2024年高中数学暑假初高衔接讲义13.全称量词命题与存在量词命题

遍历山河，人间值得。 练习主题 全称量词命题与存在量词命题 在日常生活和学习中，我们经常遇到这样的语句： （1）对任意实数x，都有x2≥0； （2）存在有理数x，使x2-2=0； （3）有的矩形是菱形； （4）所有的质数都是奇数； （5）有一个素数是偶数. 这些语句中用到了“任意”“存在”“有的”等词，它们表示什含义? 知识点一：全称量词命题与存在量词命题 语句（1）使用了“任意”，表示对每一个实数x，必定有“x2≥0”,即没有使“x2≥0”不成立的实数x存在. 语句（2）使用了“存在”，表示至少可以找到一个有理数x，使“x2-2=0”成立. 语句（3）使用了“有的”，表示可以找到一个矩形，它是菱形. 语句（4）使用了“所有”，表示每一个质数都是奇数. “所有”“任意”“每一个”等表示全体的词在逻辑学中称为全称量词，通常用符号“x”表示“对任意x”. 上面的语句（1）可以表示为“∀x∈R,x2≥0”,即“任意实数的平方都不小于0”. “存在”“有的”“有一个”等表示部分或个体的词在逻辑学中称为存在量词，通常用符号“x”表示“存在x″. 上面的语句（2）可以表示为∃x∈Q，x2-2=0”,即“方程x2-2=0存在有理数解”. 含有全称量词的命题称为全称量词命题，含有存在量词的命题称为存在量词命题.它们的一般形式可表示为： 全称量词命题：∀x∈M，p（x）； 存在量词命题：∃x∈M，p（x）. 其中，M为给定的集合，p（x）是一个关于x的语句. 例1、判断下列命题的真假： （1）∃x∈R,x2＞x； （2）∀x∈R,x2＞x； （3）∃x∈Q,x2-8=0； （4）∀x∈R,x2+2＞0. 由例1我们发现： 要判定一个存在量词命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素，使命题为真即可；否则命题为假. 要判定一个全称量词命题为真，必须对给定的集合中的每一个元素，命题都为真；但要判定一个全称量词命题为假，只要在给定的集合中找到一个元素，使命题为假. 对应练习： 1、下列命题中，全称量词命题的个数为（ ） ①平行四边形的对角线互相平分；②梯形有两条边的长度不相等； ③存在一个菱形，它的四条边不相等；④高二(1)班绝大多数同学是团员 A.0 B.1 C.2 D.3 2、将“x2+y2≥2xy”改写成全称量词命题，下列说法正确的是（ ） A.对任意x，y∈R，都有x2+y2≥2xy B.存在x，y∈R，使x2+y2≥2xy C.对任意x＞0，y＞0，都有x2+y2≥2xy D.存在x＜0，y＜0，使x2+y2≥2xy 3、（多选）下列命题是“∃x∈R,x2＞3”的表述方法的有（ ） A.有一个x∈R,使得x2＞3成立 B.对有些x∈R,使得x2＞3成立 C.任选一个x∈R,都有x2＞3成立 D.至少有一个x∈R,使得x2＞3成立 4、命题“有些负数满足不等式（1+x）（1-9x）＞0"用“3”或“∀”可表述为 . 5、设有下面四个命题：p1：∃x∈R，x2+1＜0；p2：∀x∈R,x+∣x∣＞0；p3：∀x∈Z，∣x∣∈N；p4：∃x∈R，x2-2x+3=0.其中真命题为（ ） A.p1 B.p2 C.p3 D.p4 6、下列命题中，既是真命题又是全称量词命题的是（ ） A.对任意的a,b∈R,都有a2+b2-2a-2b+2＜0 B.菱形的两条对角线相等 C.∃x∈R，=x D.所有的等边三角形都相似 7、（多选）下列命题中是（ ） A.∀x∈R，x3≥0 B.∃x∈R，x3=3 C.∀x∈Q，x3≥1 D.∃x∈N，x3=3 8、（多选）下列命题中是假命题的是（ ） A.∃x∈Z，1＜4x＜3 B.∃x∈Z，2x2-3x+1=0 C.∀x∈R，x2-1=0 D.∀x∈R，x2+2x+2＞0 知识点二：全称量词命题与存在量词命题的否定 给出下列命题： （1）所有的正方形都是矩形； （2）存在有理数x，使x2-2=0； （3）对任意的实数a，都有∣a∣≥0； （4）有的矩形是菱形. 命题（1）的否定是“不是所有的正方形都是矩形”，换言之，“有的正方形不是矩形”.命题否定后，全称量词变为存在量词，“肯定”变成“否定”. 命题（2）的否定是“不存在有理数x，使x2-2=0”,换言之，“对所有的有理数，x2-2≠0”.命题否定后，存在量词变为全称量词，“肯定”变成“否定”. 命题（3）的否定是“不是对任意的实数a，都有∣a∣≥0”，换言之，“存在实数a，使∣a∣＜0”.命题否定后，全称量词变为存在量词，“肯定”变成“否定”. 命题（4）的否定是“不是有的矩形是菱形”，换言之，“所有的矩形都不是菱形”.命题否定后，存在量词变为全称量词，“肯定”变成“否定”. 一般地，我们有： “∈M，p（x）”的否定为“∃x∈M，（x）”, “∃x≤M，p（x）”的否定为“∀x∈M，（x）”. 其中，“（x）”是对语句“p（x）”的否定. 对一个命题进行否定，就得到了一个新的命题，这两个命题的关系是“一真一假”或“此假彼真”. 例1、写出下列命题的否定： （1）所有的无理数都是实数； （2）∀x∈R，x2+x+1＞0； （3）菱形不是矩形； （4）∃x∈R，x2-x+1=0. 一般地，对全称量词命题的否定，主要是对全称量词的否定，“任意”“所有”的否定分别是“存在”“不都”；对存在量词命题的否定，主要是对存在量词的否定，“存在”“有”的否定分别是“任意”“所有”. 对应练习： 1、命题“∃x＜1,x2＜1”的否定是（ ） A.∀x≥1，x2≥1 B.∃x≥1，x2≥1 C.∀x＜1，x2≥1 D.∃x＜1，x2≥1 2、命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是（ ）  A.∀x∈R,∣x∣＞0 B.∀x∈R,∣x∣≤0 C.∃x∈R, ∣x∣＞0 D.∃x∈R, ∣x∣≤0 3、命题“存在实数x，使x2+2x-8=0”的否定是 . 4、全称量词命题“对于任意正奇数n，所有不大于n的正奇数的和都是”的否定为（ ） A.对于任意正奇数n，所有不大于n的正奇数的和都不是 B.对于任意正奇数n，所有不大于n的正奇数的和都大于  C.存在正奇数n，使得所有不大于n的正奇数的和不是 D.存在正奇数n，使得所有不大于n的正奇数的和是 5、已知命题p：∀x＞0,x2+1≥1，则为（ ） A.∃x≤0，x2+1＜1 B.∃x≤0，x2+1≥1 C.∃x＞0，x2+1＜1 D.∃x＞0，x2+1≤1 6、全称量词命题“所有的素数都是奇数”的否定是 ，这是 命题（填“真”或“假”）. 7、写出下列命题的否定，并判断真假： （1）某些梯形的对角线互相平分； （2）所有末位数字是0或5的整数都能被5整除； （3）被8整除的数能被4整除； （4）不论m取何实数，方程x2+x-m=0必有实数根. 8、（多选）下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的有（ ） A.y=x∈R，x2-x+14＜0 B.所有的正方形都是矩形 C.∃x∈R，x2+2x+2≤0 D.至少有一个实数x，使x3+1=0 9、已知命题p:∃x＞0，x+a-1=0，若p为假命题，则实数a的取值范围是（ ） A.{a∣a＜1} B.{a∣a≤1} C.{a∣a＞1} D.{a∣a≥1} 10、若命题“∀x∈R，∣x∣-1+m＞0”是假命题，则实数m的取值范围是（ ） A.{m∣m≥1} B.{m∣m>-1} C.{m∣m＜1} D.{m∣m≤1} 11、已知非空集合M，P，则命题“M⊆P”是假命题的充要条件是（ ） A.∀x∈M，x∉P B.∀x∈P，x∈M C.∃x1∈M，x1∈P且x2∈M，x2∉P D.∃x∈M，x∉P 12、若“∃x∈[-2，3]，x-a＞0”为假命题，则a的最小值为　 　． 13、已知条件p：（x+1）2＞4；条件q：x＞a，且是的充分不必要条件，则a的取值范围是 　． 14、已知命题p：∃x∈R，x2+x+a≤0，命题q：a∈[，+∞），则是q的　 　条件． 15、若命题∃x∈R，mx2+4mx+1≤0为假命题，则实数m的取值范围是 　． 16、已知p：x＜m，q：-1≤x≤3，若p是q的必要不充分条件，则m的值可能为　 　（填一个满足条件的值即可）． ( 第 1 页 共 4 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$