，先把小数化成分数，再交换分子、分母的位置；求整数的倒数，先把整数看做分母是1的分数，再交换分子、分母的位置。 【详解】7.5＝ 的倒数是2；7.5的倒数是。 【点睛】本题主要考查了求倒数的方法，熟练掌握相应的方法是解答本题的关键。 2．( )×9＝0.45×( )＝×( )＝1 【答案】 【分析】先把小数化成分数，再根据倒数的概念，两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数。据此解答。 【详解】0.45＝ ×9＝1 ×＝1 ×＝1 所以括号内分别填上、、。 【点睛】此题考查了小数化分数以及倒数的意义。要求熟练掌握并灵活运用。 3．、、均是不为0的自然数，且，、、这三个数相比较，最大的是( )，最小的是( )。 【答案】 【分析】假设，分别确定a、b、c的值，比较即可。 【详解】 则， ， ， 因为，即，所以最大的是，最小的是。 【点睛】关键是熟悉乘法各部分之间的关系，乘积是1的两个数互为倒数。 【考点五】分数乘除法混合运算。 【典型例题1】分数乘除法混合运算。 脱式计算。                                                               【答案】；； 20；； 【分析】（1）按照从左到右的运算顺序进行计算即可； （2）化除法为乘法，然后运用乘法交换律进行计算即可； （3）按照从左到右的运算顺序进行计算即可； （4）先算小括号里面的除法，再算括号外面的乘法； （5）先算小括号里面的除法，再算括号外面的除法； （6）先算小括号里面的乘法，再算括号外面的除法。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝20 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 【典型例题2】分数四则混合运算。 脱式计算。 （1）÷8×          （2）÷＋×            （3）20÷[（＋）×] 【答案】（1）；（2）；（3）80 【分析】（1）先把分数除法化为分数乘法，再利用乘法交换律简便计算； （2）先把分数除法化为分数乘法，再利用乘法分配律简便计算； （3）先计算小括号里面的分数加法，再计算中括号里面的分数乘法，最后计算括号外面的除法。 【详解】（1）÷8× ＝×× ＝4× ＝ （2）÷＋× ＝×＋× ＝（＋）× ＝1× ＝ （3）20÷[（＋）×] ＝20÷[×] ＝20÷ ＝80 【对应练习】 1．脱式计算。 （1）         （2）            （3） 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据运算顺序，先计算，再用它们的积除以。 （2）根据运算顺序，先计算，再用它们的积除以。 （3）根据运算顺序，先计算，再用它们的商乘。 【详解】（1） ＝ ＝ ＝ （2） ＝ ＝ ＝ （3） ＝ ＝20 2．脱式计算。                   【答案】；；；396 【分析】（1）先算小括号里面的加法，再算中括号里面的减法，最后算括号外面的除法即可； （2）先算乘法，再算减法即可； （3）化除法为乘法，再运用乘法分配律进行计算即可； （4）运用乘法分配律进行计算即可。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝396 3．脱式计算。                                                 【答案】；35 ；15 【分析】（1）按照从左到右的运算顺序进行计算即可； （2）运用乘法分配律进行计算即可； （3）先算小括号里面的加法，再算括号外面的除法即可； （4）先算小括号里面的加法，再算中括号里面的减法，最后算括号外面的乘法即可。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝20＋15 ＝35 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝×36 ＝15 【典型例题3】分数四则混合运算与解方程。 解方程。 x÷＝             x＝                x÷＝15 【答案】x＝；x＝；x＝ 【分析】根据等式性质2： （1）方程两边同时乘； （2）方程两边同时乘； （3）方程两边同时乘，两边再同时乘。 【详解】（1）x÷＝ 解：x÷×＝× x＝ （2）x＝ 解：×x＝× x＝ （3）x÷＝15 解：x÷×＝15× x＝3 x＝3× x＝ 【对应练习】 1．解方程。                            【答案】；； 【分析】先把方程左边含项合并为，再根据等式的性质2，方程两边同时除以即可求解； 先计算，再根据等式的性质1和性质2，方程两边先同时加上25，再同时除以即可求解； 根据等式的性质2，方程两边先同时乘，然后左右两边调换位置，再同时除以即可求解。 【详解】 解： 解： 解： 2．解方程。                                             【答案】；； 【分析】根据等式的性质2，方程的两边先同时乘，再同时除以即可求解； 先计算方程右边的乘法，再根据等式的性质1，方程两边同时加上即可求解； 先把方程左边含项合并为，再根据等式的性质2，方程两边同时除以0.7即可求解。 【详解】 解： 解： 解： 3．解方程。                                   【答案】；； 【分析】（1）根据等式的性质2，方程两边先同时乘，再同时除以即可求解； （2）先计算，再根据等式的性质1和性质2，方程两边先同时加上，再同时除以即可求解； （3）根据等式的性质1和性质2，方程两边先同时减去0.2，再同时除以即可求解。 【详解】 解： 解： 解： 【第三篇】分数乘除法简便计算 【知识总览】 一、分数乘法简便计算。 1. 乘法交换律： 两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变，用字母表示为a×b=b×a。 2. 乘法结合律： 三个数相乘，先把前两个数相乘或者先把后两个数相乘，积不变，用字母表示为(a×b)×c=a×(b×c)。 3. 乘法分配律： (a+b)×c=a×c+b×c (a-b)×c=a×c-b×c 4.乘法分配律逆运算： a×c+b×c=(a+b)×c a×c-b×c=(a-b)×c 5.添加因数1： 形如A×B+A的式子，在进行简便计算时，要把单独的一个数看作A×1，即 A×B+A=A×B+A×1，然后再使用乘法分配律进行简便计算。 二、分数除法简便计算。 除法运算性质： a÷b÷c=a÷(b×c) a÷(b÷c)=a÷b×c (a+b)÷c=a÷c+b÷c (a-b)÷c=a÷c-b÷c 【考点一】乘法交换律和乘法结合律。 【典型例题】 简便计算。 （1）         （2）            （3） 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）（2）从左往右依次计算； （3）根据乘法结合律（a×b）×c＝a×（b×c）进行简算。 【详解】（1） （2） （3） 【对应练习】 简便计算。 ××              ×4× ××               24××51 【答案】； ；72 【分析】（1）首先第1、2个分数相乘，分子分母同时约掉13，再用与相乘，结果化成最简；（2）先算分数乘整数，整数与分母8同时约掉4得，再乘，结果化成最简；（3）三个分数的分子分母先后约掉5、7得，再与相乘，结果化成最简；（4）分子分母上的51互相约分掉，结果是24乘3，据此解答。 【详解】 ＝ ×× 24××51 ＝24×3 ＝72 【考点二】乘法分配律。 【典型例题1】乘法分配律。 简便计算。 ×5.4 解析： ×5.4 ＝×5.4－×5.4 ＝4.2－0.9 ＝3.3 【典型例题2】乘法分配律变式。 简便计算。   解析： 【典型例题3】乘法分配律逆运算。 简便计算。   解析： ＝ ＝ ＝22 【典型例题4】添加因数“1”。 简便计算。 解析： ＝ ＝ ＝ 【典型例题5】综合。 简便计算。 解析： 【对应练习】 1．简便计算。                               【答案】23；；51 【分析】，先把算式变为，然后根据乘法分配律，将算式变为进行简算即可； ，先把38拆分为37＋1，然后根据乘法分配律，将算式变为进行简算即可； ，根据乘法交换律和乘法结合律，将算式变为进行简算即可。 【详解】 2．简便计算。                                   【答案】；； 【分析】（1）（3）运用乘法分配律进行简算； （2）利用乘法结合律进行简算。 【详解】（1）（ － ）×36 ＝  ×36－ ×36 ＝27－15 ＝12 （2）×× ＝×（×） ＝× ＝ （3）×＋× ＝×（＋） ＝× ＝ 3．简便计算。                         【答案】25；；240 【分析】，根据乘法分配律，将算式变为进行简算即可； ，根据乘法分配律，将算式变为进行简算即可； ，根据乘法交换律和乘法结合律，将算式变为进行简算即可。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 【考点三】除法左分配律。 【典型例题1】 1.简便计算。     解析： ＝ ＝ ＝ 2.简便计算。   解析： ＝ ＝ ＝ ＝ 【典型例题2】 1.简便计算。 解析： 2.简便计算。  ÷－÷ 解析： ÷－÷ ＝×－× ＝（－）× ＝8× ＝11 【考点四】化加式与化减式。 【典型例题1】带分数化加式与化减式。 1.简便计算。 24× 20×25 解析：；； 2.简便计算。 解析： 29×＋39×＋49＋59 ＝（30－）×＋（40－）×＋（50－）×＋（60－）× ＝20－＋30－＋40－＋50－ ＝（20＋30＋40＋50）－（＋）－（＋） ＝139－1 ＝137 3.简便计算。 2020÷2020 解析：将带分数化成加法形式，再按照除法的左分配律进行简便计算。 2020÷2020 =（2020+）÷2020 =2020÷2020+÷2020 =1+ =1 4.简便计算。 2019÷2019  解析： 2019÷2019 ＝2019÷ ＝2019× ＝ 【典型例题2】分数化加式与化减式。 1.简便计算。 ×27 解析：26 2.简便计算。 ×17 解析：17 【典型例题3】整数化加式与化减式。 1.简便计算。 解析： ＝ ＝ ＝ ＝ 2.简便计算。 200× 解析： 200× ＝（201－1）× ＝201×－1× ＝199－ ＝ 【考点五】裂项相消法。 【典型例题】 观察下列等式： ，，， 请将以上三个等式两边分别相加得： 。 （1）猜想并写出：（     ）。 （2）（     ）。 （3）探究并计算：（     ）。 （4）计算： 【答案】（1） （2） （3） （4） 【分析】（1）先根据题中所给出的等式进行猜想，写出猜想结果即可； （2）根据（1）中的猜想计算出结果； （3）根据乘法分配律提取，再计算即可求解； （4）先拆项，再抵消结果即可求解。 【详解】（1） ＝ ＝ 【点睛】本题考查的是分数的混合运算，根据题意找出规律是解答此题的关键。 【对应练习】 1.简便计算。 解析： ＝ ＝ ＝ ＝ 2.简便计算。 （提示：，为不为0的自然数） 解析： 【考点六】连锁约分。 【典型例题】 简便计算。 ×××…×× 【答案】 【分析】仔细观察可以发现，算式中前一个数的分母与后一个数的分子是相同的，即可以进行约分，据此约分得出结果即可。 【详解】×××…×× ＝1× ＝ 【点睛】找出前分数的分母与后分数的分子之间的关系是解决此题的关键。 【考点七】整体约分。 【典型例题】 1.简便计算。 解析： ＝ ＝ ＝2 2.简便计算。 （××）÷（××） 解析： （××）÷（××） ＝××÷÷÷ ＝××××× ＝（×）×（×）×（×） ＝2×2×2 ＝8 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$