2024年高中数学暑假初高衔接讲义16 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式

遍历山河，人间值得。 练习主题 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 知识点一：从函数的观点看一元二次方程 从函数的观点看，方程x2-2x-3=0的两个根x1=-1，x2=3，就是二次函数y=x2-2x-3当函数值取零时自变量x的值，即二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴交点的横坐标.这时，我们称-1，3为二次函数y=x2-2x-3的零点. 一般地，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根就是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）当函数值取零时自变量x的值，即二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标，也称为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的零点. 当a＞0时，一元二次方程ax2+bx+c=0的根、二次函数y=ax2+bx+cp的图象、二次函数y=ax2+bx+c的零点之间的关系如图所示： 判别式△=b2-4ac △＞0 △=0 △＜0 方程ax2+bx+c=0的根 有两个相异的实数根x1=； x2= 有两个相等的实数根 x1=x2= 没有实数根 二次函数y=ax2+bx+cp的图象 二次函数y=ax2+bx+c的零点 有两个零点 x1=； x2= 有一个零点 x= 无零点 当a＜0时，一元二次方程ax2+bx+c=0的根、二次函数y=ax2+bx+cp的图象、二次函数y=ax2+bx+c的零点之间的关系，请同学自己完成. 例1、求证：二次函数y=2x2+3x-7有两个零点. 例2、判断二次函数y=x2-2x-1在区间（2，3）上是否存在零点. 例3、已知y=x2+（a2-1）x+（a-2）的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围. 对应练习： 1、若二次函数y=x2-m有零点，则实数m的取值为（ ） A.正数 B.非负数 C.一切实数 D.零 2、已知集合A=｛x∣ax2+2x+a=0，a∈R｝，若集合A有且仅有2个子集，则实数a的取值是（ ） A. 1 B. 0，1 C.-1，1 D.-1，0，1 3、已知P（m，n）是一次函数y=x+图像上的一点，函数y=x2+mx+n的两个零点的平方和等于1，则m+n= . 4、已知二次函数y=3x2+2（1-a）x-a（a+2）在区间（-1，1）内存在零点，求实数a的取值范围. 知识点二：从函数的观点看一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数最高次数是2的整式不等式叫作一元二次不等式. 我们知道，一元二次方程和相应的二次函数有着密切的联系，一元二次方程的根就是相应二次函数的图象与x轴交点的横坐标.那么，一元二次不等式和相应的二次函数是否也有内在的联系? 当a＞0时，我们有： 判别式△=b2-4ac △＞0 △=0 △＜0 方程ax2+bx+c=0的根 有两个相异的实数根x1， x2（x1＜x2） 有两个相等的实数根 x1=x2= 没有实数根 二次函数y=ax2+bx+cp的图象 ax2+bx+c＞0的解集 （-∞，x1）∪（x2，+∞） （-∞，）∪（，+∞） R ax2+bx+c＜0的解集 （x1，x2） ∅ ∅ 当a＜0时，通过不等式两边同乘-1，可将问题转化为二次项系数为正的情形. 例1、解下列不等式： （1）x2-7x+12＞0； （2）-x2-2x+3≥0； （3）x2-2x+1＜0； 例2、（多选）下列范围满足不等式＜3的有（ ） A．x≤-3 B．x≥ C．x＞ D．x＜-3 对应练习： 1、不等式-6x2-x+2≤0的解集是（ ） A.｛x∣≤x≤｝ B.｛x∣x≥或x≤｝ C.｛x∣x≥或x≤｝ D.｛x∣≤x≤｝ 2、在R上定义运算⊙：a⊙b=ab+2a+b，则满足x⊙（x-2）＜0的实数x的取值范围为（ ） A．（0，2） B．（-2，1） C．（-∞，-2）∪（1，+∞） D．（-1，2） 3、（多选）已知集合A={x∣x2-x-2≥0，且x∈Z}，则中的元素是（ ） A．0 B．2 C．1 D．-2 4、已知集合A={x∣（x-1）（x-4）≤0}，B={x∣≤0}，则A∩B=（ ） A．[1，2] B．[1，2） C．[2，4] D．（2，4] 例3、设关于x的不等式x2+ax+b＜0的解集为（1，2），求不等式bx2+ax+1＞0的解集． 对应练习： 1、已知关于x的不等式ax2+x-b＜0的解集为{x∣＜x＜1}，则= . 2、关于x的不等式x2+ax-3＜0的解集为（-3，1），则a= ，不等式ax2+x-3＜0的解集为 . 3、已知不等式ax2+2x+c＜0的解集是（-∞，）∪（，+∞），求不等式cx2+2x+a≤0的解集. 4、关于x的不等式x2-2ax-8a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），且x1-x2=15，求a的值. 例4、若对任意实数x，关于x的不等式（a2-1）x2-（a-1）x-1＜0恒成立，求实数a的取值范围. 对应练习： 1、已知不等式x2+ax+4＜0的解集为空集，则a的取值范围是（ ） A．a＜-4或a＞4 B．-4＜a＜4 C．a≤-4或a≥4 D．-4≤a≤4 2、设关于x的不等式（a2-1）x2-（a-1）x-1＜0的解集是R，则实数a的取值范围是（ ） A．a＜或a＞1 B．＜a＜1 C．＜a≤1 D．＜a≤1或a=-1 3、若不等式mx2+2mx-4＜2x2+4x对任意x都成立，则实数m的取值范围是（ ） A.（-2，2] B.（-2，2） C.（-∞，-2）∪[2，＋∞） D.（-∞，2] 4、关于x的不等式（a2-4）x2+（a+2）x-1≥0的解集是R，则实数a的取值范围为（ ） A.（-2，） B.[-2，） C.｛-2｝ D. 5、已知关于x的不等式kx2-6kx+k+8≥0对任意x∈R恒成立，则k的取值范围是（ ） A. 0≤k≤1 B. 0＜k≤1 C. k＜0或k＞1 D. k≤0或k＞1 6、定义运算：x※y=x（1-y），若使得（x-a）※（x+a）＞1成立，则实数a的取值范围是（ ） A．（-∞，）∪（，+∞） B．（，） C．（-∞，）∪（，+∞） D．（，） 例5、某小型服装厂生产一种风衣，日销货量x件（x∈）与货价p元/件之间的关系为p=160-2x，生产x件所需成本为C=500+30x元.问：该厂日产量多大时，日获利不少于1300元? 对应练习： 1、某文具店购进一批新型台灯，每盏最低售价为15元，若按最低售价销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入，求这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围. 2、某辆汽车以x km/h的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全，要求60≤x≤120）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为（x-k+）L，其中k为常数.若汽车以120 km/h的速度行驶，每小时的油耗为11.5 L，欲使每小时的油耗不超过9 L，求速度x的取值范围. ( 第 1 页 共 4 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$