2024年高中数学暑假初高衔接讲义15 基本不等式

遍历山河，人间值得。 练习主题 基本不等式 知识点一：基本不等式 如果a、b是正数，那么≤（当且仅当a=b时，等号成立），我们把不等式≤（a、b≥0）称为基本不等式. 证法一：对于正数a、b有-=（a+b-） =[（）2+（）2-2] =（-）2 因为（-）2≥0，所以-≥0， 即≤，当且仅当=，即a=b时，等号成立. 当a、b∈R时，由（a-b）2≥0可得：a2+b2≥2ab，a2+b2+2ab≥4ab，即≥ab，（）2≥ab，当且仅当a=b时，等号成立. 从而得到：当a、b∈R时，ab≤（当且仅当a=b时，等号成立） ab≤（）2（当且仅当a=b时，等号成立） 这两个不等式通常可以直接使用. 例1、设a、b为正数，证明下列不等式成立. （1）+≥2； （2）a+b++≥4； 对应练习： 1、下列不等式中正确的是（ ） A. a+≥4 B. x2+≥ C. ≥ D. a2+b2≥4ab 2、不等式a+1≥（a＞0）中等号成立的条件是（ ） A. a=0 B. a= C. a=1 D. a=2 3、证明： （1）a+≥3（a＞1）； （2）x+≤-2（x＜0） 知识点二：基本不等式与最大（小）值 1、和积（最值）定理 （1）已知a＞0，b＞0，则如果a+b=m（和为定值），那么当a=b时，ab有最大值：； （2）已知a＞0，b＞0，则如果a·b=m（积为定值），那么当a=b时，a+b有最小值：； 证明：因为a、b都是正数，所以≥，当且仅当a=b时，等号成立. （1）当a+b为定值m时，有≤，所以xy≤，当且仅当a=b时，等号成立。因此当a=b时，ab有最大值：； （2）当ab为定值m时，有≥，所以a+b≥，当且仅当a=b时，等号成立。因此当a=b时，a+b有最小值：； 上述结论可快速求解两正数所对应的两类最值问题：（1）和为定值，积有最大值；（2）积为定值，和有最小值.因此，上述结论也称为最值定理.可以简单的记为“和定积最大，积定和最小” 基础练习： 1、已知x＞0，若x+的值最小，则x为（ ） A． 81 B． 9 C． 3 D．16 2、若实数a，b，满足a+b=2，则3a+3b的最小值是（ ） A．18 B．6 C．2 D．3 3、若a＞0，b＞0，且a+2b-2=0，则ab的最大值为（ ） A． B．1 C．2 D．4 利用基本不等式求最值 方法1：凑项 例1、已知函数y=x+，x∈（-2，+∞），求此函数的最小值. 对应练习： 1、函数y=x+（x＞2）的最小值为 . 2、函数y=x+（x＞2）在x=a处取最小值，则a= . 3、已知x＜，则函数y=4x-2+的最大值是 . 方法2：凑系数 例2、已知0＜x＜，求函数y=2x-5x2的最大值． 对应练习： 1、已知0＜x＜4，则y=x（8-2x）的最大值为 ． 2、设0＜x＜，则函数y=4x（3-2x）的最大值为 ． 方法3：分离法 例3、设x＞0，则的最小值为 ． 对应练习： 1、求当x＞0时，y=的最小值. 2、求当x＞0时，y=的最小值. 3、函数y=（x＞-1）的最小值为 ． 方法4：换元法 例4、函数y=的最大值为 ． 对应练习： 1、函数y=的最小值为 ． 方法5：巧用“1”代换的最值问题 例4、已知正数a、b满足a+2b=1，求+的最小值. 对应练习： 1、已知x＞0，y＞0，+=1，求x+y的最小值. 2、已知x＞0，y＞0，且x+y=2，求的最小值为． 3、已知x＞0，y＞0，x+2y=3，求的最小值为． 基本不等式的综合应用求参数值或取值范围 例1、已知不等式（x+y）（+）≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为 . 对应练习： 1、若不等式x2-ax+1≥0对一切x∈（0，1）恒成立，则a的取值范围是________． 2、已知a＞0，b＞0，若不等式+≥恒成立，则m的最大值为（ ） A．9 B．12 C．18 D．24 3、已知不等式2x+m+＞0对一切x∈（1，+∞）恒成立，求实数m的取值范围． 4、已知x＞0，y＞0，且x+2y=1，若+＞2m恒成立，求实数m的取值范围． 知识点二：基本不等式的应用 例1、某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4800 m3，深度为3 m.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价为多少元? 例2、如图所示，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为18000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.则广告牌的高与宽分别设计为多少（单位：cm）时，能使矩形广告牌的面积最小. 对应练习： 1、某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是 ． 2、某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F（单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时）与车流速度v（假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒）、平均车长l（单位：米）的值有关，其公式为F=. （1）如果不限定车型，L=6.05,则最大车流量为 辆/时； （2）如果限定车型，L=5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加 辆/时. 巩固练习： 1、已知两个正数m，n，满足mn=3，则m+3n的最小值为（ ） A．3 B．6 C． D． 2、已知a＞0，b＞0，a+b=2，则y=+的最小值是（ ） A. B．4 C. D．5 3、已知x≥0，则y=的最小值是（ ） A．-2 B． C．3 D．2 4、若a，b都是正数，则（1+）（1+）的最小值为（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 5、若正实数x，y满足x+y=2，且≥M恒成立，则M的最大值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 6、若-1＜x＜1，则y=的最大值为 . 7、已知x＞0，y＞0，且+=1，则x+y的最小值是________． 8、已知x＞0，y＞0，且2x+5y=20.则+的最小值为________． 9、设m，n为正数，且m+n=2，则则的最小值为________． 10、当x＜时，求函数y=x+的最大值； 11、设0＜x＜2，求函数y=的最大值． 12、已知x＞0，y＞0，且2x+8y-xy=0，求： （1）xy的最小值； （2）x+y的最小值． 13、某校拟建一座游泳池，池的深度一定，现有两个方案，方案一：游泳池底面为矩形且面积为200平方米，池的四周墙壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁（与矩形的一边所在直线平行）建造单价为每米100元，池底建造单价为每平方米60元（池壁厚忽略不计）；方案二：游泳池底面为圆且面积为64m平方米，池的四周墙壁建造单价为每米500元，中间一条隔壁（为圆的直径）建造单价为每米100元，池底建造单价为每平方米60元（池壁厚忽略不计）.（注：π≈3.14） （1）如采用方案一，游泳池的长设计为多少米时，可使总造价最低？ （2）若方案一以最低总造价计算，试比较两种方案哪种方案的总造价更低. ( 第 1 页 共 4 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$