2024年高中数学暑假初高衔接讲义12.充分条件、必要条件、充要条件

遍历山河，人间值得。 练习主题 充分条件、必要条件、充要条件 一般地，当命题“若p，则q”为真命题时，我们就说“由p可以推出q成立”，记作“p q”，读作“p推出q”；如果命题“若p，则q”为假命题，就说“由p不能推出q成立”，记作“pq”，读作“p不能推出q”.例如： （1）x=y x2=y2，但x2=y2 x=y； （2）x＞1 x2＞1，但x2＞1 x＞1； （3）△ABC≌△A′B′C′ S△ABC=S△A′B′C′，但S△ABC=S△A′B′C′ △ABC≌△A′B′C′； ●如果“p q”，那么p，q之间有怎样的关系? 分析（1）（2）（3），可以发现，“p q”的含义是：一旦p成立，q一定也成立.即p对q的成立是充分的. 也可以这样说：如果q不成立，那么p一定不成立.即q对p的成立是必要的. 一般地，如果“p q”，那么称p是q的充分条件，也称q是p的必要条件. 例1、下列所给的各组p，q中，p是q的充分条件的有哪些? （1）p：x=2，q： x2-x-2=0； （2）p：四边形的对角线相等，q：四边形是正方形； （3）p：同位角相等，q：两条直线平行； （4）p：四边形是平行四边形，q：四边形的对角线互相平分. 例2、下列所给的各组p，q中，p是q的必要条件的有哪些? （1）p：∣x∣=1，q：x=1； （2）p：两个直角三角形全等，q：两个直角三角形的斜边相等； （3）p：同位角相等，q：两条直线平行； （4）p：四边形是平行四边形，q：四边形的对角线互相平分. 观察例1（3）和例2（3）、例1（4）和例2（4），可以发现，其中既有p q，也有q p. 一般地，如果p q，且q p，那么称p是q的充分且必要条件，简称为p是q的充要条件，也称q的充要条件是p. 为了方便起见，如果p是q的充要条件，就记作p q称为“p与q等价”，或“p等价于q”. 不难发现，“ ”和“”都具有传递性，即 如果p q，q s，那么p s； 如果p q，q s，那么p s. 例3、指出下列命题中，p是q的什么条件： （1）p：两个三角形全等，q：两个三角形的对应角相等； （2）p：三角形的三边相等，q：三角形是等边三角形； （3）p：a2=b2，q：a=b； （4）p：x＞y，q：x＞y. 对应练习： 1、在△ABC中，AB2+AC2=BC2是△ABC为直角三角形的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2、“x＞1”是“＜1"的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3、对任意实数a，b，c，在下列命题中，是真命题的为（ ）  A.“ac＞bc”是“a＞b”的必要条件 B.“ac=bc”是“a=b”的必要条件 C.“ac＞bc”是“a＞b”的充分条件 D.“ac=bc”是“a=b”的充分条件 4、设A，B是非空集合，则“A∩B=A”是“A=B”的 条件.（填“充分”或“必要”）  5、“m＜”是“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”的 条件.（填“充要”“充分不必要”“必要不充分”或“既不充分也不必要”） 6、已知集合A={x∣x＞-1}，B={x∣x⩾1}，则“x∈A且x∉B"成立的充要条件是（ ） A.-1＜x≤1 B.x≤1 C.x＞-1 D.-1＜x＜1 7、设a是实数，则a＜5成立的一个必要不充分条件是（ ） A.a＜6 B.a＜4 C.a2＜25 D.＞ 8、下列不等式：①x＜1；②0＜x＜1；③-1＜x＜0；④-1＜x＜1；⑤x＞-1.其中可以作为x2＜1的一个充分不必要条件的所有序号为 . 9、若a，b都是实数，试从①ab=0；②a+b=0；③a(a2+b2)=0；④ab＞0中选出适合的条件，用序号填空. （1）“a，b都为0”的必要条件是 . （2）“a，b都不为0”的充分条件是 . （3）“a，b至少有一个为0”的充要条件是 . 10、已知命题“关于x的方程x2+mx+2m+5=0有两个不相等的实数根”是假命题. （1）求实数m的取值集合A； （2）设集合B={x∣1-2a≤x≤a-1}，结合（1），若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 巩固练习： 1、xy＞1”是“x＞1，y＞1”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2、∣m∣≠2是m≠2的（ ） A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 3、一次函数y=x+的图象同时经过第一、三、四象限的一个必要不充分条件是（ ） A.m＞1，且n＜1 B. mn＜0 C.m＞0，且n＜0   D.m＜0，且n＜0 4、若p；∣x∣≤2，q：x≤a，且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是（ ） A.{a∣a≥2} B.{a|a≤2} C.{a∣a≥-2} D.{a|a≤-2} 5、设集合M ={x|x＞2} ，P={x∣x＜6}，那么“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的（ ） A.充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 6、若m，n都是正整数，则m+n＞mn成立的充要条件是（ ） A.m=n=2 B.m=n=1 C.m＞1且n＞1 D.m，n至少有一个为1 7、已知命题p：“关于x的方程x2-4x+a=0没有实数根”为真命题的充分不必要条件是a＞3m-2，则实数m的取值范围是（ ） A.{m∣m＞2} B.{m∣m≥2} C.{m∣m＜2} D.{m∣m≤2} 8、对于任意实数x，＜x＞表示不小于x的最小整数，例如：＜1.1＞=2，＜-1.1＞=-1，那么“∣x-y∣＜1”是“＜x＞=＜y＞”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 9、已知集合P={x∣a-4＜x＜a+4}，Q={x∣1＜x＜3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，则实数a的取值范围是 . 10、已知p：x∈[1，3]，q：x∈[a，a+1]，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围. 11、已知集合M={x∣x＜-3或x＞5}，P={x∣a≤x≤8}. （1）求实数a的取值范围，使它成为M∩P={x∣5＜x≤8}的充要条件； （2）求实数a的一个值，使它成为：M∩P={x∣5＜x≤8}的一个充分不必要条件； （3）求实数a的取值范围，使它成为M∩P={x∣5＜x≤8}的一个必要不充分条件. 12、已知集合P=｛x∣-2≤x≤10｝，非空集合S=｛x∣1-m≤x≤1+m｝. （1）若x∈P是x∈S的必要条件，求实数m的取值范围； （2）是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件. 13、已知p：关于x的方程x2-2ax+a+2=0有实数根，q：m≤a≤m+2. （1）若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围； （2）若m=-1时，命题p和命题q中至少有一个是真命题，求实数a的取值范围. ( 第 1 页 共 4 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$