2024年高中数学暑假初高衔接讲义17 指数

遍历山河，人间值得。 练习主题 指数 某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个……如果分裂一次需要10 min，那么，1个细胞1h后分裂成多少个细胞? 假设细胞分裂的次数为x，相应的细胞个数为y，则y=2x. 由题中条件可知，x=60÷10=6， 那么，当x=6时，y=26=64， 即1个细胞1h后分裂成64个细胞. 在上述例子中，x只能取正整数.可以规定和20=1，使得2x对x取负整数和0也是有意义的.那么， 2x中的x能取分数甚至无理数吗? 知识点一：根式 我们知道，如果x2=a，那么x称为a的平方根；如果x3=a，那么x称为a的立方根. 一般地，如果=a（n＞1，n∈N∗），那么称x为a的n次方根. 当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.这时，a的n次方根只有一个，记为x=.例如： 33=27 3=； （-2）3=-8 -2=； x3=6 x=. 当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数.这时，正数a的正的n次方根用符号表示，负的n次方根用符号表示，它们可以合并写成（a＞0）的形式.例如： x4=6 x=； x2=3 x=. 需要注意的是，0的n次方根等于0. 式子叫作根式，其中n叫作根指数，a叫作被开方数. 例1、求下列各式的值： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6） 观察下列各式： =2，=2=∣-2∣； =2，=2=∣-2∣； =2，=2=∣-2∣； =3，=-3； =3，=-3； 可以发现： 对于n∈N*，n＞1， 当n为奇数时，=a； 当n为偶数时，=∣a∣= 对应练习： 1、计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6） ； （7） 2、化简： （1）（a＞4）； （2）； （3）（a＞-1）； （4）（a＜1）； （5）； （6）（-3＜x＜3） 知识点二：指数幂的拓展 观察下面的变形：=， . 又由5=，得. 类似的，可以得到，， 这表明，当m被n整除时，就有（a＞0，m、n均为正整数） 一般的，我们规定（a＞0，m、n均为正整数） 这就是正数a的正分数指数幂的意义，由此可知，=. 仿照负整数指数幂的意义，我们规定（a＞0，m、n均为正整数） 且0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂没有意义. 有了分数指数幂的意义以后，指数幂的概念就从整数指数推广到有理数指数.对于有理数指数幂，原整数指数幂的运算性质保持不变，即： 其中s，t∈Q，a＞0，b＞0 例2、求下列各式的值： （1）； （2）； （3）； （4） （5）； （6）4÷； （7）（a2-2+a-2）÷（a2-a-2） 例3、用分数指数幂的形式表示下列各式： （1）（a＞0）； （2）（a＞0）； （3）（a＞0）； （4）； （5）·； （6）·； 巩固练习： 1、（多选）下列说法中正确的是（ ） A.16的4次方根是2 B.当n为大于1的奇数时，对任意a∈R都有意义 C.的运算结果是±2 D.当n为大于1的偶数时，只有当a≥0时才有意义 2、已知=2，则m等于（ ） A. B. C. D. ± 3、若·有意义，则x的取值范围是（ ） A. x≥2 B. x≤3 C.2≤x≤3 D. x∈R 4、5的平方根是（ ） A.+ B.- C.- D.-，- 5、若=3a-1，则a的取值范围是 . 6、的值为 . 7、若n＜m＜0，则等于 . 8、计算：的值为 . 9、化简：= . 10、（多选）下列互化中错误的是（ ） A. =（x＞0） B.（y＜0） C. （x，y≠0且xy＞0） D. 11、中x的取值范围是（ ） A. （-∞，+∞） B.（-∞，）∪（，+∞） C.（-∞，） D.（，+∞） 12、设a＞0，将表示成分数指数的形式，其结果是 . ( 第 1 页 共 4 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$