2024年高中数学暑假初高衔接讲义18. 对数

遍历山河，人间值得。 练习主题 对数 已知1个细胞经过x次分裂后，相应的细胞个数为y=. 由此，若知道了分裂的次数x，就能求出分裂后相应的细胞数y. 反过来，若知道了分裂后相应的细胞数y，怎样求出分裂的次数x呢? 知识点一：对数的概念 如果=N（a＞0，a≠1），那么就称b是以a为底N的对数，记作=b，其中，a叫作对数的底数，N叫作真数. 由对数的定义可知，=N与b=两个等式所表示的是a、b、N这3个量之间的同一个关系， 例如：32=9 =2， ==2 例1、将下列指数式改写成对数式： （1）24=16； （2）3-3=； （3）5a=20； （4）=0.45 例2、将下列对数式改写成指数式： （1）=3； （2）=-2； （3）=-1.699 例3、求下列各式的值： （1）； （2）； （3）； （4） 通常将以10为底的对数称为常用对数，如，等.为了方便起见，对数简记为，如，等. 在科学技术中，常常使用以e为底的对数，这种对数称为自然对数.e=2.71828…是一个无理数.正数N的自然对数一般简记为，如,分别记为，等. 对应练习： 1、将下列指数式改写成对数式： （1）35=243； （2）2-8=； （3）2x=10； （4）=12 2、将下列对数式改写成指数式： （1）=-4； （2）=4； （3）=0.4771； （4）=b 3、求下列各式的值： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6） 为什么规定a＞0，a≠1呢? 1、若a＜0,则当N为某些值时，b的值不存在.如b=不存在. 2、若a=0，则（1）当N≠0时，b的值不存在.如(可理解为0的多少次幂是3)不存在. （2）当N=0时，b可以是除零以外的任意实数，是不唯一的，即有无数个值. 3、若a=1，则（1）当N≠1时，b的值不存在.如不存在； （2）当N=1时，b可以为任意实数，是不唯一的，即有无数个值. 因此规定a＞0，a≠1. 例4、在对数式b=中，实数a的取值范围是 . 巩固练习： 1、=a（b＞0，b≠1，N＞0）对应的指数式是（ ） A.ab=N B.ba=N C.=b D.=a 2、若=1，则（ ） A.x=1 B.a=1 C.x=a D.x=10 3、若=25，则x的值等于（ ） A.10 B.13 C.100 D.±100 4、（多选）下列指数式与对数式互化正确的是（ ） A.=1与=0 B.=2与=3 C.=与= D.=1与=7 5、若=m，=n，则= . 6、已知=2，=a，则x= . 7、计算：= . 8、使式子有意义的x的取值范围是 . 知识点二：对数的运算 我们知道，指数幂运算有下列性质： ， =， 根据对数的定义，有：=b =N（a＞0，a≠1，N＞0） 那么，对数运算也有相应的性质吗？ 设：M=，N=，于是MN= 由对数的定义得：=s，=t， =s+t， 因此：=+ 一般地，我们可以得到如下的对数运算性质： =+， =- =n 其中a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，n∈R. 例1、求下列各式的值： （1）； （2）； （3）+； （4）- （5）+； （6）+·； 例2、已知≈0.3010，≈0.4771，求下列各式的值（保留四位小数） （1）； （2）； （3） 对应练习： 1、求下列各式的值： （1）； （2）； （3）； 2、已知≈0.3010，≈0.4771，求下列各式的值（保留四位小数） （1）； （2）； （3）； （4）. 3、设=a，=b，试着用a、b表示下列各对数： （1）； （2） 知识点三：换底公式 ，其中a＞0，a≠1，N＞0，c＞0，c≠1. 特别提醒 （1）换底公式成立的条件是公式中的每一个对数式都有意义. （2）换底公式的意义在于改变对数式的底数，把不同底数的问题转化为同底数的问题进行化简、计算或证明. （3）换底公式在实际应用中究竟换成以什么为底数，要由具体的已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数. 几个常用的推论： （1）·=1，次公式表示真数与底数互换，所得的对数值与原对数值互为倒数； （2）··=1； （3）=，次公式表示底数变为原来的m次方，真数变为原来的n次方，所得的对数值等于原来对数值的倍. 例1、求下列各式的值： （1）×； （2）·· 对应练习： 1、×= . 2、计算：= . 3、若··=2，则x= . 巩固练习： 1、（多选）以下运算错误的是（ ） A.×= B.= C.+= D.-= 2、已知a＞0且a≠1，则=（ ） A.0 B. C.1 D.2 3、化简-的结果为（ ） A. B. C. D. 4、（多选）下列运算错误的是（ ） A.+=2 B.··= C.+=10 D. 5、若=a，=b，则的值是（ ） A.a-2b-2 B.a-2b+1 C.a-2b-1 D.a-2b+2 6、计算： （1）； （2）· （3）； （4）· ( 第 1 页 共 4 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$